Integración por partes

Proporcionamos ejercicios sobre el método de integración por partes.

Enunciado
1. Usando integración por partes, calcular:
   $a)\;\displaystyle \int\log x\;dx.\quad b)\;\displaystyle \int xe^xdx.\quad c)\;\displaystyle \int x^2e^xdx.$
2. Usando integración por partes, calcular:
   $a)\;\displaystyle \int \arctan x\;dx.\quad b)\;\displaystyle \int x \cos 5x\;dx.\quad c)\;\displaystyle \int x3^{-x}dx.$
3. Usando integración por partes, calcular:
   ${}\; a)\;\displaystyle \int\dfrac{x\;dx}{\operatorname{sen}^2x}.\quad b)\;\displaystyle \int 2^x\cos x\;dx.$
4. Calcular $I=\displaystyle \int e^{ax}\operatorname{sen}bx\;dx$ $(a\neq 0,b\neq 0),$ usando el método de integración por partes.
5. Sea $P(x)$ un polinomio real de grado $2$ y $a\neq 0$ un número real.
   $(i)$ Demostrar que $\int P(x)e^{a x}dx=Q(x)e^{ax},$ para algún polinomio real $Q(x)$ de grado $2.$
   $(ii)$ Calcular $\int (x^2+3x-1)e^{2x}dx,$ usando el apartado anterior.
   $(iii)$ Calcular la misma integral usando integración por partes.
6. Demostrar la fórmula de la integración por partes:$$\int u\;dv=uv-\displaystyle\int v\;du.$$

Solución
1. $a)$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u=\log x \\dv=dx,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=\dfrac{1}{x}dx \\v=x,\end{matrix}\right.$ por tanto:$$\displaystyle \int\log x\;dx=x\log x-\displaystyle \int dx=x\log x-x+C=x(\log x-1)+C.$$$b)$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u=x \\dv=e^xdx,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=dx \\v=e^x,\end{matrix}\right.$ por tanto:$$\displaystyle \int xe^x\;dx=xe^ x-\displaystyle \int e^xdx=xe^ x-e^x+C=e^x(x-1)+C.$$$c)$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u=x^2\;dx \\dv=e^xdx,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=2x\;dx \\v=e^x,\end{matrix}\right.$ por tanto, y usando la integral calculada en el apartado anterior.$$\begin{aligned}&\displaystyle \int x^2e^x\;dx=x^2e^ x-2
   \displaystyle \int xe^xdx=x^2e^ x-2\left(e^x(x-1)\right)+C\\
   &=e^x\left(x^2-2x+2\right)+C.\end{aligned}$$
2. $a)$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u=\arctan x \\dv=dx,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=\dfrac{1}{1+x^2}dx \\v=x,\end{matrix}\right.$ por tanto:$$\displaystyle \int \arctan x\;dx=x\arctan x-\displaystyle \int \dfrac{x\;dx}{1+x^2}=x\arctan x-\dfrac{1}{2}\log (1+x^2)+C.$$$b)$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u= x \\dv=\cos 5x\;dx,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=dx \\v=\dfrac{1}{5}\operatorname{sen}5x,\end{matrix}\right.$ por tanto:$$\begin{aligned}
   &\displaystyle \int x \cos 5x\;dx=\dfrac{x\operatorname{sen}5x}{5}-\dfrac{1}{5}\displaystyle \int \operatorname{sen}5x\;dx= \dfrac{x\operatorname{sen}5x}{5}+\dfrac{\cos 5x}{25}+C.
   \end{aligned}$$$c)$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u= x \\dv=3^{-x}\;dx,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=dx \\v=-\dfrac{1}{\log 3}3^{-x},\end{matrix}\right.$ por tanto:$$\begin{aligned}
   &\displaystyle \int x3^{-x}dx=-\dfrac{x3^{-x}}{\log 3}+\dfrac{1}{\log 3}\displaystyle \int 3^{-x}dx=-\dfrac{x3^{-x}}{\log 3}-\dfrac{3^{-x}}{\log^2 3}+C.\\
   &=-\dfrac{x\log 3+1}{3^x\log^2 3}+C.
   \end{aligned}$$
3. $a)$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u= x \\dv=\dfrac{dx}{\operatorname{sen}^2x},\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=dx \\v=-\cot x,\end{matrix}\right.$ por tanto:$$\begin{aligned}
   &\displaystyle \int\dfrac{x\;dx}{\operatorname{sen}^2x}=-x\cot x+\displaystyle \int \cot x\;dx=-x\cot x+\displaystyle \int \dfrac{\cos x\;dx}{\operatorname{sen}x}\\
   &=-x\cot x+\log |\operatorname{sen}x|+C.\end{aligned}$$$b)$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u= 2^x \\dv=\cos x\;dx,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=2^x\log 2\;dx \\v=\operatorname{sen} x,\end{matrix}\right.$ por tanto:$$\begin{aligned}
   \displaystyle \int 2^x\cos x\;dx=2^x\operatorname{sen} x-\log 2\displaystyle \int 2^x\operatorname{sen} x\;dx.\quad (1)
   \end{aligned}$$Calculemos ahora $\displaystyle\int 2^x\operatorname{sen} x\;dx.$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u= 2^x \\dv=\operatorname{sen}x\;dx,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=2^x\log 2\;dx \\v=-\cos x,\end{matrix}\right.$ por tanto:$$\begin{aligned}
   \displaystyle \int 2^x\operatorname{sen} x\;dx=-2^x\cos x+\log 2\displaystyle \int 2^x\cos x\;dx.\quad (2)
   \end{aligned}$$Llamando $I=\displaystyle \int 2^x\cos x\;dx,$ y usando las igualdades $(1)$ y $(2):$$$I=2^x\operatorname{sen} x-\log 2\left(-2^x\cos x+I\log 2\right).$$Resolviendo la ecuación anterior obtenemos:$$I=\displaystyle \int 2^x\cos x\;dx=\dfrac{2^x(\operatorname{sen} x-\log 2\cdot\cos x)}{1+\log^22}+C.$$
4. Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u= e^{ax} \\dv=\operatorname{sen}bx\;dx ,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=ae^{ax}\;dx \\v=-\dfrac{1}{b}\cos bx,\end{matrix}\right.$ por tanto:$$\begin{aligned}
   &I=\displaystyle \int e^{ax}\operatorname{sen}bx\;dx=-\dfrac{1}{b}e^{ax}cos bx+\dfrac{a}{b}\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\;dx.\quad (1)
   \end{aligned}$$Calculemos ahora $J=\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\;dx.$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u= e^{ax} \\dv=\cos bx\;dx ,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=ae^{ax}\;dx \\v=\dfrac{1}{b}\operatorname{sen} bx,\end{matrix}\right.$ por tanto:$$\begin{aligned}
   &J=\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\;dx=\dfrac{1}{b}e^{ax}\cos bx-\dfrac{a}{b}\displaystyle \int e^{ax}\operatorname{sen} bx\;dx.\\
   &=\dfrac{1}{b}e^{ax}\cos bx-\dfrac{a}{b}I.\quad (2)
   \end{aligned}$$Usando las igualdades $(1)$ y $(2):$$$\begin{aligned}
   &I=-\dfrac{1}{b}e^{ax}\cos bx+\dfrac{a}{b}\left(\dfrac{1}{b}e^{ax}\operatorname{sen} bx-\dfrac{a}{b}I\right)\\
   &=\dfrac{e^{ax}}{b^2}(a\operatorname{sen}bx-b\cos bx)-\dfrac{a^2}{b^2}I.
   \end{aligned}$$Despejando $I$ en la igualdad anterior:$$I=\dfrac{e^{ax}(a\operatorname{sen}bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}+C.$$
5. $(i)$ Derivando ambos miembros de la igualdad:$$ P(x)e^{ax}=Q'(x)e^{ax}+aQ(x)e^{ax}.$$
   Dado que $e^{ax}\neq 0$ para todo $x\in\mathbb{R},$ la igualdad anterior equivale a $$ P(x)=Q'(x)+aQ(x).$$Si $P(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ y $Q(x)=Ax^2+Bx+C,$ la igualdad anterior equivale a $\alpha x^2+\beta x+\gamma=2Ax+B+a(Ax^2+Bx+C).$ Identificando coeficientes, obtenemos el sistema en las incógnitas $A,B,C:$ $$\left \{ \begin{matrix} aA=\alpha \\2A+aB=\beta\\B+aC=\gamma\end{matrix}\right.$$El determinante de la matriz del sistema es:$$\det \begin{bmatrix}{a}&{0}&{0}\\{2}&{a}&{0}\\{0}&{1}&{a}\end{bmatrix}=a^3\neq0,$$ por tanto el sistema es compatible, siendo además $A=\alpha/a\neq 0,$ lo cual implica que existe el polinomio de segundo grado $Q(x)$ satisfaciendo la igualdad dada.
   $(ii)$ Expresando $\displaystyle\int (x^2+3x-1)e^{2x}dx=(Ax^2+Bx+C)e^{2x},$ y derivando:
   $$(x^2+3x-1)e^{2x}=(2Ax+B)e^{2x}+2(Ax^2+Bx+C)e^{2x}.$$ Dividiendo entre $e^{2x}$ e identificando coeficientes: $$\left \{ \begin{matrix} 2A=1 \\2A+2B=3\\B+2C=-1.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $A=1/2,$ $B=1,$ $C=-1.$ La integral pedida es por tanto: $$\int (x^2+3x-1)e^{2x}dx=\left(\frac{1}{2}x^2+x-1\right)e^{2x}+K,\;(K\text{ constante}).$$ $(iii)$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u=x^2+3x-1\\dv=e^{2x}dx,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=(2x+3)dx \\v=\dfrac{1}{2}e^{2x},\end{matrix}\right.$ por tanto: $$\displaystyle \int (x^2+3x-1)e^{2x}dx=\dfrac{1}{2}(x^2+3x-1)e^{2x}-\dfrac{1}{2}\displaystyle \int (2x+3)e^{2x}dx.\quad (1)$$ Calculemos $\int (2x+3)dx.$ Las relaciones $\left \{ \begin{matrix} u=2x+3\\dv=e^{2x}dx,\end{matrix}\right.$ implican $\left \{ \begin{matrix} du=2dx \\v=\dfrac{1}{2}e^{2x},\end{matrix}\right.$ por tanto: $$\begin{aligned}&\displaystyle \int (2x+3)dx=\dfrac{1}{2}(2x+3)e^{2x}-\displaystyle \int e^{2x}dx=\left(x+1\right)e^{2x}.\quad (2)\end{aligned}$$ Usando la igualdades $(1)$ y $(2):$ $$\begin{aligned}&\displaystyle \int (x^2+3x-1)e^{2x}dx=\dfrac{1}{2}(x^2+3x-1)e^{2x}-\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)e^{2x}+K\\
   &=\left(\frac{1}{2}x^2+x-1\right)e^{2x}+K.\end{aligned}$$
6. Si $u=u(x)$ y $v=v(x)$ son funciones derivables, entonces $(uv)’=u’v+v’u.$ La diferencial de $uv$ es por tanto:$$d(uv)=(uv)’dx=(u’v+v’u)dx=(u’dx)v+u(v’dx)=vdu+udv.$$En consecuencia, podemos escribir $udv=d(uv)-vdu.$ Integrando ambos miembros, y teniendo en cuenta que integración y derivación son procesos inversos:$$\displaystyle\int u\;dv=uv-\displaystyle\int v\;du.$$