Invertibilidad local con series de potencias

    Enunciado
    Sea $(a_n)_0^{\infty}$ una sucesión de números reales tales que $a_n>0$ para cada $n=0,1,2,\ldots$. Supongamos que la serie de potencias $\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ tiene radio de convergencia $R>1$. Sea $D=\{{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:|x|<R,|y|<R }\}$ y definimos $f:D\rightarrow{\mathbb{R}^2}$ por: $$f(x,y)=\left( y\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^n\right).$$
  1. Demostrar que $f$ es de clase $1$ en todos los puntos de $D$.
  2. Demuéstrese que $f$ es localmente invertible en el punto $(1,1)$ sí, y sólo si, la suma de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ es distinta de la suma de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}na_n$

    (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

    Solución
  1. Consideremos las funciones componentes de $f:$

    $ f_1(x,y)=y\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\quad f_2(x,y)=x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^n.$

    Teniendo en cuenta que toda serie de potencias se puede derivar término a término en el interior del intervalo de convergencia, tenemos:

    $\dfrac{{\partial f_1}}{{\partial x}}=y\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)’=y\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1},\\\dfrac{{\partial f_1}}{{\partial y}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n. $

    Estas parciales son continuas en $D$ pues la función a la que da lugar toda serie de potencias es derivable en el interior del intervalo de convergencia. En consecuencia, $f_1\in \mathcal{C}^1(D)$. Análogas consideraciones para $f_2$. Por tanto, $f=(f_1,f_2)$ es de clase $1$ en $D$.

  2. Como $R>1$, existe un abierto $A$ tal que $(1,1)\in A \subset D$ en el que la función $f$ es de clase $1$. La matriz jacobiana de $f$ en $(1,1)$ es:

    $f'(1,1)=\begin{bmatrix}{\dfrac{{\partial f_1}}{{\partial x}}(1,1)}&{\dfrac{{\partial f_1}}{{\partial y}}(1,1)}\\{\dfrac{{\partial f_2}}{{\partial x}}(1,1)}&{\dfrac{{\partial f_2}}{{\partial y}}(1,1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}na_n}&{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n}\\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n}&{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}na_n}\end{bmatrix}$

    Entonces: $$\det f'(0,0)=0\Leftrightarrow \left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}na_n \right)^2- \left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n \right)^2=0\Leftrightarrow\\ \left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}na_n \right)^2= \left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n \right)^2.$$

    Como $a_n>0$ para todo $n=0,1,2,\ldots$, los números $\sum_{n=0}^{\infty}a_n $ y $\sum_{n=0}^{\infty}na_n $ son positivos. En consecuencia $\det f'(0,0)=0\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sum_{n=0}^{\infty}na_n$. De acuerdo con el teorema de la función inversa, podemos asegurar que $f$ es localmente invertible en $(1,1)$ sí, y sólo si $\sum_{n=0}^{\infty}a_n\neq\sum_{n=0}^{\infty}na_n$.

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