Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo

Demostramos que las matrices sobre un cuerpo son un grupo aditivo.

Enunciado
Demostrar que  $(\mathbb{K}^{m\times n},+)$ es un grupo abeliano (grupo aditivo de las matrices de órdenes $m\times n$ con elementos en el cuerpo $\mathbb{K}$).

Solución
$1.$ Interna. Por la propia definición de suma de matrices, es claro que la suma de dos matrices de ordenes $m\times n$ es otra matriz de orden $m\times n.$

$2.$ Asociativa. Para $A,B,C$ matrices de $\mathbb{K}^{m\times n},$ y usando la propiedad asociativa de la suma en  $\mathbb{K}:$ $$\begin{aligned}(&A+B)+C=\left([a_{ij}]+[b_{ij}]\right)+[c_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]+[c_{ij}]=[(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}]=\\
&[a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})]=[a_{ij}]+[b_{ij}+c_{ij}]=[a_{ij}]+\left([b_{ij}]+[c_{ij}]\right)=A+\left(B+C\right).\end{aligned}$$

$3.$ Existencia de elemento neutro. Para toda matriz $A$ de $\mathbb{K}^{m\times n}:$  $$\begin{aligned}&A+0=[a_{ij}]+[0]=[a_{ij}+0]=[a_{ij}]=A,\\
&0+A=[0]+[a_{ij}]=[0+a_{ij}]=[a_{ij}]=A.\end{aligned}$$ $4.$ Existencia de elemento simétrico. Para toda matriz $A$ de $\mathbb{K}^{m\times n}:$ $$\begin{aligned}&A+(-A)=[a_{ij}]+[-a_{ij}]=[a_{ij}+(-a_{ij})]=[0]=0,\\
&(-A)+A=[-a_{ij}]+[a_{ij}]=[(-a_{ij})+a_{ij}]=[0]=0.\end{aligned}$$

$5.$ Conmutativa. Para todo par de matrices $A,B$ de $\mathbb{K}^{m\times n},$ y usando la propiedad conmutativa de la suma en $\mathbb{K}:$ $$\begin{aligned}&A+B=[a_{ij}]+[b_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]=[b_{ij}+a_{ij}]=[b_{ij}]+[a_{ij}]=B+A.
\end{aligned}$$