Función de Liapunov y teorema de Poincaré

Enunciado
1. Enunciado y demostración de la triple caracterización de las integrales primeras para sistemas diferenciales autónomos de primer orden.
Aplicación: Comprobar que $f(x,y)=e^{-x^2}(y^2-1)$ es integral primera para $S$, siendo $S:\; x’=y,\;y’=xy^2-x$.

2. Enunciado del método directo de Liapunov para la estabilidad de los puntos de equilibrio en los sistemas diferenciales autónomos de primer orden.
Aplicación: Comprobar que $f(x,y)=e^{-x^2}(y^2-1)$ es una función de Liapunov para $(0,0)$ en el sistema $S$ .

3. Enunciado del Teorema de Poincaré (relación entre las órbitas cerradas y los puntos de equilibrio).
Aplicación: Demostrar que $S$ no tiene órbitas cerradas contenidas ni parcialmente contenidas en el semiplano $y\geq 1$ ni en el semiplano $y\leq -1$ .

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
No resolveremos la parte que corresponde a la más estricta teoría.

1. Las derivadas parciales de la función $f$ son:

$\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}=e^{-x^2}(-2x)(y^2-1),\quad \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}=2ye^{-x^2}.$

Hallemos la derivada del campo escalar $f(x,y)$ respecto del campo vectorial $v(x,y)$ del sistema:

$$(L_vf)(x,y)=\left<{\;(\nabla f)(x,y),v(x,y)\;}\right>=-2xe^{-x^2}(y^2-1)y+2ye^{-x^2}(xy^2-x)=$$$$ e^{-x^2}(-2xy^3+2xy+2xy^3-2xy)=0,\quad \forall{(x,y)}\in{\mathbb{R}^2} .$$

La función $f$ es por tanto una integral primera del sistema $S$ en todo el plano.

2. Veamos que efectivamente $f$ es función de Liapunov para el punto $(0,0)$. Este punto es de equilibrio del sistema $S$ pues $v(0,0)=(0,0)$. La función $f$ está definida y es continua en un entorno $U$ de $(0,0)$ (de hecho podemos tomar $U=\mathbb{R}^2$ ). La función $f$ tiene derivadas parciales continuas en todo $\mathbb{R}^2$, en consecuencia es diferenciable en todo $\mathbb{R}^2$ y como consecuencia, en un entorno reducido de $(0,0)$.

Por otra parte, se verifica $(L_vf)(x,y)\leq 0$ en un entorno reducido de $(0,0)$ (de hecho se anula en todo $\mathbb{R}^2$ como vimos en el apartado anterior). Falta pues comprobar que $(0,0)$ es punto de mínimo estricto para $f$. Tenemos:

$$\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=0,$$$$\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}=(4x^2-2)(y^2-1)e^{-x^2},$$$$ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}}= \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}}=-4xye^{-x^2},$$$$ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y^2}}=2e^{-x^2} .$$

El punto $(0,0)$ es punto crítico para $f$ y esta es de clase $2$ en un entorno de $(0,0)$ (de hecho en todo $\mathbb{R}^2$). La matriz hessiana correspondiente es:

$H(0,0)=\begin{bmatrix}{2}&{0}\\{0}&{2}\end{bmatrix}$

que es definida positiva. El origen es por tanto punto de mínimo estricto para $f$ y por tanto $f$ es función de Liapunov para $(0,0)$ en el sistema $S$.

3. Para todo $x\in \mathbb{R}$ tenemos $v(x,1)=(1,0)$ y $v(x,-1)=(-1,0)$. Esto significa que las rectas $y=1$ e $y=-1$ son órbitas de $S$. Por otra parte, $(0,0)$ es el único puto de equilibrio del sistema.

Según el teorema de Poincaré, si existe una órbita cerrada $\theta$ con su interior geométrico totalmente contenido en el dominio de $v$ (en este caso $\mathbb{R}^2$) debe existir un punto de equilibrio en tal interior. Cualquier órbita cerrada ha de contener por tanto al origen en su interior geométrico y no puede atravesar las rectas $y=1$ e $y=-1$ con lo cual no puede estar ni total ni parcialmente contenida en los semiplanos dados.