Límite $\scriptstyle L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos

Publicada el octubre 25, 2015 por Fernando Revilla
    Enunciado
    Calcular  $L=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3},$
  1. Usando la regla de L’Hopital.
  2. Usando un desarrollo limitado de Maclaurin de $\sin x.$
  3. Usando algún método esencialmente distinto de los anteriores
    Solución
  1. Usando la regla de L’Hopital, $$L=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2}$$ $$\underbrace{=}_{1-\cos x\sim x^2/2}\lim_{x\to 0}\frac{x^2/2}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{6}=\frac{1}{6}.$$
  2. Usando el desarrollo limitado de orden $2$ del seno, $$L=\lim_{x\to 0}\frac{x-[x-x^3/6+o(x^3)]}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x^3/6-o(x^3)}{x^3}$$ $$=\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{6}+\frac{o(x^3)}{x^3}\right)=\frac{1}{6}+0=\frac{1}{6}.$$
  3. Usando el cambio de variable $t=3x,$ $$L=\lim_{t\to 0}\frac{3t-\sin 3t}{27t^3} $$ Usando la fórmula $\sin 3t = 3\sin t-4\sin^3 t,$ $$L=\lim_{t\to 0}\frac{3t-3\sin t+4\sin^3 t}{27t^3}.$$ Entonces, $$L=\displaystyle \frac{1}{9}\lim_{t\to 0}\frac{t-\sin t}{t^3}+\frac{4}{27}\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^3,$$ $$L=\frac{1}{9}L+\frac{4}{27},\quad L=\frac{1}{6}.$$
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