Función implícita con teorema fundamental del Cálculo

Publicada el abril 8, 2014 por Fernando Revilla
    Enunciado
  1. Probar que la expresión $$x^6y+y^2\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\frac{1}{1+\sin^6t}+y^5-1=0$$ define a $y$ como una función implícita diferenciable $y=f(x)$ en un entorno del punto $(0,1).$
  2. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $(0,1).$
    (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).
    Solución
  1. Denominemos $$F(x,y)=x^6y+y^2\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\frac{1}{1+\sin^6t}dt+y^5-1.$$ Aplicando conocidas propiedades, es claro que $F$ está definida en $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ y que $F(0,1)=0.$ Por otra parte y usando el teorema fundamental del Cálculo $$\dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}=6x^5y+y^2\cdot \displaystyle\frac{1}{1+\sin^6x}\;\;,\;\;\frac{{\partial F}}{{\partial y}}=x^6+2y\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\frac{1}{1+\sin^6t}dt+5y^4.$$ Estas parciales son continuas en el abierto $A=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ y además $\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}(0,1)=5\neq 0.$ Es decir, la ecuación dada determina una función diferenciable $y=f(x)$ en un entorno del punto $(0,1).$
  2. La ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $(0,1)$ viene dada por $y-1=f'(0)(x-0).$ Pero $$f'(0)=-\frac{\dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}(0,1)}{\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}(0,1)}=-1/5,$$ con lo cual la ecuación de la recta pedida es $x+5y-5=0.$
Esta entrada fue publicada en Análisis real y complejo. Guarda el enlace permanente.