Intersección de subcuerpos

Enunciado
Se llama subcuerpo de un cuerpo $K$ a cualquier subconjunto $H$ de $K$ que también es un cuerpo con respecto a la adición y multiplicación de $K.$  Demostrar que cualquier intersección de subcuerpos de un cuerpo $K$ es subcuerpo de $K.$

Solución
Sea $\{K_i\}$ una familia de subcuerpos de $K$ y $H=\bigcap _iK_i.$ Se verifica $0\in K_i$ para todo $i,$ luego $0\in H\neq \emptyset.$ Si $x,y\in H,$  entonces $x\in K_i,$ $y\in K_i$ para todo $i$ y por ser $K_i$ subgrupo aditivo de $K$ para todo $i,$ también $x-y\in K_i$ para todo $i,$ en consecuencia $x-y\in H.$ Por tanto $H$ es subgrupo aditivo de $K$ (además conmutativo por serlo $K$).

Veamos ahora que $H^*=H-\{0\}$ es subgrupo multiplicativo de $K^*=K-\{0\}.$ Se verifica $1\in K_i$ para todo $i,$ luego $1\in H^*\neq \emptyset.$ Si $x,y\in H^*,$  entonces $x,y\in K_i-\{0\},$ para todo $i$ y por ser $K_i-\{0\}$ subgrupo multiplicativo de $K^*$ para todo $i,$ también $xy^{-1}\in K_i$ para todo $i,$ en consecuencia $xy^{-1}\in H^*.$ Por tanto $H^*$ es subgrupo aditivo de $K^*$ (además conmutativo por serlo $K^*$).