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# Fernando Revilla

Tiempo, aritmética y conjetura de Goldbach & Docencia matemática

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## Entradas

- [Grupo en $(-1,1)$](https://fernandorevilla.es/2021/03/22/grupo-en-11/) - RESUMEN. Construimos una estructura de grupo abeliano en el intervalo $(-1,1).$ Enunciado. Sea $G=(-1,1)\subset \mathbb{R}.$ Para todo $a,b\in G$ se define $$a*b=\frac{a+b}{1+ab}.$$ Demostrar que $(G,*)$ es un grupo abeliano. Solución. Interna. Para todo $a,b\in G$ tenemos que demostar que $a*b\in G.$ El denominador no se anula pues si $1+ab=0$ entonces $|a||b|=1$ lo cual es imposible
- [Puntos críticos, casos dudosos](https://fernandorevilla.es/2014/04/24/puntos-criticos-cados-dudosos/) - Estudiamos dos casos dudosos de puntos críticos. Enunciado Analizar el carácter del punto singular $(0,0)$ para la función: $$f(x,y)=y^2-3x^2y+2x^4.$$ Dada la función $f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+axy-2y^2$, analizar el carácter del punto crítico $(0,0)$ según los valores de $a\in\mathbb{R}$. (Propuestos en examen, Cálculo, ETS de Ing. Industriales, UPM). Hallar los extremos locales de la función: $$f(x,y)=(x+y-1)(x^4+y^4)$$ Solución Tenemos: $\dfrac{{\partial
- [Ecuación funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$](https://fernandorevilla.es/2025/02/22/ecuacion-funcional-fxyfxfy/) - Enunciados Se considera la ecuación funcional $$f:\mathbb R\to \mathbb R,\; f(x+y)=f(x)f(y)\qquad (E)$$ Demostrar que la función idénticamente nula es solución de $(E)$. Consideremos en lo sucesivo que $f$ es solución no idénticamente nula de la ecuación funcional $(E).$ Demostrar que $f(0)=1.$ Demostrar que $f(x)\ne 0$ para todo $x\in\mathbb R$. Demostrar que $f(x) > 0$ para
- [Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos](https://fernandorevilla.es/2015/03/30/convergencia-de-integrales-impropias-en-intervalos-infinitos/) - Estudiamos criterios de convergencia para las integrales impropias en intervalos infinitos. Enunciado Sea $f:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y $a'\ge a.$ Demostrar que $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Leftrightarrow \int_{a'}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$ Sea $f\ge 0$ en $[a,+\infty)$ y continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ existe, pudiendo ser finita o no serlo.
- [Integrales impropias en intervalos finitos](https://fernandorevilla.es/2015/04/05/integrales-impropias-en-intervalos-finitos/) - Proporcionamos ejemplos de cálculo y estudio de la convergencia de integrales impropias en intervalos finitos. Enunciado Calcular $\;(a)\;\displaystyle\int _0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}.\quad (b)\;\int _{-1}^2\frac{dx}{x}.$ Calcular $\;I=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}$ con $p\in\mathbb{R}.$ Calcular $\displaystyle\int_0^{3}\frac{dx}{(x-1)^2}.$ Calcular $\displaystyle\int_0^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$ Calcular $\displaystyle\int_0^{1/2}\frac{dx}{x\log x}.$ Estudiar la convergencia de la integral $\displaystyle\int_1^{2}\frac{dx}{\log x}.$ Estudiar la convergencia de la integral $\displaystyle\int_0^{1}\frac{\cos^2 x}{\sqrt[3]{1-x^2}}dx.$ Analizar la convergencia de la integral $\displaystyle\int_0^1\frac{\log
- [Ecuación funcional de Cauchy](https://fernandorevilla.es/2025/02/12/ecuacion-funcional-de-cauchy/) - RESUMEN. Estudiamos la ecuación funcional de Cauchy. Enunciados Se dice que una función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ cumple la ecuación de Cauchy si satisface la ecuación funcional $$f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in\mathbb R.$$ Demostrar que si $c\in\mathbb R$ la función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ dada por $f(x)=cx$ satisface la ecuación de Cauchy. Nota. Tenemos pues asegurada la existencia
- [Gráfica de $f(x)=x(x^2-1)^{-1/3}$](https://fernandorevilla.es/2025/02/10/grafica-de-fxxx2-1-1-3/) - Enunciado Representar gráficamente la función $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}$. Solución 1. Dominio. Es $D(f)=\mathbb R-\{\pm 1\}.$ 2. Simetrías. $f(-x)=\dfrac{-x}{\sqrt[3]{(-x)^2-1}}=-\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}= -f(x).$ La función es impar por tanto existe simetría respecto del origen. Bastará pues estudiar la función para $x\ge 0.$ 3. Asíntotas. (a) Horizontales. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}=\lim_{x\to +\infty}\sqrt[3]{\frac{x^3}{x^2-1}}=+\infty.$ No hay. (b) Verticales. $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}=\frac{1}{0}=\infty$ luego $x=1$ es asíntota
- [Gráfica de la astroide $x=a\cos^3t,\;y=a\sin^3t,\; (a > 0) $](https://fernandorevilla.es/2025/02/08/grafica-de-la-astroide-xacos3tyasin3t-a-0/) - RESUMEN. Dibujamos la astroide. Enunciado Representar gráficamente la astroide de ecuaciones paramétricas: $$\left \{ \begin{matrix} x=a\cos^3t\y=a\sin^3t\end{matrix}\right.\quad (a>0).$$ Solución 1. Dominio. Las funciones $x$ e $y$ están definidas para todo $t\in \mathbb R.$ 2. Periodicidad. Las funciones $x$ e $y$ son periódicas de periodo $T=2\pi.$ Bastará pues estudiar la curva para $t\in [-\pi,\pi].$ 3. Simetrías. $$\left
- [Gráfica de $f(x)=xe^{-x}$](https://fernandorevilla.es/2025/02/06/grafica-de-fxxe-x/) - Enunciado Representar gráficamente la función $f(x)=xe^{-x}.$ Solución 1. Dominio. Claramente $D(f)=\mathbb R.$ 2. Simetrías. $f(-x)=-xe^x$ es decir $f(-x)\ne f(x)$ y $f(-x)\ne -f(x).$ No hay simetrías. 3. Asíntotas. (a) Horizontales. $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^x}=\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}\underbrace{=}_{\text{L´Hopital}}\lim_{x\to \infty}\frac{1}{e^x}=\frac{1}{+\infty}=0.$$ $$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{e^x}=\dfrac{-\infty}{0}=0.$$ Entonces $y=0$ es asíntota horizontal cuando $x\to +\infty.$ (b) Verticales. Para todo $x\in\mathbb R$, $f(x)$ es finito por tanto
- [Gráfica de  $f(x)=\sqrt{8+x}-\sqrt{8-x}$](https://fernandorevilla.es/2025/02/05/grafica-de-fxsqrt8x-sqrt8-x/) - Enunciado Representar gráficamente la función $f(x)=\sqrt{8+x}-\sqrt{8-x}.$ Solución 1. Dominio. Existe $f(x)$ si y sólo si $8+x\ge 0$ y $8-x\ge 0$ es decir, si $x\ge -8$ y $8\le x$, luego el dominio es $D(f)=[-8,8].$ 2. Simetrías. Para todo $x\in[-8,8]$ se verifica $$f(-x)=\sqrt{8-x}-\sqrt{8+x}=-f(x)$$ La función es impar por tanto simétrica respecto del origen. Bastará pues estudiar la
- [Gráfica de $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$](https://fernandorevilla.es/2025/02/05/grafica-de-fxsqrtxsqrt4-x/) - Enunciado Representar gráficamente la función $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{4-x}.$ Solución 1. Dominio. Existe $f(x)$ si y sólo si $x\ge 0$ y $4-x\ge 0$ es decir $D(f)=[0,4].$ 2. Simetrías. La función no está definida en un intervalo simétrico respecto del origen luego la función no es par ni impar. 3. Asíntotas. No existen ni horizontales ni oblicuas por las
- [Gráfica de $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$](https://fernandorevilla.es/2025/02/05/grafica-de-fxdfracx3x2-1/) - Enunciado Representar gráficamente la función $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}.$ Solución 1. Dominio. Claramente es $D(f)=\mathbb R-\{\pm 1\}$. 2. Simetrías. $f(-x)=\dfrac{(-x)^3}{(-x)^2-1}=\dfrac{-x^3}{x^2-1}.$ Entonces, y $f(-x)= -f(x).$ la función es impar y por tanto simétrica respecto del origen. Bastará pues estudiar la función para $x\ge 0.$ 3. Asíntotas. (a) Horizontales. $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=\infty.$ No existen. (b) Verticales. Claramente son es
- [Gráfica de  $f(x)=\dfrac{x^3}{(x-1)^2}$](https://fernandorevilla.es/2025/02/05/grafica-de-fxfracx3x-12/) - Enunciado Representar gráficamente la función $f(x)=\dfrac{x^3}{(x-1)^2}.$ Solución 1. Dominio. Claramente es $D(f)=\mathbb R-\{1\}$. 2. Simetrías. $f(-x)=\dfrac{-x^3}{(-x-1)^2}=-\dfrac{x^3}{(x+1)^2}.$ Entonces, $f(-x)\ne f(x)$ y $f(-x)\ne -f(x).$ No hay simetrías. 3. Asíntotas. (a) Horizontales. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=\infty.$ No existen. (b) Verticales. Claramente la única asíntota vertical es $x=1.$ (c) Oblicuas. $$m=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{x}=1$$ $$b=\displaystyle\lim_{x\to \infty}(f(x)-mx)=\lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^3}{(x-1)^2}-x\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{2x^2-x}{(x-1)^2}=2.$$ Es decir, $y=x+2$ es
- [Gráfica de $f(x)=\dfrac{1}{9}(6x^2-x^4)$](https://fernandorevilla.es/2025/02/05/grafica-de-fxdfrac196x2-x4/) - Enunciado Representar gráficamente la función $f(x)=\dfrac{1}{9}(6x^2-x^4).$ Solución 1. Dominio. Claramente $D(f)=\mathbb R.$ 2. Simetrías. Se verifica $$f(-x)=\dfrac{1}{9}(6(-x)^2-(-x)^4)=\dfrac{1}{9}(6x^2-x^4)=f(x)$$ La función es par por tanto su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. En consecuencia bastará dibujar la parte correspondiente a $x\ge 0$ y el resto por simetría. 3. Asíntotas. Sabemos que las funciones polinómicas de
- [Gráfica de $f(x)=|x^3-3x^2|$](https://fernandorevilla.es/2025/02/05/grafica-de-fxx3-3x2/) - Enunciado Representar gráficamente la función $f(x)=|x^3-3x^2|$ Solución Bastará representar la función sin valor absoluto, es decir $g(x)=x^3-3x^2$ y trasladar por simetría respecto del eje de abscisas la parte de $g$ que se encuentra por debajo de este eje. La función $g$ se representó aquí Gráfica de $f(x)=x^3-3x^2$ por tanto la gráfica de $f$ es
- [Representación gráfica de $f(x)=x^3-3x^2$](https://fernandorevilla.es/2025/02/04/representacion-grafica-de-fxx3-3x2/) - Enunciado Representar gráficamente la función $f(x)=x^3-3x^2$ Solución 1. Dominio. Claramente es $D(f)=\mathbb R$. 2. Simetrías. $f(-x)=(-x)^3+(-x)^2=-x^3+x^2.$ Entonces, $f(-x)\ne f(x)$ y $f(-x)\ne -f(x).$ No hay simetrías. 3. Asíntotas. Sabemos que las funciones polinómicas de grado $\ge 2$ no tienen asíntotas. 4. Máximos y mínimos. Derivando: $$f^\prime (x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0,\quad x=0\vee x=2.$$ Tenemos, $$\begin{matrix} \text{Rango de }x: & (-\infty,0)
- [Ecuación de cuarto grado](https://fernandorevilla.es/2018/12/10/ecuacion-de-cuarto-grado/) - Propocionamos un método para la resolución de la ecuación de cuarto grado o cuártica (Método de Ferrari). Nota. Es claro que toda ecuación cuártica o de cuarto grado con coeficientes complejos se puede expresar en la forma $$(E):\;x^4+2ax^3+bx^2+2cx+d=0,\;(a,b,c,d\in\mathbb{C}).$$ Teorema. La ecuación de cuarto grado $(E): x^4+2ax^3+bx^2+2cx+d=0$ con coeficientes complejos $a,b,c,d$ se reduce a la resolución
- [Cálculo de una raíz de forma heurística.](https://fernandorevilla.es/2025/02/04/calculo-de-una-raiz-de-forma-heuristica/) - RESUMEN. Calculamos $\sqrt{4444222225}$ de forma heurística. Enunciado Calcular $\sqrt{4444222225}$. Solución Tenemos $$\sqrt{4444222225}=\sqrt{4444000000+222225}=\sqrt{4444000000+222220+5}$$ $$=\sqrt{4444\cdot10^6+22222\cdot10+5}=\sqrt{4\cdot1111\cdot 10^6+2\cdot11111\cdot10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{9999}{9}\cdot 10^6+2\cdot\dfrac{99999}{9}\cdot 10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{10^4-1}{9}\cdot 10^6+2\cdot\dfrac{10^5-1}{9}\cdot 10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{(10^4-1)\cdot 10^6}{9}+2\cdot\dfrac{(10^5-1)\cdot 10}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4(10^{10}-10^6)}{9}+\dfrac{2(10^6-10)}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4\cdot 10^{10}-4\cdot10^6}{9}+\dfrac{2\cdot 10^6-20}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4\cdot 10^{10}-2\cdot 10^6+25}{9}}$$ $$=\dfrac{\sqrt{2^2\cdot {(10^5)}^2-2\cdot 10^5\cdot 10+25}}{3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{{(2\cdot 10^5)}^2-(2\cdot 10^5)\cdot 10+25}}{3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{{(2\cdot 10^5)}^2-2\cdot ( 2\cdot 10^5)\cdot 5+25}}{3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{(2\cdot 10^5-5)^2 }}{3}=\dfrac{2\cdot 10^5-5}{3}=\dfrac{199995}{3}=\boxed{66665}$$
- [Concepto de conjunto compacto](https://fernandorevilla.es/2025/01/29/concepto-de-conjunto-compacto/) - RESUMEN. Proporcionamos problemas sobre el concepto de conjunto compacto. Recordamos que un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ se dice que es compacto sii para todo recubrimiento abierto de $A$ existe un subrecubrimiento finito. Es decir $A$ es compacto sii siempre que $A\subset \cup_i G_i$ con $G_i$ abiertos existe una colección finita $G_{i_1},\ldots G_{i_m}$
- [Ecuación diferencial exacta](https://fernandorevilla.es/2014/03/02/ecuacion-diferencial-exacta/) - Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial exacta. Enunciado Resolver las ecuaciones diferenciales $\;(3x^2+6xy^2)dx+(6x^2y+4y^3)dy=0.$ $\; \log (y^2+1)\;dx+\dfrac{2y(x-1)}{y^2+1}dy=0.$ $\; (x^2+y^2+2x)\;dx+2xy\;dy=0.$ Solución Recordamos que la ecuación $P(x,y)dx+Q(x.y)dy=0$ se llama diferencial exacta si se verifica la relación $P_y=Q_x.$ Además, supongamos que $P(x,y),$ $Q(x,y)$ son continuas, así como sus derivadas parciales $P_y$ y $Q_x$ en un recinto $D$ simplemente conexo
- [Integral de una función escalonada](https://fernandorevilla.es/2024/11/12/integral-de-una-funcion-escalonada/) - Enunciado Dado un entero positivo $p$, una función escalonada $s$ está definida en el intervalo $[0,p]$ como sigue: $s(x)=(-1)^nn$ si $n\leq x < n+1$, siendo $n=0,1,2,\ldots,p-1$ y $s(p)=0$. Sea $f(p):=\displaystyle\int_0^p s(x)dx$. ¿Para qué valores de $p$ es $|f(p)|=7$? Solución Por definición de integral de una función escalonada, $$f(p)=\int_0^ps(x)=(-1)^0\cdot 0\cdot 1+(-1)^1\cdot 1\cdot 1+(-1)^2\cdot 2\cdot 1+(-1)^3\cdot 3\cdot
- [Continuidad uniforme](https://fernandorevilla.es/2014/02/18/continuidad-uniforme/) - Proporcionamos ejercicios sobre continuidad uniforme. Enunciado Demostrar que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=2x+5$ es uniformemente continua. Demostrar que la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x\right|$ es uniformemente continua. Demostrar que $f:(0,4)\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$ es uniformemente continua. Sea $I\subset\mathbb{R}$ intervalo. Demostrar que si $f:I\to \mathbb{R}$ es uniformemente continua, entonces es continua. Sea $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$. Demostrar
- [Aparente desviación del teorema del punto fijo](https://fernandorevilla.es/2024/05/19/aparente-desviacion-del-teorema-del-punto-fijo/) - RESUMEN. Damos un ejemplo de una aparente desviación del teorema del punto fijo Enunciado Se considera la función: $$f:\mathbb R\to \mathbb R,\quad f(x)=x+ \displaystyle\frac{1}{1+e^x}.$$ Demostrar que para todo $x,y\in \mathbb R$ con $x\ne y$ se verifica$$|f(x)-f(y)|< |x-y|.$$ Demostrar que $f$ no tiene puntos fijos Explicar esta aparente desviación del conocido teorema del punto fijo para
- [Ecuación diferencial lineal](https://fernandorevilla.es/2014/03/12/ecuacion-diferencial-lineal/) - Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial lineal. Enunciado Resolver la ecuación $y'=y\tan x+\cos x.$ Resolver la ecuación lineal $y'+2xy=2xe^{-x^2}.$ Usando el método de variación de las constantes, resolver la ecuación lineal $y'+2xy=2xe^{-x^2}.$ Resolver la ecuación $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\cos y+\operatorname{sen}2y}.$ Demostrar que la solución general de la ecuación diferencial lineal $y'+py=q$ es $$ye^{\int pdx}-\int qe^{\int pdx}dx=C.$$ Demostrar que
- [Ceros de las funciones analíticas](https://fernandorevilla.es/2014/07/02/ceros-de-las-funciones-analiticas/) - Enunciado Hallar los ceros de la función $f(z)=z^4+4z^2$ y determinar sus órdenes. Hallar los ceros de $f(z)=1+\cos z$ y determinar sus multiplicidades. Hallar el orden del cero $z_0=0$ para la función $f(z)=\dfrac{z^8}{z-\sin z}.$ Hallar los ceros de la función $f(z)=(z^2+1)^3\sinh z$ determinando sus órdenes. Dado el polinomio complejo $$p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z +a_0$$
- [Propiedades de la integral definida](https://fernandorevilla.es/2014/08/02/propiedades-de-la-integral-definida/) - Enunciado Calcular la integral de la función $f(x)=\sqrt{32+4x-x^2}$ en el intervalo en donde esta función está definida. Calcular $\displaystyle\int_1^e\frac{\log^2x}{x}dx$ mediante la sustitución $t=\log x.$ Ordenar, sin calcularlas, las siguientes integrales $$I_1=\int_0^1\sqrt{1+x^2}dx,\quad I_2=\int_0^1x\;dx.$$ Calcular $I=\displaystyle\int_0^1\left(\left|x\right|+\left|3x-1\right|\right)dx.$ Acotar las siguientes integrales $$a)\;\int_0^1\sqrt{4+x^2}dx.\quad b)\;\int_{-1}^1\frac{dx}{8+x^3}.\quad c)\;\int_0^{2\pi}\frac{dx}{10+3\cos x}.$$ Calcular $f'(\pi/2)$ siendo $$f(x)=\int_{\cos x}^{\operatorname{sen}x}\frac{dt}{1+7t+5t^2}.$$ Deducir la fórmula del área de un círculo.
- [Vértices de un triángulo equilátero](https://fernandorevilla.es/2024/04/15/vertices-de-un-triangulo-equilatero/) - Enunciado Sean $z_1 , z_2, z_3$ tres números complejos tales que $$\left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |\text{ y }z_1+z_2+z_3=0.$$ Demostrar que son los vértices de un triángulo equilátero. Solución Sean $\left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=a>0.$ Tenemos $$z_1+z_2=-z_3\Rightarrow |z_1+z_2|^2=|z_3|^2\Rightarrow (z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})=a^2$$ $$\Rightarrow (z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2})=a^2\Rightarrow |z_1|^2+|z_2^2|+z_1\bar{z_2}+z_2\bar{z_1}=a^2$$ $$\Rightarrow z_1\bar{z_2}+z_2\bar{z_1}=-a^2.$$ Entonces, $$|z_1-z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2-z_1\bar{z_2}-z_2\bar{z_1}=a^2+a^2+a^2\Rightarrow |z_1-z_2|=\sqrt{3}a.$$ De manera análoga se demuestra
- [Polinomio que genera primos](https://fernandorevilla.es/2020/10/30/polinomio-que-genera-primos/) - Demostramos que si un polinomio con coeficientes enteros proporciona primos a partir de un número natural, el polinomio ha de ser constante. Teorema (Goldbach 1752) Sea $f\in\mathbb{Z}[x]$ tal que $f(n)$ es primo para todo $n\ge 0$ natural. Entonces, $f$ es constante. Generalización. Si $f\in\mathbb{Z}[x]$ tiene la propiedad de que $f(n)$ es primo para todo natural
- [Extremos de $f(x,y)=x^3+y^3$ sobre una elipse](https://fernandorevilla.es/2024/04/01/extremos-de-fxyx3y3-sobre-una-elipse/) - Enunciado Determinar los extremos de la función $$f(x,y)=x^3+y^3$$ sobre la elipse $$E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2+ x+y=xy\}$$ Solución Veremos tres métodos distintos. Método 1. Multiplicadores de Lagrange Podemos escribir $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. En consecuencia en $E$ se verifica $f(x,y)=(x+y)(-x-y)=-(x+y)^2.$ Se trata pues de hallar los extremos de la función $f(x,y)=-(x+y)^2$ con la condición $x^2+y^2+ x+y=xy.$ Función de Lagrange: $$F(x,y)=-(x+y)^2+\lambda (x^2+y^2+
- [Puntos de inflexión que yacen en una curva](https://fernandorevilla.es/2024/04/04/puntos-de-inflexion-que-yacen-en-una-curva/) - Enunciado Demostrar que los puntos de inflexión de la curva de ecuación $y=\dfrac{\sin x}{x}$ yacen en la curva $y^2(x^4 + 4) = 4.$ Solución La derivada segunda de $y$ es $$y^{\prime\prime}=\ldots=-\displaystyle\frac{(x^2-2)\sin x +2x\cos x}{x^3}.$$ Para que exista punto de inflexión se ha de verificar $y^{\prime\prime}=0.$ Entonces, $$y^{\prime\prime}=0,\quad0=(x^2-2)\sin x +2x\cos x,$$ $$0=\dfrac{(x^2-2)\sin x}{x}+\displaystyle\frac{2x\cos x}{x}=0,$$ $$ 0=\dfrac{(x^2-2)\sin
- [Teorema de la función inversa](https://fernandorevilla.es/2014/03/26/teorema-de-la-funcion-inversa/) - Proponemos ejercicios sobre el teorema de la función inversa. Enunciado Hallar $\left(f^{-1}\right)'(16),$ siendo $f(x)=x^3+2x^2+3x+10.$ Hallar $\left(f^{-1}\right)'(2),$ siendo $f(x)=\sqrt[3]{x^3+5x+2}.$ Siendo $f(x-2)=x^3+1$ y $g(x)=f(\arctan x),$ calcular $\left(g^{-1}\right)'(9).$ Deducir una fórmula para $\left(f^{-1}\right)^{\prime\prime}(x).$ Como aplicación, calcular $\left(p^{-1}\right)^{\prime\prime}(0)$ siendo $p(x)=2x+7x^2+10x^3.$ Usando el teorema de la derivada de la función inversa, deducir la fórmula de la derivada de la función
- [Series complejas: conceptos básicos](https://fernandorevilla.es/2014/03/10/series-complejas-conceptos-basicos/) - Se definen los conceptos de convergencia y suma de serie de números complejos de manera análoga a la de números reales. Enunciado (Condición necesaria para la convergencia de una serie). Demostrar que si la serie compleja $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente, entonces $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=0.$ (Serie geométrica). Se considera la serie geométrica $$\sum_{n=0}^{+\infty}z^n=1+z+z^2+z^3+\cdots\quad (z\in\mathbb{C}).$$ Demostrar que $a)$ Es
- [Regla de Barrow](https://fernandorevilla.es/2014/07/05/regla-de-barrow/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int_{-1}^2x^3\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int_0^\pi \operatorname{sen}^5x\;dx.$ Demostrar la regla de Barrow: Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua y sea $F$ una primitiva de $f$ en $[a,b].$ Entonces, $$\int_a^bf(x)\;dx=F(b)-F(a).$$ Siendo $k=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^x}{x+1} dx,$ calcular $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^x}{(x+1)^2} dx$ en función de $k.$ Solución Usando la regla de Barrow: $$\int_{-1}^2x^3\;dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^2=\frac{2^4}{4}-\frac{(-1)^4}{4}=\frac{15}{4}.$$ Hallemos una primitiva de $f(x)=\operatorname{sen}^5x.$ Efectuando la sustitución $t=\cos x,$ $dt=-\operatorname{sen}
- [Principio del argumento](https://fernandorevilla.es/2024/02/07/principio-del-argumento/) - RESUMEN. Demostramos el Principio del argumento y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el Principio del argumento. Si $f(z)$ es una función meromorfa no idénticamente nula dentro y sobre un contorno cerrado simple $C$ y $f(z)$ no tiene ni ceros polos sobre $C$, entonces, $$\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f^\prime (z)}{f(z)}dz=Z-P.$$ en donde $Z$ y $P$ representan respectivamente
- [Desigualdad con logaritmos](https://fernandorevilla.es/2024/01/29/desigualdad-con-logaritmos/) - RESUMEN. Demostramos una desigualdad con logaritmos. Enunciado Hallar el máximo absoluto de la función $$f:(0,+\infty)\to \mathbb R,\quad f(t)=\frac{\log t}{t}.$$ Demostrar la desigualdad $$-ae \log x\le x^{-a},\;\; (\forall x > 0 ,\; \forall a\in\mathbb R).$$ Solución Derivando, $$f(t)=\frac{\dfrac{1}{t}t-1\log t}{t^2}=\frac{1-\log t}{t^2}=0\Leftrightarrow 1-\log t=0\Leftrightarrow t=e.$$ Para $t\in (0,e)$ se verifica $f^\prime(t) > 0$ (estrictamente creciente). Para $t >
- [Determinación de una transformación de Möbius](https://fernandorevilla.es/2024/01/22/determinacion-de-una-transformacion-de-mobius/) - RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius queda determinada conociendo los transformados de una terna de elementos distintos de $\mathbb{C}_\infty$ en otra terna de elementos distintos de $\mathbb{C}_\infty.$ Enunciado Demostrar que si una transformación de Möbius deja fijos los puntos $0,1,\infty$, dicha transformación es la identidad. Demostrar que si $z_1,z_2,z_3$ y $w_1,w_2, w_3$ son dos
- [Isomorfismo entre el grupo de Möbius y $\text{GL}_2(\mathbb{C})/Z$](https://fernandorevilla.es/2024/01/11/isomorfismo-entre-el-grupo-de-mobius-y-textgl_2mathbbc-z/) - RESUMEN. Demostramos que el grupo de las transformaciones de Möbius es isomorfo al grupo lineal complejo de orden 2 sobre su centro. Enunciado Sea $\text{GL}_2(\mathbb{C})$ el grupo lineal de las matrices cuadradas complejas de orden $2$ y $\mathcal{M}$ el grupo de las transformaciones de Möbius. (1) Demostrar que $$\pi :\text{GL}_2(\mathbb{C})\to \mathcal{M},\quad \pi \begin{bmatrix}{a}&{b}\{c}&{d}\end{bmatrix}=T,\text{ con }T(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$
- [Transformaciones de Möbius elementales](https://fernandorevilla.es/2024/01/17/transformaciones-de-mobius-elementales/) - RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius es composición de transformaciones de Möbius elementales. Sean la transformaciones $$ \text{(i) Traslaciones. } z\mapsto a+z, (a\in\mathbb C)\quad \text{(ii) Giros. } z\mapsto e^{i\alpha}z, (\alpha \in \mathbb R)$$ $$\begin{aligned}& \text{(iii) Dilataciones. } z\mapsto rz, (r > 0)\quad \text{(iv) Inversión. } z\mapsto 1/z.\end{aligned}$$ Estas transformaciones son claramente de Möbius y
- [División euclídea de polinomios](https://fernandorevilla.es/2015/01/16/division-euclidea-de-polinomios/) - Damos ejemplos de aplicación de la división euclídea de polinomios. Enunciado Efectuar la división de $A(x)=x^4+6x^3+10x^2+3x-6$ entre $B(x)=x^2+3x.$ Deducir de ello la descomposición de $A(x)$ en producto de dos trinomios de segundo grado. En $\mathbb{R}[x]$ hallar los siguientes restos $a)$ De la división de $p(x)=x^{1237}-1$ entre $q(x)=x^2-1.$ $b)$ De la división de $p(x)=x^{1237}-1$ entre $q(x)=(x+1)^2.$
- [Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en  $\mathbb{K}[x]$](https://fernandorevilla.es/2017/01/03/condiciones-suficientes-para-que-un-polinomio-sea-irreducible-en-mathbbkx/) - Enunciamos y demostramos condiciones suficientes para que polinomios de grado menor o igual que $3$ sean irreducibles sobre un cuerpo genérico $\mathbb{K}$. Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $p(x)\in \mathbb{K}[x].$ Demostrar que si $\text{grado }p(x)=1$, entonces $p(x)$ es irreducible. Demostrar que si $p(x)$ es un polinomio cuadrático o cúbico sin raíces en $\mathbb{K}$, entonces $p(x)$
- [Grupo de las transformaciones de Möbius](https://fernandorevilla.es/2024/01/08/grupo-de-las-transformaciones-de-mobius/) - RESUMEN. Demostramos las transformaciones de Möbius forman un grupo con la operación composición. Si $T=\dfrac{az+b}{cz+d}$ es una transformación de Möbius, denominamos a la matriz $$M_T=\begin{bmatrix}{a}&{b}\{c}&{d}\end{bmatrix}$$ matriz asociada $T$ y claramente $\det M_T\ne 0.$ Enunciado (1) Sean $T_1$ y $T_2$ dos transformaciones de Möbius. Demostrar que la composición $T_1\circ T_2$ también es transformación de Möbius y
- [Inversa de la transformación de  Möbius](https://fernandorevilla.es/2024/01/07/inversa-de-la-transformacion-de-mobius/) - RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius es aplicación biyectiva y determinamos su inversa. Enunciado Sea $\mathbb C_{\infty}=\mathbb C \cup {\infty}$ el plano complejo ampliado. Se llama transformación de Mobius a cualquier función $T:\mathbb{C}_\infty\to\mathbb{C}_\infty$ definida por $$T(z)=\frac{az+b}{cz+d} \text{ con } a,b,c,d\in\mathbb{C}, ad-bc\ne0$$ en donde se usan los convenios habituales $$\begin{aligned} &T(\infty)=a/c,\;\; T(-d/c)=\infty, & \text{si }c\ne
- [Concepto de valor y vector propio](https://fernandorevilla.es/2014/06/07/concepto-de-valor-y-vector-propio/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de valor y vector propio. Enunciado Se considera el endomorfismo $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dado por $$f\begin{pmatrix}{x_1}\{x_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2}&{2}\{1}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\{x_2}\end{pmatrix}.$$ Analizar cuales de los siguientes vectores son vectores propios de $f$ $$v=(1,1)^t,\;v=(-2,1)^t,\;w=(3,1)$$ Sea $E$ el espacio vectorial $$E=\{x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\text{ es infinitamente derivable en }\mathbb{R}\}.$$ Demostrar que para todo $a\in\mathbb{R}$, la función $v(t)=e^{at}$ es vector propio del
- [Endomorfismo complejo con matriz normal](https://fernandorevilla.es/2024/01/05/endomorfismo-complejo-con-matriz-normal/) - Enunciado En $\mathbb{C}^3$ se considera el producto escalar usual y el endomorfismo cuya matriz en la base canónica de $\mathbb{C}^3$ es $$A=\begin{pmatrix}{0}&{2/3}&{-2/3}\{-2/3}&{0}&{-1/3}\{2/3}&{1/3}&{0}\end{pmatrix}$$ a) Hallar una base del núcleo y de la imagen de $f$. ¿Es $A$ normal? b) Hallar una base $\mathcal B$ de $\mathbb{C}^3$ tal que $M(f)_{\mathcal B}$ sea diagonal. Si es posible halle
- [Ecuación $x^3-x+2=0$ en los complejos](https://fernandorevilla.es/2023/12/29/ecuacion-x3-x20-en-los-complejos/) - Enunciado Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $x^3-x+2=0.$ Solución Es ecuación del tipo $x^3+px+q=0\text{ con } p,q\in\mathbb{C}$ cuyas soluciones sabemos que son $$x=\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\beta}$$ siempre y cuaando $\alpha\beta=-p/3.$ En nuestro caso $p=-1, q=2$ con lo cual $$x=\displaystyle\underbrace{\sqrt [3]{-1+\sqrt{\frac{26}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-1-\sqrt{\frac{26}{27}}}}_{\beta}.$$ Eligiendo $\alpha_1$ y $\beta_1$ los valores reales de las raíces cúbicas anteriores tenemos $$\alpha_1\beta_1=\sqrt [3]{(-1)^2-\frac{26}{27}}=\sqrt [3]
- [Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes](https://fernandorevilla.es/2014/05/22/cambio-de-base-en-endomorfismos-matrices-semejantes/) - Proporcionamos ejercicios sobre cambio de base en endomorfismos y matrices semejantes. Enunciado Sea $f$ el endomorfismo en $\mathbb{R}^3$ cuya matriz en la base canónica $B$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{0}&{1}\{0}&{1}&{-1}\{2}&{-1}&{2}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de $f$ en la base $B'=\{u_1,u_2,u_3\},$ siendo $u_1=(1,1,1),$ $u_2=(1,2,2),$ $u_3=(2,3,1).$ Sea $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ el endomorfismo cuya matriz en la base $B=\{(1,2),(3,1)\}$ es $A=\begin{bmatrix}{-1}&{2}\{3}&{5}\end{bmatrix}.$ Hallar la
- [Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes](https://fernandorevilla.es/2014/05/21/cambio-de-base-en-aplicaciones-lineales-matrices-equivalentes/) - Proporcionamos ejercicios sobre el cambio de base en aplicaciones lineales y matrices equivalentes. Enunciado Calcular los valores de $a\in\mathbb{R}$ para los cuales son equivalentes las matrices reales: $$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\1 & 1 & 0\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1 & 1 & 5\1 & 1 & a\end{bmatrix}.$$ Sea $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ la aplicación lineal cuya matriz respecto de
- [Cambio de base](https://fernandorevilla.es/2014/06/27/cambio-de-base/) - Proporcionamos ejercicios sobre cambio de base en espacios vectoriales. Enunciado Sean $B=\{u_1,u_2\}$ y $B'=\{u'_1,u'_2\},$ dos bases de un espacio vectorial real $E$ de dimensión $2$ tales que $u'_1=u_1-2u_2,$ $u'_2=3u_1+4u_2.$ Se pide hallar: $a)$ La matriz de cambio o de paso de $B$ a $B'.$ $b)$ La ecuación matricial del cambio de base. $c)$ Las coordenadas
- [Concepto de sucesión](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/concepto-de-sucesion/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de sucesión. Enunciado Dadas las sucesiones $a_n=(-1)^{n+1}\dfrac{n^2+1}{3n-2}$ y $b_n=\dfrac{\sqrt{n+1}} {7+(-1)^n},$ hallar $a_5$ y $b_{12}.$ Determinar en cada caso una sucesión $a_n$ cuyos prrimeros términos son los que se indican:$(i)$ $\dfrac{2}{-3},\;\dfrac{7}{1},\;\dfrac{12}{5},\;\dfrac{17}{9},\ldots\quad(ii)$ $-\dfrac{3}{7},\;\dfrac{5}{10},\;-\dfrac{7}{13},\;\dfrac{9}{17},\ldots$ Determinar en cada caso una sucesión $a_n$ cuyos primeros términos son los que se indican:$(i)$ $6,\;12,\;24,\;48,\ldots\quad(ii)$ $7,\;-\dfrac{7}{2},\;\dfrac{7}{4},\;-\dfrac{7}{8},\ldots$ Determinar en
- [Rectas que componen las cónicas degeneradas](https://fernandorevilla.es/2015/01/21/rectas-que-componen-las-conicas-degeneradas/) - Damos ejemplos de cálculo de las rectas que componen las cónicas degeneradas. Enunciado Las siguientes cónicas son degeneradas. Hallar las rectas que la componen. $a)\;$ $x^2+4xy+4y^2-2x-4y-3=0.$ $b)\;$ $x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3=0.$ Hallar las rectas en las que degeneran las cónicas $a)\;$ $x^2+4xy+4y^2+2x+4y+2=0.$ $b)\;$ $x^2+y^2+2x+1=0.$ Solución $a)$ Podemos expresar la cónica en la forma $x^2+(4y-2)x+4y^2-4y-3=0.$ Resolviendo la ecuación de
- [Separación de puntos y espacios de Hausdorff](https://fernandorevilla.es/2023/08/10/separacion-de-puntos-y-espacios-de-hausdorff/) - RESUMEN. Demostramos una condición suficiente para que un espacio sea de Hausdorff via separación de puntos de familia de funciones continuas. Enunciado Sean $X$ e $Y$ conjuntos y una clase de aplicaciones $$\mathcal{F}=\{f_i:X\to Y, i\in I\}.$$ Se dice que $\mathcal{F}$ \emph{separa puntos} si y sólo si para todo par de elementos $x,y$ de $X$ con
- [Clasificación de formas cuadráticas](https://fernandorevilla.es/2014/07/28/clasificacion-de-formas-cuadraticas/) - Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de formas cuadráticas. Enunciado Clasificar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2ax_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3\;\;(a\in\mathbb{R}).$$ Determinar para que valores de $a\in\mathbb{R}$ es definida positiva la forma cuadrática $$q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\quad q(x)=X^T\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\{2}&{6}&{2}\{1}&{2}&{a}\end{bmatrix}X.$$ Solución Busquemos una matriz diagonal que represente a $q.$ $$\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\{a}&{1}&{2}\{-1}&{2}&{5}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\{F_2-aF_1}\{F_3+F_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\{0}&{1-a^2}&{2+a}\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}$$ $$\begin{matrix}\sim\{C_2-aC_1}\{C_3+C_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\{0}&{1-a^2}&{2+a}\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}.$$ Para $a^2-1\neq 0,$ es decir para $a\neq \pm 1:$ $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\{0}&{1-a^2}&{2+a}\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\{(1-a^2)F_3-(2+a)F_2}\end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\{0}&{1-a^2}&{2+a}\{0}&{0}&{-5a^2-4a}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\{(1-a^2)C_3-(2+a)C_2}\end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\{0}&{1-a^2}&{0}\{0}&{0}&{(-5a^2-4a)(1-a^2)}\end{bmatrix}.$$ Una matriz diagonal que
- [Suma e intersección de subespacios](https://fernandorevilla.es/2014/05/16/suma-e-interseccion-de-subespacios/) - Proporcionamos ejercicios sobre la suma e intersección de subespacios. Enunciado Demostrar que la intersección de dos subespacios de un espacio vectorial $E,$ es también subespacio de $E.$ Sea $\left\{F_i:i\in I\right\}$ una familia de subespacios de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $\bigcap _{i\in I}F_i$ es también subespacio de $E.$ Sean $F_1$ y $F_2,$ subespacios de
- [Límites en dos variables](https://fernandorevilla.es/2022/11/22/limites-en-dos-variables/) - RESUMEN. Proporcionamos ejercicios de límites en dos variables. Enunciado Demostrar usando la definición que $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}(x+y)=0.$ Demostrar usando la definición que $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}xy=0.$ Demostrar que $L=\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3 - y^3}{x^2+y^2}=0.$ Se considera la función $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{y}{x}\sin (x^2+y^2) & \mbox{ si }& x\neq 0\0 & \mbox{si}& x=0.\end{matrix}\right.$$ (a) Demostrar que $f$ tiene límite
- [Centro y ejes de las cónicas](https://fernandorevilla.es/2015/01/24/centro-y-ejes-de-las-conicas/) - Proporcionamos ejemplos de cálculo de centro y ejes de las cónicas. Enunciado Hallar el centro de cada una de las cónicas: $a)\;$ $3x^2-2xy+3y^2+2x-4y+1=0.$ $b)\;$ $x^2-2xy+y^2+4x-6y+1=0.$ $c)\;$ $x^2+4xy+4y^2-2x-4y-3=0.$ Hallar los ejes de las siguientes cónicas: $a)\;$ $x^2+2xy-y^2-6x+4y-3=0.$ $b)\;$ $x^2-2xy+y^2+4x-6y+1=0.$ Hallar el vértice de la parábola $x^2-2xy+y^2+4x-6y+1=0.$ Solución Recordamos que si la cónica de ecuación $f(x,y)=0$ tiene
- [Conjunto cerrado como intersección contable de abiertos](https://fernandorevilla.es/2022/11/05/conjunto-cerrado-como-interseccion-contable-de-abiertos/) - RESUMEN. Demostramos que en todo espacio métrico, cualquier conjunto cerrado se puede expresar como intersección contable de abiertos. Enunciado Demostrar que en todo espacio métrico, cualquier conjunto cerrado se puede expresar como intersección contable de abiertos. Solución Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A\subset X$ cerrado. Para todo $n\in \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ definimos $$G_n=\bigcup _{a\in A}
- [Operador simétrico, teorema espectral](https://fernandorevilla.es/2014/08/26/operador-simetrico-teorema-espectral/) - Proporcionamos ejercicios sobre el operador simétrico y el teorema espectral. Enunciado En el espacio euclídeo $\left(\mathbb{R}^3,\langle \;,\;\rangle\right)$ donde $\langle \;,\;\rangle$ representa el producto escalar usual, se considera $T\in\text{End}\left(\mathbb{R}^3\right)$ dado por: $$T(x,y,z)=(x+4y+8z,\;4x+16y+32z,\:8x+32y+64z).$$ Demostrar que $T$ es simétrico. En $\mathbb{R}^2$ con el producto escalar $$\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=\begin{pmatrix}{x_1},{x_2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{2}\{2}&{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\{y_2}\end{pmatrix},$$ analizar si es simétrico el operador $T(x_1,x_2)=(2x_1,x_1-x_2).$ En $\mathbb{R}^2$ se considera
- [Operador ortogonal](https://fernandorevilla.es/2014/08/25/operador-ortogonal/) - Proporcionamos ejercicios sobre el operador ortogonal. Enunciado Comprobar que en $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar usual, el siguiente operador es ortogonal $$T\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\end{bmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\{2}&{1}&{-2}\{1}&{2}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\end{bmatrix}.$$ Demostrar que si $\lambda$ es valor propio de un operador ortogonal $T$ en un espacio euclídeo $E,$ entonces $\lambda=1$ o $\lambda=-1.$ Demostrar que: $T$ es ortogonal $\Leftrightarrow \left\|T(x)\right\|=\left\|x\right\|\;\;\forall x\in E.$ Demostrar que todo
- [Proyección ortogonal](https://fernandorevilla.es/2014/08/19/proyeccion-ortogonal/) - Proporcionamos ejercicios sobre la proyección ortogonal sobre un subespacio. Enunciado En $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar $$\left=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3,$$ hallar la proyección ortogonal del vector $x=(1,1,1)$ sobre el subespacio $$F\equiv x_1+x_2+2x_3=0.$$ En el espacio $\mathbb{R}_2[x]$ con el producto escalar $\left= \int_0^1p(x)q(x)\;dx$ determinar la proyección ortogonal del vector $x^2$ sobre el subespacio $F=L[1,x].$ En el espacio vectorial real
- [Trayectorias ortogonales y oblicuas](https://fernandorevilla.es/2014/03/28/trayectorias-ortogonales-y-oblicuas/) - Proporcionamos ejemplos de cálculo de trayectorias ortogonales y oblicuas. Enunciado Determinar las trayectorias ortogonales de: $(a)$ La familia de parábolas $y=ax^2$. $(b)$ La familia de circunferencias $x^2+y^2-2ax=0$. Hallar la familia de trayectorias oblicuas que corta a la familia de rectas $y=ax$ formando un ángulo de $\pi/4$. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias
- [Bases de la suma e intersección de subespacios](https://fernandorevilla.es/2014/06/29/bases-de-la-suma-e-interseccion-de-subespacios/) - Proporcionamos ejercicios sobre bases de la suma e intersección de subespacios. Enunciado Se consideran los subespacios de $\mathbb{R}^4:$ $$U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_2+x_3+x_4=0\},$$ $$V=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1+x_2=0,\;x_3=2x_4\}.$$ Hallar unas bases de: $(i)\;U.\:(ii)\;V.\;(iii)\;U\cap V.$$ Sean $F_1$ y $F_2$ subespacios de un espacio vectorial $E,$ y sean $S_1$ y $S_2$ sistemas generadores de $F_1$ y $F_2$ respectivamente. Demostrar que $S_1\cup S_2$ es sistema generador
- [Regla de L'Hôpital: problemas diversos](https://fernandorevilla.es/2014/04/20/regla-de-lhopital-problemas-diversos/) - Enunciado Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e^x-1}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{e^x-e^2}{x-2}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{xe^x}{1-e^x}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\log x}{\sqrt{x}}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\;(e^x-1)\cot x.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^2e^x.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\;\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\operatorname{sen}x}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x-\arctan x}{x^3}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{10}-10x+9}{x^5-5x+4}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^3+7x^2+x+1}{5x^3+8x^2}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 1}\;\left(\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{\log x}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 1}\;(1-x)\tan \dfrac{\pi x}{2}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\;x^{\operatorname{sen}x}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\;\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\tan x}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to
- [Serie geométrica](https://fernandorevilla.es/2014/06/01/serie-geometrica/) - Enunciado Analizar el carácter de las siguientes series y hallar su suma cuando sean convergentes. $1)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n.$ $2)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^n.$ $3)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{3^n}{2^n}.$ $4)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a^2.$ $5)\; 1-2+2^2-2^3+\cdots.$ Demostrar que: $a)$ La serie geométrica $1+x+x^2+x^3+\cdots$ es convergente si, y sólo si $\left|x\right|
- [Norma, espacio normado](https://fernandorevilla.es/2014/10/08/norma-espacio-normado/) - Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de norma y espacio normado. Enunciado Sea $E=C\left([a,b]\right)$ el espacio vectorial de las funciones continuas sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) $f:[a,b]\to\mathbb{K}.$ Demostrar que $\left\|f\right\|=\displaystyle\int_a^b\left|f(x)\right|dx$ es una norma en $E.$ Sea $I=[a,b]$ intervalo cerrado de la recta real y $E=C\left(I\right)$ el espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) de las funciones
- [Norma en el espacio de las funciones de clase 1](https://fernandorevilla.es/2022/10/28/norma-en-el-espacio-de-las-funciones-de-clase-1/) - RESUMEN. Construimos una norma en el espacio de las funciones de clase 1 en el intervalo cerrado $[a,b].$ Enunciado En el espacio vectorial $C^1[a,b]$ de las funciones reales definidas en $[a,b]$ con derivada continua, demostrar que $$ \|f\|=\max |f(t)|+\max |f^{\prime}(t)|$$ es una norma en $C^1[a,b].$ Solución Para toda función del espacio de las funciones de
- [Límite por cambio de variable](https://fernandorevilla.es/2022/10/27/limite-por-cambio-de-variable/) - RESUMEN. Calculamos un límite efectuando un cambio de variable, previo a la aplicación de la regla de L'Hopital. Enunciado Calcular el límite $L=\displaystyle\lim_{x \to\infty}\left(\displaystyle\frac{x}{\sin\frac{1}{x}} - x^2\right).$ Solución Efectuando el cambio de variable $t=1/x$ queda $$L=\lim_{t \to 0}\left(\displaystyle\frac{\dfrac{1}{t}}{\sin t} - \frac{1}{t^2}\right)=\lim_{t\to 0}\frac{t-\sin t}{t^2\sin t}\underbrace{=}_{\sin t\sim t}\lim_{t\to 0}\frac{t-\sin t}{t^3}=\left\{\frac{0}{0}\right\}$$ $$\underbrace{=}_{\text{L'Hop.}} \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{3t^2}=\left\{\frac{0}{0}\right\}\underbrace{=}_{\text{L'Hop.}}\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{6t}\underbrace{=}_{\sin t\sim t}\lim_{t\to
- [Distribución binomial](https://fernandorevilla.es/2022/10/24/distribucion-binomial/) - RESUMEN. Hallamos las probabilidades de la distribución binomial y damos un ejemplo de aplicación. Teorema Sea $A$ un suceso asociado a un experimento aleatorio y sea $p(A)=p$ y $p(A^c)=1-p=q.$ Llamemos $X$ a la variable aleatoria número de éxitos al realizar $n$ pruebas. Entonces, $$p(X=r)=\binom{n}{r}p^rq^{n-r}.$$ Obtenemos así la llamada distribución binomial designada $B(n,p).$ Demostración La probabilidad
- [Un subespacio no cerrado de un espacio de Banach](https://fernandorevilla.es/2021/06/24/un-subespacio-no-cerrado-de-un-espacio-de-banach/) - RESUMEN. Proporcionamos un ejemplo de un subespacio no cerrado de un espacio de Banach. Enunciado Consideremos el espacio de Banach $(l_{\infty},\|\;\|)$ $$l_{\infty}:=\left\{x=(x_k)\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}:\sup \{|x_k|:k\in\mathbb{N}\} < +\infty\right\}$$ con la norma $\left\|x\right\|=\sup \{|x_k|:k\in\mathbb{N}\}.$ Demostrar que el subespacio $F$ de las sucesiones finitamente no nulas no es cerrado. Solución Consideremos la sucesión de elementos de $F:$ $$X_n=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{n},0,0,0,\ldots\right).$$ Sea $X$
- [Todo subespacio de dimensión finita es cerrado](https://fernandorevilla.es/2021/06/24/todo-subespacio-de-dimension-finita-es-cerrado/) - RESUMEN. Demostramos que todo subespacio de dimensión finita de un espacio normado es cerrado Enunciado Sea $E$ un espacio normado y $F$ un subespacio de $E$ de dimensión finita. Demostrar que $F$ es cerrado. Solución Sea $x\in\overline{F}$ y sea $(x_n)$ una sucesión en $F$ tal que $(x_n)\to x.$ Al ser $(x_n)$ convergente, es de Cauchy.
- [Convergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nz}{n}$](https://fernandorevilla.es/2022/10/23/convergencia-de-la-serie-sum_n1inftyfracsin-nzn/) - RESUMEN. Demostramos que la serie compleja $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nz}{n}$ converge si $\text{Im }z=0$ y diverge si $\text{Im }z\ne 0.$ Enunciado (a) Siendo $n$ un entero positivo, y $x$ real, determinar la suma $$S_n=\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx .$$ (b) Usando el criterio de Dirichlet para la convergencia de series, demostrar que para todo $x\in\mathbb R$ la serie$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin
- [Módulo del seno complejo y del coseno complejo](https://fernandorevilla.es/2022/10/22/modulo-del-seno-y-del-coseno-complejo/) - RESUMEN. Determinamos el módulo del seno complejo y del coseno complejo. Enunciado Sea $z=x+iy\in\mathbb C$ con $x,y\in\mathbb R$. Demostrar que $$(a)\; \left|\sin z\right| = \sqrt {\sin^2 x + \sinh^2 y}.\qquad (b)\;\left|\cos z\right| = \sqrt {\cos^2 x + \sinh^2 y}.$$ Solución $(a)$ Tenemos $\sin z=\sin (x+iy)=\sin x \cos (iy)+\cos x\sin (iy).$ Por otra parte, $$\cos (iy)=\frac{e^{i(iy)}+e^{-i(iy)}}{2}=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh
- [Norma en un anillo unitario](https://fernandorevilla.es/2017/03/27/norma-en-un-anillo-unitario/) - Definimos el concepto de norma, tanto arquimediana y no arquimediana en un anillo unitario. Como ejemplos, la norma del valor absoluto y la trivial. Enunciado Sea $R$ un anillo unitario con unidad $1=1_R$ y $N:R\to \mathbb{R}^+$ una aplicación. Se dice que $N$ es una norma sobre $R$ si se verifican las condiciones $$\begin{aligned} & (N1)\quad
- [Endomorfismos diagonalizables](https://fernandorevilla.es/2014/06/11/endomorfismos-diagonalizables/) - Proporcionamos ejercicios sobre endomorfismos diagonalizables. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfismo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{2}\{1}&{3}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Estudiar si es diagonalizable. $(b)$ En caso afirmativo, encontrar una base de $E$ formada por vectores propios de $f$ y una matriz inverible $P$ tal que $P^{-1}AP=D$ con
- [Partes del producto y producto de las partes](https://fernandorevilla.es/2022/10/17/partes-del-producto-y-producto-de-las-partes/) - RESUMEN. Determinamos los cardinales de las partes del producto y del producto de las partes para conjuntos finitos. Enunciado Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de cardinales $|A|=n$ y $|B|=m.$ (a) Determinar los cardinales de las partes del producto $\mathcal P(A\times B)$ y del producto de las partes $\mathcal P(A)\times \mathcal P(B).$ (b) Determinar
- [Sucesos dependientes e independientes](https://fernandorevilla.es/2022/10/17/sucesos-dependientes-e-independientes/) - RESUMEN. Definimos los conceptos de sucesos dependientes e independiente Definición. Para dos sucesos $A$ y $B$ en un mismo espacio de probabilidad, en general ocurre $p(B|A)\ne p(B)$ y decimos en tal caso que $B$ depende de $A.$ Si ocurre $p(B|A)= p(B)$ decimos que $B$ es independiente de $A.$ Teorema. La relación $A$ es independiente de
- [Probabilidad condicionada](https://fernandorevilla.es/2022/10/15/probabilidad-condicionada/) - RESUMEN. Definimos el concepto de probabilidad condicionada. Definición. Sea $(E,\mathcal{M}, p)$ un espacio de probabilidad y $A\in\mathcal M$ un suceso tal que $p(A) > 0.$ Llamamos probabilidad condicionada del suceso $B\in \mathcal M$ respecto del $A$ y la representamos por $p(B| A) $ al cociente $$p(B|A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}.$$ Intuitivamente, la probabilidad condicionada $p(B| A) $ mide
- [Expresión matricial de una aplicación lineal](https://fernandorevilla.es/2014/05/12/expresion-matricial-de-una-aplicacion-lineal/) - Proporcionamos ejercicios sobre la expresión matricial de una aplicación lineal. Enunciado Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales reales y $B_E=\{u_1,u_2,u_3\},$ $B_F=\{v_1,v_2\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Se considera la aplicación lineal $f:E\to F$ definida por: $$\left \{ \begin{matrix} f(u_1)=v_1+3v_2 \f(u_2)=-2v_1+4v_2\f(u_3)=v_1+v_2.\end{matrix}\right.$$ Hallar $f(x),$ siendo $x=u_2+5u_3.$ Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales reales y $B_E=\{u_1,u_2,u_3\},$ $B_F=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$
- [Regla de L'Hôpital para 0/0](https://fernandorevilla.es/2014/04/18/regla-de-lhopital-para-00/) - Analizamos la regla de L'Hôpital para la indeterminación $0/0$. Enunciado Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x+\operatorname{sen}2x}{x-\operatorname{sen}2x}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x^2}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x+e^{-x}-x^2-2}{x^2-\operatorname{sen}^2x}.$ Calcular $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin ^2x}-\frac{1}{x^2}\right)$. Demostrar la regla de L'Hôpital para $0/0$: Sean $f$ y $g$ funciones derivables en el intervalo abierto $(a,b)$ tales que: $1)$ $\quad\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a^+}g(x)=0.$ $2)\quad$ $f$ y $g$ son derivables en
- [Función zeta de Riemann](https://fernandorevilla.es/2022/10/12/funcion-zeta-de-riemann/) - RESUMEN. Definimos la función zeta de Riemann en la región $\text{Re z} > 1$ Teorema Para $\text{Re }z > 1$ se define $$\zeta (z):=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^z}$$ Demostrar que $\zeta$ está bien definida y es analítica. A la función $\zeta$ de la llama función zeta de Riemann. Demostración Para todo $n\ge 1$,$$\left|\frac{1}{n^z}\right|=\left|\frac{1}{e^{(x+iy)\log n}}\right|=\left|\frac{1}{(e^{x\log n})(e^{iy\log n})}\right|=\left|\frac{1}{e^{x\log n}}\right|\left|\frac{1}{e^{iy\log n}}\right|$$ $$=\left|\frac{1}{(e^{\log
- [Acotación de una suma de logaritmos de números primos](https://fernandorevilla.es/2022/10/07/acotacion-de-una-suma-de-logaritmos-de-numeros-primos/) - RESUMEN. Damos una acotación para la suma $\displaystyle\sum_{p\le n}\log p$ con $p$ primo. Teorema Para todo $n\ge 1$ natural se verifica $$\sum_{p\le n}\log p < 2n\log 2.$$ Demostración Obsérvese previamente que para $n=1$ el lado izquierdo de la desigualdad es una suma vacía y por tanto igual a $0$ con lo cual, la desigualdad se
- [Teorema de representación de Euler](https://fernandorevilla.es/2022/10/06/teorema-de-representacion-de-euler/) - RESUMEN. Demostramos el teorema de representación de Euler. Teorema Si $\zeta$ es la función zeta de Riemann y $\sigma > 1$ se verifica $$\zeta(\sigma)=\prod_{p\text{ primo}}\frac{1}{1-\dfrac{1}{p^\sigma}}.$$ Demostración Se verifica $$\left(1-\frac{1}{2^\sigma}\right)\zeta (\sigma)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\sigma}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^\sigma}=\sum_{n\text{ impar}}\frac{1}{n^\sigma}=1+\sum_{p\mid n\Rightarrow p>2}\frac{1}{n^\sigma}.$$ Para $P$ primo suficientemente grande y repitiendo el mismo razonamiento para cada uno de los primos $3,5,\ldots,P$ obtenemos $$\left(1-\frac{1}{2^\sigma}\right)\left(1-\frac{1}{3^\sigma}\right)\left(1-\frac{1}{5^\sigma}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{P^\sigma}\right)\zeta(\sigma)=1+\sum_{p\mid n\Rightarrow p
- [Infinitud de los números primos. Demostración analítica](https://fernandorevilla.es/2022/10/06/infinitud-de-los-numeros-primos-demostracion-analitica/) - RESUMEN. Damos una demostración analítica de la infinitud de los números primos. Teorema Existen infinitos números primos. Demostración Supongamos que solo existe un número finito de primos $p_1,\ldots,p_r.$ Consideremos el producto $$P=\prod_{k=1}^r\left(1-\frac{1}{p_k}\right)^{-1}$$ y expresemos cada factor como suma de una serie geométrica convergente: $$\frac{1}{1-1/p}=1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\cdots .$$ Para cualquier $K$ natural fijo tenemos $$\frac{1}{1-1/p}\ge 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots+\frac{1}{p^K}.$$ Sustituyendo en
- [Infinitud de los números primos. Demostración elemental](https://fernandorevilla.es/2022/10/06/infinitud-de-los-numeros-primos-demostracion-elemental/) - RESUMEN. Damos una demostración elemental de la infinitud de los números primos. Teorema Existen infinitos números primos. Demostración Supongamos que existiera solamente un número finito de primos y sean estos $p_1,\ldots, p_r.$ Consideremos el número $$N=p_1\cdot\ldots \cdot p_r+1.$$ Por el teorema fundamental de la aritmética, $N$ ha de ser divisible por algún $p_k.$ Dado que
- [Núcleo e imagen de una aplicación lineal](https://fernandorevilla.es/2014/05/10/nucleo-e-imagen-de-una-aplicacion-lineal/) - Proporcionamos ejercicios sobre núcleo e imagen de una aplicación lineal. Enunciado Hallar una base para el núcleo de la aplicación lineal $T:\mathbb R^4\to \mathbb R^3$ definida por: $$\displaystyle T \ (x,y,z,t) = (x+2y+z+2t, -x+y+2z-2t, x-z+2t).$$ Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^4:$ $$f(x,y.z)=(x+2y-z,\;-x+y+2z,\;3y+z,\;3x-5z).$$ Hallar unas bases de $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$ Sea $D:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}[x]$ la
- [Subanillos](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/subanillos/) - Proporcionamos ejercicios sobre subanillos. Enunciado Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo y sea $B$ un subconjunto no vacío de $A.$ Demostrar que: $$B\text{ es subanillo de }A\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \begin{aligned}& (i)\;a,b\in B\Rightarrow a-b\in B\ &(ii)\; a,b\in B\Rightarrow ab\in B. \end{aligned} \end{matrix}\right.$$ Demostrar que el subconjunto $(m)$ de todos los múltiplos del número entero $m$ es un
- [Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales](https://fernandorevilla.es/2014/06/20/calculo-de-limites-de-sucesiones-mediante-integrales/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right).$ Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1^p+2^p+3^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}\quad (p>0).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}.$ Relacionar el límite $$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n}\right)$$ con la integral $\displaystyle\int_1^2\dfrac{1}{x}\;dx$. Calcular el límite anterior. Calcular $L=\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}.$ Solución Llamemos $L$ al límite pedido. Entonces,$$\begin{aligned}L&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots+\frac{n-1}{n}\right)\ &=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k}{n}=\int_0^1x\;dx=\frac{1}{2}.\end{aligned}$$ Llamemos $L$ al límite pedido. Entonces,$$\begin{aligned}L&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\cdot n\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)\ &=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n+k}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n}=\int_0^1\frac{dx}{1+x}.\end{aligned}$$ Por tanto,$$L=\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\left[\log (1+x)\right]_0^1=\log
- [Superficies de traslación](https://fernandorevilla.es/2015/02/01/superficies-de-traslacion/) - Proporcionamos ejercicios de cálculo de ecuaciones de las superficies de traslación. Enunciado Hallar la superficie de traslación de la dos siguientes parábolas $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & y^2=2px\& z=0, \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & z^2=2qx\& y=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Hallar la ecuación de la superficie de traslación obtenida al desplazarse la elipse $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned}
- [Problema de las coincidencias de Montmort](https://fernandorevilla.es/2022/09/27/problema-de-las-coincidencias-de-montmort/) - RESUMEN. Resolvemos el problema de las coincidencias de Montmort. Enunciado Una secretario tiene escritas $n$ cartas y $n$ sobres. (1) Si se ponen al azar las cartas en los sobres, ¿cuál es la probabilidad $P$ de al menos una coincidencia? (2) Usando el desarrrollo en serie del número $e^{-1}$ dar una fórmula razonable al problema
- [Concepto de grupo](https://fernandorevilla.es/2014/02/20/concepto-de-grupo/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de grupo. Enunciado Demostrar de manera esquemática que $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{C},+)$ son grupos abelianos en donde $+$ representa en cada caso la suma habitual. Demostrar de manera esquemática que el conjunto de las matrices reales de ordenes $m\times n$ (denotado por $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ o bien por $\mathbb{R}^{m\times n})$
- [$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$](https://fernandorevilla.es/2022/04/03/limite-ldisplaystylelim_n-toinftyfrac1nsqrtnn1n2cdotsnn/) - RESUMEN. Calculamos un límite por sumas de Riemann. Enunciado Calcular $L=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$ Solución Denotemos $A(n)={\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}}.$ Entonces, $$A(n)=\displaystyle\sqrt[n]{\frac{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}{n^n}}=\sqrt[ n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1+\frac{n}{n}\right)}.$$ Tomando logaritmos, $$\log A(n)=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n{\log \left(1+\frac{k}{n}\right)}$$ y usando la conocida fórmula de las sumas de Riemann $$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)\;dx$$ obtenemos $$\lim_{n\to +\infty}\log A(n)=\int_0^1 \log (1+x)dx.$$ Usando el método de integración por partes con $u=\log (1+x)$ y
- [Edo $y^{\prime\prime}=x(y^\prime)^3$](https://fernandorevilla.es/2022/03/31/edo-yprimeprimexyprime3/) - RESUMEN. Resolvemos una ecuación diferencial de segundo orden. Enunciado Resolver la ecuación diferencial de segundo orden $y^{\prime\prime}=x(y^\prime)^3.$ Solución Denotando $p=y^\prime$ queda $p^\prime=xp^3$ o bien $dp/dx=xp^3$ o bien $dp/p^3=xdx$, ecuación de variables separadas. Integrando $$\int \frac{dp}{p^3}=\int xdx,\quad -\frac{1}{p^2}=\frac{x^2}{2}+C,$$ $$-\frac{1}{p^2}=x^2+C,\quad p^2=\frac{1}{-x^2-C},$$ $$p=\frac{1}{\sqrt{C_1-x^2}},\quad y^\prime=\frac{1}{\sqrt{C_1-x^2}}.$$ La ecuación diferencial tiene sentido para $C_1 >0$. Integrando la última expresión: $$y=\int \frac{1}{\sqrt{C_1-x^2}}=\arctan
- [Isomorfismo entre dos anillos](https://fernandorevilla.es/2022/02/25/isomorfismo-entre-dos-anillos/) - RESUMEN. Establecemos un isomorfismo entre dos anillos. Enunciado (1) Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\left\{{a+b\sqrt{2}}:a,b\in\mathbb{Z}\right\}$ es anillo unitario y conmutativo con las operaciones suma y producto habituales. (2) Demostrar que $$H=\left\{{\begin{pmatrix} a & 2b \b & a \end{pmatrix}}: a,b \in \mathbb{Z}\right\}$$ es anillo unitario y conmutativo con las operaciones habituales suma y producto de matrices. (3) Demostrar que
- [Teorema de Poincaré-Bendixson](https://fernandorevilla.es/2014/03/01/teorema-de-poincare-bendixson/) - Enunciado 1. Enunciar el Teorema de Bendixson. Aplicarlo al sistema: $$ S:\;\;\left \{ \begin{matrix} x'_1=x_1-x_2-x_1^3\ x'_2=x_1+x_2-x_2^3.\end{matrix}\right.$$ 2. Enunciar el Teorema de Poincaré. Hallar los puntos de equilibrio de $S$ y aplicar dicho teorema a este sistema (puede ser útil dibujar las curvas $x_1-x_2-x_1^3=0$ y $x_1+x_2-x_2^3=0$). 3. Enunciar el Teorema de Poincaré-Bendixson. Demostrar que la corona
- [Plano osculador y curva plana](https://fernandorevilla.es/2021/12/29/plano-osculador-y-curva-plana/) - RESUMEN. Demostramos que una curva es plana usando el concepto de plano osculador. Nota. Este problema ya se resolvió en Una curva plana sin usar el concepto de plano osculador. Enunciado Demostrar que la curva de ecuaciones paramétricas $$x=t,\;y=\dfrac{t^2+t+2}{t},\;z=\dfrac{-t^2-t+3}{t}\quad (t>0)$$ es plana usando el concepto de plano osculador. Hallar el plano que la contiene. Solución
- [Primera forma fundamental de una superficie](https://fernandorevilla.es/2018/01/10/primera-forma-fundamental-de-una-superficie/) - Definimos la primera forma fundamental de una superficie y estudiamos alguna de sus propiedades. Enunciado Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^2$ y $S$ una superficie en $\mathbb{R}^3$ definida mediante $$\mathbf{x}:U\to \mathbb{R}^2,\quad \mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)=\left(x_1(u,v),\;x_2(u,v),\;x_3(u,v)\right)$$ con $\mathbf{x}\in C^1(U)$ y $$\text{rango }\begin{bmatrix}{\dfrac{\partial x_1}{\partial u}} & {\dfrac{\partial x_2}{\partial u}} & \dfrac{\partial x_3}{\partial u}\{\dfrac{\partial x_1}{\partial v}} & {\dfrac{\partial x_2}{\partial v}} &
- [Integración de diferenciales binomias](https://fernandorevilla.es/2014/05/01/integracion-de-diferenciales-binomias/) - Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x}\left(\sqrt[4]{x}+1\right)^{10}}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{x^3dx}{(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2}}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}.$ Solución Podemos expresar $I=\displaystyle\int x^{-1/2}\left(1+x^{1/4}\right)^{-10}dx.$ Se trata pues de una diferencial binomia con $p=-10,$ $m=-1/2$ y $n=1/4.$ Dado que $p$ es entero, estamos en el primer caso de integrabilidad. El mínimo común múltiplo de los denominadores de $m$ y $n$ es $4.$ Efectuando el cambio $x=t^4,$ $dx=4t^3dt.$ Entonces,
- [Clasificación de cónicas](https://fernandorevilla.es/2015/01/19/clasificacion-de-conicas/) - Proporcionamos ejemplos de clasificación de cónicas, así como el correspondiente cuadro. Enunciado Determinar la naturaleza de las siguientes cónicas sin usar el cuadro de clasificación. $\quad 1)\; x^2+y^2=9.$ $\quad 2)\; 4x^2+9y^2=36.$ $\quad 3)\; 4x^2-9y^2=36.$ $\quad 4)\; y-x^2=0.$ $\quad 5)\;4x^2+9y^2=-36.$ $\quad 6)\; x^2+y^2=0.$ $\quad 7)\; x^2-y^2=0.$ $\quad 8)\; x^2-5x+6=0.$ $\quad 9)\; y^2=0.$ $\quad 10)\;x^2+1=0.$ Clasificar las
- [Cuerpo de los números complejos](https://fernandorevilla.es/2015/02/06/cuerpo-de-los-numeros-complejos/) - Demostramos que el conjunto de los números complejos es un cuerpo con las operaciones habituales. Enunciado Demostrar que $\left(\mathbb{C},+,\cdot\right)$ es cuerpo, siendo $+$ y $\cdot$ las operaciones habituales en $\mathbb{C}.$ Solución $a)$ $\left(\mathbb{C},+\right)$ es grupo abeliano. En efecto, $1.$ Interna. Para todo $x_1+y_1i,$ $x_2+y_2i\in\mathbb{C}$ con $x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R}$ se verifica $$(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(\underbrace{x_1+x_2}_{\in\mathbb{R}})+(\underbrace{y_1+y_2}_{\in\mathbb{R}})i\in\mathbb{C}.$$ $2.$ Asociativa. Para todo $x_1+y_1i,$ $x_2+y_2i,$
- [Orden lexicográfico](https://fernandorevilla.es/2018/12/30/orden-lexicografico/) - Definimos el concepto de orden lexicográfico. Teorema. Sean $(A,\le_A)$ y $(B,\le_B)$ dos conjuntos ordenados. Definimos en $A\times B$ la relación $$(a,b) \le (a',b') \ \Leftrightarrow \ a
- [Cuerpo primo](https://fernandorevilla.es/2017/11/09/cuerpo-primo/) - Definimos el concepto de cuerpo primo y demostramos que todo cuerpo $K$ contiene una copia de un cuerpo primo, que es a su vez el menor subcuerpo de $K$. Enunciado Los cuerpos $\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3,\mathbb{Z}_5,\ldots, \mathbb{Q}$ se denominan cuerpos primos. Demostrar que todo subcuerpo de un cuerpo primo coincide con él mismo. Demostrar que todo cuerpo
- [Concepto de aplicación lineal](https://fernandorevilla.es/2014/05/09/concepto-de-aplicacion-lineal/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de aplicación lineal. Enunciado Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]$ dada por $f(p)=p'$ (derivada de $p$), es lineal. Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo. Demostrar que la siguiente aplicación es lineal $$f:\mathbb{K}^{m\times n}\to \mathbb{K}^{n\times m},\quad f(X)=X^T\text{ (traspuesta de }X). $$ Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ matriz fija dada. Demostrar que
- [Factorización canónica de una aplicación](https://fernandorevilla.es/2021/12/05/factorizacion-canonica-de-una-aplicacion/) - RESUMEN. Construimos la factorización canónica de una aplicación. Enunciado Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos y $f:A\to B$ una aplicación. (1) Demostrar que la relación en $A$: $$xR y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$$ es de equivalencia. Determinar el conjunto cociente $A/R$. (2) Demostrar que la aplicación $$\overline f :A/R\;\to \operatorname{Im}f,\quad \overline f\left([x]\right)=f(x)$$ está bién definida y
- [Teorema fundamental del Álgebra](https://fernandorevilla.es/2021/12/05/teorema-fundamental-del-algebra/) - RESUMEN. Demostramos el teorema fundamental del Álgebra. Teorema fundamental del Álgebra (1) Todo polinomio $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $n \ge 1$ y $a_n\ne 0$ tiene al menos una raíz compleja. (2) Corolario. Todo polinomio $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $n \ge 1$ y $a_n\ne 0$ se puede expresar en la forma $$p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\ldots (z-z_n)$$ en donde $z_1,z_2,\ldots,z_n$
- [Parte principal de la serie de Laurent de $1/\sin^2z$ en $\pi < |z| < 2\pi$](https://fernandorevilla.es/2021/12/03/parte-principal-de-la-serie-de-laurent-de-1-sin2z-en-pi-z-2pi/) - RESUMEN. Determinamos todos los coeficientes $c_n$ $(n < 0)$ del desarrollo en serie de Laurent de la función $1/\sin^2z$ en la corona $\pi < |z| < 2\pi$. Enunciado Sea $\displaystyle\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_nz^n$ el desarrollo de Laurent de $f(z)=\dfrac{1}{\sin^2 z}$ en la corona $\pi
- [Plano de fases de $x^\prime=x,y^\prime=y^2$](https://fernandorevilla.es/2021/11/29/plano-de-fases-de-xprimexyprimey2/) - RESUMEN. Esbozamos el plano de fases de un sistema diferencial autónomo. Enunciado Se considera el sistema diferencial autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x^\prime=x\y^\prime=y^2\end{matrix}\right.$$ (1) Determinar sus soluciones. (2) Esbozar el plano de fases asociado al sistema. Solución (1) Las ecuaciones del sistema son independientes y de variables separadas. Entonces, $$x^\prime =x,\;\frac{dx}{dt}=x,\;\frac{dx}{x}=dt,\;\int \frac{dx}{x}=\int dt,\;\log|x|=t+C,$$ $$e^{\log |x|}=e^{t+C},\;x=e^Ce^t, \;x=C_1e^t.$$
- [Ceros complejos de las funciones seno y coseno](https://fernandorevilla.es/2021/11/28/ceros-complejos-de-las-funciones-seno-y-coseno/) - RESUMEN. Demostramos que los ceros complejos las funciones seno y coseno son los mismo que los ceros reales. Enunciado Determinar los ceros en $\mathbb{C}$ de las funciones seno y coseno complejos. Solución Tenemos $$\sin z=0\Leftrightarrow \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0\Leftrightarrow e^{iz}-\frac{1}{e^{iz}}=0\Leftrightarrow e^{2iz}=1$$ $$\Leftrightarrow e^{2i(x+iy)}=1\Leftrightarrow e^{-2y+2xi}=1\Leftrightarrow e^{-2y}(\cos 2x+i\sin 2x)=1$$ $$\Leftrightarrow e^{-2y}=1\wedge \cos 2x =1\wedge \sin 2x=0 \Leftrightarrow y=0 \wedge 2x=
- [Forma canónica de Jordan](https://fernandorevilla.es/2014/07/19/forma-canonica-de-jordan/) - Proporcionamos ejercicios sobre la forma canónica de Jordan. Enunciado Hallar las posibles formas de Jordan para un endomorfismo cuyos polinomio característico y mínimo son respectivamente: $$\chi(\lambda)=(\lambda-2)^4(\lambda-3)^3,\quad \mu(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-3)^3.$$ Hallar las posibles formas de Jordan para un endomorfismo cuyos polinomio característico y mínimo son respectivamente: $$\chi(\lambda)=(\lambda-7)^5,\quad \mu(\lambda)=(\lambda-7)^2.$$ Hallar las posibles formas de Jordan para un endomorfismo cuyos
- [Conmutatividad de la suma en los anillos](https://fernandorevilla.es/2021/11/22/conmutatividad-de-la-suma-en-los-anillos/) - RESUMEN. Demostramos que en un anillo conmutativo y unitario, la conmutatividad de la suma se puede deducir de los restantes axiomas. Enunciado Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo conmutativo y unitario. Demostrar que la conmutatividad de la suma se puede deducir de los restantes axiomas. Solución En efecto, sean $a,b\in A.$ Usando las propiedades distributiva, conmutativa del
- [Polinomios de Chebyshev y número algebraico](https://fernandorevilla.es/2021/11/20/polinomios-de-chebyshev-y-numero-algebraico/) - RESUMEN. Usando los polinomios de Chebyshev demostramos que un número es algebraico. Enunciado (1) Los polinomios de Chebyshev $T_n(x)$ se definen mediante: $$T_0(x) = 1,\; T_1(x) = x,\; T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x) - T_{n}(x).$$ Demostrar que se verifica $T_n(\cos \theta)=\cos n\theta$ para todo $n\ge0$ y para todo $\theta\in\mathbb{R}$. (2) Usando polinomios de Chebyshev, demostrar que para
- [Dos números algebraicos](https://fernandorevilla.es/2021/11/20/dos-numeros-algebraicos/) - RESUMEN. Demostramos que dos números son algebraicos. Enunciado Demostrar que los siguientes números son algebraicos (a) $7+\sqrt[3]{2}$. (b) $\sqrt{3} +\sqrt{-5}$. Solución (a) Si $a=7+\sqrt[3]{2}$, entonces $a-7=\sqrt[3]{2}$ y por tanto $(a-7)^3=2.$ Es decir, $a\in\mathbb{R}$ es raíz del polinomio $p(x)=(x-7)^3-2\in \mathbb{Q}[x]$ lo cual implica que $7+\sqrt[3]{2}\in\mathbb{R}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$. (b) Si $b=\sqrt{3} +\sqrt{-5}$, entonces $b^2=3-5+2\sqrt{-5}=-2+2\sqrt{-5}$ y
- [Serie de Taylor por división en potencias crecientes](https://fernandorevilla.es/2021/11/18/serie-de-taylor-por-division-en-potencias-crecientes/) - RESUMEN. Usamos la división en potencias crecientes para estudiar una serie de Taylor. Enunciado Se considera la función de variable compleja $$f\left(z\right)=\dfrac{z^2}{\left(\sin^2 z\right)\cos z}.$$ (a) Hallar sus singularidades. (b) Demostrar que $z=0$ es singularidad evitable de $f.$ (c) Determinar el desarrollo de Taylor de $f(z)$ alrededor de $z=0$ hasta orden $2$ inclusive. Sugerencia. Usar división
- [Relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$](https://fernandorevilla.es/2021/11/17/relacion-de-fibonacci-f_2n1f_n2f_n12/) - RESUMEN. Demostramos la relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$. Enunciado Se considera la sucesión de Fibonacci $$f_0=0,f_1=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\;(n\ge 2).$$ Sea la matriz $$A=\left[\begin{array}{cc}1&1 \ 1&0\end{array}\right].$$ (a) Demostrar por inducción que $$\left[\begin{array}{cc}f_{n+1}&f_n \ f_n&f_{n-1}\end{array}\right]=A^n\;(\forall n\ge1).$$ (b) Demostrar que $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2\; (\forall{n\geq{1}}).$ Solución (a) Para $n=1$ tenemos $$\left[\begin{array}{cc}f_{2}&f_1 \ f_1&f_{0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&1 \ 1& 0\end{array}\right]=A^1$$ luego la relación es cierta para $n=1.$ Sea
- [Producto directo externo de grupos](https://fernandorevilla.es/2021/11/15/producto-directo-externo-de-grupos/) - RESUMEN. Construimos el producto directo externo de grupos. Enunciado Sea $\{G_i:i\in I\}$ una colección de gupos con notación multiplicativa y consideremos el producto cartesiano $$G=\prod_{i\in I}G_i=\{f:I\to\bigcup_{i\in I}G_i,f\text{ aplicación}:f(i)\in G_i\;\forall i\in I\}.$$ Para cada par de elementos $f,g\in G$ definimos $fg$ de la siguiente manera: $$(fg)(i)=f(i)g(i)\;\forall i\in I.$$ Demostrar que $G$ es grupo con tal operación
- [Dependencia e independencia lineal de vectores](https://fernandorevilla.es/2014/05/27/dependencia-e-independencia-lineal-de-vectores/) - Proponemos ejercicios sobre dependencia e independencia lineal de vectores. Enunciado En el espacio vectorial usual $\mathbb{R}^2$ analizar si $v_1=(2,-1),\;v_2=(3,2)$ son linealmente independientes. En el espacio vectorial usual $\mathbb{R}^3$ analizar si son linealmente independientes los vectores $v_1=(1,2,-1),\;v_2=(2,-1,-3),\;v_3=(-3,4,5).$ Sean $u,v,w$ vectores linealmente independientes en un espacio vectorial real $E.$ Demostrar que $u+v,u-v,u-2v+w$ también son linealmente independientes. Sea
- [Sistema libre de infinitas funciones troceadas](https://fernandorevilla.es/2021/11/13/sistema-libre-de-infinitas-funciones-troceadas/) - RESUMEN. Demostramos que un sistema libre de infinitas funciones troceadas es libre. Enunciado Para cada $n\in \mathbb{Z}_{>0}$ se considera la función $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$: $$f_n(x)=\left \{ \begin{matrix}{0}&\text{si}& 0\leq x\leq \dfrac{1}{n+1}\2n(n+1)x-2n & \text{si}& \dfrac{1}{n+1} < x
- [Máximo y mínimo absolutos del módulo de una función compleja](https://fernandorevilla.es/2021/11/10/maximo-y-minimo-absolutos-del-modulo-de-una-funcion-compleja/) - RESUMEN. Determinamos el máximo y mínimo absolutos del módulo de una función compleja en el disco cerrado unidad. Enunciado Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de $\left|z^{2n+m}+iaz^{n+m}+z^m\right|$ en $\left|z\right|\le 1$ con $a\in \mathbb{R}$ y $n,m$ enteros no negativos. Solución La función $f(z)=z^{2n+m}+iaz^{n+m}+z^m$ es holomorfa en todo el plano complejo, en particular en disco cerrado
- [Anuladores de núcleo e imagen y aplicación transpuesta](https://fernandorevilla.es/2021/11/06/anuladores-de-nucleo-e-imagen-y-aplicacion-transpuesta/) - RESUMEN. En este problema encontramos relacioes entre espacios conjugados anuladores, núcleo, imagen y aplicación traspuesta. Este ptoblema está relacionado con los enlaces: Subespacio conjugado o anulador Aplicación transpuesta Enunciado Sea $T:E\to F$ una aplicación lineal y $T^t:F^*\to E^*$ la aplicación lineal transpuesta de $T$, es decir $T^t(f)=f\circ T.$ Demostrar que (1) $\ker T^t=(\text{Im }T)^0.$ Es
- [Cuerpo de fracciones de un dominio de integridad](https://fernandorevilla.es/2021/11/06/cuerpo-de-fracciones-de-un-dominio-de-integridad/) - RESUMEN. Construimos el cuerpo de fracciones de un dominio de integridad como caso particular de un anillo construdo a partir de un subconjunto multiplicativamente cerrado. Enunciado Sea $A$ un anillo conmutativo y unitario. Sea $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado de $A$, es decir tal que $1\in S$ y $S$ es cerrado para la multiplicación.
- [Integral compleja dependiente de dos parámetros](https://fernandorevilla.es/2021/10/30/integral-compleja-dependiente-de-dos-parametros/) - RESUMEN. Analizamos una integral compleja que depende de dos parámetros. Enunciado Sea la integral dependiente de los parámetros $n$ y $\lambda:$ $$I_n\left(R,\lambda \right)=\displaystyle\int _{\gamma _R}\left(\overline{z}\right)^ne^{\lambda z}dz$$ donde $n\in \mathbb{Z}$, $\lambda \in \mathbb{C}$ y $\gamma _R$ es la circunferencia $C\left(i\pi ,R\right),\:R>0$ y $R\ne \pi$ si $n
- [$ A=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:y=\sin (1/x)}\right\}$ $\cup{\left\{{(0,0)}\right\}}$ conexo, pero no por caminos](https://fernandorevilla.es/2015/10/24/aleftxyinmathbbr2ysin-1xright-cupleft00right-conexo-pero-no-por-caminos/) - Proporcionamos un ejemplo de conjunto conexo que no lo es por caminos. Enunciado En $\mathbb{R}^2$ con la topología usual se considera el subconjunto $$A=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:y=\sin (1/x)}\right\}\cup{\left\{{(0,0)}\right\}}.$$ Demostrar que es conexo. Demostrar que no es conexo por caminos. Solución La función $f(x)=(x,\sin 1/x)$ es continua sobre cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$ que no contiene a $0$. Escribamos $A=A^+\cup{A^-}$
- [Existencia de ideales maximales](https://fernandorevilla.es/2021/11/02/existencia-de-ideales-maximales/) - RESUMEN. Demostramos la existencia de ideales maximales en los anillos conmutativos y unitarios. Enunciado Sea $A\ne \{0\}$ un anillo conmutativo y unitario. Demostrar que (a) $A$ contiene al menos un ideal maximal. (b) Si $K\ne (1)$ es un ideal de $A$, existe un ideal maximal de $A$ que contiene a $I.$ (c) Si $x\in A$
- [Dibujo de una conica mediante el teorema espectral](https://fernandorevilla.es/2021/10/24/dibujo-de-una-conica-mediante-el-teorema-espectral/) - RESUMEN. Usando el teorema espectral clasificamos y dibujamos una cónica. Enunciado Se considera la cónica de ecuación $f(x,y)=0,$ en donde $$f(x,y)=\displaystyle\frac{5}{3}y^2+ 4xy - \sqrt{208}y -12$$ (1) Descomponer $f(x,y)$ en suma de una forma cuadrática $q(x,y)$ y un polinomio de primer grado $p(x,y).$ (2) Usando el teorema espectral, encontrar una base ortonormal y de vectores propios
- [Giros y traslaciones en las cónicas](https://fernandorevilla.es/2015/01/25/giros-y-traslaciones-en-las-conicas/) - Proporcionamos la manera de hallar las ecuaciones reducidas, centro y ejes de las cónicas mediante giros y traslaciones. Enunciado Se considera la cónica de ecuación $f(x,y)=0,$ en donde $$f(x,y)=3x^2-2xy+3y^2+2x-4y+1.$$ $a)$ Descomponer $f(x,y)$ en suma de una forma cuadrática $q(x,y)$ y un polinomio de primer grado $p(x,y).$ $b)$ Encontrar una base ortonormal y de vectores propios
- [Matriz inversa con parámetro](https://fernandorevilla.es/2021/10/22/matriz-inversa-con-parametro/) - RESUMEN. Usando el método de Gauss, hallamos la inversa de una matriz con parámetro. Enunciado Dada la matriz dependiente del parámetro $x\in\mathbb{R}$: $$A=\begin{bmatrix}{1}&{x}&{1}\{0}&{1}&{x}\{1}&{0}&{1}\end{bmatrix},$$ determinar su inversa, cuando exista, aplicando el método de Gauus. Solución Aplicando el método de Gauus, $$\begin{aligned} &\left[\begin{array}{ccc|ccc} \boxed{1} & x & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 &
- [Espacios topológicos finitos metrizables](https://fernandorevilla.es/2021/10/11/espatios-topologicos-finitos-metrizables/) - RESUMEN. Demostramos que un espacio topológico finito es metrizable si y sólo si su topología es la discreta. Enunciado Sea $(X,T)$ un espacio topológico con $X$ finito. Demostrar que $(X,T)$ es metrizable si y sólo si $T$ es la topología discreta. Solución Supongamos que $(X,T)$ es metrizable por la métrica $d.$ Sea $a\in X$ y
- [Equivalencia entre toda distancia y su acotada usual](https://fernandorevilla.es/2021/10/07/equivalencia-entre-toda-distancia-y-su-acotada-usual/) - RESUMEN. Demostramos que existe equivalencia entre toda distancia y su acotada usual. Enunciado Sea $d$ una distancia en un conjunto no vacío $X$ y sea $D(x,y)=\min\{1, d(x,y)\}$ la distancia acotada usual de $d.$ Demostrar que $d$ y $D$ son distancias equivalentes. Solución Veamos que $d$ y $D$ determinan los mismos abiertos en $X.$ Si $G$
- [Distancia acotada usual](https://fernandorevilla.es/2021/10/07/distancia-acotada-usual/) - RESUMEN. Demostramos que la distancia acotada usual es efectivamente una distancia. Enunciado Sea $d$ una distancia en un conjunto no vacío $X.$ Demostrar que la función $D$ definida por $$D:X\times X\to [0,+\infty),\quad D(x,y)=\min\{1, d(x,y)\}$$ es una distancia. A la distancia $D$ se la llama distancia acotada usual de $d.$ Solución Es claro que para todo
- [Mínima $\sigma-$álgebra que contiene a otra y a un conjunto](https://fernandorevilla.es/2021/10/06/minima-sigma-algebra-que-contiene-a-otra-y-a-un-conjunto/) - RESUMEN. Determinamos la mínima $\sigma$-álgebra que contiene a otra y a un conjunto. Enunciado Sea $\mathcal{F}$ una $\sigma-$álgebra en un conjunto $\Omega$ y $A\subset{\Omega}$ tal que $A\not\in \mathcal{F}$. Demostrar que la más pequeña $\sigma-$álgebra que contiene a $\mathcal{F}\cup\{A\}$ es $$\mathcal{G}=\left\{{(A\cap{B_1})\cup{(A^{c}\cap{B_2})}} : B_1, B_2 \in \mathscr{F}\right\}.$$ Solución Tenemos que demostrar que: (1) $\mathcal{F}\cup \{A\}\subset \mathcal{G}.$ (2)
- [Lema de Uryshon](https://fernandorevilla.es/2021/10/02/lema-de-uryshon/) - RESUMEN. Demostramos el lema de Uryshon. Teorema (Lema de Uryshon) Un espacio topológico $(X,T)$ es normal si y sólo si para cada par de subconjuntos cerrados no vacíos y disjuntos $F_1,F_2\subset X$, existe una aplicación continua $f:X\to [0,1]$ tal que $f(F_1)=\{0\}$ y $f(F_2)=\{1\}.$ Demostración $\Leftarrow)$ Sean $F_1,F_2\subset X$ cerrados no vacíos y disjuntos y sea
- [Puntos críticos con caso dudoso](https://fernandorevilla.es/2021/09/28/puntos-criticos-con-caso-dudoso/) - RESUMEN. Determinamos y clasificamos los puntos críticos de una función con un caso dudoso. Enunciado Calcular y clasificar los puntos críticos de la función $$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\quad f(x,y)=2x^4+3y^4- 4x^2y^3.$$ Solución Derivadas parciales primeras: $$\frac{\partial f}{\partial x}=8x^3-8xy^3, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=12y^2-12x^2y^2.$$ Puntos críticos $$\left \{ \begin{matrix} 8x^3-8xy^3=0\12y^2-12x^2y^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x(x^2-y^3)=0\y^2(1-x^2)=0.\end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación deducimos que
- [Máximo de una función con números combinatorios](https://fernandorevilla.es/2021/09/26/maximo-de-una-funcion-con-numeros-combinatorios/) - RESUMEN. Determinamos el máximo de una función con números combinatorios. Enunciado Se considera la aplicación $$f:\{0,1,2,\ldots,n\}\to \mathbb{N},\quad f(k)={n \choose k}.$$ (a) Demostrar que si $n$ es par, $f$ tiene máximo absoluto en $k=n/2$ y que si $n$ es impar, $f$ tiene máximo absoluto en $k=(n-1)/2$ y $k=(n+1)/2.$ (b) Efectuar la comprobación en los casos $n=5$
- [Diámetro de la clausura de un conjunto](https://fernandorevilla.es/2021/09/26/diametro-de-la-clausura-de-un-conjunto/) - RESUMEN. Demostramos que todo subconjunto de un espacio métrico y su clausura tiene el mismo diámetro. Enunciado Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A\subset X.$ Denotemos por $\delta (A) = \sup \{d(x,y) : x,y \in A\}$ al diametro de $A.$ Demostrar que $\delta(\overline A) = \delta( A)$ (en donde $\overline A$ representa la clausura de
- [Clausura de un conjunto conexo](https://fernandorevilla.es/2021/09/21/clausura-de-un-conjunto-conexo/) - RESUMEN. Relacionamos los conjuntos conexos con su clausura. Enunciado Sea $(X,T)$ un espacio topológico y $A\subset X.$ Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones: (1) Si $A$ es conexo entonces su clausura $\bar A$ también es conexo. (2) Si $\bar A$ es conexo entonces $A$ también es conexo. Solución (1) Recordemos que el que un
- [Matriz del cuadrado de un endomorfismo](https://fernandorevilla.es/2021/09/22/matriz-del-cuadrado-de-un-endomorfismo/) - RESUMEN. Calculamos la matriz del cuadrado de un endomorfismo por dos métodos distintos. Enunciado Sea $V$ un espacio vectorial real y $B=\{v_1,v_2\}$, $B^\prime=\{v_2,-v_1+v_2\}$ sendas bases de $V.$ Se considera el endomorfismo $f:V\to V$ tal que su matriz en las bases $B$ y $B^\prime$ es $$[f]_{B}^{B^\prime}=\begin{pmatrix}{1}&{1}\{0}&{1}\end{pmatrix}.$$ Se pide determinar $[f\circ f]_{B}^{B^\prime}.$ Solución Primer método. Hallaremos los
- [Ecuación homogénea en función de cuadraturas](https://fernandorevilla.es/2021/09/11/ecuacion-homogenea-en-funcion-de-cuadraturas/) - RESUMEN. Resolvemos una ecuación homogénea dejando la solución en términos de cuadraturas. Enunciado Resolver la ecuación diferencial $$x dy+\left[x \sec \left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)+y\right]dx =0.$$ Solución Llamando $Q(x,y)=x$, $P(x,y)=x \sec \left(y/x\right)+y,$ $$\begin{aligned}& Q(tx,ty)=tx=tQ(x,y),\ &P(tx,ty)=(tx) \sec \left(\displaystyle\frac{ty}{tx}\right)+ty=t\left[x \sec \left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)+y\right]=tP(x,y). \end{aligned}$$ Es decir, las funciones $P$ y $Q$ son homogéneas del mismo grado. Según sabemos el cambio $y=vx$, transforma la
- [Caracterización de espacios topológicos normales](https://fernandorevilla.es/2021/09/07/caracterizacion-de-espacios-topologicos-normales/) - RESUMEN. Proporcionamos una caracterización de los espacios topológicos normales Teorema Sea $X$ un espacio toplógico. Las siguienres afirmaciones son equivalentes: (i) $X$ es normal. (ii) Si $H$ es un conjunto abierto que contiene al conjunto cerrado $F$, entonces existe un conjunto abierto $G$ tal que $F\subset G\subset \overline{G}\subset H.$ Demostración (i) $\Rightarrow$ (ii). Sea $F\subset
- [Conjuntos totalmente acotados](https://fernandorevilla.es/2021/09/06/conjuntos-totalmente-acotados/) - RESUMEN. Definimos el concepto de conjunto totalmente acotado en espacios métricos y lo relacionamos con el concepto de conjunto acotado. Enunciado Sea $(X,d)$ es un espacio métrico y $A\subset X.$ Se dice que $A$ está acotado si existe una bola $B(x,r)$ en $X$ que contiene a $A$ o de forma equivalente, si su diámetro $D(A)=\sup\{d(x,y):x,y\in
- [Serie de Fourier asociada a un sistema ortonormal](https://fernandorevilla.es/2021/08/07/serie-de-fourier-asociada-a-un-sistema-ortonormal/) - RESUMEN. Definimos la serie de Fourier asociada a un vector de un espacio de Hilbert con respecto de un sistema ortonormal, y demostramos que siempre converge. 1. Lema. Sea $\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$ un sistema ortogonal en un espacio de Hilbert $H.$ Entonces, $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k\text{ converge}\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{+\infty}\|x_k\|^2\text{ converge.}$ Demostración. Como $H$ es completo, por el criterio de Cauchy, la
- [Conjuntos acotados en espacios métricos](https://fernandorevilla.es/2021/08/29/conjuntos-acotados-en-espacios-metricos/) - RESUMEN. Definimos el concepto de conjunto acotado en espacios métricos y damos dos ejemplos de aplicación. Enunciado Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A\subset X$ no vacío. Se dice que $A$ está acotado si existe una bola $B(p,r)$ en $X$ tal que $A\subset B(p,r).$ (a) Demostrar que $A$ está acotado si y sólo si su
- [Elipse como lugar geométrico](https://fernandorevilla.es/2021/08/22/elipse-como-lugar-geometrico/) - RESUMEN. Determinamos la ecuación de una elipse aplicando su definición como lugar geométrico. Enunciado Determinar la ecuación de la elipse con focos en $F_1(0,-4)$, $F_2(2,0)$ y un vértice $A(3,-3).$ Solución El punto $P(x,y)$ pertenece a la elipse pedida si y sólo si $$d(P,F_1)+d(P,F_2)=k\qquad (*)$$ con $k$ constante. El punto $A$ perteneca a la elipse (nótese
- [Desigualdad de Bessel](https://fernandorevilla.es/2021/08/04/desigualdad-de-bessel/) - RESUMEN. Demostramos la desigualdad de Bessel en espacios prehilbertianos. Teorema (Desigualdad de Bessel) Sea $E$ un espacio prehilbertiano y $\{x_1,x_2,x_3,\ldots \}\subset E$ un sistema ortonormal. Entonces, para todo $x\in E$ se verifica $$\sum_{k=1}^{+\infty}|\langle x,x_k\rangle|^2\le \|x\|^2.$$ Demostración Sea $n > 0 $ natural y llamemos $y_n=x-\sum_{k=1}^n\langle x,x_k\rangle x_k.$ Entonces, para $m=1,2\,\ldots, n$ $$\langle y_n,x_m\rangle=\langle x,x_m\rangle-\sum_{k=1}^n\langle x,x_k\rangle\langle
- [Teorema de Pitágoras en espacios prehilbertianos](https://fernandorevilla.es/2021/07/27/teorema-de-pitagoras-en-espacios-prehilbertianos/) - RESUMEN. Demostramos el teorema de Pitágoras y su generalización en espacios prehilbertianos. Teorema (de Pitágoras en espacios prehilbertianos) Sea $E$ un espacio prehilbertiano. Entonces, (1) Si $x,y\in E$ son vectores ortogonales se verifica $$\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2.$$ (2) Más general, si $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\subset E$ es un sistema ortogonal de vectores de $E$ se verifica $\left\|\sum_{k=1}^nx_k\right\|^2=\sum_{k=1}^n\|x_k\|^2$. Demostración (1) Como $\langle
- [Teorema de Jordan-Von Neumann](https://fernandorevilla.es/2021/07/25/teorema-de-jordan-von-neumann/) - RESUMEN. Sabemos que en todo espacio prehilbertiano se cumple la ley del paralelogramo $$ \| x+y\|^2+\| x-y\|^2=2\| x\|^2+2\|y\|^2,\quad \forall x,y\in E.$$ Sea $E$ un espacio vectorial normado sobre $\mathbb{K}.$ El teorema de Jordan-Von Neumann asegura que el recíproco es cierto, es decir si un espacio normado $(E,\|\;\|)$ satisface la ley del paralelogramo entonces $E$ es
- [Teorema de representación de Riesz-Fréchet](https://fernandorevilla.es/2021/07/14/teorema-de-representacion-de-riesz-frechet/) - RESUMEN. Sea $H$ un espacio de Hilbert sobre $\mathbb{K}.$ Sabemos que para todo $y\in H,$ la aplicación $T_y:H\to \mathbb{K}$ dada por $T_y(x)=\langle x,y\rangle$ es lineal y continua. Demostramos ahora el teorema de representación de Riesz-Fréchet: toda aplicación lineal y continua de $H$ en $\mathbb{K}$ es de la forma anterior. Teorema (de representación de Riesz-Fréchet). Sea
- [Proyecciones ortogonales en espacios de Hilbert](https://fernandorevilla.es/2021/07/07/proyecciones-ortogonales-en-espacios-de-hilbert/) - RESUMEN. Definimos las proyecciones ortogonales sobre todo subespacio cerrado y su ortogonal en espacios de Hilbert. Enunciado Sea $H$ un espacio de Hilbert. Demostrar que: (1) Si $F$ es un subespacio de $H$, entonces $F\cap F^\perp=\{0\}.$ (2) Si $x\in H$ y $A\subset H$ es convexo, también $x+A$ es convexo. (3) Si $x\in H$ y $A\subset
- [Anillo de clases residuales](https://fernandorevilla.es/2014/04/10/anillo-de-clases-residuales/) - Proporcionamos ejercicios sobre el anillo de clases residuales. Enunciado Construir las tablas de Cayley de la suma y producto del anillo $\mathbb{Z}_3$ de las clases residuales módulo $3$. Determinar los opuestos de cada elemento de $\mathbb{Z}_3$. Determinar el inverso de cada elemento cuando éste exista. Construir las tablas de Cayley de la suma y producto
- [Ortogonalidad en espacios prehilbertianos](https://fernandorevilla.es/2021/06/26/ortogonalidad-en-espacios-prehilbertianos/) - RESUMEN. Estudiamos la ortogonalidad en espacios prehilbertianos. Enunciado Sea $E$ un espacio prehilbertiano y sean $x,y\in E.$ Se dice que $x$ es ortogonal a $y$ y se escribe $x\perp y$ si $\langle x,y\rangle=0.$ (1) Demostrar que la relación es simétrica i.e. $x\perp y\Rightarrow y\perp x.$ (2) Se define $$x^\perp=\{y\in E:\langle x,y\rangle=0\}.$$ Demostrar que $x^\perp$ es
- [Vector de norma mínima en un subconjunto de un espacio de Hilbert](https://fernandorevilla.es/2021/06/22/vector-de-norma-minima-en-un-subconjunto-de-un-espacio-de-hilbert/) - RESUMEN. Demostramos que en todo subconjunto no vacío convexo y cerrado de un espacio de Hilbert existe un vector de norma mínima. Enunciado Sea $A$ un subconjunto no vacío convexo y cerrado de un espacio de Hilbert $H$. Demostrar que $A$ contiene un único vector de norma mínima. Solución Denotemos $m=\inf\{\| x\|:x\in A\}$, ínfimo que
- [Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos](https://fernandorevilla.es/2021/06/19/funciones-uniformemente-continuas-en-espacios-prehilbertianos/) - RESUMEN. Estudiamos algunas funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos. Enunciado Sea $P$ un espacio prehilbertiano. Demostrar que para todo $y\in P$ las aplicaciones de $P$ en $\mathbb{K}:$ $$(a)\;F_y(x)=\langle x,y\rangle.\quad (b)\;G_y(x)=\langle y,x\rangle.\quad (c)\; N(x)=\|x\|.$$ son uniformemente continuas. Solución $(a)$ Si $y=0,$ $F_y$ es la función nula que claramente es uniformmente continua. Sea $y\ne 0$ y sea
- [El espacio $l^2$ es de Hilbert](https://fernandorevilla.es/2021/06/16/el-espacio-l2-es-de-hilbert/) - RESUMEN. Demostramos que el espacio $l^2$ es de Hilbert. Enunciado Designamos por $\mathbb{K}$ al cuerpo de los números reales o complejos indistintamente. Se define el subconjunto de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$: $$l_2:=\{x=(x_k)\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}: \sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^2< +\infty\}.$$ (a) Demostrar que $l^2$ es espacio vectorial con las operaciones habituales suma y producto de un escalar por una sucesión. (b) Demostrar que
- [Ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos](https://fernandorevilla.es/2021/06/06/ley-del-paralelogramo/) - RESUMEN. Demostramos la ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos. Enunciado Demostrar que en todo espacio prehilbertiano $P$ se verifica la ley del paralelogramo: $$\| x+y\|^2+\| x-y\|^2=2\| x\|^2+2\|y\|^2,\quad \forall x,y\in P.$$ Interpretar geométricamente el resultado en $P=\mathbb{R}^2$. Solución Tenemos $$\| x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle$$ $$=\| x\|^2+\| y\|^2+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle.$$ Sustituyendo $y$ por $-y:$ $$\|
- [Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach](https://fernandorevilla.es/2021/06/14/todo-espacio-normado-de-dimension-finita-es-de-banach/) - RESUMEN. Demostramos que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach. Enunciado Demostrar que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach Solución Sea $(E,\|\;\|)$ espacio normado de dimensión finita $N$ sobre $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ y sea $B=\{e_1,\ldots,e_N\}$ una base de $E.$ Si $x=\sum_{j=1}^N\lambda_je_j$ entonces, $\|x\|_*=\sqrt{\sum_{j=1}^N|\lambda_j|^2}$ define una norma en $E.$ Como todas
- [Espacio prehilbertiano de las funciones continuas](https://fernandorevilla.es/2021/06/10/espacio-prehilbertiano-de-las-funciones-continuas/) - RESUMEN. Demostramos el espacio de las funciones complejas en un intervalo cerrado es prehilbertiano pero no de Hilbert. Enunciado (a) Sea $P$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Es decir, $$P=\{x:[a,b]\to\mathbb{C},\;x\text{ continua.}\}.$$ Demostrar que $$\langle x,y\rangle=\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt$$ es un producto interior en $P.$ (b) Demostrar que
- [Criterio de divisivilidad entre $3$](https://fernandorevilla.es/2021/06/06/criterio-de-divisivilidad-entre-3/) - RESUMEN. Demostramos un criterio de divisivilidad entre $3$ Enunciado Demostrar que un número natural es divisible entre $3$ si y sólo sí lo es la suma de sus dígitos. Solución Veamos que todo número tiene la misma congruencia módulo $3$ que la suma de sus dígitos. Sea el número natural $$m=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\ldots+a_110+a_0.$$ Entonces, $$m-(a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0)$$ $$=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\ldots+a_110+a_0-(a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0)$$ $$=a_n[(10^n-1)+1]+a_{n-1}[(10^{n-1}-1)+1]+\ldots+a_1[(10-1)+1]+a_0$$
- [Todo espacio metrizable es normal](https://fernandorevilla.es/2021/06/06/todo-espacio-metrizable-es-normal/) - RESUMEN. Demostramos que todo espacio metrizable es normal. Enunciado Demostrar que todo espacio metrizable es normal. Solución Para cada $a\in A$ elijamos una bola $B(a,\epsilon_a)$ tal que $B(a,\epsilon_a)\cap B=\emptyset.$ Esta bola existe pues $X-B$ es abierto. De la misma manera para cada $b\in B$ elijamos una bola $B(b,\epsilon_b)$ tal que $B(b,\epsilon_b)\cap A=\emptyset.$ Denotemos $$\displaystyle G=\bigcup_{a\in
- [Identidad de polarización](https://fernandorevilla.es/2021/06/05/identidad-de-polarizacion/) - RESUMEN. Demostramos la identidad de polarización en espacios prehilbertianos. Enunciado Sea $P$ un espacio prehilbertiano complejo. Demostrar la identidad de polarización, es decir para todo $x,y\in P,$ $$\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+i\|x+iy\|^2-i\|x-iy\|^2\right).$$ Solución Desarrollando $\|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle$ obtenemos $$\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle.\qquad (1)$$ Sustituyendo $y$ por $-y$, por $iy$ y por $-iy$ obtenemos sucesivamente $$\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle,$$ $$\|x+iy\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-i\langle x,y\rangle+i\langle y,x\rangle,$$
- [Potencia del continuo](https://fernandorevilla.es/2019/03/07/potencia-del-continuo/) - Definimos el concepto de potencia del continuo y estudiamos alguna de sus propiedades. Teorema. El intervalo $[0,1]$ no es numerable. Demostración. Por reducción al absurdo. Si $[0,1]$ es numerable, podemos escribir $[0,1]=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}.$ Consideremos los tres subintervalos de $[0,1]:$ $[0,1/3],$ $[1/3,2/3],$ $ [2/3,1].$ Cada uno de los intervalos tiene longitud $1/3$ y el elemento $x_1$ no
- [Teorema de reordenación de Riemann](https://fernandorevilla.es/2017/12/02/teorema-de-reordenacion-de-riemann/) - Demostramos el teorema de Riemann de la reordenación de series.
- [Ecuación en diferencias completa](https://fernandorevilla.es/2021/05/25/ecuacion-en-diferencias-completa/) - RESUMEN. Proporcionamos un método para la resolución de la ecuación en diferencias completa. Recordamos que una ecuación en diferencias lineal de orden $k$ con coeficientes constantes es una expresión de la forma $$x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=b(n)$$ en donde $a_1,a_2,\ldots,a_k$ son números reales con $a_k\ne 0$ y $b$ una función de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$. Abreviadamente la llamamos ecuación
- [Recta de Sorgenfrey](https://fernandorevilla.es/2021/05/08/recta-de-sorgenfrey/) - RESUMEN. Definimos la recta de Sorgenfrey y estudiamos alguna de sus propiedades. Enunciado Demostrar que la colección de subconjuntos $$\mathcal{B}=\{[a,b): a, b\in \mathbb{R}, a < b\}$$ es base para una topología en $\mathbb{R}.$ A la topología $T$ generada por $\mathcal{B}$ se la llama topología de Sorgenfrey o topología del límite inferior y al espacio topológico
- [Ecuación en diferencias homogénea](https://fernandorevilla.es/2021/05/16/ecuacion-en-diferencias-homogenea/) - RESUMEN. Proporcionamos un método para la resolución de la ecuación en diferencias homogénea. Definición. Se llama ecuación en diferencias lineal de orden $k$ con coeficientes constantes a toda expresión de la forma $$x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=b(n)\qquad (1)$$ en donde $a_1,a_2,\ldots,a_k$ son números reales con $a_k\ne 0$ y $b$ una función de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$. Definición. Si $b$
- [Axiomas de separación](https://fernandorevilla.es/2021/05/03/axiomas-de-separacion/) - RESUMEN. En las siguientes entradas definimos los axiomas de separación $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$ y demostramos: $$\text{Esp. mét. }\underset{\displaystyle\nLeftarrow}{\Rightarrow}\text{Esp. }T_4\underset{\displaystyle\nLeftarrow}{\Rightarrow}\text{Esp. }T_3 \underset{\displaystyle \nLeftarrow}{\Rightarrow} \text{Esp. }T_2\underset{ \displaystyle \nLeftarrow}{\Rightarrow} \text{Esp. }T_1\underset{\displaystyle\nLeftarrow}{\Rightarrow}\text{ Esp. top.}$$ Menú de axiomas de separación Espacios topológicos $T_1$ Espacios topológicos $T_1$ y $T_2$ Espacios topológicos $T_2$ y $T_3$ Espacios topológicos $T_3$ y $T_4$ Espacios
- [Espacios $T_4$ y metrizables](https://fernandorevilla.es/2021/05/03/espacios-topologicos-t_4-y-metrizables/) - RESUMEN. Demostramos que todo espacio metrizable es $T_4.$ El recíproco no es cierto. Teorema. Todo espacio metrizable es normal. Demostración. Sea $X$ metrizable con distancia $d.$ Sean $A,B$ subconjuntos cerrados disjuntos de $X.$ Para cada $a\in A$ elijamos una bola $B(a,\epsilon_a)$ tal que $B(a,\epsilon_a)\cap B=\emptyset.$ Esta bola existe pues $X-B$ es abierto. De la misma
- [Espacios topológicos $T_3$ y $T_4$](https://fernandorevilla.es/2021/05/02/espacios-topologicos-t_3-y-t_4/) - RESUMEN. Demostramos que todo espacio topológico $T_4$ es $T_3$ y que el recíproco no es cierto. Definición. Un espacio topológico $X$ se dice que es normal si para cada par de conjuntos $F_1,F_2$ cerrados y disjuntos existen dos conjuntos $G,H$ abiertos y disjuntos tales que $F_1\subset G$ y $F_2\subset H.$ Ejemplo. Sea en $X=\{a,b,c\}$ la
- [Producto de cardinales](https://fernandorevilla.es/2020/03/26/producto-de-cardinales/) - Definimos el producto de cardinales y demostramos algunas de sus propiedades.
- [Espacios topológicos $T_2$ y $T_3$](https://fernandorevilla.es/2021/05/01/espacios-topologicos-t_2-y-t_3/) - RESUMEN. Demostramos que todo espacio topológico $T_3$ es $T_2$ y que el recíproco no es cierto. Definición. Un espacio topológico $X$ se dice que es regular si para todo $F\subset X$ cerrado y para todo $p\in X$ con $p\notin F$, existen $G,H$ abiertos disjuntos tales que $F\subset G$ y $p\in H.$ Ejemplo. Sea $X=\{a,b,c\}$ con
- [Espacios topológicos $T_1$ y $T_2$](https://fernandorevilla.es/2021/04/29/espacios-topologicos-t_1-y-t_2/) - RESUMEN. Demostramos que todo espacio topológico $T_2$ es $T_1$ y que el recíproco no es cierto. Definición. Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Se dice que es un espacio $T_2$ o de Hausdorff si para todo par de elementos $a,b$ distintos de $X$ existen abiertos $G,H$ tales que $a\in G$, $b\in H$ y $G\cap H=\emptyset.$ Teorema.
- [Espacios topológicos $T_1$](https://fernandorevilla.es/2021/04/29/espacios-topologicos-t_1/) - RESUMEN. Definimos los espacios topológicos $T_1$ y proporcionamos ejemplos. Definición. Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Se dice que es un espacio $T_1$ si para todo par de elementos $a,b$ distintos de $X$ existen abiertos $G,H$ tales que $$a\in G,b\notin G \text{ y }b\in H,a\notin H.$$ Ejemplo. Sea $X=\{a,b\}$ con la topología $T=\{\emptyset,X,\{a\}\}.$ El único abierto
- [Fórmula de Leibniz de la derivada enésima](https://fernandorevilla.es/2014/03/29/formula-de-leibniz-de-la-derivada-enesima/) - Demostramos la fórmula de Leibniz de la derivada enésima y proprcionamos ejercicioss de aplicación. Enunciado Desarrollar la fórmula de Leibniz en el caso $n=4.$ Siendo $f(x)=\sqrt{x}\log (x+1)$ calcular $f^{(4)}(1)$ usando la fórmula de Leibniz. Siendo $f(x)=e^x\operatorname{sen}x$ calcular $f^{(4)}(\pi/2).$ Usando la fórmula de Leibniz, hallar la derivada enésima de la función $f(x) = e^ {\alpha x}
- [Una derivada direccional máxima](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/una-derivada-direccional-maxima/) - Enunciado Determinar los valores de las constantes $a,b$ y $c$ tales que la derivada direccional de la función $f(x,y,z)=axy^2+byz+cz^2x^3$ en el punto $(1,2,-1)$ tenga un valor máximo de 64 en una dirección paralela al eje $z.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED). Solución La derivadas parciales de $f$ son $\dfrac{{\partial f}}{{\partial
- [Distribución de Pascal o geométrica](https://fernandorevilla.es/2021/04/26/distribucion-de-pascal-o-geometrica/) - RESUMEN. Definimos la distribución de Pascal o geométrica y hallamos su media y desviación típica. Enunciado. Sea $A$ un suceso de un experimento aleatorio y consideremos una serie de pruebas independientes de dicho experimento. Sea $P(X=k)$ la probabilidad de que aparezca $A$ por primera vez en la prueba $k.$ Determinar la probabilidad $P(X=k), k=1,2,3,\ldots $
- [Derivada aritmética y anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$](https://fernandorevilla.es/2017/12/16/derivada-aritmetica-y-anillo-mathbbzsqrt5i/) - Derivada aritmética (menú) Demostramos la imposibilidad de definir en general la derivada aritmética en anillos de factorización no única. Usamos como contraejemplo el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$. Enunciado Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]=\{a+b\sqrt{5}i:a,b\in\mathbb{Z}\}$ es dominio de integridad con las operaciones habituales suma y producto de complejos pero que no es dominio de factorización única Demostrar que en $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ no
- [Derivada aritmética en dominios de factorización única](https://fernandorevilla.es/2017/12/10/derivada-aritmetica-en-dominios-de-factorizacion-unica/) - Derivada aritmética (menú) Extendemos la definición de derivada aritmética a dominios de factorización única. Enunciado Sea $D$ un dominio de factorización única y elijamos en $D$ los elementos irreducibles que son "positivos", es decir elijamos un conjunto $\mathcal{P}$ de elementos irreducibles tales que cada elemento irreducible de $D$ está asociado a uno y sólo un
- [Derivada aritmética racional](https://fernandorevilla.es/2017/12/10/derivada-aritmetica-racional/) - Derivada aritmética (menú) Definimos la derivada aritméica racional y demostramos que generaliza a la entera. Enunciado Demostrar que la función $(a/b)^\prime :\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ definida mediante $$\left(\frac{a}{b}\right)^\prime:=\frac{a^\prime b-b^\prime a}{b^2},$$ es una extensión de la derivada aritmética en $\mathbb{Z}$ y cumple la regla de Leibniz. Demostrar que es la única extensión que la cumple. Completar la tabla
- [Derivada aritmética entera](https://fernandorevilla.es/2017/12/10/derivada-aritmetica-entera/) - Derivada aritmética (menú) Definimos la derivada aritmética entera y demostramos que generaliza a la definida en los naturales. Enunciado Se llama función derivada aritmética en los enteros $\mathbb{Z}$ a la función $n^{\prime}:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ dada por $(1)\;$ $0^{\prime}=1^{\prime}=(-1)^{\prime}=:0$. $(2)\;$ Si $n=up_1p_2\cdots p_k$ con $u=\pm 1$ y los $p_i$ son primos (alguno de ellos puede estar repetido),
- [La ecuación diferencial aritmética $n^\prime=n$](https://fernandorevilla.es/2017/12/17/la-ecuacion-diferencial-aritmetica-nprimen/) - Derivada aritmética (menú) Resolvemos la ecuación diferencial aritmética $n^\prime=n$. Para ello, demostramos propiedades previas. Enunciado Demostrar que si $n=p^pm$ con $p$ primo y $m > 1$ natural, entonces $n^\prime=p^p(m+m^\prime)$ y $\lim_{k\to \infty}n^{(k)}=\infty.$ Sea $n$ número natural y $p^k$ la mayor potencia del primo $p$ tal que $p^k\mid n$. Si $0 < k < p$, demostrar
- [Conjetura de Sophie Germain y derivada aritmética](https://fernandorevilla.es/2017/12/15/conjetura-de-sophie-germain-y-derivada-aritmetica/) - Derivada aritmética (menú) Proporcionamos una equivalencia de la conjetura de Sophie Germain en términos de una ecuación diferencial aritmética. Enunciado Un número primo $p$ se dice que es un primo de Sophie Germain si $2p+1$ es también primo. Por ejemplo, $2$ es primo de Sophie Germain, y $7$ no lo es. Se ha conjeturado que
- [Conjetura de los primos gemelos y derivada aritmética](https://fernandorevilla.es/2017/12/16/conjetura-de-los-primos-gemelos-y-derivada-aritmetica/) - Derivada aritmética (menú) La conjetura de los primos gemelos, no resuelta a día de hoy se enuncia como existen infinitos pares de números gemelos, es decir infinitos pares $(p,p+2)$ con $p$ y $p+2$ primos. Proporcionamos una condición necesaria para que la conjetura sea cierta en términos de una ecuación diferencial aritmética. Enunciado Demostrar que si
- [Conjetura de Goldbach y derivada aritmética](https://fernandorevilla.es/2017/12/16/conjetura-de-goldbach-y-derivada-aritmetica/) - Derivada aritmética (menú) La conjetura de Goldbach, no resuelta a día de hoy se enuncia como todo número par mayor que dos es la suma de dos primos. Proporcionamos una condición necesaria para que la conjetura sea cierta en términos de una ecuación diferencial aritmética. Enunciado Demostrar que si la conjetura de Goldbach es cierta,
- [Primeras ecuaciones diferenciales aritméticas](https://fernandorevilla.es/2017/12/12/ecuaciones-diferenciales-aritmeticas/) - Derivada aritmética (menú) Estudiamos algunas ecuaciones diferenciales aritméticas sencillas. Enunciado Es natural plantear el problema de encontrar todos los números naturales que satisfacen a la ecuación diferencial aritmética $$a_kn^{(k)} +a_{k-1}n^{(k-1)}+\cdots+a_2n^{\prime\prime} +a_1n^\prime +a_0n=b$$ con los $a_i$ y $b$, números naturales. Vemos algunos ejemplos sencillos. Demostrar que el único entero positivo que satisface $n^{\prime}=0$ es $n=1$. Demostrar
- [Cotas para la derivada aritmética natural](https://fernandorevilla.es/2017/12/12/cotas-para-la-derivada-aritmetica-natural/) - Derivada aritmética (menú) Proporcionamos cotas para la derivada aritmética natural. Enunciado Demostrar que para todo entero positivo $n$ se verifica $n^{\prime}\le \dfrac{n\log_2n}{2}.$ Demostrar que si $n=2^k$ la cota es exacta Demostrar que si $n$ es el producto de $k$ factores, cada uno de ellos mayor que $1$, se verifica $n^\prime \ge kn^{\frac{k-1}{k}}.$ Demostrar que si
- [Propiedades de la derivada aritmética natural](https://fernandorevilla.es/2017/12/10/propiedades-de-la-derivada-aritmetica-natural/) - Derivada aritmética (menú) Demostramos algunas propiedades de la derivada aritmética natural. Enunciado Demostrar que para $k,n$ enteros positivos se verifica $(n^k)^\prime= kn^{k-1}n^\prime.$ Demostrar la fórmula de Leibniz para la derivada $k$-ésima del producto de dos números: $(ab)^{(k)}=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i} a^{(k-i)} b^{(i)}.$ Demostrar que la aditividad de la derivada $(a+b)^{\prime}=a^{\prime}+b^{\prime}$ se cumple en algunos casos y en otros
- [Derivada aritmética natural](https://fernandorevilla.es/2017/12/10/derivada-aritmetica-natural/) - Derivada aritmética (menú) Definimos la función derivada aritmética natural, demostrando que existe y es única. Enunciado La función derivada aritmética es una función $n^{\prime}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ definida recursivamente por $(1)\; p^{\prime}=1\text{ para todo }p\text{ primo}$ $(2)\;(ab)^{\prime}=a^{\prime}b+ab^{\prime}\text{ para todo }a,b\in\mathbb{N}\quad \text{(Regla de Leibniz).}$ Calcular $1^{\prime}$, $0^{\prime}$, $6^\prime$ y $9^{\prime\prime}$. Calcular las derivadas de los $11$ primeros números
- [Grupo de las isometrías del plano](https://fernandorevilla.es/2021/04/23/grupo-de-las-isometrias/) - RESUMEN. Demostramos que las isometrías tienen estructura de grupo con la operación composición. Teorema. Toda isometría $h$ del plano es función biyectiva y su inversa $h^{-1}$ también es una isometría. Demostración. Si $h(z)=\alpha z+\beta$ con $\left|\alpha\right|=1$ entonces, $$h(z_1)=h(z_2)\Rightarrow \alpha z_1+\beta=\alpha z_2+\beta\Rightarrow \alpha z_1=\alpha z_2\Rightarrow z_1=z_2,$$ luego $h$ es inyectiva. Por otra parte dado $\omega\in \mathbb{C}$
- [Expresión matricial de las isometrías del plano](https://fernandorevilla.es/2021/04/24/expresion-matricial-de-las-isometrias/) - RESUMEN. Vamos a trasladar las propiedades de las isometrías, al lenguaje matricial sin salirnos del cuerpo base $\mathbb{R}$. Sabido es que las matrices ortogonales de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ son aquellas matrices $A$ que satisfacen $A^T=A^{-1}$ o equivalentemente las que satisfacen $A^TA=I$. También es sabido que las matrices ortogonales de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ son de alguno de los
- [Isometrías en el plano](https://fernandorevilla.es/2018/03/29/isometrias-en-el-plano/) - Describimos todas las isometrías del plano usando operaciones algebraicas con números complejos.
- [Ejercicios de isometrías en el plano](https://fernandorevilla.es/2021/04/24/ejercicios-de-isometrias-en-el-plano/) - RESUMEN. Proporcionamos ejercicios sobre isometrías en el plano. Enunciados. Clasificar la isometría $x^\prime=\dfrac{2}{\sqrt{5}}x+\dfrac{1}{\sqrt{5}}y,\;\;y^\prime=\dfrac{1}{\sqrt{5}}x-\dfrac{2}{\sqrt{5}}y.$ Clasificar la isometría dada por $$\begin{aligned} & x^\prime=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x-\dfrac{1}{2}y+2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ &y^\prime=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}y+\dfrac{3}{2}-\sqrt{3}.\end{aligned}$$ Determinar la ecuación matricial de la simetría respecto de la recta $r:y=mx+b$. Clasificar la isometría: $$\begin{bmatrix}{x^\prime}\{y^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;0}\{0}&{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{1}\{0}\end{bmatrix}.$$ Usar el cuerpo $\mathbb{C}$ para demostrar que la composición de dos simetrías es una traslación si los
- [Clasificación de las isometrías del plano](https://fernandorevilla.es/2021/04/23/clasificacion-de-las-isometrias-del-plano/) - RESUMEN. Proporcionamos una clasificación de las isometrías del plano. Lema. Si una isometría del plano fija tres puntos que no son colineales, entonces dicha isometría es la identidad. Demostración. La isometria será de la forma $h(z)=\alpha z+\beta$ o $h(z)=\alpha \bar{z}+\beta$ con $\left|\alpha\right|=1$. Bastará demostrar que salvo que $h$ sea la identidad, no puede tener tres
- [Determinación de las isometrías del plano](https://fernandorevilla.es/2021/04/22/determinacion-de-las-isometrias-del-plano/) - RESUMEN. Vamos a demostrar que todas las isometrías del plano son exactamente las aplicaciones de la forma $h(z)=\alpha z+\beta$ o bien de la forma. $h(z)=\alpha \bar{z}+\beta$ con $\alpha,\beta$ complejos y $\left|\alpha\right|=1$. Teorema. Sean $\alpha,\beta \in\mathbb{C}$ con $\left|\alpha\right|=1$. Entonces, son isometrías las aplicaciones $h_i:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ dadas por $h_1(z)=\alpha z+\beta$ y $h_2(z)=\alpha \bar{z}+\beta.$ Demostración. Para todo $z,\omega\in\mathbb{C}$
- [Concepto de isometría en el plano](https://fernandorevilla.es/2021/04/22/concepto-de-isometria-en-el-plano/) - RESUMEN. Definimos el concepto de isometría en el plano y proporcionamos ejemplos. Definición. Sea una aplicación $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$. Se dice que $h$ es una isometría en el plano si para cualquier par de puntos $P,Q\in\mathbb{R}^2$ se verifica $$d\left(h(P),h(Q)\right)=d\left(P,Q\right)$$ en donde $d$ representa la distancia euclídea. Es decir, $h$ es isometría si conserva la distancia entre
- [Ángulo en un espacio de polinomios](https://fernandorevilla.es/2014/05/26/angulo-en-un-espacio-de-polinomios/) - Propuesto en examen de prueba numérica de Álgebra, ETS de Ingenieros Industriales de la UPM. Enunciado En el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y grado menor que 3 se considera el producto escalar $$\left< p,q \right>=\sum_{i=0}^3 p(i)q(i).$$ Calcular el ángulo formado por los polinomios $x^2+1$ y $x^2-3x+1.$ Solución Llamemos $p(x)=x^2+1$ y $q(x)=x^2-3x+1.$
- [Wronskiano](https://fernandorevilla.es/2015/11/30/wronskiano/) - Estudiamos la relación entre el wronskiano y la dependencia lineal. Enunciado Sea $I$ un intervalo de la recta real y $f_1,\ldots,f_n$ funciones derivables hasta orden $n-1$ en $I.$ Se define el wronskiano de dichas funciones como $$W(f_1, \ldots, f_n) (x):= \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots &
- [Ecuación de Legendre](https://fernandorevilla.es/2018/03/05/ecuacion-de-legendre/) - Estudiamos la ecuación de Legendre. Enunciado Se llama ecuación de Legendre a la ecuación diferencial $$(1-x^2)y^{\prime\prime}-2xy^\prime +\alpha(\alpha+1)y=0\qquad (L)$$ con $\alpha$ real. Demostrar que la ecuación de Legendre se puede escribir en la forma $$\left((x^2-1)y^\prime\right)^\prime=\alpha (\alpha+1)y.$$ Demostrar que la ecuación de Legendre se puede escribir en la forma $T(y)=\lambda y$ con $\lambda=\alpha (\alpha+1)$ y $T$ un
- [Funciones homogéneas, teorema de Euler](https://fernandorevilla.es/2015/08/27/funciones-homogeneas-teorema-de-euler/) - Demostramos el teorema de Euler para funciones homogéneas y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar que la función $f(x,y)=\sqrt[3]{x^5+y^5}$ es homogéna y determinar su grado. Calcular $\;\displaystyle x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}$ (a) Por derivación directa. (b) Usando el teorema de Euler. Demostrar el teorema de Euler para funciones homogéneas: Sea $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ diferenciable
- [Iteración de punto fijo](https://fernandorevilla.es/2018/03/08/iteracion-de-punto-fijo/) - Estudiamos las bases teóricas del método de la iteración de punto fijo para la resolución aproximada de ecuaciones. Enunciado Sea una función $g:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Se dice que $p\in D$ es punto fijo de $g$ si se verifica $g(p)=p.$ Sea una función $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $p\in D.$ Demostrar que $$p\text{ es cero o raíz
- [Nilradical y radical de Jacobson](https://fernandorevilla.es/2021/04/19/nilradical-y-radical-de-jacobson/) - RESUMEN. Definimos el nilradical y radical de Jacobson de un anillo conmutativo y unitario, y demostramos algunas de sus propiedades. Enunciado. Sea $A$ un anillo conmutativo y unitario y denominemos $$\mathcal{N}=\{x\in A: x\text{ es nilpotente}\}.$$ Demostrar que $\mathcal{N}$ es un ideal de $A.$ Se le llama nilradical de $A.$ Demostrar que $A/\mathcal{N}$ no tiene elementos
- [Ecuación diferencial de Riccati](https://fernandorevilla.es/2014/03/14/ecuacion-diferencial-de-riccati/) - Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial de Riccati. Enunciado Resolver la ecuación $y'+xy^2-(2x^2+1)y+x^3+x-1=0,$ sabiendo que tiene la solución particular $y_1=x.$ Se considera la ecuación de Riccati: $$y'=y^2-\frac{1}{x}y-\frac{1}{x^2}.$$ (a) Encontrar una solución de la forma $y=x^m$ con $m$ real. (b) Encontrar la solución particular $y=y(x)$ que verifica $y(1)=2.$ Demostrar que si $y_1$ es una solución particular
- [Topología Fort](https://fernandorevilla.es/2021/04/10/topologia-fort/) - RESUMEN. Definimos la topología Fort y estudiamos algunas de sus propiedades. Enunciado. Sea $X$ un conjunto infinito y $p\in X.$ Se define la familia de subconjuntos de $X:$ $$T_p=\{G\subset X:p\notin G\text{ o }G^c\text{ es finito}\}.$$ Demostrar que $T_p$ es una topología en $X$. A la topología $T_p$ se la denomina topología Fort y a $(X,T_p)$,
- [Distancia de un plano y de una curva al origen](https://fernandorevilla.es/2016/02/06/distancia-de-un-plano-y-de-una-curva-al-origen/) - Enunciado Usando técnicas de cálculo diferencial, Calcular la mínima distancia del plano $\alpha:2x-y+2z=2$ al origen y el punto en el que dicha distancia mínima se obtiene. Calcular la mínima distancia del conjunto $$A= \{ (x,y,z): x^2+y^2=1,\; x+y+z=1 \} $$ al origen y el punto en el que dicha distancia mínima se obtiene. Solución Todo punto
- [¿Que son las matemáticas?](https://fernandorevilla.es/2020/12/17/que-son-las-matematicas/) - Transcribo las excelentes reflexiones de Don Sixto Rios en su libro Métodos Estadísticos. Toda la Matemática no es otra cosa que el estudio de modelos: Mecánica del punto material. Mecánica del sólido rígido, Geometría de la recta, etc. Un modelo matemático es una representación abstracta
- [Una aplicación de las desigualdades de Cauchy](https://fernandorevilla.es/2014/05/21/una-aplicacion-de-las-desigualdades-de-cauchy/) - Proporcionamos una aplicación de las desigualdades de Cauchy. Enunciado Sea $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ una función entera (holomorfa en todo el plano complejo), tal que $a_n\geq 0,\;\sum_{n=0}^{\infty}a_n=1$ y además satisface la desigualdad $\left|f(x)\right|\leq x$ para todo $x\geq 0.$ Se pide: 1. Calcular $f(0)$ y $f(1).$ 2. Demostrar que $\left|f(z)\right|\leq |z|$ para todo $z\in \mathbb{C}.$ 3. Demostrar que $f(z)=z$
- [Área de una imagen del círculo unidad](https://fernandorevilla.es/2014/04/17/area-de-una-imagen-del-circulo-unidad/) - Enunciado 1. Se considera en el plano complejo una curva de Jordan $\Gamma$ con orientación positiva. Expresar el área de la región interior a dicha curva en términos de la integral compleja curvilínea $\int_{\Gamma}\bar{w}\;dw.$ 2. Calcular el área de la imagen del círculo unidad $|z|\leq 1$ bajo la transformación $w=z\left(z-\frac{1}{2}z\right).$ 3. Sea $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_nz^n$ una función
- [¿ Ni infinitésimos equivalentes ni L'Hôpital?](https://fernandorevilla.es/2014/01/30/ni-infinitesimos-equivalentes-ni-lhopital/) - Frecuentemente se nos pide hallar un límite que es fácilmente resoluble aplicando infinitésimos equivalentes o la regla de L'Hôpital, pero el profesor nos lo prohibe (con el consiguiente encocoramiento del alumno). Por ejemplo $$L=\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\ln\; \left(\;1+2(1-\cos x )\;\right)}{x}}$$ Afortunadamente, siempre quedan recursos. Mirar aquí.
- [Factorización canónica de una aplicación lineal](https://fernandorevilla.es/2014/01/30/factorizacion-canonica-de-una-aplicacion-lineal/) - Proporcionamos un ejemplo de factorización canónica de una aplicación lineal. Enunciado Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3$ cuya matriz respecto de la base canónica $B$ de $\mathbb{R}^4$ y la canónica $B'$ de $\mathbb{R}^3$ es $$A=\begin{bmatrix}{\;\;2}&{-1}&{1}&{\;\;0}\{\;\,1}&{-1}&{2}&{-1}\{-1}&{-1}&{4}&{-3}\end{bmatrix}.$$ (a) Hallar unas bases $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ de $E/\ker f$ e $\textrm{Im}f$ respectivamente. (b) Hallar la matriz $N$ de $n$
- [Ecuaciones de Cauchy-Riemann](https://fernandorevilla.es/2014/01/30/ecuaciones-de-cauchy-riemann/) - Proporcionamos ejercicios de aplicación de las ecuaciones de Cauchy Riemann. Enunciado Demostrar que la función $f(z)=\lambda \bar{z}$ con $\lambda\neq 0$ constante real no es derivable en ningún punto de $\mathbb{C}.$ Determinar los puntos del plano complejo para los cuales es derivable la función $f(z)=\left|z\right|\; \textrm{Re}\bar{z}$. Demostrar que si $f(z)=e^z$ entonces $f'(z)=e^z$ para todo $z$ del
- [Pi es irracional](https://fernandorevilla.es/2014/02/05/pi-es-irracional/) - En este problema se demuestra que el número pi es irracional. Enunciado Sean $p,q,n\in{\mathbb{N}^*}$. Se considera la función polinómica $$P_n(x)=\displaystyle\frac{1}{n!}x^n(qx-p)^n.$$ Demostrar que $P_n^{(r)}(0)\in \mathbb{Z}$ para todo $r=0,1,2,\ldots$ Demostrar $P_n^{(r)}(p/q)\in \mathbb {Z}$ para todo $r=0,1,2,\ldots$ Hallar el máximo de la función $\left |{P_n(x)}\right |$ sobre el intervalo $[0,p/q]$. Sean $p$ y $q$ tales que $\pi \leq
- [Formas de Jordan de $AB$ y $BA$](https://fernandorevilla.es/2014/02/12/formas-de-jordan-de-ab-y-ba/) - Analizamos la posible igualdad de las formas de Jordan de $AB$ y $BA$. Enunciado Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden $n$. En general $AB$ y $BA$ son matrices distintas, y sin embargo tienen atributos iguales. Por ejemplo, se verifica $\det(AB)=\det(BA)$. El objetivo de este ejercicio es, además de evaluar a los alumnos,
- [Teorema de Liouville (demostración)](https://fernandorevilla.es/2014/02/24/teorema-de-liouville-demostracion/) - Se proporciona la demostración del teorema de Liouville.
- [Serie de Laurent con parámetros](https://fernandorevilla.es/2014/02/24/serie-de-laurent-con-parametros/) - Analizamos los desarrollos de una serie de Laurent con parámetros, y lo aplicamos al calculo de un desarrollo de Fourier. Enunciado Se considera la función compleja de variable compleja: $$f(z)=\displaystyle\frac{z^2-1}{\lambda z^2+(\lambda^2+1)z+\lambda}\quad (\lambda\in \mathbb{C}).$$ 1. Hallar y clasificar sus singularidades según los diferentes valores del parámetro complejo $\lambda.$ 2. Para cada valor de $\lambda\in \mathbb{C}$ hallar
- [Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan](https://fernandorevilla.es/2014/02/25/integral-int_tbarz2dz-sobre-una-curva-de-jordan/) - Calculamos la integral de una función sobre el borde de un triángulo y generalizamos a una curva de Jordan. Enunciado Sean $a,b$ y $c$ tres puntos no alineados del plano complejo. Calcular la integral $$\displaystyle\int_{T}\bar{z}^2\;dz,$$ siendo $T$ el borde del triángulo determinado por los puntos anteriores y recorrido en el sentido positivo. Generalizar el resultado
- [Conmutador y subgrupo derivado](https://fernandorevilla.es/2014/03/02/conmutador-y-subgrupo-derivado/) - Estudiamos el conmutador de dos elementos de un grupo y el subgrupo derivado. Enunciado Dados dos elementos $x,y$ pertenecientes a un grupo $G$, se llama conmutador de los elementos dados y se representa por $[x,y]$ al elemento de $G$ definido por $$[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy.$$ Demostrar que: El inverso de un conmutador es un conmutador. El conjugado de
- [Integrales de Fresnel](https://fernandorevilla.es/2014/03/02/integrales-de-fresnel/) - Enunciado Se sabe que las integrales de Fresnel: $$ I_1=\displaystyle\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,\quad I_2=\displaystyle\int_0^{+\infty}\operatorname{sen} x^2\;dx,$$ son convergentes. Calcular su valor. Indicación: usar la integral de Euler, es decir $ \displaystyle\int_0^{+\infty}e^ {-x^2}\;dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} .$ Solución Consideremos la función $ f(z)=e^{iz^2} $ y el contorno $ \gamma \equiv OABO $ de la figura: Tenemos $$ \displaystyle\int_{\gamma}e^{iz^2}\;dz=\displaystyle\int_0^R e^{ix^2}\;dx+\displaystyle\int_{AB}e^{iz^2}\;dz+\displaystyle\int_{BO}e^{iz^2}\;dz.\qquad (1) $$ Se
- [Derivada simétrica](https://fernandorevilla.es/2014/03/03/derivada-simetrica-2/) - Problema propuesto en examen de Álgebra, ETS de Ingenieros de Montes de la UPM. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Se define la derivada simétrica de $f$ en un punto $x_0$ y se designa por $f'_s(x_0)$, al siguiente límite si existe y es finito $$f'_s(x_0)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$$ $(a)$ Estudiar la existencia en el punto
- [Familia de funciones armónicas](https://fernandorevilla.es/2014/03/03/familia-de-funciones-armonicas/) - Determinamos una familia de funciones armónicas de una forma dada. Enunciado Hallar todas las funciones armónicas de la forma $w=f(x^2+y^2)$. Solución Denotemos $t=x^2+y^2$. Entonces: $$w_x=f'(t)\;2x,\; w_y=f'(t)\;2y,$$ $$w_{xx}=f''(t)\cdot 2x\cdot 2x+f'(t)\cdot 2,\;w_{yy}=f''(t)\cdot 2y\cdot 2y+f'(t)\cdot 2.$$ La función $w$ es armónica si y sólo si $\nabla^2w=w_{xx}+w_{yy}=0$. Por tanto: $$\nabla^2w=0 \Leftrightarrow 4(x^2+y^2)f^{\prime\prime}(t)+4f'(t)=0 \Leftrightarrow tf^{\prime\prime}(t)+f'(t)=0 .$$ Resolvamos la ecuación diferencial
- [Desarrollo en serie de Laurent](https://fernandorevilla.es/2014/03/05/desarrollo-en-serie-de-laurent/) - Proporcionamos ejercicios de desarrollos en serie de Laurent. Enunciado Desarrollar en serie de Laurent la función $f(z)=\displaystyle\frac{1}{3z-7}$ en potencias enteras de $z.$ Desarrollar en serie de Laurent la función $f(z)=\displaystyle\frac{(4+i)z+3i-8}{z^2+z-6}$ en potencias enteras de $z.$ Desarrollar $f(z)=\displaystyle\frac{z}{(z+1)(z+2)}$ en una corona abierta de centro $z_0=-2.$ Desarrollar $f(z)=\dfrac{e^{2z}}{(z-1)^2}$ en una corona abierta de centro $z_0=1.$ Desarrollar $f(z)=\displaystyle\frac{1}{(z-3)^2}$
- [Series complejas: criterios de la raíz y del cociente](https://fernandorevilla.es/2014/03/11/series-complejas-criterios-de-la-raiz-y-del-cociente/) - Aplicamos los criterios de la raíz y del cociente al estudio de la convergencia de series complejas. Enunciado Demostrar que toda serie absolutamente convergente es convergente. Demostrar que no toda serie convergente es absolutamente convergente. Demostrar el criterio de la raíz: Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie compleja. Supongamos que $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}$ tiene límite $L.$ Entonces: $i)$ Si
- [Series complejas enteras, radio de convergencia](https://fernandorevilla.es/2014/03/14/series-complejas-enteras-radio-de-convergencia/) - Proporcionamos ejercicios sobre series complejas enteras y radio de convergencia. Enunciado Sea la serie entera compleja $\sum_{n\geq 0}a_nz^n.$ Demostrar que si converge para $z=z_0\neq 0,$ entonces converge para todo $z$ tal que $\left |z\right|
- [Fórmula de Cauchy-Hadamard](https://fernandorevilla.es/2014/03/15/formula-de-cauchy-hadamard/) - Demostramos la fórmula de Cauchy-Hadamard y proporcionamos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el teorema de Cauchy-Hadamard: Sea la serie entera compleja $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ y $\rho$ su radio de convergencia. Entonces $$\frac{1}{\rho}=\limsup_{n\to +\infty} \;\left|a_n\right|^{1/n}.$$ Usando la fórmula de Cauchy-Hadamard hallar el radio de convergencia de la serie $\qquad\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_nz^n\;,\quad a_{2n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2n},\quad a_{2n+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2n+1}.$ Solución Recordamos que $$\limsup_{n\to +\infty}x_n=\lim_{p\to +\infty}\left(\sup\{x_n:n\geq
- [Recurrente compleja por serie de potencias](https://fernandorevilla.es/2014/03/18/recurrente-compleja-por-serie-de-potencias/) - Enunciado 1. Los términos de una sucesión $(a_n)$ de números complejos satisfacen la relación de recurrencia de segundo orden $4a_{n+2}+4a_{n+1}+a_n=0$. Encontrar una acotación de la forma $|a_n|\leq MK^n$. 2. Demostrar que la serie de potencias $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ tiene su radio de convergencia no nulo. 3. Resolver la ecuación en diferencias $4a_{n+2}+4a_{n+1}+a_n=4$ con $a_0=1,a_1=-1$. Indicación. Multiplicar por
- [Teorema de Rouché](https://fernandorevilla.es/2014/03/27/teorema-de-rouche/) - Proporcionamos ejercicios sobre el Teorema de Rouché. Enunciado Hallar el número de ceros de $F(z)=z^8-4z^5+z^2-1$ en $\left|z\right|
- [Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral](https://fernandorevilla.es/2014/03/30/polinomio-de-lagrange-sylvester-representacion-integral/) - Enunciado Este problema tiene por objeto elaborar una representación integral para el polinomio de Lagrange-Sylvester. Supóngase dados un polinomio $p(z)$ de grado $n\geq 1$ y una curva de Jordan $\Gamma,$ que se recorre en sentido positivo y cuyo interior geométrico contiene a todos los ceros del polinomio. Se pide: Comprobar que cualquiera que sea la
- [Función armónica conjugada](https://fernandorevilla.es/2014/03/30/funcion-armonica-conjugada/) - Calculamos la armónica conjugada de una función. Enunciado Comprobar que la función $u=3x^2y+2x^2-y^3-2y^2$ es armónica en $\mathbb{R}^2$ y determinar su armónica conjugada $v$ para expresar $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ como función holomorfa de $z$ en $\mathbb{C}$. Solución Claramente $u\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$. Tenemos $$u_x=6xy+4x,\;u_y=3x^2-3y^2-4y,\;u_{xx}=6y+4,\;u_{yy}=-6y-4.$$ Es decir, $\nabla^2u=u_{xx}+u_{yy}=0$ en $\mathbb{R}^2$ y por tanto $u$ es armónica en el plano. Si la función
- [Función holomorfa: representación integral](https://fernandorevilla.es/2014/03/31/funcion-holomorfa-representacion-integral/) - Enunciado Se considera la función compleja definida mediante la representación integral $f(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt^2}\;dt.$ 1. Comprobar que la función está bien definida en el semiplano de los números complejos con parte real estrictamente positiva y calcular el valor $f(z)$ cuando $z$ es un número real positivo. 2. Aceptando que la función $f$ es holomorfa en ese semiplano,
- [Funciones armónicas](https://fernandorevilla.es/2014/03/31/funciones-armonicas/) - Enunciado Analizar si son armónicas las funciones: $$a)\;f(x,y)=2e^x\cos y.\quad b)\;g(x,y)=\arctan \dfrac{y}{x}.$$ Analizar si son armónicas las funciones: $$a)\;f(x,y)=\log (x^2+y^2).\quad b)\;g(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2.$$ Sea $A\subset\mathbb{C}$ abierto y $f:A\to \mathbb{C}$ analítica. Demostrar que las funciones partes real e imaginaria de $f$ son funciones armónicas en $A.$ Solución $a)$ Tenemos: $$\frac{\partial f}{\partial x}=2e^x\cos y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-2e^x\operatorname{sen} y,$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial
- [Espacio de funciones completo y no compacto](https://fernandorevilla.es/2014/04/02/espacio-de-funciones-completo-y-no-compacto/) - Enunciado Sea $E=\mathcal{C}(I,I)$ el espacio de las funciones continuas de $I=[0,1]$ en $I$ con la distancia $$d(f,g)=\max \{\left|f(x)-g(x)\right|:x\in I\}.$$ $(a)$ Demostrar que $E$ es completo. $(b)$ Demostrar que $E$ no es compacto. $(c)$ Encontrar un elemento de $E$ que tenga un único punto fijo. (Propuesto en examen, Amp. de Cálculo, ETS Ing. Industriales, UNED). Solución
- [Proyección estereográfica, esfera de Riemann](https://fernandorevilla.es/2014/04/03/proyeccion-estereografica/) - Definimos la proyección estereogáfica entre el plano complejo y la esfera de Riemann. Enunciado Se llama esfera de Riemann a la esfera $$S=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3:x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}.$$ Sea $\mathbb{C}_{\infty}=\mathbb{C}\cup \{\infty\}$ el pano complejo ampliado. Definimos la aplicación: $$\phi:\mathbb{C}_{\infty}\to S\;,\quad \left \{ \begin{matrix} \phi(x+iy)=M & \mbox{ si }& x+iy\in\mathbb{C}\\phi(\infty)=(0,0,1).\end{matrix}\right. $$ en donde $M$ es el punto (distinto del $(0,0,1)$)
- [Función holomorfa biperiódica](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/funcion-holomorfa-biperiodica/) - Definimos función holomorfa biperiódica y estudiamos sus propiedades. Enunciado Sea $f$ una función holomorfa en $\mathbb{C}$ salvo por una cantidad finita de polos y que verifica $$\forall z\in\mathbb{C}\quad f(z+1)=f(z),\;f(z+i)=f(z).$$ Diremos que $f$ es doblemente periódica de periodos $1$ e $i.$ Consideremos un paralelogramo de vértices $z_0+i,\;z_0,\;z_0+1,\;z_0+1+i$ cuyo borde llamamos $\Gamma$ siendo $z_0\in\mathbb{C}$ un punto cualquiera
- [Límite de promedios en un polígono regular](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/un-limite-de-promedios-en-un-poligono-regular/) - Enunciado 1. Siendo $n$ un entero positivo, determinar la expresión de la suma $\sin x+\sin 2x+\ldots+\sin nx .$ 2. Se considera un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $1.$ Determinar el promedio de las distancias de un vértice fijo del polígono a los vértices restantes. Calcular el valor límite de
- [Una integral con residuo en el punto del infinito](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/una-integral-con-residuo-en-el-punto-del-infinito/) - Enunciado Calcular la integral: $I=\displaystyle\int_{\left|z\right|=3}\dfrac{z^{17}dz}{(z^2+2)^3(z^3+3)^4}.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED). Solución La función integrando $f(z)$ tiene en la región $\left|z\right|<3$ dos polos triples y tres cuádruples. Esto hace prácticamente inviable calcular la integral por medio de estos polos. Usaremos en su lugar el residuo en el punto del infinito. Concretamente
- [Polinomio de Hurwitz](https://fernandorevilla.es/2014/04/14/polinomio-de-hurwitz/) - Enunciado Sea $p(z)\in \mathbb{C}[z].$ Se dice que $p(z)$ es un polinomio de Hurwitz si todos sus ceros tienen parte real negativa. Demostrar que si $p(z)$ es un polinomio de Hurwitz, también lo es $p'(z).$ Solución Sea $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_1z+a_0\;(a_n\neq 0)$ un polinomio de Hurwitz, podemos escribir $p(z)=a_n(z-z_1)\ldots (z-z_n)$ con $\textrm{Re}\;z_j
- [Función entera y polinomio](https://fernandorevilla.es/2014/04/14/funcion-entera-y-polinomio/) - Enunciado Sea $p(z)$ un polinomio complejo y $f(z)$ una función entera de variable compleja. Se considera una curva de Jordan $\Gamma$ sobre la que no se anula el polinomio $p(z).$ Deducir la expresión de la integral $\displaystyle\int_{\Gamma}f(z)\; \dfrac{p'(z)}{p(z)}\;dz.$ mediante los valores de la función $f(z)$ en los ceros del polinomio. (Propuesto en examen, Amp. Calc.,
- [Relación entre dos integrales por residuos](https://fernandorevilla.es/2014/04/18/relacion-entre-dos-integrales-por-residuos/) - Enunciado Para cada entero positivo $n$ se considera la función racional $f_n(z)=\dfrac{(1+z^2)^{n-1}}{1+z^{2n}}.$ 1. Calcular los residuos de $f_n$ en sus puntos singulares. 2. Empleando la fórmula de los residuos de Cauchy, deducir el valor de las integrales $I_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}f_n(x)\;dx.$ 3. Aplicar el resultado anterior al cálculo de las integrales $J_n=\displaystyle\int_0^{1}f_n(x)\;dx.$ (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS
- [Un problema de Dirichlet](https://fernandorevilla.es/2014/04/22/un-problema-de-dirichlet/) - Resolvemos un problema de Dirichlet en el semiplano $y>0.$ Enunciado Se considera una función compleja $f(z)$ holomorfa en el semiplano $\textrm{Im}\;z\geq 0$ y tal que $|z|^p|f(z)|\leq M$ en dicho semiplano con $p>0,\;M>0$ constantes. Se pide: 1. Para cada $z_0\in \mathbb{C}:\textrm{Im}\;z_0
- [Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos](https://fernandorevilla.es/2014/05/03/integral-int_0inftyxdx1xn-1-xn-por-residuos/) - Enunciado 1. Para cada valor de $n$ entero positivo calcular todas las raíces reales o complejas de la ecuación $(1+z)^n=(1-z)^n$. 2. Para cada valor de $n$ entero positivo, determinar y clasificar las singularidades de la función compleja: $f(z)=\dfrac{z}{(1+z)^n-(1-z)^n}.$ 3. Aplicando la técnica de residuos, calcular la siguiente integral real, determinando previamente los valores de $n$
- [Familia de racionales complejas](https://fernandorevilla.es/2014/05/06/familia-de-racionales-complejas/) - Enunciado Para cada número real $t$ con $|t|
- [Una integral trigonométrica en $[0,\pi]$](https://fernandorevilla.es/2014/05/27/una-integral-trigonometrica-en-0-pi/) - Enunciado Se considera la función compleja definida por $f(z)=\displaystyle\sum_{k=-n}^{+n}c_kz^k.$ 1. Obtener la expresión de la integral $\displaystyle\int_0^{2\pi}\left|f\left(e^{i\theta}\right)\right|^2\;d\theta$ en términos de los coeficientes $c_k$ de la función $f.$ 2. Aplicar el resultado anterior al cálculo de las integrales $\displaystyle\int_0^{\pi}\left(\dfrac{\sin 2n\theta}{\sin \theta}\right)^2d\theta\quad (n=1,2,\ldots).$ (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución 1. Desarrollando $|f(e^{i\theta})|^2:$
- [Transformado de un polinomio complejo](https://fernandorevilla.es/2014/05/27/transformado-de-un-polinomio-complejo/) - Enunciado Para cada polinomio complejo $p(z)$ se define el nuevo polinomio $p^*(z)=\overline{p(-\bar{z})}$ en donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z.$ 1. Si $p(z)$ es un polinomio de grado $n\geq 1,$ expresar las raíces de $p^*(z)$ en términos de las raíces de $p(z).$ 2.Sea $p(z)=1+z.$ Determinar la región del plano complejo en el que se transforma
- [Funciones holomorfas $\;f: \text{Re} (f) + \text{Im} (f) =1$](https://fernandorevilla.es/2014/06/12/funciones-holomorfas-f-re-f-im-f-1/) - Enunciado Encontrar todas las funciones holomorfas $f(z),\;z\in \mathbb{C}$ que satisfacen la condición $a\;\mbox{Re }f(z)+b\;\mbox{Im }f(z)=1$ siendo $a,b$ constantes reales no simultáneamente nulas. (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Denotando $f=u+iv$ en donde $u=\mbox{Re }f,\;v=\mbox{Im }f,$ tenemos $au+bv=1.$ Si $f$ es holomorfa en $\mathbb{C},$ existen las parciales de $u$ y $v$
- [Integral de (log z)^3 dz/z  en un arco de circunferencia](https://fernandorevilla.es/2014/06/14/integral-de-log-z3-dzz-en-un-arco-de-circunferencia/) - Enunciado Calcular la integral $I=\displaystyle\int_{1}^{i}\dfrac{\log^3z}{z}\;dz$ en el arco de circunferencia $\left|z\right|=1.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED). Solución Primer método. La función subintegral es analítica en un dominio que contiene al arco de circunferencia dado. En consecuencia podemos aplicar la fórmula de Newton-Leibniz. Para hallar la correspondiente integral indefinida efectuamos el
- [Función exponencial compleja](https://fernandorevilla.es/2014/08/05/funcion-exponencial-compleja/) - Definimos la función exponencial compleja y estudiamos alguna de sus propiedades. Enunciado Demostrar que para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ se verifica $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$ y $e^{z_1}/e^{z_2}=e^{z_1-z_2}.$ Demostrar que para todo $z\in\mathbb{C}, \;k\in\mathbb{Z}$ se verifica $\left|e^z\right|=e^x$ y $e^{z+2k\pi i}=e^z.$ Determinar los valores de $z\in\mathbb{C}$ para los cuales $(a)\;\;e^{3z}=1,\; (b)\;\; e^{4z}=i.$ Solución Sean $z_1=x_1+iy_1,$ $z_2=x_2+iy_2$ expresados en forma binómica. Entonces, $$e^{z_1}e^{z_2}=e^{x_1}(\cos
- [Funciones trigonométricas complejas](https://fernandorevilla.es/2014/08/06/funciones-trigonometricas-complejas/) - Definimos las funciones trigonométricas complejas, que generalizan a las trigonométricas reales. Enunciado Demostrar que las funciones seno y coseno complejos son una generalización de las correspondientes seno y coseno reales. Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&\operatorname{sen}^2z+\cos^2z=1,\& 1+\tan^2z=\sec^2z,\&1+\cot^2z=\csc^2z.\end{aligned}$$ Demostrar las relaciones $$\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen}z,\quad \cos (-z)=\cos z,\quad \tan (-z)=-\tan z.$$ Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&a)\;\;\operatorname{sen}(z_1\pm z_2)=\operatorname{sen}z_1\cos z_2\pm \cos z_1\operatorname{sen}z_2,\ &b)\;\;\cos(z_1\pm z_2)=\cos
- [Derivada compleja](https://fernandorevilla.es/2014/08/08/derivada-compleja/) - Enunciado Si $f(x)=z^2,$ hallar $f'(z)$ usando la definición de derivada. Si $f(z)=z^3,$ hallar $f'(z)$ usando la definición de derivada. Si $f(z)=\dfrac{1}{z},$ hallar $f'(z)$ para todo $z$ complejo no nulo, usando la definición de derivada. Demostrar que la función $f(z)=\bar{z}$ no es derivable en $z=0.$ Demostrar que si $f$ es derivable en un punto $z,$ entonces
- [Funciones hiperbólicas complejas](https://fernandorevilla.es/2014/08/09/funciones-hiperbolicas-complejas/) - Definimos las funciones hiperbólicas complejas, que generalizan a las trigonométricas reales. Enunciado Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&\cosh^2z-\operatorname{senh}^2z=1,\& 1-\tanh^2z=\operatorname{sech}^2z,\&\coth^2z-1=\operatorname{csch}^2z.\end{aligned}$$ Demostrar las relaciones $$\operatorname{senh}(-z)=-\operatorname{senh}z,\quad \cosh (-z)=\cos z,\quad \tanh (-z)=-\tanh z.$$ Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&a)\;\;\operatorname{senh}(z_1\pm z_2)=\operatorname{senh}z_1\cosh z_2\pm \cosh z_1\operatorname{senh}z_2,\ &b)\;\;\cosh(z_1\pm z_2)=\cosh z_1\cosh z_2\pm \operatorname{senh} z_1\operatorname{senh}z_2,\ &c)\;\;\tanh (z_1\pm z_2)=\frac{\tanh z_1\pm\tanh z_2}{1\pm \tanh z_1\tanh z_2}.\end{aligned}$$ $(a)\;$ Determinar las partes real e
- [Logaritmo complejo](https://fernandorevilla.es/2014/09/21/logaritmo-complejo/) - Estudiamos propiedades del logaritmo complejo. Enunciado Demostrar que $z=0$ no tiene logaritmos y que si $z\neq 0$ entonces $$\log z=\log \left|z\right|+i\arg z,$$ en donde $\arg z$ representa el conjunto de los argumento de $z.$ Interpretar $\log z$ como una aplicación de $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ en un grupo cociente determinado por un subgrupo del grupo aditivo de los
- [Fórmulas integrales de Cauchy](https://fernandorevilla.es/2014/11/27/formulas-integrales-de-cauchy/) - Enunciado Calcular $(a)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=3}\frac{e^z}{z-2}dz.\quad (b)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=1}\frac{e^z}{z-2}dz.$ Calcular $(a)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=1}\frac{\operatorname{sen}^6z}{z-\pi/6}dz.\quad (b)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=2}\frac{e^{iz}}{z^3}dz.$ Calcular $\displaystyle\int_{C}\frac{e^{2z}}{z+\pi i}dz,$ si $C$ es $(a)\;$ La circunferencia $\left|z-1\right|=4.$ $(b)\;$ La elipse $\left|z-2\right|+\left|z+2\right|=6.$ Solución $(a)$ La función $f(z)=e^z$ es analítica en $\mathbb{C},$ por tanto en $\mathcal{R}\equiv\left|z\right|\leq 3$ y $2$ es interior a $\mathcal{R}.$ Aplicando la fórmula integral de Cauchy, $$\int_{\left|z\right|=3}\frac{e^z}{z-2}dz=2\pi i \;f(2)=2\pi e^2i.$$ $(b)$ La función $g(z)=e^z/(z-2)$
- [Polinomio mínimo de un elemento algebraico](https://fernandorevilla.es/2014/12/14/polinomio-minimo-de-un-elemento-algebraico/) - Definimos el concepto de polinomio mínimo de un elemento algebraico y estudiamos algunas de sus propiedades. DEFINICIÓN. Sea $K$ una extensión de $k$ y $\alpha\in K$ algebraico sobre $k.$ Sea $$p(x)=x^{\nu}+\cdots+a_1x+a_0\in k[x]$$ el polinomio de menor grado y mónico que anula a $\alpha.$ A $p(x)$ se le llama polinomio mínimo de $\alpha$ y a $\nu,$
- [Suma de series por residuos](https://fernandorevilla.es/2014/12/30/suma-de-series-por-residuos/) - Estudiamos la manera de calcular la suma de algunas series, usando residuos. Enunciado Sea $N$ entero no negativo y $\Gamma_N$ el cuadrado de vértices $$\left(N+\frac{1}{2}\right)(1+i),\quad\left(N+\frac{1}{2}\right)(1-i),\;$$ $$\left(N+\frac{1}{2}\right)(-1+i),\quad \left(N+\frac{1}{2}\right)(-1-i).$$ Demostrar que existe $M>0$ tal que $\left|\cot \pi z\right|\leq M$ para todo $z\in\Gamma_N.$ Sea $f(z)$ analítica en todo el plano complejo salvo en un número finito de polos
- [Función exponencial real](https://fernandorevilla.es/2015/01/23/funcion-exponencial-real/) - En este problema se demuestra la existencia y unicidad de la función exponencial real. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función que satisface $f^{\prime}=f$ y $f(0)=1.$ Se pide, Demostrar que $f(x)\neq 0$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que la función $f$ es única. Es decir, si una función $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisface $g^{\prime}=g$ y $g(0)=1,$ entonces $f=g.$ Demostrar que $f$
- [Desigualdad de Hadamard](https://fernandorevilla.es/2015/03/11/desigualdad-de-hadamard/) - Deostramos la desigualdad de Hadamard para normas euclídeas. Enunciado Demostrar la desigualdad de Hadamard: Si $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ entonces, $\det A$ es menor o igual que el producto de las normas euclídeas de sus columnas y también menor o igual que el producto de las normas euclídeas de sus filas. Solución. Usaremos el producto escalar usual
- [Lema de Schwarz](https://fernandorevilla.es/2015/08/10/lema-de-schwarz/) - Demostramos el lema de Schwarz y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el lema de Schwarz: Sea $\mathbb{D}$ el disco unidad $\left|z\right|
- [Principio del argumento: ceros en Re (z) > 0](https://fernandorevilla.es/2015/08/23/principio-del-argumento-ceros-en-re-z-0/) - Enunciado Usando el principio del argumento, calcular el número de ceros de la función $$f(z)=z^5+z^4+2z^3-8z-1$$ en el semiplano $\textrm{Re }(z)>0.$ Solución Consideremos la curvas $$\gamma_1(t)=ti,\quad t\in [-R,R],$$ $$\gamma_2(t)=R\cos t+i\text{sen }t,\quad t\in [-\pi/2,\pi/2],$$ sea $\gamma=\gamma_1\cup\gamma_2.$ Elijamos $R$ suficientemente grande para que todos los ceros de $f(z)$ en $\text{Re }(z)>0$ estén en el interior geométrico $D$ de
- [Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos](https://fernandorevilla.es/2015/09/02/integral-int_0inftycos-xcosh-xdx-por-residuos/) - Enunciado Calcular aplicando la técnica de residuos la integral real impropia $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos x}{\cosh x}\;dx.$$ Sugerencia: integrar $f(z)=\dfrac{e^{iz}}{\cosh z}$ a lo largo de un cierto rectángulo. (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Elijamos el rectángulo $\Gamma$ de vértices: $$A(R,0),\; B(R,\pi),\;C(-R,\pi),\;D(-R,0)\quad (R>0).$$ Hallemos las singularidades de $f(z)$ en el interior geométrico de
- [Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias](https://fernandorevilla.es/2015/09/03/teorema-de-pitagoras-trigonometrico-por-series-de-potencias/) - Enunciado Usando los desarrollos en serie de potencias, demostrar el teorema de Pitágoras trigonométrico en $\mathbb{C},$ es decir $$\text{sen }^2 z+\cos^2z=1,\quad \forall z\in \mathbb{C}.$$ Solución Sabemos que para todo $z\in\mathbb{C}$ se verifica $$\text{sen } z = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} z^{2n + 1}, \quad \cos z = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n},$$ siendo
- [Integral $ \int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $](https://fernandorevilla.es/2015/09/03/integral-int_02pifraccos-3t1-2acos-ta2dt/) - Enunciado Calcular la integral $$I(a)=\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt$$ para todos los posibles valores del parámetro real $a.$ (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Veamos para qué valores de $a\in\mathbb{R}$ la integral $I(a)$ es convergente. Dado que el intervalo de integración está acotado, la integral sólo puede ser divergente si la función
- [Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $](https://fernandorevilla.es/2015/09/03/integral-int_0inftyxndxx2n11/) - Enunciado (a) Determinar y clasificar las singularidades de la función compleja de variable compleja $f(z),$ siendo $n$ un entero positivo. Hallar el valor del residuo en dichas singularidades. $$f(z)=\dfrac{z^n}{z^{2n+1}+1}.$$ (b) Aplicando la técnica de residuos calcular la integral real impropia: $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{x^{2n+1}+1}\;dx.$$ Indicación: utilizar como camino de integración el borde de un sector adecuado. (Propuesto en
- [Principio del módulo máximo](https://fernandorevilla.es/2015/09/06/principio-del-modulo-maximo/) - Propoorcionamos ejemplos de aplicación del principio del módulo máximo. Enunciado Sea el disco unidad $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:\left|z\right|
- [Ecuación funcional compleja](https://fernandorevilla.es/2015/09/09/ecuacion-funcional-compleja/) - Resolvemos una ecuación diferencial compleja. Enunciado Determinar todas las funciones enteras $f$ que satisfacen la ecuación funcional compleja $$f(2z)=\frac{f(z)+f(-z)}{2},\qquad \forall z\in \mathbb{C}$$ Solución Si $f$ es una función entera, se puede expresar en todo el plano conlejo como suma de una serie de potencias convergente, i.e. $f(z)=\sum_{n\ge 0}a_n z^n.$ Si $f$ satisface la ecuación funcional
- [Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos](https://fernandorevilla.es/2015/10/10/integral-int_0inftyfraclog-x21x21dx-por-residuos/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$. Sugerencia: considerar $\displaystyle\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz$ siendo $\gamma$ la curva $ABCA$ de la figura Solución Sea $\Gamma$ la curva $ABC,$ es decir la semicircunferencia superior. Tenemos $$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{\Gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz=\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+i}dz.\quad (1)$$ Podemos expresar $$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx=\int_{-R}^{0}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{0}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx$$ $$\underbrace{=}_{t=-x}\int_{R}^{0}\frac{\log (-t+i)}{t^2+1}(-dt)+\int_{0}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx$$ $$=\int_{0}^{R}\frac{\log (-x+i)}{x^2+1}dx+\int_{0}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx=\int_{0}^{R}\frac{\log (i-x)+\log (i+x)}{x^2+1}dx.$$ Simplifiquemos el numerador, $$\log (i-x)+\log (i+x)=\log (i-x)(i+x)$$ $$=\log
- [Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$](https://fernandorevilla.es/2015/10/26/teorema-de-casorati-weierstrass-singularidades-de-1f/) - Proporcionamos una aplicación del teorema de Casorati-Weierstrass al estudio de los tipos de singularidad de la función $1/f.$ Enunciado Sea $U\subset \mathbb{C}$ abierto y $f:U\setminus\{a\}\to\mathbb{C}$ analítica, con singularidad esencial en $a$ y que no se anula en $:U\setminus\{a\}.$ Usando el teorema de Casorati-Weierstrass, estudiar el tipo de singularidad que presnta $1/f$ en $a.$ Verificar el
- [Igualdad integral $\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$](https://fernandorevilla.es/2015/11/04/igualdad-integral-int_piinftyfracsin-ttlog2-tdtint_piinftyfraccos-tlog-tdt/) - Enunciado Demostrar la igualdad entre las integrales impropias $$I=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt,\quad J=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos t}{\log t}dt.$$ Solución En $[\pi,+\infty)$, tenemos $$\left|\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}\right|\leq{\displaystyle\frac{1}{t\log^2 t}}.$$ Efectuando el cambio $x=\log t:$ $$\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{dt}{t\log^2 t}=\int_{\log \pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\text{ (convergente)}$$ por tanto $I$ es absolutamente convergente y como consecuencia, convergente. Apliquemos a $I$ el conocido teorema de la integración por partes para integrales impropias
- [Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series](https://fernandorevilla.es/2015/11/17/derivabilidad-de-una-funcion-compleja-como-suma-de-dos-series/) - Estudiamos la derivabilidad de una función compleja como suma de dos series, y su expresión en suma de una única serie. Enunciado Se considera la función compleja de variable compleja definida en forma de suma de series: $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z}{3}\right)^n+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{z^n}.$$ (a) Determinar su dominio $\Omega$ de definición. (b) Estudiar la derivabilidad de $f$ en $\Omega.$ (c) Justificar
- [Existencia de ceros en el disco unidad](https://fernandorevilla.es/2015/11/18/existencia-de-ceros-en-el-disco-unidad/) - Estudiamos la existencia de ceros en el disco unidad de una determinada función. Enunciado Sea $\Omega\subset\mathbb{C}$ abierto que contiene a $\overline{D}$ siendo $D$ el disco unidad. Sea $f \in H(\Omega) $ tal que $\left|f(z)\right| > 2 $ para todo $\left|z\right| = 1$ y $f(0) = 1$. Demostrar que $f$ tiene algún cero en $D,$ Usando
- [Función entera que es polinómica](https://fernandorevilla.es/2015/12/23/funcion-entera-que-es-polinomica/) - Proporcionamos una condición suficiente para que una función entera sea polinómica. Enunciado Sea $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ una función entera tal que existen $\alpha >0,$ $K>0$ cumpliendo $$\left|f(z)\right|\le K\left(1+\left|z\right|\right)^{\alpha},\quad \forall z\in\mathbb{C}.$$ Demostrar que $f(z)$ es un polinomio de grado a lo sumo $\alpha.$ Solución Como $f$ es entera, se puede escribir en la forma $$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n,\quad a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.$$ Usando
- [Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial](https://fernandorevilla.es/2016/01/03/formula-integral-de-cauchy-y-matriz-exponencial/) - Relacionamos la fórmula integral de Cauchy con la matriz exponencial. Enunciado La fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a matrices de la siguiente manera $$f(M)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}f(z)(zI-M)^{-1}\;dz,$$ donde $\gamma$ es la circunferencia $|z|=r,$ $I$ es la matriz identidad y todos los autovalores de $zI-M$ están en el interior de $\gamma.$ Calcular las integrales complejas $$I_1(t)=\displaystyle\int_{|z|=r}\displaystyle\frac{ze^z\;
- [Generador de la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$](https://fernandorevilla.es/2016/01/13/generador-de-la-extension-mathbbqsqrt2-sqrt3/) - En este problema demostramos que un generador de la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ es $\sqrt{2}+\sqrt{3}.$ Enunciado Demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}).$ Solución Demostremos el doble contenido. (a) $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}).$ Dado que $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ son elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}),$ también lo es $\sqrt{2}+ \sqrt{3}$ y al ser $\mathbb{Q}(\sqrt{2} +
- [Funciones holomorfas en un disco](https://fernandorevilla.es/2016/02/01/funciones-holomorfas-en-un-disco/) - Damos una aplicación de un teorema de identidad de funciones holomorfas en un dominio. Enunciado Determinar todas las funciones holomorfas en el disco $$D(1,1)=\left\{z\in\mathbb{C}:\left|z-1\right|
- [Cambio de referencia en el espacio afín](https://fernandorevilla.es/2016/02/05/cambio-de-referencia-en-el-espacio-afin/) - Deducimos la ecuación matricial del cambio de referencia en un espacio afín, y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sean $\mathcal{R}=\{O,B\}$ y $\mathcal{R}'=\{O',B'\}$ dos referencias en un espacio afín $\mathbb{A}$ de dimensión $n.$ Demostrar que se verifica $$\begin{bmatrix}1\{x_1}\ \vdots\{x_n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\ a_1 &p_{11} & \ldots & p_{n1} \ \vdots&&&\vdots \
- [Cardinales infinitos no regulares](https://fernandorevilla.es/2016/02/06/cardinales-infinitos-no-regulares/) - Demostramos que existen cardinales infinitos no regulares para la suma y el producto. Es decir, para cardinales $x,y,z$ no es cierto que $xz=yz\Rightarrow x=y$ (incluso si $z\ne 0$) ni que $x+z=y+z\Rightarrow x=y.$ Enunciado Se consideran los conjuntos $X=\{a\},$ $Y=\{b,c\},$ $\mathbb{N}$ y los cardinales $$x=\left|X\right|,\;y=\left|Y\right|,\;z=\left|\mathbb{N}\right|.$$ Demostrar que la aplicación $f:X\times \mathbb{N}\to Y\times \mathbb{N}$ $$f(a,n)= \left \{
- [Singularidades y residuos de $f(z)=\dfrac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$](https://fernandorevilla.es/2016/02/17/singularidades-y-residuos-de-fzdfracsin-zz3z2-z-1/) - Enunciado Se considera la función $$f(z)=\dfrac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}.$$ Determinar sus singularidades, clasificarlas y hallar sus residuos. Solución La función no es analítica para $z^3+z^2-z-1=0.$ Descomponiendo obtenemos $(z+1)^2(z-1)=0,$ con lo cual sus singularidades son $z=1$ y $z=-1.$ Entonces, $$\lim_{z\to 1}f(z)=\frac{\sin 1}{0}=\infty,\quad \lim_{z\to -1}f(z)=\frac{\sin (-1)}{0}=\infty,$$ por tanto son polos. Hallemos sus órdenes, $$\lim_{z\to 1}f(z)(z-1)=\lim_{z\to 1}\frac{(z-1)\sin z}{(z+1)^2(z-1)}=\lim_{z\to 1}\frac{\sin z}{(z+1)^2}=\frac{\sin
- [Singularidades y residuos de $f(z)=\dfrac{e^{1/z}}{z-1}$](https://fernandorevilla.es/2016/02/17/singularidades-y-residuos-de-fzdfrace1zz-1/) - Enunciado Se considera la función $$f(z)=\dfrac{e^{1/z}}{z-1}.$$ Determinar sus singularidades, clasificarlas y hallar sus residuos. Solución La función no es analítica en $z=0$ y en $z=1,$ y estas son por tanto sus singularidades. Caso $z=1.$ Tenemos $\lim_{z\to 1}f(z)=e/0=\infty,$ es decir $z=1$ es un polo, y $$\lim_{z\to 1}f(z)(z-1)=\lim_{z\to 1}e^{1/z}=e\ne 0,$$ con lo cual es polo simple y
- [Integral $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$](https://fernandorevilla.es/2016/02/19/integral-displaystyleint_02pifracdthetaabcos-thetacsintheta/) - Enunciado Demostrar que para $a,b,c$ reales positivos con $a^2 > b^2 + c^2$ se verifica $$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2-c^2}}.$$ Solución Efectuando el cambio $z=e^{i\theta}$ obtenemos $$dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta,$$ $$\cos \theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\frac{z+1/z}{2}=\frac{z^2+1}{2z},$$ $$\sin \theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\frac{z-1/z}{2i}=\frac{z^2-1}{2iz}.$$ Cuando $\theta$ recorre $[0,2\pi],$ $z$ recorre la circunferencia $\left|z\right|=1$ en sentido antihorario, por tanto $$I=\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}=\int_{\left|z\right|=1}\frac{dz/iz}{a+b\dfrac{z^2+1}{2z}+c \dfrac{z^2-1}{2iz}}$$ $$=\frac{1}{i}\int_{\left|z\right|=1}\frac{dz/z}{\dfrac{2aiz+bi(z^2+1)+c(z^2+1)}{2iz}}=2\int_{\left|z\right|=1}\frac{dz}{(c+bi)z^2+2aiz+bi-c}.$$ Los puntos singulares de la función integrando $f$ son
- [Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$](https://fernandorevilla.es/2016/02/20/suma-de-la-serie-displaystylesum_n1inftyfracn2nn1/) - Enunciado Dada la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}.$ Demostrar que es convergente. Hallar su suma. Solución La serie es de términos positivos. Aplicando el criterio de D'Alembert $$L=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}(n+2)}:\frac{2^n(n+1)}{n}\right)=\frac{1}{2}\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}
- [Una aplicación del teorema de Riemann](https://fernandorevilla.es/2016/10/12/una-aplicacion-del-teorema-de-riemann/) - Proporcionamos un ejercicio de aplicación del teorema de Riemann. Enunciado Sea $G\subset \mathbb{C}$ abierto y $f:G→ℂ$ holomorfa. Definimos $$\varphi: G\times G\to\mathbb{C},\quad \varphi(z,w)=\begin{cases} \dfrac{f(z)-f(w)}{z-w} & \text{si}& z\ne w\f'(z) & \text{si}& z=w.\end{cases}$$ Demostrar que fijando $w\in G$ la funcion $z\to \varphi(z,w)$ es holomorfa. Solución Aplicaremos el teorema de Riemann: Si $F:0 < \left|z-z_0\right| < r\to\mathbb{C}$ es holomorfa
- [Algunos conjuntos algebraicos](https://fernandorevilla.es/2016/11/21/algunos-conjuntos-algebraicos/) - Estudiamos si algunos conjuntos son algebraicios o no. Enunciado Determinar explícitamente los siguientes conjuntos algebraicos: $(a)\; V(x^2+1)\text{ en }\mathbb{R}^1.$ $(b)\;V(x^2+1)\text{ en }\mathbb{C}^1.$ $(c)\;V(x^p-x)$ en $\mathbb{Z}_p^1$ ($p$ primo). $(d)$ $V(y-x^2,x-y^2)$ en $\mathbb{R}^2$ y en $\mathbb{C}^2$. $(e)$ $V(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)$ en $k^n$ con $k$ cuerpo y $(a_1,\ldots,a_n)\in k^n$. Estudiar si los siguientes conjuntos son algebraicos $(a)$ $X=\{(\cos t,\sin t):t\in\mathbb{R}\}$
- [Grupos topológicos](https://fernandorevilla.es/2016/12/20/grupos-topologicos/) - Definimos el concepto de grupo topológico y vemos algunos ejemplos. Enunciado Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $T$ una topología definida en $G.$ Decimos que $(G,\cdot,T)$ es un grupo topológico si son continuas la aplicaciones $$\begin{aligned}&G\times G\to G,\quad (x,y)\to xy\&G\to G,\quad x\to x^{-1}\end{aligned}$$ en donde en $G\times G$ se considera la topología producto. Es decir, han
- [Topología cociente en $X/R$](https://fernandorevilla.es/2017/01/08/topologia-cociente-en-xr/) - Definimos la topología cociente y proporcionamos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $(X,T)$ un espacio topológico, $R$ una relación de equivalencia en $X$ y $\pi:X\to X/R$ la proyección canónica es decir, la aplicación dada por $\pi (x)=\bar{x}$ en donde $\bar{x}$ es la clase de equivalencia a la que pertenece $x$. Demostrar que $T_R :=\left\{U\subset X/R:\pi^{-1}(U)\in
- [Teorema de los valores extremos sobre un compacto](https://fernandorevilla.es/2017/02/11/teorema-de-los-valores-extremos-sobre-un-compacto/) - Demostramos que toda función real continua sobre un compacto alcanza sus valores extremos y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el teorema de los valores extremos sobre un compacto: Sea $(X,T)$ un espacio topológico, $K\subset X$ un compacto no vacío y $f:K\to\mathbb{R}$ una función continua en donde en $\mathbb{R}$ se considera la topología usual.
- [Caracterizaciones de la continuidad en espacios topológicos](https://fernandorevilla.es/2017/02/20/caracterizaciones-de-la-continuidad-en-espacios-topologicos/) - Proporcionamos varias caracterizaciones de la continuidad es espacios topológicos. Enunciado Sean $(X,T)$, $(Y,T^*)$ dos espacios topológicos. Por definición, una aplicación $f:(X,T)\to (Y,T^*)$ es continua sii $f^{-1}(G)\in T$ para todo $G\in T^*$ es decir, si la imagen inversa de todo abierto es abierto. Sea $\mathscr{B}$ una base de de $T^*.$ Demostrar que $$f:(X,T)\to (Y,T^*)\text{ es continua}\Leftrightarrow
- [Ordinales racionales $p$-ádicos](https://fernandorevilla.es/2017/03/27/ordinales-racionales-p-adicos/) - Definimos los ordinales naturales y racionales $p$-ádicos Enunciado Sea $p$ un número primo $\ge 2$. Sea $0\ne x\in \mathbb{Z}.$ Se define el ordinal $p$-ádico de $x$ como $$\text{ord}_{p} x=\max\{r\in \mathbb{N}:p^r\mid x \}$$ es decir, $\text{ord}_{p} x$ es el exponente de $p$ en la descomposición de $x$ en producto de factores primos. Sea $0\ne x=\dfrac{a}{b}\in\mathbb{Q}.$ Se
- [Una sucesión de Cauchy con la distancia $p$-ádica](https://fernandorevilla.es/2017/03/27/sucesion-de-cauchy-con-la-distancia-p-adica/) - Proporcionamos un ejemplo de sucesión de Cauchy con la distancia $p$-ádica. Enunciado Demostrar que en $R=\mathbb{Q}$ con la norma $p$-ádica la sucesión $$x_n=1+p+p^2+\cdots +p^{n-1}$$ es de Cauchy. Demostrar que es además convergente con límite $x=1/(1-p)\in\mathbb{Q}$ Solución Tenemos $$\left\|x_{n+k}-x_n\right\|_p=\left\|p^n+p^{n+1}+\cdots+p^{n+k-1}\right\|_p$$ $$=\left\|p^n\left(1+p+p^2\cdots+p^{k-1}\right)\right\|_p.$$ Ahora bien, $\text{ord}_{p} \left[p^n\left(1+p+p^2\cdots+p^{k-1}\right)\right]=n$ y por tanto $$\left\|x_{n+k}-x_n\right\|_p=p^{-n} 1/\epsilon$, se verifica $\left\|x_{n+k}-x_n\right\|_p 1/\epsilon,$ se verifica $\left\|x_{n}-x\right\|_p
- [Anillo de las sucesiones de Cauchy en un anillo normado](https://fernandorevilla.es/2017/03/27/sucesiones-de-cauchy-en-un-anillo-normado/) - Demostramos que en todo anillo normado $R$ se puede construir una estructura de anillo en el conjunto de sus sucesiones de Cauchy. Enunciado Sea $R$ un anillo unitario con norma $\left\|\;\right\|$ y $d(x,y)=\left\|x-y\right\|$ la distancia inducida por ella. Sea $\mathcal{C}$ el conjunto formado por todas las sucesiones de Cauchy en $R$. Definimos en $\mathcal{C}$ las
- [Ideal de las sucesiones nulas en el anillo de las sucesiones de Cauchy](https://fernandorevilla.es/2017/03/28/ideal-de-las-sucesiones-nulas-en-el-anillo-de-las-sucesiones-de-cauchy/) - Demostramos que las sucesiones nulas forman un ideal $I$ en el anillo de las sucesiones de Cauchy $\mathcal{C}$ sobre un anillo unitario $R$, lo cual definirá el anillo cociente $\mathcal{C}/I$. Enunciado Sea $R$ un anillo unitario con una norma $\left\|\;\right\|$ y $\mathcal{C}$ el anillo unitario de las sucesiones de Cauchy sobre $R$. Demostrar que el
- [Norma en el anillo cociente $\widehat{R}$ de las sucesiones de Cauchy sobre el ideal de las nulas](https://fernandorevilla.es/2017/03/29/norma-en-el-anillo-cociente-widehatr-de-las-sucesiones-de-cauchy-sobre-el-ideal-de-las-nulas/) - Construimos una norma en el anillo cociente $\widehat{R}=\mathcal{C}/I$ de las sucesiones de Cauchy sobre el ideal de las nulas. Enunciado Sea $R$ anillo unitario con norma $\left\|\;\right\|.$ Demostrar que $$\left|\left\|a\right\|- \left\|b\right\|\right |\le \left\|a-b\right\|,\quad \forall a,b\in R.$$ Es decir, que el valor absoluto de la diferencia de normas es menor o igual que la norma de
- [$R$ como subanillo de $\widehat{R}$](https://fernandorevilla.es/2017/03/29/r-como-subanillo-de-widehatr/) - Demostramos que $R$ se puede considerar como un subanillo de $\widehat{R}$. Enunciado Sea $R$ anillo unitario y $\widehat{R}=\mathcal{C}/I$ el anillo cociente de las sucesiones de Cauchy de $R$ sobre el ideal $I$ de las sucesiones nulas de $R$. Sea la aplicación $\phi:R\to \widehat{R}$ dada por $\phi (a)=\overline{(a)}$ en donde $(a)$ representa la sucesión constante de
- [Completación de todo anillo normado](https://fernandorevilla.es/2017/03/31/completacion-de-todo-anillo-normado/) - Demostramos que para todo anillo normado $R$, el anillo $\widehat{R}$ es una completación de $R$. Es decir, toda sucesión de Cauchy en $\widehat{R}$ es convergente y además $R$ es denso en $\widehat{R}$. Si $R$ es cuerpo, también también $\widehat{R}$ es cuerpo. Enunciado Sea $(X,d)$ un espacio métrico cualquiera. Sea $(b_n)$ una sucesión de Cauchy en
- [Cuerpo $\mathbb{Q}_p$ de los números $p$-ádicos y subanillo $\mathbb{Z}_p$](https://fernandorevilla.es/2017/04/02/cuerpo-mathbbq_p-de-los-numeros-p-adicos-y-subanillo-mathbbz_p/) - Definimos el conjunto $\mathbb{Q}_p$ de los números $p$-ádicos y el conjunto de los enteros $p$-ádicos $\mathbb{Z}_p$. Demostramos que $\mathbb{Z}_p$ es subanillo de $\mathbb{Q}_p$. Enunciado Sea $\mathbb{Q}$ el anillo de los números racionales con la norma $p$-ádica $\left\|\;\right\|_p$ y sea $\mathbb{Q}_p:=\widehat{\mathbb{Q}}$. Al anillo $\mathbb{Q}_p$ se le llama anillo de los números $p$-ádicos. La norma en $\mathbb{Q}_p$
- [Conservación de normas no arquimediadas por completación](https://fernandorevilla.es/2017/04/02/conservacion-de-normas-no-arquimediadas-por-completacion/) - Demostramos el principio de conservación de normas no arquimediadas por completación: si $\left\|\;\right\|_R$ es no arquimediana en el anillo $R$, también $\left\|\;\right\|_{\widehat{R}}$ es no arquimediana en el anillo $\widehat{R}$. Enunciado Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones convergentes de números reales. Demostrar que la sucesión $\max\{a_n,b_n\}$ es convergente con límite: $$\lim \left(\max\{a_n,b_n\}\right)=\max \{\lim a_n,\lim b_n\}.$$ Si
- [Sucesiones eventualmente constantes con normas no arquimedianas](https://fernandorevilla.es/2017/04/03/sucesiones-eventualmente-constantes-con-normas-no-arquimedianas/) - Demostramos una condición suficiente para la cual ciertas sucesiones en norma son eventualmente constante en un anillo unitario con norma no arquimediana. Enunciado Sea $R$ anillo unitario con una norma no arquimediana $\left\|\;\right\|$. Sea $(a_n)$ una sucesión de Cauchy en $R$ y $b\in R$ tal que $\lim a_n\ne b$. Demostrar que existe $n_0$ tal que
- [Teorema de compactificación de Alexandrov](https://fernandorevilla.es/2017/04/11/teorema-de-compactificacion-de-alexandrov/) - Demostramos el teorema de compactificación de Alexandrov por un único punto y proporcionamos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Sea $X_\infty:=X\cup \{\infty\}$, en donde $\infty$ representa cualquier elemento tal que $\infty\notin X$ y al que llamamos punto del infinito. Consideremos la clase $T_{\infty}$ de subconjuntos de $X_\infty$: $$T_\infty=T\cup\{A\cup\{\infty\}:A\subset X\text{ y }X-A\text{
- [Completación de todo espacio métrico](https://fernandorevilla.es/2017/11/11/completacion-de-todo-espacio-metrico/) - Demostramos que todo espacio métrico tiene una completación y que es única salvo isometrías. Enunciado Sea $X$ un espacio métrico. Se dice que el espacio métrico $X^*$ es una completacion de $X$ si $X^*$ es completo y $X$ es isométrico a un subespacio denso de $X^*$. El objetivo de éste problema es demostrar que todo
- [El número e es trascendente](https://fernandorevilla.es/2018/02/06/el-numero-e-es-trascendente/) - Demostramos que el número $e$ es trascendente. Teorema Demostrar que el número real $e$ es trascendente sobre $\mathbb{Q}$, es decir que no existe $p\in\mathbb{Q}[x]$ no nulo tal que $p(e)=0$. Demostración Sea $f\in\mathbb{R}[x]$ de grado $r$ y sea $$F(x)=f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots+f^{(r)}(x).$$ Hallemos la derivada de $h(x)=e^{-x}F(x)$: $$\dfrac{d}{dx}\left(e^{-x}F(x)\right)=-e^{-x}\left(f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots+f^{(r)}(x)\right)$$ $$+e^{-x}\left(f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots+f^{(r)}(x)+f^{(r+1)}(x)\right)\underbrace{=}_{f^{(r+1)}(x)=0}e^{-x}f(x).$$ La función $h$ satisface las hipótesis del valor medio de
- [Topología final](https://fernandorevilla.es/2018/02/11/topologia-final/) - Definimos la topología final y estudiamos propiedades de la misma. Enunciado Sea $f_i:(X,T_i)\to Y,i\in I$ una familia de aplicaciones de los espacios topológicos $(X_i,T_i)$ en el conjunto $Y$. Demostrar que $T_F=\{V\subset Y:f_i^{-1}(V)\in T_i\;\;\forall i\in T_i\}$ es una topología en $Y$. A la topología $T_F$ se la llama topología final determinada por las aplicaciones $f_i$. Demostrar
- [Concepto de espacio topológico](https://fernandorevilla.es/2018/05/01/concepto-de-espacio-topologico-2/) - Proporcionamos ejercicios resueltos sobre los conceptos de topología y de espacio topológico. Enunciados Definición. Si $X$ es un conjunto no vacío, se llama topología en $X$ a cualquier colección $T$ de subconjuntos de $X$ que satisface los axiomas: $(1)$ $\emptyset,X\in T$. $(2)$ Si $A$ y $B$ son elementos de $T,$ entonces $A\cap B\in T.$ $(3)$
- [Punto de acumulación](https://fernandorevilla.es/2018/05/04/punto-de-acumulacion/) - Proporcionamos ejercicios resueltos sobre el concepto de punto de acumulación. Enunciados Definición. Sea $X$ un espacio topológico. Un punto $x\in X$ se dice que es punto de acumulación o punto límite de un subconjunto $A$ de $X$ si para todo abierto $G$ que contiene a $x$ se verifica $\left(G-\{x\}\right)\cap A\ne\emptyset.$ Al conjunto de los puntos
- [Extensión finita y algebraica](https://fernandorevilla.es/2018/06/02/extension-finita-y-algebraica/) - Definimos los conceptos de extensión finita y algebraica y demostramos que toda extensión finita es algebraica. También proporcionamos un contraejemplo que prueba que el recíproco es falso. Enunciado Sea $K/k$ una extensión de cuerpos. Se dice que $K$ es extensión finita de $k$ si $[K:k]$ es finito. Se dice que $K$ es extensión infinita de
- [Polinomio mínimo de un elemento algebraico](https://fernandorevilla.es/2018/06/05/polinomio-minimo-de-un-elemento-algebraico-2/) - Definimos el concepto de polinomio mínimo de un elemento algebraico y estudiamos alguna de sus propiedades. Definición Sea $K/k$ una extensión de cuerpos y $\alpha\in K$ algebraico sobre $k.$ Sea $p(x)=x^\nu+\ldots +a_1x+a_0\in k[x]$ el polinomio de menor grado y mónico que anula a $\alpha.$ Al polinomio $p(x)$ se le llama polinomio mínimo de $\alpha$ y
- [Cuerpo de descomposición](https://fernandorevilla.es/2018/06/11/cuerpo-de-descomposicion/) - Definimos el concepto de cuerpo de descomposición de un polinomio y proporcionamos algunos ejemplos. Sea un polinomio $f(x)\in k[x]$ irreducible y de grado $\ge 2.$ Si $\sum_1=k(\xi_1)$ es un cuerpo de ruptura de $f(x)$ entonces, $f(x)=(x-\xi_1)q(x)$ con $q(x)\in k(\xi_1)[x]$. Si en la descomposición de factores irreducibles de $f(x)$ en $\sum_1[x]$ no todos los factores son
- [Inverso en un cuerpo de ruptura](https://fernandorevilla.es/2018/06/13/inverso-en-un-cuerpo-de-ruptura/) - Proporcionamos un método para hallar el inverso de cualquier elemento en un cuerpo de ruptura. Método. Sea $k(\xi)$ cuerpo de ruptura de un polinomio $f(x)\in k[x].$ Si $\beta\in k(\xi)$ podemos expresar $\beta$ en la forma $\beta=g(\xi)$ con $g(x)\in k[x]$ y $\text{grad }g(x) < \text{grad }f(x)$. Por la igualdad de Bezout, existen $A(x),B(x)\in k[x]$ tales que
- [El conjunto de los números algebraicos es contable](https://fernandorevilla.es/2018/06/21/el-conjunto-de-los-numeros-algebraicos-es-contable/) - Demostramos que el conjunto de los números algebraicos es contable. Trabajamos en la extensión de cuerpos $\mathbb{R}/\mathbb{Q}.$ Teorema. El conjunto de los números algebraicos es contable. Demostración. El conjunto $A$ de los números algebraicos se puede expresar en la forma: $A=\bigcup_{p\in P}R(p)$ en donde $P$ representa el conjunto de los polinomios mónicos de $\mathbb{Q}[x]$ y
- [Teorema de la base de Hilbert](https://fernandorevilla.es/2018/07/14/teorema-de-la-base-de-hilbert/) - Demostramos el teorema de la base de Hilbert y como corolario, que para todo cuerpo $k$, el anillo de polinomios $k[x_1,\ldots,x_n]$ es noetheriano. Teorema (de la base de Hilbert). Sea $A$ anillo conmutativo y unitario. Entonces, $$A\text{ es noetheriano}\Rightarrow A[x]\text{ es es noetheriano.}$$ Demostración. Por reducción al absurdo. Supongamos que existe un ideal $I\subset A[X]$
- [Separación de puntos y espacio de Hausdorff](https://fernandorevilla.es/2018/08/02/separacion-de-puntos-y-espacio-de-hausdorff/) - Demostramos una condición suficiente para que un espacio sea de Hausdorff en términos de separación de puntos. Definición. Sea $\mathscr{F}=\{f_i:X\to Y:i\in I\}$ una familia de aplicaciones entre los conjuntos $X$ e $Y.$ Se dice que $\mathscr{F}$ separa puntos si para todo par de puntos distintos $x$ e $y$ de $X$ existe $i\in I$ tal que
- [Caracterización de conjuntos algebraicos irreducibles](https://fernandorevilla.es/2018/08/08/caracterizacion-de-conjuntos-algebraicos-irreducibles/) - Demostramos una caracterización de los conjuntos algebraicos irreducibles Definición. Sea $k$ un cuerpo y $V\subset k^n$ un conjunto algebraico. Se dice que $V$ es reducible si existen $V_1,V_2$ conjuntos algebraicos de $k^n$ tales que $V=V_1\cup V_2$ con $V_1\ne V$ y $V_2\ne V.$ En caso contrario se dice que $V$ es irreducible. Ejemplo. El conjunto algebraico
- [Descomposición de un conjunto algebraico en unión de irreducibles](https://fernandorevilla.es/2018/08/22/descomposicion-un-conjunto-algebraico-en-union-de-irreducibles/) - Demostramos que todo conjunto algebraico es unión de conjuntos algebraicos irreducibles. Lema. Sea $A$ un anillo noetheriano y $\mathscr{S}$ una colección no vacía de ideales de $A.$ Entonces, $\mathscr{S}$ tiene un elemento maximal, es decir existe un ideal $I$ de $\mathscr{S}$ que no está contenido en ningún otro ideal de $\mathscr{S}.$ Demostración. Elijamos un ideal
- [Permutación de raíces y automorfismos de cuerpos](https://fernandorevilla.es/2018/09/11/permutacion-de-raices-y-automorfismos-de-cuerpos/) - Demostramos un teorema de permutación de raíces relativo a una extensión de cuerpos y damos dos ejemplos de aplicación al cálculo de los automorfismos de cuerpos. Teorema. Sea $K/k$ una extensión de cuerpos y $\alpha\in K$ algebraico sobre $k.$ Entonces, si $\sigma\in\text{Aut }(K/k)$ y $\alpha$ es raíz de $p(x)\in k[x]$ entonces $\sigma (\alpha)$ también es
- [Topología del orden](https://fernandorevilla.es/2018/12/28/topologia-del-orden/) - Definimos la topología del orden y proporcionamos ejemplos. Definición. Sea $X$ un conjunto y $\le$ una relación de orden total en $X.$ Si $a,b\in X$ con $a < b$ se definen los subconjuntos de $X$: $$\begin{aligned} & (a,b)=\{x\in X: a < x < b\},\ & (a,b]=\{x\in X: a < x \le b\},\ & [a,b)=\{x\in X:
- [Regla y compás](https://fernandorevilla.es/2019/01/12/regla-y-compas/) - Definimos el concepto de construcción por regla y compás y lo relacionamos con la teoría de extensiones de cuerpos. Sea $ \mathcal{P}_0 $ un subconjunto de puntos del plano euclídeo $\mathbb{R}^2$ y admitamos las siguientes construcciones: (a) Regla: trazar la recta que pasa por dos puntos distintos de $\mathcal{P}_0 $.
- [Duplicación del cubo](https://fernandorevilla.es/2019/01/13/duplicacion-del-cubo/) - El problema de la duplicación del cubo consiste en dado un cubo, hallar la arista de otro cubo cuyo volumen sea el doble del cubo dado. Las técnicas del álgebra son capaces de resolver este problema de forma trivial. Demostramos sin embargo que el problema no tiene solución por regla y compás. Teorema. Si el
- [Cuadratura del círculo](https://fernandorevilla.es/2019/01/18/cuadratura-del-circulo/) - Demostramos la imposibilidad de la cuadratura del círculo. Definición. Se denomina cuadratura del círculo al problema que consiste en hallar con sólo regla y compás un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. Teorema. El problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Demostración.
- [Topologías de Zariski y usual en $k^n$](https://fernandorevilla.es/2019/01/28/topologias-de-zariski-y-usual-en-kn/) - Demostramos que para $k=\mathbb{R}$ o $k=\mathbb{C},$ la topología de Zariski en $k^n$ es estrictamente menos fina que la usual. Teorema. Si $F\in k[X_1,\ldots,X_n]$ entonces $V(F)$ es cerrado en $k^n$ con la topología usual. Demostración. La función $F:k^n,\to k,$ es polinómica y por tanto continua con las topologías usuales. Como $\{0\}\subset k$ es cerrado con la
- [Polinomio que se anula en $k^n$](https://fernandorevilla.es/2019/02/06/polinomio-que-se-anula-en-kn/) - Demostramos que si un polinomio $F$ se anula en todos los puntos de $k^n$ con $k$ cuerpo infinito, entonces $F=0.$ Teorema. Sea $k$ un cuerpo conmutativo infinito y $F\in k[X_1,\ldots,X_n].$ Si $F$ se anula en todos los puntos de $k^n$ entonces, $F$ es el polinomio nulo. Demostración. Por inducción sobre $n.$ Si $0\ne F\in k[X]$
- [Conjuntos equivalentes](https://fernandorevilla.es/2019/03/06/conjuntos-equivalentes/) - Definimos el concepto de conjuntos equivalentes. Definición. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Se dice que $A$ es equivalente a $B$ y se escribe $A\sim B$ si existe una aplicación biyectiva $f:A\to B$. Definición. Un conjunto $A$ se dice que es finito si es vacío o es equivalente a $\{1,2,\ldots,n\}$ para algún $n$ natural, en
- [Conjuntos numerables y contables](https://fernandorevilla.es/2019/03/07/conjuntos-numerables-y-contables/) - Definimos los conceptos de conjunto numerable y contable y estudiamos alguna de sus propiedades. Definición. Sea $\mathbf{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ el conjunto de los números naturales. Un conjunto $X$ se dice que es numerable o que tiene cardinalidad $\aleph_0$, si $X$ es equivalente a $\mathbf{N}.$ Un conjunto $X$ se dice que es contable si es finito o numerable.
- [Teorema de Cantor](https://fernandorevilla.es/2019/03/08/teorema-de-cantor/) - Demostramos el teorema de Cantor. Teorema (Cantor). Si $A$ es un conjunto, entonces el conjunto $\mathcal{P}(A)$ de las partes de $A$ tiene cardinalidad mayor que $A.$ Demostración. La aplicación $f:A\to \mathcal{P}(A)$ dada por $f(a)=\{a\}$ es inyectiva y por tanto, $|A| \preceq |\mathcal{P}(A)|.$ Demostremos que $A$ no es equivalente a $\mathcal{P}(A).$ En efecto, supongamos que exista
- [Teorema de Cantor-Bernstein](https://fernandorevilla.es/2019/04/06/teorema-de-cantor-bernstein/) - Demostramos el teorema de Teorema de Cantor-Bernstein. Teorema (Cantor-Bernstein). Sean $A$ y $B$ dos conjuntos tales que existen aplicaciones inyectivas $f:A\to B$ y $g:B\to A.$ Entonces, existe una biyección entre $A$ y $B.$ Demostración. Sea $b_1\in B.$ Vamos a construir una sucesión de elementos $b_1,a_1,b_2,a_2,b_3,a_3,\ldots$ de elementos con $b_i\in B$ y $a_i\in A$ de la
- [Orden en el conjunto de los cardinales](https://fernandorevilla.es/2019/04/14/orden-en-el-conjunto-de-los-cardinales/) - Definimos una relación de orden en el conjunto de los cardinales Definición. Sea $\mathscr C$ la clase de todos los conjuntos. Sabemos que la relación en $\mathscr C,$ $A\sim B\Leftrightarrow$ existe una aplicación biyectiva de $A$ en $B,$ es de equivalencia. Si $A\sim B$ decimos que $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad o el
- [La clase de los cardinales está totalmente ordenada](https://fernandorevilla.es/2020/03/24/el-conjunto-de-los-cardinales-esta-totalmente-ordenado/) - Demostramos que el conjunto de los números cardinales está totalmente ordenado.
- [Suma de cardinales](https://fernandorevilla.es/2020/03/25/suma-de-cardinales/) - Definimos la suma de cardinales y demostramos algunas propiedades.
- [Potenciación de cardinales](https://fernandorevilla.es/2020/03/30/potenciacion-de-cardinales/) - Definimos la potenciación de cardinales y demostramos algunas de sus propiedades Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $A^B=\{f:B\to A \text{ con } f\text{ aplicación} \}.$ Si $A$ y $B$ son finitos con $m$ y $n$ elementos respectivamente, el número de elementos de $A^B$ son las variaciones con repetición de $m$ elementos tomados de $n$
- [Caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones](https://fernandorevilla.es/2021/03/25/caracterizacion-de-limites-de-funciones-en-espacios-metricos-por-sucesiones/) - RESUMEN. Demostramos el teorema de caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones. Teorema. Sean $(X,d)$ un espacio métrico, $A\subset X$, $f:A\to X$ una función, $a$ un punto de acumulación de $A$ y $b\in X.$ Entonces, $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\Leftrightarrow $ para toda sucesión $(x_n)$ en $A$ con $x_n\ne a$ para todo $n$ y $(x_n)\to
- [Hipersuperficie en $\mathbb{Q}^2$ y último teorema de Fermat](https://fernandorevilla.es/2021/03/30/hipersuperficie-en-mathbbq2/) - RESUMEN. Usando el último teorema de Fermat, determinamos una hipersuperficie en $\mathbb{Q}^2.$ Enunciado. Para $n\ge 3$ entero, determinar $V(x^n+y^n-1)$ en $\mathbb{Q}^2.$ Solución. Supongamos que $x=a/b$, $y=c/d$ es solución racional de $x^n+y^n-1=0$. Escribiendo con común denominador, $x=(ad)/(bd)$, $y=(cb)/(db)$ con lo cual, $$\left(\frac{ad}{bd}\right)^n+\left(\frac{cb}{bd}\right)^n-1=0\text{ o bien }(ad)^n+(cb)^n=(bd)^n.$$ Según el último teorema de Fermat, si $n\ge 3$ la ecuación
- [Propiedades de los conjuntos algebraicos](https://fernandorevilla.es/2021/04/01/propiedades-de-los-conjuntos-algebraicos/) - RESUMEN. Demostramos propiedades de los conjuntos algebraicos. Teorema. Si $I$ es el ideal en $k[x_1,\ldots,x_n]$ generado por $S$, entonces $V(S) = V(I)$ es decir, cada conjunto algebraico es igual a $V(I)$ para algún ideal $I.$ Si $\{I_{\alpha}\}$ es una colección de ideales de $k[x_1,\ldots,x_n]$ entonces, $V\left(\bigcup_{\alpha}I_{\alpha}\right)=\bigcap_{\alpha}V\left(I_{\alpha}\right)$, es decir la intersección de cualquier colección de conjuntos
- [Esquema de urnas de Poisson. Función generatriz](https://fernandorevilla.es/2014/04/12/esquema-de-urnas-de-poisson-funcion-generatriz/) - El esquema de urnas de Poisson es una generalización de la distribución binomial o de Bernouilli. Ahora, la probabilidad de éxito varía con cada prueba. Un claro ejemplo sería considerar como éxito el sacar bola blanca al realizar extracciones de urnas con distintas composiciones. Enunciado Supongamos que realizamos $n$ experimentos aleatorios y que en el
- [Matrices mágicas](https://fernandorevilla.es/2015/12/25/matrices-magicas/) - Estudiamos propiedades de las matrices mágicas. Enunciado Todas las matrices con las que trabajamos en este problema serán matrices $3\times 3$ con elementos $a_{ij}$ reales. Una tal matriz se dice que es mágica sí y sólo si son iguales la ocho sumas: $$a_{i1}+a_{i2}+a_{i3},\quad a_{1j}+a_{2j}+a_{3j},\quad a_{11}+a_{22}+a_{33},\quad a_{31}+a_{22}+a_{13}$$ para todo $i,j=1,2,3$. Es decir, si es común la
- [Funciones de variación acotada](https://fernandorevilla.es/2016/01/19/funciones-de-variacion-acotada/) - Proporcionamos ejercicios sobre funciones de variación acotada. Enunciado Estudiar si las siguientes funciones son de variación acotada $$\begin{aligned}& (a)\quad f:[a,b]\to\mathbb{R},\;f(x)=x.\ & (b)\quad g:[0,1]\to\mathbb{R},\;g(x)=\begin{cases} x\cos \dfrac{1}{x} & \text{si}& x\ne 0\0 & \text{si}& x=0.\end{cases}\end{aligned}$$ Demostrar que si $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es monótona, entonces es de variación acotada. Demostrar que $f:[0,1]\to\mathbb{R},$ $f(x)=\sqrt[3]{x}$ es de variación acotada. Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continua. Supongamos
- [Diferencia de funciones crecientes](https://fernandorevilla.es/2016/01/29/diferencia-de-funciones-crecientes/) - Demostramos que una función es de variación acotada si y sólo si, se puede expresar como diferencia de dos funciones crecientes. Enunciado Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de variación acotada. Definimos la función $$V:[a,b]\to \mathbb{R},\quad V(x)=\begin{cases} V_f(a,x) & \text{si}& 0 < x \le b\0 & \text{si}& x=a\end{cases}$$ Demostrar que (a) $V$ es creciente en $[a,b].$ (b) $V-f$
- [Ecuación diferencial de la ley de absorción de Lambert](https://fernandorevilla.es/2016/02/02/ecuacion-diferencial-de-la-ley-absorcion-de-lambert/) - Enunciamos la ley de absorción de Lambert, y resolvemos la ecuación diferencial correspondiente. Enunciado La ley de absorción de Lambert asegura que la tasa de absorción de luz relativa a una profundidad $x$ de un material translúcido es proporcional a la intensidad $I$ en tal profuncidad $x.$ Es decir, $$\frac{dI}{dx}=-kI\quad \text{(Ley de absorción de Lambert}).$$
- [Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$](https://fernandorevilla.es/2016/02/22/cuerpo-mathbbqsqrt5i/) - Enunciado Denominemos por $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$ al menor subcuerpo de $\mathbb{C}$ que contiene a $\mathbb{Q}\cup \{\sqrt{5},i\}.$ Demostrar que $$\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)=\{p+qi+r\sqrt{5}+s\sqrt{5}i:\;p,q,r,s\in\mathbb{Q}\}.$$ Solución Denominemos por $K$ al cuerpo pedido. Necesariamente $K$ ha de contener a $1,$ $\sqrt{5},$ $i,$ $\sqrt{5}i.$ Como también ha de contener a los racionales, necesariamente, $$K\supset K'=\{\alpha\in \mathbb{C}:\alpha=p+qi+r\sqrt{5}+s\sqrt{5}i\text{ con }p,q,r,s\in\mathbb{Q}\}.$$ Si demostramos que $K'$ es cuerpo estará
- [Menor subanillo que contiene a un conjunto](https://fernandorevilla.es/2016/11/25/menor-subanillo-que-contiene-a-un-conjunto/) - Construimos el menor subanillo que contiene a un conjunto incluido en un anillo. Enunciado Sean $R$ un anillo y $\mathcal{F}$ una familia de subanillos de $R$. 1. Demostrar que $R_1=\bigcap_{S\in\mathcal{F}}S$ es subanillo de $R$. 2. Sea $G$ un subconjunto de $R$ y denotemos $$R[G]=\bigcap_{S\in\mathcal{C}} \text{ con } \mathcal{C}=\{S\text{ subanillo de }R:G\subset S\}.$$ Demostrar que $R[G]$
- [Límite de una sucesión de conjuntos](https://fernandorevilla.es/2017/11/01/limite-de-una-sucesion-de-conjuntos/) - Definimos el concepto de límite de una sucesión de conjuntos y estudiamos algunas de sus propiedades. Enunciado Sea $A_1,A_2,A_3,\ldots$ una sucesión de conjuntos contenidos en un conjunto universal $U$. Se definen: $$\liminf A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k,\quad \limsup A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k.$$ Demostrar que $$\left(\liminf A_n\right)^c = \limsup A_n^c,\quad \left(\limsup A_n\right)^c = \liminf A_n^c.$$ Si
- [Formas diferenciales de grado 1](https://fernandorevilla.es/2018/02/22/formas-diferenciales-de-grado-1/) - Ejemplo. Consideremos la expresión $$\omega=\left(3x+y^2+z \right)dx+\left(\log \left(x^2+y^2+z^2\right)\right)dy+\left(xyz\right)dz.$$ Las tres funciones $P,Q,R$ dadas por $$P(x,y,z)=3x+y^2+z,\; Q(x,y,z)=\log \left(x^2+y^2+z^2\right),\; R(x,y,z)=xyz,$$ están definidas en el abierto de $\mathbb{R}^3$, $U=\mathbb{R}^3-\{(0,0,0)\}$. Fijando un punto $M=(x,y,z)$ de $U$ obtenemos la forma lineal o elemento de $\left(\mathbb{R}^3\right)^*$: $$\begin{aligned}& \omega (M):\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\ &\omega (M) (dx,dy,dz)=P(M)dx+Q(M)dy+R(M)dz. \end{aligned}$$ Precisamos esta idea en la siguiente definición. Definición.
- [Cuerpo fijo asociado a un subgrupo de automorfismos](https://fernandorevilla.es/2018/09/18/cuerpo-fijo-asociado-a-un-subgrupo-de-automorfismos/) - Estudiamos el concepto de cuerpo fijo asociado a un subgrupo de automorfismos. Teorema. Sea $K$ un cuerpo y $H$ un subconjunto de $\text{Aut}\left(K\right).$ Entonces, el conjunto formado por los elementos de $K$ que quedan invariantes por todos los elementos de $H$ es un subcuerpo de $K.$ Demostración. Sea $F=\{x\in K:\tau (x)=x\;\;\forall \tau\in H\}.$ Veamos que
- [Derivación de integrales dependientes de un parámetro](https://fernandorevilla.es/2020/04/06/derivacion-de-integrales-dependientes-de-un-parametro/) - Demostramos los teoremas de derivación de integrales dependientes de un parámetro.
- [Ecuación de Verhulst](https://fernandorevilla.es/2020/04/09/ecuacion-de-verhulst/) - Resolvemos la ecuación de Verhulst.
- [Ideales biláteros en el anillo de matrices](https://fernandorevilla.es/2020/09/13/ideales-bilateros-en-el-anillo-de-matrices/) - Demostramos que en el anillo de las matrices de orden $n$ sobre un cuerpo los únicos ideales biláteros son los triviales. Enunciado Demostrar que en el anillo $\mathbb{K}^{n\times n}$ de las matrices de orden $n$ sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ los únicos ideales biláteros son los triviales. Solución Efectivamente, sea $J\ne \{0\}$ un ideal bilátero de
- [Variación de las constantes para $x^{\prime\prime} +P(t)x^\prime+Q(t)x=\cos t$](https://fernandorevilla.es/2020/10/02/variacion-de-las-constantes-para-xprimeprime-ptxprimeqtxcos-t/) - Aplicamos el método de variación de las constantes a una ecuación de segundo orden conociendo dos soluciones de la homogénea. Enunciado Si la ecuación diferencial $x^{\prime\prime} +P(t)x^\prime+Q(t)x=0$ tiene como soluciones $\varphi_1(t)=\sin^2 t$ y $\varphi_2(t)=\sin t$, encontrar una solución particular de $$x^{\prime\prime} +P(t)x^\prime+Q(t)x=\cos t.$$ Solución Recordamos que si $x=C_1 x_1+C_2x_2+\ldots +C_nx_n$ es la solución general de
- [Normas de matrices y perturbación de sistemas](https://fernandorevilla.es/2020/10/15/normas-de-matrices-y-perturbacion-de-sistemas/) - En el pdf anexo, estudiamos las normas de matrices y como aplicación, algunas perturbaciones en sistemas lineales: Normas de matrices y perturbación de sistemas (16 pág, 276 KB). CONTENIDOS Normas en $\mathbb{K}^{m\times n}$. Dado que el conjunto $\mathbb{K}^{m\times n}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) de las matrices de órdenes $m\times n$ es espacio vectorial sobre el cuerpo
- [Aplicación lineal $T(X)=AX-XA^{-1}$](https://fernandorevilla.es/2020/10/16/aplicacion-lineal-txax-xa-1/) - Enunciado Sea $A$ una matriz fija e invertible en el espacio $\mathbb{R}^{n\times n}$ de las matrices cuadradas reales de orden $n$. Se considera la aplicación $$T:\mathbb{R}^{n\times n}\to \mathbb{R}^{n\times n},\quad T(X)=AX-XA^{-1}.$$ Estudiar si es una transformación lineal. Si la respuesta es afirmativa, para el caso $$A=\begin{bmatrix}{5}&{1}\{4}&{1}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2}$$ hallar una base del núcleo de $T$ y estudiar
- [Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz](https://fernandorevilla.es/2020/10/19/limite-de-una-sucesion-por-potencia-enesima-de-una-matriz/) - Calculamos el límite de una sucesión numérica usando la potencia enésima de una matriz. Enunciado Dada la sucesión $x_n$ tal que $x_1=1,x_2=2$ y $x_{n+2}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+x_{n+1}\right)$ probar que $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_n}=\frac{5}{3}.$ Enunciado Podemos escribir $$\underbrace{\begin{bmatrix}{x_{n+2}}\{x_{n+1}}\end{bmatrix}}_{X_{n+2}}=\underbrace{\begin{bmatrix}{1/2}&{1/2}\{1}&{0}\end{bmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{bmatrix}{x_{n+1}}\{x_{n}}\end{bmatrix}}_{X_{n+1.}}$$ Por tanto, $X_{n+2}=AX_{n+1}=A^2X_{n}=\ldots =A^nX_2=A^n\begin{bmatrix}{2}\{1}\end{bmatrix}.$ Es decir, $$\lim_{n \to{+}\infty}\begin{bmatrix}{x_{n+2}}\{x_{n+1}}\end{bmatrix}=\lim_{n \to{+}\infty}A^n\begin{bmatrix}{2}\{1}\end{bmatrix}.$$ Valores propios de $A:$ $$\lambda^2-\frac{1}{2}\lambda-\frac{1}{2}=0,\quad \lambda_1=1, \lambda_2=-\frac{1}{2}.$$ Subespacios propios y correspondientes bases: $$V_1\equiv \left
- [Sistema diferencial dependiente de un parámetro](https://fernandorevilla.es/2020/10/20/sistema-diferencial-dependiente-de-un-parametro/) - Hallamos la solución general de un sistema diferencial dependiente de un parámetro. Enunciado Resolver el sistema diferencial $$\begin{cases}{x^{\prime}}=cx+y+2\{y^{\prime}}=-c^2x-cy+1 \end{cases}\quad (c\in\mathbb{R}).$$ Solución En forma matricial, $$\begin{bmatrix}{x^\prime}\{y^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{c}&{1}\{-c^2}&{-c}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{2}\{1}\end{bmatrix}.$$ Hallemos la forma de Jordan de la matriz $A=\begin{bmatrix}{c}&{1}\{-c^2}&{-c}\end{bmatrix}.$ El polinomio característico de $A$ es $\chi (\lambda)=\lambda^2$, por tanto el único valor propio es $\lambda=0$ (doble). El subespacio propio asociado
- [Tres integrales a partir de la de Dirichlet](https://fernandorevilla.es/2020/11/01/tres-integrales-a-partir-de-la-de-dirichlet/) - Calculamos tres integrales a partir de la de Dirichlet $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.$ Enunciado Calcular $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}dx.$ Calcular $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}dx.$ Calcular $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^4x}{x^2}dx.$ Solución Integramos por partes con $u=1-\cos x$ y $dv=1/x^2$ con lo cual, $du=\sin x,$ $v=-1/x.$ Entonces, $$\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}dx=\left[-\frac{1-\cos x}{x}\right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}dx.$$ Ahora bien, $$\left[-\frac{1-\cos x}{x}\right]_0^{+\infty}=-\lim_{x\to +\infty}\frac{1-\cos
- [Dominios euclidianos](https://fernandorevilla.es/2020/11/11/dominios-euclidianos/) - RESUMEN. Definimos el concepto de dominio euclidiano y estudiamos algunas de sus propiedades. Recordamos que un dominio de integridad es un anillo conmutativo, unitario y sin divisores de cero. Un dominio euclidiano es un dominio de integridad que admite el algoritmo de la división con resto. Definición. Se llama dominio euclídeo o euclidiano a un
- [Elementos primos e irreducibles](https://fernandorevilla.es/2020/11/12/elementos-primos-e-irreducibles/) - RESUMEN. Definimos los conceptos de elemento primo e irreducible en un dominio de integridad y estudiamos algunos de sus propiedades. Definición. Sea $A$ un dominio de integridad y $a\in A.$ Se dice que $a$ es primo si (i) $a\ne 0$. (ii) $a$ no es unidad. (iii) $a\mid bc$ con $b,c\in A\Rightarrow a\mid b \vee a\mid
- [Congruencias y anillo de clases residuales](https://fernandorevilla.es/2021/02/23/congruencias/) - Definimos el concepto de congruencia y analizamos algunas de sus propiedades.
- [Teorema de Euler y pequeño teorema de Fermat](https://fernandorevilla.es/2021/03/01/teorema-de-euler-y-pequeno-teorema-de-fermat/) - RESUMEN. Demostramos el Teorema de Euler y el pequeño teorema de Fermat Definición. Elijamos un número $a_i$ de cada clase de residuos módulo $m.$ Al conjunto $\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$ se le llama sistema completo de residuos módulo $m.$ Ejemplo. Los conjuntos $\{0,1,2,3,4\}$ y $\{4,-7,14,7\}$ son sistemas completos de residuos módulo $4.$ Lema. $(i)$ Para todo entero $n$
- [$\sigma-$álgebras y conjuntos de Borel](https://fernandorevilla.es/2021/03/11/sigma-algebras-y-conjuntos-de-borel/) - RESUMEN. Definimos los conceptos de $\sigma-$álgebra, conjunto de Borel y estudiamos algunas de sus propiedades. Definición. Sea $E$ un conjunto y $\mathcal{M}$ una colección de subconjuntos de $E.$ Decimos que $\mathcal{M}$ es una $\sigma-$álgebra (sigma álgebra) en $E$ si se verifica: 1) $E\in\mathcal{M}.$ 2) Si $A\in \mathcal{M},$ entonces $A^c\in \mathcal{M}$. 3) Si $A_1,A_2,\ldots$ pertenecen a
- [Probabilidad y espacio probabilístico](https://fernandorevilla.es/2021/03/14/probabilidad-y-espacio-probabilistico/) - RESUMEN. Definimos los conceptos de probabilidad y espacio probabilístico. Definición. Sea $E$ el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y $\mathcal{M}$ una $\sigma-$álgebra de sucesos en $E.$ Una medida de probabilidad o probabilidad es una función $p:\mathcal{M}\to \mathbb{R}$ tal que: $1)$ $0\le p(A)\le 1$ para todo $A\in \mathcal{M}.$ $2)$ Si $A_1,A_2,\ldots$ son elementos de
- [Concepto de variable aleatoria](https://fernandorevilla.es/2021/03/16/concepto-de-variable-aleatoria/) - RESUMEN. Definimos el concepto de variable aleatoria y proporcionamos una caracterización. Notaciones. Recordemos que si $E$ es un conjunto y $\mathcal{F}$ una colección de subconjuntos de $E,$ a la menor $\sigma-$álgebra en $E$ que contiene a $\mathcal{F}$ la designamos por $\sigma (\mathcal{F}).$ Por otra parte, si $\mathcal{T}$ es una topología en $E,$ a los elementos
- [Operaciones con variables aleatorias](https://fernandorevilla.es/2021/03/19/operaciones-con-variables-aleatorias/) - RESUMEN. Demostramos que varias operaciones con variables aleatorias dan lugar a variables aleatorias. Recordamos que existen varias caracterizaciones del concepto de variable aleatoria asociada a un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{M},p):$ $$ \xi \text{ es variable aleatoria}\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}(-\infty, x]\in\mathcal{M}$$ $$\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}(-\infty, x)\in\mathcal{M} $$ $$\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}(x,+\infty)\in\mathcal{M}$$ $$\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}[x,+\infty)\in\mathcal{M}$$ $$\Leftrightarrow
- [Función de distribución de una variable aleatoria](https://fernandorevilla.es/2021/03/22/funcion-de-distribucion-de-una-variable-aleatoria/) - RESUMEN. Definmos el concepto de función de distribución de una variable aleatoria y demostramos sus propiedades. Lema. Sea $(\Omega,\mathcal{M},p)$ un espacio probabilístico y $A_n$ una sucesión de elementos de $\mathcal{M}$. $(a)$ Si $A_n$ es creciente, es decir $A_1\subset A_2\subset A_3\subset \ldots$, entonces: $$ \lim_{n\to \infty}p(A_n)=p\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right).$$ $(b)$ Si $A_n$ es decreciente, es decir $A_1\supset A_2\supset
- [Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad](https://fernandorevilla.es/2021/03/23/homomorfismo-de-anillos-que-no-conserva-el-elemento-unidad/) - RESUMEN. Demostramos que no todo homomorfismo de anillos conserva el elemento unidad Enunciado. Sea $\mathbb{Z}^3$ el anillo producto directo $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ con las operaciones usuales en $\mathbb{Z}.$ Demostrar que la aplicación $$f:\mathbb{Z}^3\to \mathbb{Z}^3,\quad f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,0)$$ es un homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad. Solución. Para todo $(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\in \mathbb{Z}^3,$ $$f[(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)]=f(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$$ $$=(x_1+y_1,x_2+y_2,0)=(x_1,x_2,0)+(y_1,y_2,0)$$ $$=f(x_1,x_2,x_3)+f(y_1,y_2,y_3).$$ $$f[(x_1,x_2,x_3)(y_1,y_2,y_3)]=f(x_1y_1,x_2y_2,x_3y_3)$$
- [Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$](https://fernandorevilla.es/2021/03/23/limite-de-la-suma-finita-sum_k1nfracbefracbknn/) - RESUMEN. Hallamos el límite de una suma finita por cálculo directo y por sumas de Riemann. Enunciado. $1)$ Calcular la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}\;\; (b\in\mathbb{R})$. $2)$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}.$ $3)$ Calcular el límite anterior por sumas de Riemann. Solución. $1)$ Desarrollando y aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica
- [Media y desviación típica de la distribución binomial](https://fernandorevilla.es/2021/04/02/media-y-desviacion-tipica-de-la-distribucion-binomial/) - RESUMEN. Hallamos la media y desviación típica de la distribución binomial. Enunciado. Dada la distribución binomial $B(n,p)$ $$P(X=k)=\displaystyle \binom{n}{k}p^kq^{n-k}\quad (k=0,1,\ldots,n),$$ $(a)$ Hallar su media $\mu_X.$ $(b)$ Hallar su desviación típica $\sigma_X.$ Solución. $(a)$ Tenemos $$\mu_X=E[X]=\sum_{k=0}^n p_kx_k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^kq^{n-k}k=\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}p^kq^{n-k}k.$$ Por otra parte, para $k\ge 1:$ $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{k}\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}.$$ Por tanto, $$E[X]=\sum_{k=1}^n\frac{n}{k}\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}p^kq^{n-k}k$$ $$=n\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}p^kq^{n-k}\underbrace{=}_{s=k-1}n\sum_{s=0}^{n-1}\binom{n-1}{s}p^{s+1}q^{n-1-s}$$ $$=np\sum_{s=0}^{n-1}\binom{n-1}{s}p^{s}q^{n-1-s}=np(p+q)^{n-1}\underbrace{=}_{p+q=1}np.$$ $(b)$ Hallemos la varianza de $X.$ $$E[X^2]=\sum_{k=0}^n
- [Media y desviación típica de la distribución de Poisson](https://fernandorevilla.es/2021/04/02/media-y-desviacion-tipica-de-la-distribucion-de-poisson/) - RESUMEN. Hallamos la media y desviación típica de la distribución de Poisson. Enunciado. Dada la distribución de Poisson: $$p(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\quad (\lambda > 0,k=0,1,2,\ldots).$$ $(a)$ Hallar su media $\mu_X.$ $(b)$ Hallar su desviación típica $\sigma_X.$ Solución. $(a)$ Tenemos $$\mu_X=E[X]=\sum_{k=0}^{+\infty}p_kx_k=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}k=e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=$$ $$e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{-\lambda}\lambda e^{\lambda}=\lambda.$$ $(b)$ Hallemos la varianza de $X$: $$E[X^2]=\sum_{k=0}^{+\infty}k^2\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\sum_{k=1}^{+\infty}k^2\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\lambda\sum_{k=1}^{+\infty}k\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k-1}}{(k-1)!}$$ $$\underbrace{=}_{s=k-1}\lambda\sum_{s=0}^{+\infty}(s+1)\frac{e^{-\lambda}\lambda^{s}}{s!}=\lambda\sum_{s=0}^{+\infty}s\frac{e^{-\lambda}\lambda^{s}}{s!}+\lambda\sum_{s=0}^{+\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^{s}}{s!}$$ $$\underbrace{=}_{\text{ap. }(a)}\lambda\cdot\lambda+\lambda\cdot 1=\lambda^2+\lambda.$$ Entonces, $\text{Var }X=E[X^2]-\mu_X^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda$, y la
- [Media y desviación típica de la distribución normal](https://fernandorevilla.es/2021/04/04/media-y-desviacion-tipica-de-la-distribucion-normal/) - RESUMEN. Hallamos la media y desviación típica de la distribución normal. Enunciado. $(a)$ Sea $X$ una variable aleatoria con distribución normal. Demostrar que la funciónn $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\dfrac{-\frac{1}{2}(x-\mu)^2}{\sigma^2}}$$ que la define es efectivamente una función de densidad. $(b)$ Determinar su media. $(c)$ Determinar su desviación típica. Solución. $(a)$ Claramente $f(x)\ge 0$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Veamos
- [Gráfica de la campana de Gauss](https://fernandorevilla.es/2021/04/05/grafica-de-la-campana-de-gauss/) - RESUMEN. Efectuamos la representación gráfica de la campana de Gauss. Enunciado. Representar gráficamente la campana de Gauss, es decir la gráfica de la función $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\dfrac{-\frac{1}{2}(x-\mu)^2}{\sigma^2}}.$$ Solución. Representaremos la gráfica de la función $$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\dfrac{-\frac{1}{2}x^2}{\sigma^2}},$$ con lo cual la gráfica de $f(x)$ se obtendrá trasladando a la derecha la de $g(x)$ en una cantidad $\mu.$ Claramente el
- [Variable aleatoria sin esperanza matemática](https://fernandorevilla.es/2021/04/06/variable-aleatoria-sin-esperanza-matematica/) - RESUMEN. Damos un ejemplo de función de probabilidad sin esperanza matemática. Enunciado. Hallar la esperanza matemática de la variable aleatoria discreta $X$ cuya función de probabilidad es $$p\left(X=\dfrac{(-1)^k2^k}{k}\right)=\frac{1}{2^k}\quad (k=1,2,\ldots).$$ Solución. Tenemos, $$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}=-1+\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^k}=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=-1+2=1,$$ y $1/2^k\ge 0$ por tanto $p$ es función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Entonces, $$E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}p_kx_k=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k}=-\log 2,$$ pero la serie en valor
- [Distribución uniforme continua](https://fernandorevilla.es/2021/04/08/distribucion-uniforme-continua/) - RESUMEN. Definimos la distribución uniforme continua y hallamos su media y desviación típica. Enunciado. Se define la distribución uniforme continua como la distribución cuya función de densidad es, para $ a < b $: $$ f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b - a} & \text{si}\ a \le x \le b, \[8pt] 0 & \text{si}\ x < a\ \text{ o
- [Integración de funciones irracionales (1)](https://fernandorevilla.es/2014/04/29/integracion-de-funciones-irracionales-1/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x+1}-\sqrt[4]{3x+1}}.$ Calcular $\displaystyle\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{(2x-5)^{2/3}-(2x-5)^{1/2}}.$ Solución Si $t^4=3x+1,$ entonces $4t^3dt=3\;dx,$ por tanto: $$\begin{aligned}& \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x+1}-\sqrt[4]{3x+1}}=\frac{4}{3}\int\frac{t^3\;dt}{t^2-t}=\frac{4}{3}\int\frac{t^2\;dt}{t-1}\&=\frac{4}{3}\int\left(t+1+\frac{1}{t-1}\right)dt=\frac{4}{3}\left(\frac{t^2}{2}+t+\log \lvert t-1\rvert\right)+C\&=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+\frac{4}{3}\sqrt[4]{3x+1}+\lvert \sqrt[4]{3x+1}-1\rvert+C. \end{aligned}$$ Si $t^2=x+2,$ entonces $2t\;dt=dx,$ por tanto: $$\begin{aligned}&\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}=2\int\frac{(t^2-2)^3t\;dt}{t}=2\int (t^2-2)^3\;dt=\ &=2\int (t^6-6t^4+12t^2-8)\;dt=2\left(\frac{t^7}{7}-\frac{6t^5}{5}+4t^3-8t\right)+C. \end{aligned}$$ Sustituyendo $t=\sqrt{x+2}$ y simplificando: $$\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}=\frac{2\sqrt{x+2}}{35}\left(5(x+2)^3-42(x+2)^2+140(x+2)-280\right)+C.$$ Si $t^6=2x-5,$ entonces $6t^5\;dt=2\;dx,$ por tanto: $$\begin{aligned}&I=\displaystyle\int\frac{dx}{(2x-5)^{2/3}-(2x-5)^{1/2}}=\displaystyle\int\frac{3t^5dt}{t^4-t^3}=3\int\frac{t^2dt}{t-1}=\ &=3\int\left(t+1+\frac{1}{t-1}\right)dt=\frac{3t^2}{2}+3t+3\log\lvert t-1\rvert+C. \end{aligned}$$ Sustituyendo $t=(2x-5)^{1/6}:$ $$I=\frac{3\sqrt[3]{2x-5}}{2}+3\sqrt[6]{2x-5}+3\log\lvert \sqrt[6]{2x-5}-1\rvert+C.$$
- [Probabilidad de la unión de $n$ sucesos](https://fernandorevilla.es/2017/11/28/probabilidad-de-la-union-de-n-sucesos/) - Demostramos una fórmula para hallar la probabilidad de la unión de $n$ sucesos.
- [Composición de funciones](https://fernandorevilla.es/2014/02/12/composicion-de-funciones/) - Proporcionamos ejercicios sobre composición de funciones. Enunciado Las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ están definidas por: $$f(x)=\left \{ \begin{matrix} 3x-7 & \mbox{ si }& x>2\x^2-2|x| & \mbox{si}& x\leq 2\end{matrix}\right.,\quad g(x)=2x+3.$$ Calcular: $(i)\;f(-2).$ $(ii)\;g(-1).$ $(iii)\;f(3).$ $(iv)\; (g\circ f)(1).$ $(v)\,(f\circ g)(2).$ $(vi)\;(f\circ f)(4).$ Las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ están definidas por $f(x)=x^2-1$ y $g(x)=2x+5.$ Determinar $$g\circ
- [Grupo de Klein y sus automorfismos](https://fernandorevilla.es/2016/02/14/grupo-de-klein-y-sus-automorfismos/) - Definimos el grupo de Klein y determinamos todos sus automorfismos. Enunciado Se considera el grupo $\left(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,+\right).$ Demostrar que el simétrico de cada elemento coincide con el propio elemento. Demostrar que $\left(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,+\right)$ no es cíclico. Denotemos $K=\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,$ $e=(0,0),$ $a=(1,0),$ $b=(0,1),$ $c=(1,1).$ Escribir la tabla de $K$ con notación multiplicativa. Al grupo $(K,\cdot )$
- [Concepto de relación de orden](https://fernandorevilla.es/2014/02/07/concepto-de-relacion-de-orden/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de relación de orden. Enunciado Demostrar que en el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, la relación $xRy$ si y sólo si $x\leq y,$ es de orden. Demostrar que en el conjunto $\mathcal{P}(U)$ de las partes de un conjunto $U,$ la relación $XRY$ si y sólo si $X\subset Y,$ es
- [Raíz cuadrada de un número complejo](https://fernandorevilla.es/2015/02/07/raiz-cuadrada-de-un-numero-complejo/) - Demostramos una fórmula general para hallar la raíz cuadrada de un número complejo. Enunciado Siendo $a,b\in\mathbb{R},$ calcular $\sqrt{a+bi}$ expresando el resultado en forma binómica. Solución Para $x,y\in\mathbb{R},$ tenemos las equivalencias $$\sqrt{a+bi}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=a+bi\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=a+bi$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=a\& 2xy=b.\end{aligned}\end{matrix}\right.\qquad (1)$$ De la segunda ecuación de $(1)$, $xy=b/2$ y llamando $r_1=x^2,$ $r_2=-y^2$ tenemos $r_1r_2=-b^2/4.$
- [Subespacios vectoriales, caracterización](https://fernandorevilla.es/2014/05/13/subespacios-vectoriales-caracterizacion/) - Proporcionamos ejercicios sobre subespacios vectoriales y demostramos el teorema de caracterización. Enunciado Analizar si $F=\{(x_1,x_2,x_3):x_1-x_2+2x_3=0\}$ es subespacio de $\mathbb{R}^3.$ Analizar si $F=\{(x_1,x_2,x_3):x_1^2-x_2^2=0\}$ es subespacio de $\mathbb{R}^3.$ Analizar si $F=\{p\in\mathbb{R}[x]:p(0)=p(1)\}$ es subespacio de $\mathbb{R}[x].$ Se considera el espacio vectorial real usual $\mathbb{R}^n\;(n\geq{2})$ . Analizar en cada caso si los siguientes subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ son o no
- [Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales](https://fernandorevilla.es/2014/09/30/desarrollos-en-serie-de-maclaurin-de-las-funciones-habituales/) - En los siguientes ejercicios, deducimos los desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales. Enunciado Demostrar que $$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ y que si $a>0,$ $$a^x=1+\dfrac{x\log a}{1!}+\dfrac{x^2\left(\log a\right)^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n\left(\log a\right)^n}{n!}+\cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k\left(\log a\right)^k}{k!}$$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que $$\operatorname{ch}{x}=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right),$$ $$\operatorname{sh}x=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots +\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ Demostrar que $$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ $$\operatorname{sen}x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ Demostrar que
- [Aproximación de funciones por polinomios](https://fernandorevilla.es/2014/03/13/aproximacion-de-funciones-por-polinomios/) - Proporcionamos ejercicios de aproximación de funciones por polinomios. Enunciado Acotar el error de la fórmula aproximada: $e\approx 2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}.$ Calcular aproximadamente $\log 2,$ usando el polinomio de Maclaurin de grado $5$ de la función $f(x)=\log (x+1).$ Dar una cota del error cometido. Expresar el polinomio $f(x)=x^3-2x^2+6x-7$ en potencias enteras y positivas de $x+1.$ Averiguar cuantos términos
- [Producto cartesiano](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/producto-cartesiano/) - Proporcionamos ejercicios sobre el producto cartesiano. Enunciado Dados $A=\left\{a,b\right\}$ y $B=\left\{1,2\right\}$ determinar $A\times B$ y $B\times A.$ Dados $A=\left\{1,2\right\},B=\left\{a\right\},C=\left\{1,3\right\}$ determinar $A\times B\times C.$ Demostrar que $A'\subset A,B'\subset B\Rightarrow A'\times B'\subset A\times B.$ Demostrar que $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C).$ Demostrar que $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C).$ Solución De acuerdo con la definición de producto
- [Partes de un conjunto, complementario y diferencia](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/partes-de-un-conjunto-complementario-y-diferencia/) - Proporcionamos ejercicios sobre partes de un conjunto, complementario, diferencia, y un anexo teórico. Enunciados Dado $U=\{a,b,c,d\},$ determinar $\mathcal{P}(U).$ Determinar los conjuntos $\mathcal{P}(\emptyset),\;\mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\emptyset)\right),\;\mathcal{P}\left(\mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\emptyset)\right)\right).$ En $\mathcal{P}(\mathbb{Q}),$ determinar $\mathbb{Z}^c$ y $\mathbb{Z}-\mathbb{N}.$ Sea $A=\{a_1,\ldots,a_n\}$ un conjunto con $n$ elementos. Hallar el número de elementos de $\mathcal{P}(A).$ Dados dos conjuntos $A$ y $B$ su diferencia simétrica se define como el
- [Concepto de conjunto](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/concepto-de-conjunto/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de conjunto. Enunciados Escribir por extensión $A=\{x:x\mbox{ es raíz de }p(x)=x^2-7x+12\}.$ Escribir por comprensión $B=\{3,4,5,6,7\}.$ Analizar si son iguales los siguientes pares de conjuntos ${}\qquad (a)\;$ $A=\{a,2,3\},\quad B=\{3,3,2,a\}.$ ${}\qquad (b)\;$ $C=\{\mbox{verde, rojo}\},\quad D=\{x:x\mbox{ es color del arco iris}\}.$ Escribir por comprensión los conjuntos $A=\{-1,-3,-5,-7.-9,\ldots\}$ y $B=\{4,8,12,16,20,\ldots\}.$ Definir por extensión el
- [Cardinal de la unión de tres conjuntos](https://fernandorevilla.es/2015/04/18/cardinal-de-la-union-de-tres-conjuntos/) - Proporcionamos un ejercicio sobre la fórmula para el cardinal de la unión de tres conjuntos con un ejemplo de aplicación. (Para una generalización, ver Cardinal de la unión de $n$ conjuntos). Enunciado Sea $M$ un conjunto finito (es decir, con un número finito de elementos). Se denota por $\mbox{card }M$, por $\#(M)$ o bien por
- [Unión e intersección de conjuntos](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/union-e-interseccion-de-conjuntos/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de unión e intersección de conjuntos. Enunciados Dados los conjuntos $A=\{a,b,c,7,4\},$ $B=\{b,1,5,c\},$ hallar $A\cup B$ y $A\cap B.$ Demostrar que $M=\{0,2\}$ y $B=\{x:x\in\mathbb{R}\mbox{ con }x^2-1=0 \},$ son conjuntos disjuntos. Todos los alumnos de una clase que practican natación o atletismo o ambos deportes, practican también tenis, natación o ambos deportes.
- [Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/inclusion-de-conjuntos-conjunto-vacio/) - Proporcionamos ejercicios sobre inclusión de conjuntos y conjunto vacío. Enunciados Se considera el conjunto $A=\{a,b,c\}.$ Escribir todos los subconjuntos de $A.$ Un subconjunto $A$ de $B$ se dice que es propio si existe al menos un elemento de $B$ que no pertenece a $A.$ Escribir todos los subconjuntos propios de $M=\{1,2\}.$ Demostrar que el conjunto
- [Integración de funciones irracionales (4)](https://fernandorevilla.es/2014/05/01/integracion-de-funciones-irracionales-4/) - Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int \sqrt{x^2+2x+7}\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \sqrt{x-x^2}\;dx.$ Demostrar que $$\int\sqrt{A+u^2}\;u'\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C.$$ Demostrar que: $$\int\sqrt{A^2-u^2}\;u'\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C\;\;(A\neq 0).$$ Solución Descomponiendo $x^2+2x+7=(x+k)^2+l,$ obtenemos $x^2+2x+7=(x+1)^2+6.$ Usando $$\int\sqrt{A+u^2}\;u'\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A+u^2}+\frac{A}{2}\log \lvert u+\sqrt{A+u^2}\rvert+C,$$ $$\begin{aligned}&I=\int \sqrt{6+(x+1)^2}\;dx\ &=\frac{x+1}{2}\sqrt{x^2+2x+7}+3\log \lvert x+1+\sqrt{x^2+2x+7}\rvert+C.\end{aligned}$$ Descomponiendo $x-x^2=-(x+k)^2+l,$ obtenemos $x-x^2=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2.$ Usando $$\int\sqrt{A^2-u^2}\;u'\;dx=\frac{u}{2}\sqrt{A^2-u^2}+\frac{A^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{u}{A}+C,$$ $$\begin{aligned}&I=\int \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}\;dx\ &=\frac{2x+1}{4}\sqrt{x-x^2}+\frac{1}{8}\operatorname{arcsen}(2x-1)+C.\end{aligned}$$ Para $u=x,$ se verifica: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\sqrt{A+x^2}+\frac{A}{2}\log \lvert x+\sqrt{A+x^2}\rvert+C\right)$$ $$=\frac{1}{2}\sqrt{A+x^2}+\frac{x}{2}\frac{x}{\sqrt{A+x^2}}+\frac{A}{2}\frac{1+\frac{x}{\sqrt{A+x^2}}}{x+\sqrt{A+x^2}}$$ $$=\frac{A+x^2+x^2}{2\sqrt{A+x^2}}+\frac{A}{2}\frac{\sqrt{A+x^2}+x}{\left(x+\sqrt{A+x^2}\right)\sqrt{A+x^2}}$$ $$=\frac{A+2x^2}{2\sqrt{A+x^2}}+\frac{A}{2\sqrt{A+x^2}}=\frac{A+x^2}{\sqrt{A+x^2}}=\sqrt{A+x^2}.$$ Para $u=u(x),$ y usando la regla
- [Subespacios invariantes](https://fernandorevilla.es/2018/10/25/subespacios-invariantes/) - Proporcionamos una colección de problemas resueltos sobre subespacios invariantes. Los teoremas que aparecen en el resumen teórico se demuestran a modo de problema. Resumen teórico. A un endomorfismo de un espacio vectorial $V$ también se le llama operador. Si $V$ un espacio vectorial, $T:V\to V$ un endomorfismo y $W$ un subespacio de $V$ se dice
- [Partes de uniones e intersecciones](https://fernandorevilla.es/2015/04/18/partes-de-uniones-e-intersecciones/) - Demostramos propiedades de las partes de uniones e intersecciones. Enunciado Sea $\{A_i:i\in I\}$ una familia de subconjuntos de un conjunto $E$. Demostrar que: $\;\mathcal{P}\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\bigcap_{i\in I}\mathcal{P}(A_i)$. $\;\bigcup_{i\in I}\mathcal{P}(A_i)\subset\mathcal{P}\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)$. Poner un contraejemplo que demuestre que en general no se verifica la igualdad en el apartado 2. Solución Tenemos las equivalencias: $$A\in \mathcal{P}\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\Leftrightarrow A\subset \bigcap_{i\in
- [Curvas rectificables y longitud de arco](https://fernandorevilla.es/2018/07/03/curvas-rectificables-y-longitud-de-arco/) - Definimos los conceptos de arco de curva rectificable y longitud de arco. Demostramos una fórmula para calcular la longitud de los arcos de curvas de clase $C^1.$ Definición. Sea $C$ un arco de curva en $\mathbb{R}^n$ dada por la función $$\mathbf{x}:[a,b]\to \mathbb{R}^n,\quad t\mapsto \mathbf{x}=\mathbf{x}(t),$$ y no se imponen condiciones a $\mathbf{x}.$ Consideremos el conjunto $$\mathscr{P}=\{P:P\text{
- [Grupo de Galois de una extensión](https://fernandorevilla.es/2016/02/08/grupo-de-galois-de-una-extension/) - Definimos el grupo de Galois de una extensión y proporcionamos dos ejemplos. Enunciado Sea $L/K$ una extensión de cuerpos con $L$ subcuerpo de $\mathbb{C}.$ Se llama $K$-automorfismo de $L$ a todo automorfismo $f:L\to L$ tal que $f(x)=x$ para todo $x\in K.$ Sea $L/K$ una extensión de cuerpos con $L$ subcuerpo de $\mathbb{C}.$ Demostrar que el
- [Cuerpo de ruptura de un polinomio](https://fernandorevilla.es/2014/12/21/cuerpo-de-ruptura-de-un-polinomio/) - Construimos el cuerpo de ruptura de un polinomio y damos ejemplos de aplicación. Enunciado Sea $k$ un cuerpo, $f\in k[x]$ irreducible y sin raíces en $k$. Se llama cuerpo de ruptura de $f$ a cualquier extensión simple $k^\prime=k(\xi)$ de $k$ en la que $f$ tiene la raíz $\xi.$ Sea $k$ un cuerpo, $f\in k[x]$ irreducible
- [Variación total de una función](https://fernandorevilla.es/2016/01/22/variacion-total-de-una-funcion/) - Proporcionamos ejercicios sobre la variación total de una función. Enunciado Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función de variación acotada. Para toda partición $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ de $[a,b]$ denotamos por $\sum (P)$ a la suma $\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|.$ Llamamos variación total de $f$ en $[a,b]$ al número $$V_f(a,b):=\sup\left\{\sum (P):P\in\mathcal{P}[a,b]\right\}.$$ Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función. Demostrar que $f$ es constante $\Leftrightarrow
- [Ecuación diofántica lineal en dos incógnitas](https://fernandorevilla.es/2018/01/05/ecuacion-diofantica-lineal-en-dos-inco/) - Estudiamos la compatibilidad de la ecuación diofántica lineal en dos incógnitas y proporcionamos la manera de hallar su solución general. Enunciado Una ecuación diofántica lineal en dos incógnitas es una ecuación de la $$ax+by=c,\quad (a,b,c\in\mathbb{Z},a\ne 0,b\ne 0).\qquad (E)$$ Se llama solución de la ecuación anterior a todo par de enteros $(x,y)$ que la satisface. Sea
- [$n^5-n$ es divisible por 30](https://fernandorevilla.es/2015/12/17/n5-n-es-divisible-por-30/) - Proporcionamos un sencillo ejercicio de divisibilidad. Enunciado Demostrar que para todo entero $n,$ el número $n^5-n$ es divisible por $30.$ Solución Podemos expresar $n^5-n$ en la forma $$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1).$$ Al menos uno de los tres enteros consecutivos $n-1,$ $n,$ $n+1$ es divisible por $2$ y al menos uno entre $3,$ luego $(n-1)n(n+1)$ es divisible por $6.$
- [$X=\left\{(t,t):t\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\right\}$ no es cerrado con la topología de Zariski](https://fernandorevilla.es/2015/11/22/xlefttttinmathbbrsetminus1right-no-es-cerrado-con-la-topologia-de-zariski/) - Proporcionamos un ejemplo de conjunto no cerrado con la topología de Zariski. Enunciado Demostrar que $X=\left\{(t,t):t\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\right\}$ no es cerrado en $\mathbb{R}^2$ con la topología de Zariski. Solución Los conjuntos cerrados con la topología de Zariski son exactamente los conjuntos algebraicos. Veamos que $X$ no es algebraico en $\mathbb{R}^2$. En efecto, si lo fuera existirian polinomios
- [Imágenes inversas de conjuntos compactos](https://fernandorevilla.es/2015/11/16/imagenes-inversas-de-conjuntos-compactos/) - Analizamos dos casos de compacidad de las imágenes inversas de conjuntos compactos. Enunciado Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos y $f:X\to Y$ continua. Demostrar que si $X$ es compacto e $Y$ es de Hausdorff entonces, las imágenes inversas de conjuntos compactos son conjuntos compactos. Demostrar que la propiedad del apartado anterior no es cierta en
- [La rosa de cuatro pétalos es un conjunto algebraico](https://fernandorevilla.es/2015/11/15/la-rosa-de-cuatro-petalos-es-un-conjunto-algebraico/) - Demostramos que la rosa de cuatro pétalos es un conjunto algebraico. Enunciado La rosa de cuatro pétalos $P\subset\mathbb{R}^2$ se define mediante la ecuación polar $\rho=\sin 2\theta.$ Usar coordenadas polares para demostrar que $$P= V\left((x^2+y^2)^3-4x^2y^2\right),$$ lo cual probará que $P$ es un conjunto algebraico. Solución Sea $(x,y)\in P$ con $x=\rho\cos \theta,$ $y=\rho\sin \theta.$ Entonces, $$(x^2+y^2)^3-4x^2y^2=\rho^6-4\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta=\rho^6-\rho^4(2\cos\theta\sin\theta)^2$$ $$=\rho^6-\rho^4(\sin
- [Dos parametrizaciones de la hipérbola](https://fernandorevilla.es/2015/11/13/dos-parametrizaciones-de-la-hiperbola/) - Proporcionamos dos parametrizaciones de la hipérbola, una trigonométrica y otra racional. Enunciado Se considera la hipérbola $$H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\},\quad (a>0,b>0).$$ Demostrar que $$H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x=\frac{a}{\cos \theta},\;y=b\tan \theta,\quad \cos\theta\ne 0\},$$ lo cual proporciona una parametrización trigonométrica de la elipse. Demostrar que $$H=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right),\;y=\frac{1}{2}b\left(1-\frac{1}{t}\right),\; t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\},$$ lo cual proporciona una parametrización racional de la hipérbola. Solución Todo punto de la
- [Dos parametrizaciones de la elipse](https://fernandorevilla.es/2015/11/12/dos-parametrizaciones-de-la-elipse/) - Proporcionamos dos parametrizaciones de la elipse, una trigonométrica y otra racional. Enunciado Se considera la elipse $$E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\},\quad (a>0,b>0).$$ Demostrar que $$E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x=a\cos \theta,\;y=b\sin \theta,\quad \theta \in [-\pi,\pi)\},$$ lo cual proporciona una parametrización trigonométrica de la elipse. Demostrar que $$E\setminus\{(-a,0)\}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x=a\frac{1-t^2}{1+t^2},\;y=b\frac{2t}{1+t^2},\quad t\in\mathbb{R}\},$$ lo cual proporciona una parametrización racional de la elipse salvo un punto. Solución
- [Una curva no rectificable](https://fernandorevilla.es/2015/11/10/una-curva-no-rectificable/) - Proponemos un ejemplo de curva no rectificable. Enunciado Se considera la curva del plano $$\Gamma:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=t\quad\text{si}\quad0\le t\le1\& y=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & t\cos \frac{1}{t}\quad \text{si}\quad0
- [Hélice circular: longitud, curvatura y torsión](https://fernandorevilla.es/2015/11/09/helice-circular-longitud-curvatura-y-torsion/) - Calculamos la longitud, curvatura y torsión de la hélice circular. Enunciado Se considera la hélice circular $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x(t) = a\cos t\& y(t) = a\sin t\& z(t)=bt. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Determinar su longitud, correspondiente al intervalo $[0,t_0]$ ($t_0>0$). Determinar su curvatura y torsión en un punto genérico. Solución Las funciones $x(t),$ $y(x),$ $z(t)$ son
- [El conjunto de las fracciones diádicas en $[0,1]$ es denso](https://fernandorevilla.es/2015/10/15/el-conjunto-de-las-fracciones-diadicas-en-01-es-denso/) - Demostramos que el conjunto de las fracciones diádicas es denso en el intervalo $[0,1]$. Enunciado Sea $\mathcal{D}$ el conjunto de las fracciones diádicas (fracciones cuyos denominadores son potencias naturales de $2$) en el intervalo $[0,1].$ Es decir $$\mathcal{D}=\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{1}{16},\ldots,\frac{15}{16},\ldots\right\}.$$ Demostrar que $\mathcal{D}$ es denso en $[0,1],$ i.e. $\overline{\mathcal{D}}=[0,1].$ Solución Como $\mathcal{D}\subset [0,1]$ y $[0,1]$ es cerrado,
- [Familia de rectas  $6px-2y+x+p^2=0$](https://fernandorevilla.es/2015/11/07/familia-de-rectas-6px-2yxp20/) - Proporcionamos un ejercicio sobre una familia de rectas. Enunciado Se considera el conjunto de rectas $$6px-2y+x+p^2=0,\quad p\in{\mathbb{R}}.$$ Demostrar que por cada punto del plano pasan, en general, dos rectas de dicho conjunto. Encontrar el ángulo que forman las dos rectas que pasan por el punto $(1,-2).$ Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano
- [Métrica producto $d(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}$](https://fernandorevilla.es/2015/11/01/metrica-producto-scriptstyle-dxysum_n1inftyfrac12nfracd_nx_ny_n1d_nx_ny_n/) - Construimos una métrica producto sobre un producto numerable de espacios métricos. Enunciado Sea $\{(X_i,d_i):i\in\mathbb{N}^*\}$ una colección numerable de espacios métricos y sea $X=\prod_{i=1}^{\infty}X_i.$ Demostrar que: $$d:X\times X\to \mathbb{R}_{\ge 0},\quad d\left[(x_n),(y_n)\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}$$ define una métrica en $X$ (se la denomina métrica producto). Solución Para todo $x=(x_n),$ $y=(y_n)$ elementos de $X$ se verifica $$0\le \frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}\le \frac{1}{2^n}\cdot 1=\frac{1}{2^n}.$$ Como
- [Caracterización de una topología por axiomas de clausura de Kuratowski](https://fernandorevilla.es/2015/10/19/caracterizacion-de-una-topologia-por-axiomas-de-clausura-de-kuratowski/) - Caracterizamos una topolocía por medio de los axiomas de clausura de Kuratowski. Enunciado Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $k:\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$ una aplicación que satisface los llamados axiomas de clausura de Kuratowski:$$\begin{aligned}&\left[K_1\right]\quad k\left(\emptyset\right)=\emptyset.\ &\left[K_2\right]\quad A\subset k(A)\text{ para todo }A\in\mathcal{P}(X).\ &\left[K_3\right]\quad k(A\cup B)=k(A)\cup k(B)\text{ para todo }A,B\in\mathcal{P}(X).\ &\left[K_4\right]\quad k\left(k(A)\right)=k(A)\text{ para todo }A\in\mathcal{P}(X).\end{aligned}$$ Demostrar que
- [Distancia $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ en los reales](https://fernandorevilla.es/2015/10/06/distancia-dxyfx-fy-en-los-reales/) - Estudiamos propiedades de una métrica definida a partir de una función estrictamente creciente. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función estrictamente creciente. Demostrar que $d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|$ es una distancia en $\mathbb{R}.$ Demostrar que si $f$ no es continua, la distancia $d$ no es equivalente a la distancia usual $d_u(x,y)=\left|x-y\right|.$ Demostrar que si $f$ es continua, la distancia $d$
- [Diferencias de orden $k$ y monomios generalizados](https://fernandorevilla.es/2015/09/30/diferencias-de-orden-k-y-monomios-generalizados/) - En el siguiente problema estudiamos las diferencias de orden $k$ asociados a una sucesión y los monomios generalizados. Aplicamos dicho estudio al cálculo de las sumas $S_k=1^k+2^k+\cdots+n^k$ con $k$ entero positivo. Enunciado Si $a_1,a_2,a_3,\ldots, a_m,\ldots$ es una sucesión de números reales, se definen las diferencias de órdenes $1,2,3,\ldots,k\ldots$ de la forma $$\begin{aligned}&\Delta a_m=a_{m+1}-a_m\ &\Delta^ka_m=\Delta\left(\Delta^{k-1} a_m\right)\text{
- [Infinitud de los números primos, demostración topológica](https://fernandorevilla.es/2014/03/29/infinitud-de-los-numeros-primos-demostracion-topologica/) - Desarrollamos la demostración de Furstenberg de la infinitud de los números primos basada en ideas topológicas. Teorema Existen infinitos números primos. Demostración Para cada $a,b$ números enteros con $b\neq 0$ consideramos el subconjunto de $\mathbb{Z}:$ $$a+b\;\mathbb{Z}=\{\;\ldots\;,\;a-2b\;,\;a-b\;,\;a\;,\;a+b\;,\;a+2b\;,\;\ldots\;\},$$ y la clase $\mathcal{B}$ de subconjuntos de $\mathbb{Z}$ : $\mathcal{B}=\{\;a+b\;\mathbb{Z}\;:\;a,b\in \mathbb{Z}\;,b\neq 0\;\}$ , es decir $\mathcal{B}$ es la clase
- [Curvatura, torsión, ecuaciones intrínsecas](https://fernandorevilla.es/2014/05/02/curvatura-torsion-ecuaciones-intrinsecas/) - Calculamos la curvatura y torsión de una curva y las ecuaciones intrínsecas de la catenaria. Enunciado Determínese en $t=1$ la curvatura y la torsión de la curva $$x=3t-t^3,\quad y=3t^2,\quad z=3t+t^3.$$ Determínense las ecuaciones intrínsecas de la catenaria de ecuación $$x=a\cosh \dfrac{t}{a},\;y=t.$$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED). Solución Representamos la curva
- [Norma de una matriz antisimétrica](https://fernandorevilla.es/2014/04/10/norma-de-una-matriz-antisimetrica/) - Calculamos la norma de una matriz antisimétrica genérica. Enunciado Calcular la norma $ \left\|{A}\right\|_2$ de la matriz $A=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{-c}&{\;\;b}\{\;\;c}&{\;\;0}&{-a}\{-b}&{\;\;a}&{\;\;0}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Sabemos que $ \left\|{A}\right\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}}$ siendo $\lambda_{\max}$ el mayor valor propio de $A^tA$. $A^tA=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{\;\;c}&{-b}\{-c}&{\;\;0}&{\;\;a}\{\;\;b}&{-a}&{\;\;0}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{\;\;0}&{-c}&{\;\;b}\{\;\;c}&{\;\;0}&{-a}\{-b}&{\;\;a}&{\;\;0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{c^2+b^2}&{-ab}&{-ac}\{-ab}&{c^2+a^2}&{-cb}\{-ac}&{-cb}&{b^2+a^2}\end{bmatrix}.$ El polinomio característico $\chi (\lambda)$ de una matriz $M$ de orden
- [Configuración de centro en un sistema autónomo](https://fernandorevilla.es/2015/12/21/configuracion-de-centro-en-un-sistema-autonomo/) - Enunciado Se considera el sistema diferencial $X'=AX$, con $A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}\{1}&{-1}\end{bmatrix}.$ Se pide: (a) Escribir la forma general de la solución para resolver el sistema con la condición inicial $X(0)=(1,0)^t.$ (b) Dibujar la órbita que pasa por el punto $(1,0).$ (c) Calcular la matriz exponencial $\exp\; (tA).$ Solución (a) El polinomio característico de $A$ es $\lambda^2+1=0$ y
- [Puntos atraídos por el origen en un sistema diferencial](https://fernandorevilla.es/2014/06/15/puntos-atraidos-por-el-origen-en-un-sistema-diferencial/) - Enunciado Determinar los puntos $M(a,b,c)$ que son atraídos por el origen (cuanto $t\to +\infty$) en el sistema diferencial $X'=AX.$ $A=\begin{bmatrix}{0}&{2}&{3}\{2}&{1}&{2}\{3}&{2}&{0}\end{bmatrix}\;.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos los valores propios de $A.$ Restando a la tercera fila la primera y posteriormente sumando a la primera columna la tercera: $$\begin{vmatrix}{-\lambda}&{2}&{3}\{2}&{1-\lambda}&{2}\{3}&{2}&{-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{-\lambda}&{2}&{3}\{2}&{1-\lambda}&{2}\{3+\lambda}&{0}&{-3-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{3-\lambda}&{2}&{3}\{4}&{1-\lambda}&{2}\{0}&{0}&{-3-\lambda}\end{vmatrix}$$$$=
- [Sistema gradiente y factor integrante](https://fernandorevilla.es/2014/05/23/sistema-gradiente-y-factor-integrante/) - Enunciado Dado el sistema diferencial plano $\left \{ \begin{matrix}x'=4(x^2+xy)\mu(x+y)\ y'=(3x^2+2xy-y^2)\mu (x+y)\end{matrix}\right.$ con $\mu:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de clase $\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$, se pide 1. Encontrar una función $\mu$ no idénticamente nula para que dicho sistema sea un sistema gradiente. 2. Determinar una función potencial $G:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ para el sistema gradiente del apartado anterior. 3. Resolver la ecuación diferencial $4(x^2+xy)\;dx+(3x^2+2xy-y^2)\;dy=0.$
- [Sistema autónomo: prolongación en el tiempo a un conjunto](https://fernandorevilla.es/2014/05/09/sistema-autonomo-prolongacion-en-el-tiempo-a-un-conjunto/) - Estudiamos la prolongación en el tiempo a un conjunto relativo a un sistema autónomo. Enunciado Se considera el sistema $\left \{ \begin{matrix} x'_1=-x_2-x_1(1-x_1^2-x_2^2)\x'_2=x_1-x_2(1-x_1^2-x_2^2).\end{matrix}\right.$ Demostrar que toda solución que pasa por un punto del círculo $x_1^2+x_2^21$. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes,
- [Ecuación diferencial compleja](https://fernandorevilla.es/2014/03/23/ecuacion-diferencial-compleja/) - Enunciado Se considera la ecuación diferencial con condiciones iniciales $$z^{\prime\prime}+cz=h(t)\;,\quad z(0)=\gamma_0,\;z'(0)=\gamma_1.\qquad (*)$$ La incógnita es la función compleja $z(t)\;(\mathbb{R}\to \mathbb{C})$, $c,\gamma_0,\gamma_1$ son números complejos y $h(t)$ una función compleja conocida ($\mathbb{R}\to \mathbb{C}$). Por otro lado, se considera el sistema diferencial con condiciones iniciales $$\left \{ \begin{matrix}x^{\prime\prime}+ax-by=f(t)\y^{\prime\prime}+bx+ay=g(t)\end{matrix}\right.\;,\quad \left \{ \begin{matrix}x(0)=\alpha_0\;,\; y(0)=\beta_0\x'(0)=\alpha_1\;,\; y'(0)=\beta_1.\end{matrix}\right.\qquad (**)$$ Las incógnitas son
- [Teorema de Bendixson-Dulac, órbitas cerradas](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/teorema-de-bendixson-dulac-orbitas-cerradas/) - Usamos el teorema de Bendixson-Dulac para el estudio de las órbitas cerradas asociadas a un sistema autónomo. Enunciado (a) Aplicar el teorema de Bendixson a los sistemas $(i)\;\left \{ \begin{matrix}x'_1=e^{x_1}\x'_2=1-x_1.\end{matrix}\right.\quad (ii)\;\left \{ \begin{matrix}x'_1=x_2\x'_2=1-x_1^2.\end{matrix}\right. \quad(iii)\;\left \{ \begin{matrix}x'=-y-x+x(x^2+y^2)\y'=x-y+y(x^2+y^2).\end{matrix}\right.$ (b) Usar el teorema de Bendixson para estudiar la existencia de órbitas cerradas en el plano de fases $M=\mathbb{R}^2$
- [Estabilidad en el interior de una elipse](https://fernandorevilla.es/2014/06/23/estabilidad-en-el-interior-de-una-elipse/) - Estudiamos la estabilidad de los puntos de equilibrio de un sistema autónomo cuyo plano de fases es una elipse. Enunciado Especificar y representar el espacio de fases del sistema diferencial $$\begin{aligned} &x'=x^2-y\ &y'=\log (6-2x^2-3y^2). \end{aligned}$$ Estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución
- [Integral primera y órbita circular](https://fernandorevilla.es/2014/06/08/integral-primera-y-orbita-circular/) - Enunciado Hallar una integral primera no constante definida en un conjunto lo más amplio posible del plano de fases para el sistema diferencial $\left \{ \begin{matrix}x'=3y+x^2y\ y'=-4x+xy^2.\end{matrix}\right.$ Comprobar el resultado. Hallar las órbitas circulares. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Expresamos el sistema en la forma $\left \{ \begin{matrix}\dfrac{dx}{dt}=3y+x^2y\
- [Tres órbitas en un conjunto de nivel](https://fernandorevilla.es/2014/06/16/tres-orbitas-en-un-conjunto-de-nivel/) - Determinamos las tres órbitas que componen un conjunto de nivel de un sistema autónomo dado. Enunciado Dado el sistema $\left \{ \begin{matrix}x'=y^2\y'=x^2\end{matrix}\right.$ determinar una integral primera $F(x,y)$ no constante del mismo. Comprobar. Dibujar las órbitas que determina el conjunto de nivel que pasa por el origen. Solución Expresando el sistema en la forma $\left \{
- [Soluciones periódicas y órbita](https://fernandorevilla.es/2014/06/25/soluciones-periodicas-y-orbita/) - Enunciado 1. Hallar el valor de $\alpha$ para que el problema de valor inicial $x^{\prime\prime}(t)+\alpha x(t)=0\qquad x(0)=1,\quad x'(0)=0,$ tenga soluciones periódicas de periodo $T=\pi.$ 2. Para ese valor de $\alpha$ determinar una ecuación implícita de la órbita que pasa por el punto $(1,0)$ en el sistema diferencial lineal asociado a la ecuación diferencial anterior. (Propuesto
- [Una órbita con paso a polares](https://fernandorevilla.es/2014/06/24/una-orbita-con-paso-a-polares/) - Enunciado Dibujar la órbita que pasa por el punto $(1,0)$ en el sistema diferencial $$\left \{ \begin{matrix}x'=-y-xy\ y'=x+x^2.\end{matrix}\right.$$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM) Solución De $\rho^2=x^2+y^2$ y derivando respecto de la variable independiente $t:$ $$2\rho\rho'=2xx'+2yy'\mbox{ o bien }\rho\rho'=xx'+yy' .\qquad (1)$$ De $\theta=\arctan (y/x)$ y derivando respecto de la variable
- [Sistemas diferenciales según parámetro](https://fernandorevilla.es/2014/06/26/sistemas-diferenciales-segun-parametro/) - Enunciado Para cada valor real del parámetro $a$ se considera la matriz $A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\{1-a}&{a}\end{bmatrix}.$ Clasificar los sistemas diferenciales $X'=AX.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos los valores propios de $A:$ $\begin{aligned} \left|A-\lambda I\right|&= \lambda^2-(\mbox{tr}A)\lambda+\det A=\lambda^2-a\lambda+a-1=0\ &\Leftrightarrow \lambda=\dfrac{a\pm \sqrt{a^2-4a+4}}{2}=\dfrac{a\pm (a-2)}{2}=\left \{ \begin{matrix} \begin{aligned}&\lambda_1=a-1\&\lambda_2=1.\end{aligned}\end{matrix}\right. \end{aligned}$ Tenemos los siguientes casos: (a) Si
- [Sistema autónomo: dibujo de una órbita](https://fernandorevilla.es/2014/06/26/sistema-autonomo-dibujo-de-una-orbita/) - Enunciado Dibujar la órbita que pasa por el punto $(0,2)$ en el sistema diferencial autónomo $\left \{ \begin{matrix}x'=1+x^2\ y'=-2xy.\end{matrix}\right.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos una integral primera del sistema $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{-2xy}{2+x^2}\;.\quad 2xy\;dx +(1+x^2)\;dy=0\;,\quad\displaystyle\frac{2x\;dx}{1+x^2}+\displaystyle\frac{dy}{y}=0.$ Integrando $\log |1+x^2|+\log |y|=K\;,\quad \log |(1+x^2)y|=K\;,\quad (1+x^2)y=C.$ Una integral primera del sistema que está definida
- [Estabilidad: método directo de Lyapunov](https://fernandorevilla.es/2014/01/30/estabilidad-metodo-directo-de-liapunov/) - Vemos un par de ejemplos de aplicación del método directo de Lyapunov. Enunciado Analizar la estabilidad del punto de equilibrio $(0,0)$ para los sistemas $$(a)\;\;\left \{ \begin{matrix}x'=-y-x^3\y'=x-y^3.\end{matrix}\right.\qquad (b)\;\;\left \{ \begin{matrix}x'=-xy^4\y'=yx^4.\end{matrix}\right.$$ Solución (a) Hallemos la matriz del sistema linealizado correspondiente:$$\dfrac{{\partial v_1}}{{\partial x}}=-3x^2,\;\dfrac{{\partial v_1}}{{\partial y}}=-1,\;\dfrac{{\partial v_2}}{{\partial x}}=1,\;\dfrac{{\partial v_2}}{{\partial y}}=-3y^2,$$ $$A=v'(0,0)=\begin{bmatrix}{\frac{{\partial v_1}}{{\partial x}}(0.0)}&{\frac{{\partial v_1}}{{\partial y}}(0,0)}\{\frac{{\partial v_2}}{{\partial x}}(0,0)}&{\frac{{\partial v_2}}{{\partial
- [Cálculo de un difeomorfismo enderezante](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/calculo-de-un-difeomorfismo-enderezante/) - Calculamos un difeomorfismo enderezante. Enunciado Hallar un difeomorfismo enderezante $f$ para el sistema diferencial $\left \{ \begin{matrix}x'_1=1+x_1^2\x'_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.$ y que cumpla $f(0,b)=(0,b)$ (para cada $b$). Comprobar. (Prob. examen, Ampliación de Matemáticas, ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Para todo $(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$ se verifica $1+x_1^2\neq 0$. Esto implica que el sistema no tiene puntos de equilibrio. Por
- [Sistema autónomo con paso a cilíndricas](https://fernandorevilla.es/2014/05/14/sistema-autonomo-con-paso-a-cilindricas/) - Enunciado Resolver el sistema diferencial autónomo $\left \{ \begin{matrix}x'_1=-x_2x_3\x'_2=x_1x_3\x'_3=x_1^2+x_2^2.\end{matrix}\right.$ Indicación: pasar a coordenadas cilíndricas. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución De las relaciones $\rho^2=x_1^2+x_2^2,\; \theta=\arctan (x_2/x_1),\;x_3=x_3$ deducimos $\left \{ \begin{matrix}2\rho\rho'=2x_1x_1'+2x_2x'_2\\theta'=\dfrac{1}{1+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}}\dfrac{x'_2x_1-x'_1x_2}{x_1^2}\x'_3=x'_3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}\rho\rho'=x_1x_1'+x_2x'_2\\theta'=\dfrac{x'_2x_1-x'_1x_2}{\rho^2}\x'_3=x'_3.\end{matrix}\right.$ Sustituyendo las igualdades del sistema en estas últimas relaciones: $\left \{ \begin{matrix}\rho\rho'=x_1(-x_2x_3)+x_2(x_1x_3)=0\\theta'=\dfrac{x_1^2x_3+x_2^2x_3}{\rho^2}=\dfrac{x_3\rho^2}{\rho^2}=x_3\x'_3=\rho^2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{
- [Sistema autónomo con paso a polares](https://fernandorevilla.es/2014/05/15/sistena-autonomo-con-paso-a-polares/) - Enunciado Resolver el sistema diferencial $\left \{ \begin{matrix}x'=-y-x^2y\y'=x-xy^2\end{matrix}\right.$ con la condición inicial $x(0)=1/2,\;y(0)=0$. (Indicación: Pasar a coordenadas polares). (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución De $\rho^2=x^2+y^2$ y derivando respecto de la variable independiente $t:$ $2\rho\rho'=2xx'+2yy'\mbox{ o bien }\rho\rho'=xx'+yy'. \qquad (1)$ De $\theta=\arctan (y/x)$ y derivando respecto de la variable
- [Sistema autónomo con paso a esféricas](https://fernandorevilla.es/2014/05/14/sistema-autonomo-con-paso-a-esfericas/) - Enunciado Resolver el sistema diferencial autónomo $\left \{ \begin{matrix}x'=-xz\y'=-yz\z'=x^2+y^2.\end{matrix}\right.$ Indicación: pasar a coordenadas esféricas. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución De las relaciones $$\rho^2=x^2+y^2+z^2,\quad\theta=\arctan(y/x),\quad \varphi=\arctan (z/\sqrt{x^2+y^2})$$ deducimos $2\rho\rho'=2xx'+2yy'+2zz'\Leftrightarrow \rho\rho'=xx'+2yy'+zz'$ $\theta'=\dfrac{1}{1+\dfrac{y^2}{x^2}}\dfrac{y'x-x'y}{y^2}=\dfrac{y'x-x'y}{x^2+y^2}$ $\varphi'=\dfrac{1}{1+\dfrac{z^2}{x^2+y^2}}\dfrac{z'\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2xx'+2yy')z}{x^2+y^2}$ $=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{z'(x^2+y^2)-z(xx'+yy')}{\sqrt{x^2+y^2}}.$ Sustituyendo las igualdades del sistema en estas últimas relaciones: $$\rho\rho'=-x^2z-y^2z+zx^2+zy^2=0,$$ $$ \theta'=\dfrac{-xyz+xyz}{x^2+y^2}=0,$$ $$ \varphi'=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{(x^2+y^2)^2-x(-x^2z-y^2z)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{(x^2+y^2)^2+z^2(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ $$=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{(x^2+y^2)^2(x^2+y^2+z^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{x^2+y^2}=\rho\cos \varphi.$$ Queda
- [Resolución de sistemas diferenciales autónomos](https://fernandorevilla.es/2014/12/17/resolucion-de-sistemas-diferenciales-autonomos/) - No existe un método general para la resolución de sistemas diferenciales autónomos. En el siguiente ejercicio, se dan algunas técnicas. Designamos a la variable independiente por $t.$ Ejercicio 1. Resolver el sistema diferencial autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x_1^{\prime}=\cos^2(x_1+x_2) \ x_2^{\prime}=\operatorname{sen}^2(x_1+x_2)\end{matrix}\right.\quad \text{con}\quad\left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0 \ x_2(0)=0.\end{matrix}\right.$$ 2. Resolver el sistema diferencial autónomo $$\left \{ \begin{matrix}
- [Concepto de solución de un sistema autónomo](https://fernandorevilla.es/2014/07/06/concepto-de-solucion-de-un-sistema-autonomo/) - Enunciado 1. Comprobar que la función $$\varphi:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to \mathbb{R}^2,\quad\varphi (t)=\begin{bmatrix}{\tan t}\{\cos^2t}\end{bmatrix}$$ es solución del sistema diferencial autónomo: $$\left \{ \begin{matrix} x'_1=1+x_1^2\x'_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2. Interpretar físicamente el concepto de solución del sistema autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x'=v(x)\x(0)=x_0.\end{matrix}\right.$$ Solución 1. Veamos que se verifican las condiciones de solución: $1)\;$ $0$ pertenece al intervalo $J=(-\pi/2,\pi/2).$ $2)\;$
- [Concepto de sistema autónomo](https://fernandorevilla.es/2014/07/06/concepto-de-sistema-autonomo/) - Enunciado 1. Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x'_1=1+x_1^2\x'_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2. Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x'_1=x_1\cos t\x'_2=-x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\x_2(0)=0.\end{matrix}\right.$$ Solución 1. El campo vectorial $v=(1+x_1^2,-2x_1x_2)^T$ está definido en el abierto $M=\mathbb{R}^2$. Además, las parciales $$\begin{aligned}&\frac{\partial v_1}{\partial x_1}=2x_1,\;\frac{\partial v_1}{\partial
- [EDO por cambio de variable independiente](https://fernandorevilla.es/2019/01/21/edo-por-cambio-de-variable-independiente/) - Resolvemos una EDO de segundo orden por medio de un cambio de variable independiente. Enunciado Para $0 < x
- [Ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes analíticos](https://fernandorevilla.es/2017/09/23/ecuacion-diferencial-homogenea-de-segundo-orden-con-coeficientes-analiticos/) - Demostramos que la ecuación diferencial homogénea de segundo orden $y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0$ con coeficientes analíticos $p(x)$ y $q(x)$ en un intervalo $(x_0-r,x_0+r)$ tiene dos soluciones analíticas y linealmente independientes en el mismo intervalo y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Se considera la ecuación diferencial $$y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0\qquad (E)$$ en donde las funciones $p$ y $q$ son analíticas en
- [Ecuación diferencial transformable en exacta por simplificación](https://fernandorevilla.es/2016/12/04/ecuacion-diferencial-transformable-en-exacta-por-simplificacion/) - Transformamos una ecuación diferencial en exacta por simplificación. Enunciado Resolver la ecuación diferencial $(xy+y\log y)dx + (xy+ x\log x)dy = 0.$ Solución Fácilmente comprobamos que la ecuación no es diferencial exacta, ahora bien dividiendo entre $xy$ obtenemos la ecuación $$\left(1+\displaystyle\frac{\log y}{x}\right)dx + \left(1+\displaystyle\frac{\log x}{y}\right)dy = 0.$$ Se verifica $P_y=Q_x=1/(xy)$ y por tanto al ecuación se
- [Acotación por $e^{\alpha t}$ de las soluciones de un sistema diferencial](https://fernandorevilla.es/2015/10/20/acotacion-por-ealpha-t-de-las-soluciones-de-un-sistema-diferencial/) - Proporcionamos una acotación para las soluciones de un sistema diferencial. Enunciado Sea $A \in\mathbb{R}^{n\times n}$ , con $n$ valores propios distintos y la parte real de cada valor propio $\lambda$ es menor que algún número negativo $\alpha$. Demuestre que para cada solución de $X^{\prime}(t) = Ax(t)$, existe $t_0 > 0$ tal que $$\left\|{X(t)}\right\|
- [Cálculo de $\sqrt{A}$, $A^{-1}$ y $e^A$ por matrices componentes](https://fernandorevilla.es/2015/10/08/calculo-de-sqrta-a-1-y-ea-por-matrices-componentes/) - Usamos un teorema relativo a las matrices componentes para calcular una raíz cuadrada, una inversa y una exponencial. Enunciado Se considera la matriz real: $A=\begin{bmatrix}{5}&{-1}\{1}&{\;\;3}\end{bmatrix}.$ (a) Calcular sus matrices componentes. (b) Como aplicación, calcular $\sqrt{A},$ $A^{-1}$ y $e^{A}.$ Solución Recordamos el siguiente teorema: Sea $A\in{\mathbb{K}^{n\times{n}}}$ con $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ de polinomio mínimo $$\mu(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\ldots(\lambda-\lambda_s)^{m_s}.$$ Entonces, existen
- [Ecuación diferencial por serie de potencias](https://fernandorevilla.es/2015/09/05/ecuacion-diferencial-por-serie-de-potencias/) - Proporcionamos un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial por serie de potencias. Enunciado Se considera la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}(x)+y(x)=x.$ Sea $y(x)$ solución de la ecuación que se puede expresar como suma de una serie entera convergente en $\mathbb{R}.$ Determinar explícitamente todas las funciones $y(x).$ Solución Derivando $y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ obtenemos $$y'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1},\quad y^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}$$ Obligando a que sea
- [Función de Liapunov y teorema de Poincaré](https://fernandorevilla.es/2014/04/02/funcion-de-liapunov-y-teorema-de-poincare/) - Enunciado 1. Enunciado y demostración de la triple caracterización de las integrales primeras para sistemas diferenciales autónomos de primer orden. Aplicación: Comprobar que $f(x,y)=e^{-x^2}(y^2-1)$ es integral primera para $S$, siendo $S:\; x'=y,\;y'=xy^2-x$. 2. Enunciado del método directo de Liapunov para la estabilidad de los puntos de equilibrio en los sistemas diferenciales autónomos de primer orden.
- [Un sistema en diferencias finitas](https://fernandorevilla.es/2014/05/15/un-sistema-en-diferencias-finitas/) - Proporcionamos un ejemplo de resolución de un sistema en diferencias finitas. Enunciado Resolver el sistema de ecuaciones en diferencias finitas $\left \{ \begin{matrix}x(m+1)=x(m)-2y(m)\ y(m+1)=2x(m)-y(m)\end{matrix}\right.$ con la condición inicial $x(0)=1,\;y(0)=0.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Denotando $X_{m}=(x(m),y(m))^t$ podemos expresar $X_{m+1}=AX_m\mbox{ con }A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}\{2}&{-1}\end{bmatrix}\;.$ En consecuencia $X_m=AX_{m-1}=A^2X_{m-2}=A^3X_{m-3}=\ldots=A^mX_0.$ El polinomio característico de
- [Una ecuación en diferencias finitas](https://fernandorevilla.es/2014/05/15/una-ecuacion-en-diferencias-finitas/) - Proporcionamos un ejemplo de resolución de una ecuación en diferencias finitas. Enunciado Resolver la ecuación en diferencias finitas $x(m+2)+2x(m+1)+x(m)=m^2$ con la condición inicial $x(0)=1,\;x(1)=0.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución La ecuación característica es $\lambda^2+2\lambda+1=0$ cuya solución es $\lambda=-1$ (doble). La solución general de la ecuación en diferencias homogénea
- [Polinomio de Taylor de una solución de una ecuación diferencial](https://fernandorevilla.es/2014/04/26/polinomio-de-taylor-de-una-solucion-de-una-ecuacion-diferencial/) - Calculamos el polinomio de Taylor de una solución de una ecuación diferencial. Enunciado Calcular el polinomio de Taylor de cuarto grado (centrado en el origen) de la solución $x(t)$ del problema de valor inicial $\begin{aligned} &x'(t)=\log (1+t+x),\ &x(0)=0. \end{aligned}$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución La función $f(t,x)=\log (1+t+x)$
- [Soluciones acotadas de un sistema diferencial](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/soluciones-acotadas-de-un-sistema-diferencial/) - Determinamos las soluciones acotadas de un sistema diferencial. Enunciado Dado el sistema diferencial $X'(t)=AX(t)$ con $A=\begin{pmatrix}{\;\;6}&{-1}&{\;\;4}\{\;\;8}&{-2}&{\;\;4}\{-4}&{\;\;1}&{-2}\end{pmatrix},$ calcula el conjunto de condiciones iniciales $(x_0,y_0,z_0)^t$ que dan lugar a soluciones acotadas. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos la forma canónica de la matriz $A$. Su polinomio característico es $$\chi(\lambda)=\begin{vmatrix}{6-\lambda}&{-1}&{4}\{\;\;8}&{-2-\lambda}&{4}\{-4}&{\;\;1}&{-2-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{6-\lambda}&{-1}&{4}\{\;\;8}&{-2-\lambda}&{4}\{2-\lambda}&{\;\;0}&{2-\lambda}\end{vmatrix}$$$$=\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{-1}&{4}\{4}&{-2-\lambda}&{4}\{0}&{\;\;0}&{2-\lambda}\end{vmatrix}=(2-\lambda)\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{-1}\{4}&{-2-\lambda}\end{vmatrix}=(2-\lambda)\lambda^2.$$ Los
- [Variación de las constantes](https://fernandorevilla.es/2017/03/11/variacion-de-las-constantes/) - Proporcionamos un ejemplo de aplicación del método de variación de las constantes. Enunciado Usando el método de variación de las constantes hallar la solución general de la ecuación diferencial $$x^{\prime\prime}+x=\dfrac{1}{\cos t}$$ Solución Recordamos el método de variación de las constantes. Sea la ecuación diferencial $$x^{(n)}+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}+\ldots+a_1(t)x'+a_0(t)x=f(t).\qquad (1)$$ Entonces, si $x_1(t),\ldots,x_n(t)$ son soluciones linealmente independientes de la
- [Sistemas diferenciales lineales no homogéneos con coeficientes constantes](https://fernandorevilla.es/2014/06/19/sistemas-diferenciales-lineales-no-homogeneos-con-coeficientes-constantes/) - Resolvemos dos sistemas diferenciales lineales no homogéneos con coeficientes constantes. Enunciado Resolver el sistema diferencial: $$X'=\begin{bmatrix}{\;\;4}&{1}\{-2}&{1}\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}{0}\{-2e^{t}}\end{bmatrix},$$ con la condición $X(0)=\begin{bmatrix}{1}\{0}\end{bmatrix}.$ Resolver el sistema diferencial: $$X'=\begin{bmatrix}{-1}&{0}&{0}\{\;\;0}&{2}&{1}\{\;\;0}&{0}&{2}\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}{t}\{1}\{0}\end{bmatrix},$$ con la condición $X(0)=\begin{bmatrix}{\;\;0}\{\;\;1}\{-1}\end{bmatrix}.$ Solución Recordemos el siguiente teorema: sea el sistema diferencial lineal no homogéneo con coeficientes constantes $X'=AX+b(t)$ en donde $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ y $b:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$ es una función
- [Sistemas diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes](https://fernandorevilla.es/2014/06/19/sistemas-diferenciales-lineales-homogeneos-con-coeficientes-constantes/) - Resolvemos tres sistemas diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes. Enunciado Resolver los siguientes sistemas diferenciales: $\quad\left \{ \begin{matrix}x'_1=2x_1+x_2+x_3\x'_2=x_1+2x_2+x_3\ x'_3=x_1+x_2+2x_3\end{matrix}\right.\quad$ con la condición inicial $\qquad \left \{ \begin{matrix}x_1(1)=1\x_2(1)=0\ x_3(1)=3.\end{matrix}\right.$ $\quad \begin{bmatrix}{x'_1}\{x'_2}\{x'_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{6}&{-15}\{1}&{1}&{-5}\{1}&{2}&{-6}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\{x_2}\{x_3}\end{bmatrix}.$ $\quad \begin{bmatrix}{x'}\{y'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{-1}\{13}&{-3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\{y}\end{bmatrix}\quad$ con la condición inicial $\begin{bmatrix}{x(0)}\{y(0)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}\{2}\end{bmatrix}.$ Solución Recordemos el siguiente teorema: sea el sistema diferencial lineal homogéneo con coeficientes constantes:$$S\equiv \left \{ \begin{matrix}x'_1=a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n\\ldots\x'_n=a_{n1}x_1+\ldots+a_{nn}x_n\end{matrix}\right. $$
- [Forma de Jordan asociada a una ecuación diferencial](https://fernandorevilla.es/2014/05/31/forma-de-jordan-asociada-a-una-ecuacion-diferencial/) - Relacionamos una ecuación diferencial con la forma de Jordan de un sistema. Enunciado Escribir la solución general de la ecuación diferencial $x^{(6)}-6x^{(4)}+12x^{\prime\prime}-8x=0.$ Escribir justificadamente la forma de Jordan $J$ de la matriz $A=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{\;0}&0 & 0 & 0 \{0}&{0}&{\;1}& 0 & 0 & 0\{0}&{0}&{\;0}& 1 & 0 & 0\{0}&{0}&{\;0}& 0 & 1 & 0\{0}&{0}&{\;0}& 0 &
- [Determinante de una matriz solución de un sistema diferencial homogéneo](https://fernandorevilla.es/2017/03/09/determinante-de-una-matriz-solucion-de-un-sistema-diferencial-homogeneo/) - Demostramos una fórmula para el determinante de una matriz solución de un sistema diferencial homogéneo Enunciado Sea el sistema diferencial lineal homogéneo de orden $n$ $$X'=A(t)X.\qquad (H)$$ en donde $A(t)=[a_{ij}(t)],$ $I=[a,b]$ es un intervalo cerrado de la recta real, y $$a_{ij}:[a,b]\to \mathbb{K}\quad (\mathbb{K}=\mathbb{R}\text{ o }\mathbb{K}=\mathbb{R})$$ son funciones continuas. Sea $\Phi(t)=[\varphi_{ij}(t)]$ una matriz solución de $(H),$
- [Tres propiedades de la matriz exponencial](https://fernandorevilla.es/2014/05/26/tres-propiedades-de-la-matriz-exponencial/) - Demostramos tres propiedades de la matriz exponencial. Enunciado Demostrar que si $e^{tA}=e^{tB}$ para todo $t$ entonces es $A=B.$ Demostrar que si $A$ es simétrica ($A^T=A$) entonces $e^{tA}$ es simétrica para todo $t.$ Enunciar el recíproco y estudiar su validez. Demostrar que si $A$ es antisimétrica $(A^T=-A)$) entonces $e^{tA}$ es ortogonal $(M^T=M^{-1})$ para todo $t.$ Enunciar
- [Matriz exponencial e inversa de I+tA](https://fernandorevilla.es/2014/04/21/matriz-exponencial-e-inversa-de-ita/) - Hallamos la exponencial de una matriz $A\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ y la inversa de $I+tA.$ Enunciado Se considera la matriz $A=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;0}&{\;\;\;1}&{\;\;\;0} \{0}&{-1}&{\;\;\;0}&{-1}\ {1}&{\;\;0}&{-1}&{\;\;\;0}\ {0}&{-1}&{\;\;\;0}&{\;\;\;1}\end{bmatrix}\;.$ Calcular $e^{tA}$. Calcular $(I+tA)^{-1}$. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Para hallar los valores propios de $A$ desarrollamos por los elementos de la primera columna $\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{\;\;0}&{\;\;\;1}&{\;\;\;0} \{0}&{-1-\lambda}&{\;\;\;0}&{-1}\
- [Cálculo de la matriz exponencial](https://fernandorevilla.es/2014/06/09/calculo-de-la-matriz-exponencial/) - Proporcionamos tres ejemplos de cálculo de la matriz exponencial $e^{tA},$ según distintas formas canónicas. Enunciado Hallar $e^{tA},$ siendo: $\quad A=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2 \\end{matrix} \right].$ $\quad A=\begin{bmatrix}{2}&{6}&{-15}\{1}&{1}&{-5}\{1}&{2}&{-6}\end{bmatrix}.$ $\quad A=\begin{bmatrix}{3}&{-1}\{13}&{-3}\end{bmatrix}.$ Solución Hallemos los valores propios de $A.$ Restando a la segunda
- [Independencia funcional](https://fernandorevilla.es/2014/04/10/independencia-funcional/) - Definimos la independencia funcional y la comparamos con la independencia lineal. Enunciado Demostrar que si $v^1,v^2,\ldots,v^p$ son funcionalmente independientes, también son linealmente independientes. Demostrar que $$v^1=\begin{bmatrix}{e^{-t}}\{0}\{-1}\{e^{-t}}\end{bmatrix}\;,\quad v^2=\begin{bmatrix}{0}\{t^2}\{0}\{-1}\end{bmatrix}\;,\quad v^3=\begin{bmatrix}{1}\{t^2}\{-e^{-t}}\{0}\end{bmatrix}$$ son linealmente independientes en $[0,1],$ pero funcionalmente dependientes. Solución Sean $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_p\in\mathbb{K}$ tales que $$\alpha_1v^1+\alpha_2v^2+\cdots+\alpha_pv^p=0.$$ Consideremos las funciones constantes $f_i(t)=\alpha_i$ $(i=1,\ldots,p),$ que claramente son de clase $1$ en
- [Ecuación diferencial de Euler](https://fernandorevilla.es/2014/03/28/ecuacion-de-euler/) - Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial de Euler. Enunciado Se llama ecuación de Euler a toda ecuación de la forma $$a_nt^nx^{(n)}+a_{n-1}t^{n-1}x^{(n-1)}+\cdots+a_1tx'+a_0x=0,$$ en donde $a_i$ son números reales con $a_n\neq 0$ y $x$ es función de $t.$ Demostrar que el cambio de variable independiente de $x(t)$ a $x(u)$ definido por $t=\exp u$ transforma la ecuación de
- [Ecuación diferencial equivalente a un sistema](https://fernandorevilla.es/2014/06/13/ecuacion-diferencial-equivalente-a-un-sistema/) - Exponemos la manera de transformar una ecuación diferencial lineal de orden $n$ y coeficientes constantes, en un sistema equivalente. Enunciado Se considera la ecuación diferencial lineal real de coeficientes constantes $$x^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}+\ldots+a_1x'+a_0x=0.$$ Transformarla en un sistema diferencial de primer orden. Usando el apartado anterior, resolver el problema de valor inicial $$x^{\prime\prime\prime}-x^{\prime\prime}-8x'+12x=0\;,\;\;x(0)=0,\;x'(0)=1,\;x^{\prime\prime}(0)=-2.$$ Solución Denotando $y_1=x,\;y_2=x',,\ldots,y_n=x^{(n-1)}$ obtenemos $$\left
- [Ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes (orden $n$)](https://fernandorevilla.es/2014/03/21/ecuacion-diferencial-lineal-no-homogenea-orden-n/) - Proporcionamoa ejercicios sobre la scuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes y de orden $n$. Enunciado Hallar la solución general de la ecuación $$x^{\prime\prime\prime}-x^{\prime\prime}+x'-x=t^2+t.$$ Hallar la solución general de la ecuación $$x^{\prime\prime\prime}-x^{\prime\prime}=12t^2+6t.$$ Hallar la solución general de la ecuación $$x^{\prime\prime}-6x'+9x=25e^t\sin t.$$ Resolver la ecuación diferencial $x^{\prime\prime}+x=\sin ^2t,$ con las condiciones iniciales $x(0)=0$, $x'(0)=1.$ Solución
- [Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes (orden $ n $)](https://fernandorevilla.es/2014/03/19/ecuacion-lineal-homogenea-orden-n/) - Proporcionamoa ejercicios sobre la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes y de orden $ n $. Enunciado Hallar la solución general de la ecuación diferencial $x^{\prime\prime\prime}-2x^{\prime\prime}-3x'=0.$ Hallar la solución general de la ecuación diferencial $x^{\prime\prime\prime}+2x^{\prime\prime}+x'=0.$ Hallar la solución particular que cumple $x(0)=4,x'(0)=2,x^{\prime\prime}(0)=-7.$ Hallar la solución general de la ecuación diferencial $x^{\prime\prime\prime}+4x^{\prime\prime}+13x'=0.$ Hallar la solución
- [Ecuación de Lagrange](https://fernandorevilla.es/2015/09/20/ecuacion-de-lagrange/) - Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación de Lagrange. Enunciado Se llama ecuación diferencial de Lagrange (o de D'Alembert), a toda ecuación de la forma $y=xg(y')+f(y').$ Denotando $p=y',$ la ecuación se escribe en la forma $$y=xg(p)+f(p).\qquad (*)$$ Nota. Para $g(p)=p$ obtenemos la ecuación de Clairaut. Demostrar que derivando respecto de $x$ la ecuación de Lagrange, obtenemos una
- [Ecuación de Clairaut](https://fernandorevilla.es/2015/09/17/ecuacion-de-clairaut/) - Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación de Clairaut. Enunciado Se llama ecuación de Clairaut a toda ecuación de la forma $y=y'x+f\left(y'\right).$ Denotando $p=y'$ la ecuación de queda en la forma $$y=px+f(p).\qquad (*)$$ Demostrar que una solución general de la ecuación de Clairaut es $y=Cx+f(C).$ Demostrar que $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=-f'(p)\& y=-pf'(p) +f(p)\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ son las
- [Transformadas de Laplace: problemas diversos](https://fernandorevilla.es/2014/11/23/transformadas-de-laplace-problemas-diversos/) - Proponemos problemas diversos sobre la transformada de Laplace. Enunciado Sea $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo y de orden exponencial. Supongamos que $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).$ Demostrar que $$\mathcal{L}\{f(at)\}=\dfrac{1}{a}F\left(\dfrac{s}{a}\right),\;a>0.$$ A esta propiedad se la llama propiedad del cambio de escala. Transformada de Laplace de la integral. Sea $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo
- [Resolución de ecuaciones y sistemas mediante transformadas de Laplace](https://fernandorevilla.es/2014/11/20/resolucion-de-ecuaciones-y-sistemas-mediante-transformadas-de-laplace/) - Exponemos el método para la resolución de ecuaciones y sistemas lineales mediante transformadas de Laplace. Enunciado Resolver la ecuación $x^{\prime}-2x=e^{5t},\quad x(0)=3.$ Resolver la ecuación $$x^{\prime\prime}-5x'+4x=4,\quad x(0)=0,\quad x'(0)=2.$$ Resolver la ecuación $$x^{\prime\prime\prime}+x'=e^t,\quad x(0)=x'(0)=x^{\prime\prime}(0)=0.$$ Resolver el problema de valor inicial $$\left \{ \begin{matrix} x'=6x-3y+8e^t\y'=2x+y+4e^t,\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x(0)=-1\y(0)=0.\end{matrix}\right.$$ Resolver la ecuación $x^{\prime}-2x=e^{5t}.$ Solución Aplicando el operador $\mathcal{L}$
- [Convolución de dos funciones](https://fernandorevilla.es/2014/11/21/convolucion-de-dos-funciones/) - Usamos la convolución de dos funciones para calcular algunas transformadas inversas de Laplace. Enunciado Demostrar que la convolución es conmutativa. Usando la convolución, hallar $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}.$ Solución Efectuando el cambio $v=t-u,$ $$g(t)*f(t)=\int_0^tg(u)f(t-u)\;du=\int_t^0g(t-v)f(v)\;(-dv)$$ $$=\int_0^tf(v)g(t-v)\;dv=f(t)*g(t).$$ Eligiendo $f(t)=1$ y $g(t)=\operatorname{sen}t,$ $$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\frac{1}{s}=F(s),\quad \mathcal{L}\left\{g(t)\right\}=\frac{1}{s^2+1}=G(s).$$ Entonces, $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)G(s)\right\}=f(t)*g(t)$$ $$=g(t)*f(t)=\int_0^tg(u)f(t-u)\;du=\int_0^t\operatorname{sen}u\;du$$ $$=\left[-\cos u\right]_0^t=1-\cos t.$$
- [Transformada inversa de Laplace](https://fernandorevilla.es/2014/11/15/transformada-inversa-de-laplace/) - Proporcionamos ejercicios sobre la transformada inversa de Laplace. Enunciado Calcular $\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 9} \right\} .$ Demostrar la propiedad de linealidad para la trasformada inversa de Laplace. Hallar la transformada inversa de Laplace de $F(s)=\dfrac{1}{s^2+4s+9}.$ Calcular $\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{2s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\} .$ Hallar
- [Derivadas de las transformadas de Laplace](https://fernandorevilla.es/2014/11/14/derivadas-de-las-transformadas-de-laplace/) - Proporcionamos la manera de hallar las derivadas de las transformadas de Laplace. Enunciado 1. Sea $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo $[0,b]$ y de orden exponencial $e^{\alpha t}$. Demostrar que si $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ para $s>\alpha,$ se verifica $$\mathcal{L}\{t^nf(t)\}=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}F(s)\text{ si }s>\alpha.$$ 2. Calcular $\mathcal{L}\{t^2\operatorname{sen}bt\}.$ 3. Calcular $\mathcal{L}\{t^4e^{at}\}.$ Solución 1. Derivando la igualdad $F(s)=\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)\;dt$ respecto
- [Propiedades de traslación de las transformadas de Laplace](https://fernandorevilla.es/2014/11/13/propiedades-de-translacion-de-las-transformadas-de-laplace/) - Demostramos y damos ejemplos de aplicación de las propiedades de traslación de las transformadas de Laplace. Enunciado Demostrar la primera propiedad de traslación de las transformadas de Laplace: Supongamos que $f$ es una función tal que existe $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ para $s>\alpha.$ Entonces, se verifica $$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\;\text{ si }\; s>\alpha +a.$$ Demostrar la segunda propiedad de traslación de
- [Transformada de Laplace de las derivadas](https://fernandorevilla.es/2014/11/11/transformada-de-laplace-de-las-derivadas/) - Proporcionamos la manera de hallar la transformada de Laplace de las derivadas de una función. Enunciado Sea $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua y de orden exponencial $e^{\alpha t}.$ Sea $f'$ continua a trozos en todo intervalo $[0,b].$ Demostrar que existe $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ para todo $s>\alpha$ y además $$\mathcal{L}\{f'(t)\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0).$$ Nota. En general se verifica: Sea $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función
- [Existencia y linealidad de la transformada de Laplace](https://fernandorevilla.es/2014/11/09/existencia-y-linealidad-de-la-transformada-de-laplace/) - Estudiamos la existencia de la transformada de Laplace y demostramos su linealidad. Enunciado Demostrar el teorema de existencia de la transformada de Laplace: Sea $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo $[0,b]$ con $b>0,$ y de orden exponencial, es decir existen $\alpha\in\mathbb{R},$ $t_0>0,$ $M>0$ tales que $$\left|f(t)\right|t_0.$$ Entonces, existe
- [Funciones de orden exponencial](https://fernandorevilla.es/2014/11/07/funciones-de-orden-exponencial/) - Definimos el orden exponencial de una función y proporcionamos ejemplos. Enunciado Una función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ se dice que es de orden exponencial si, y sólo si existen $\alpha\in\mathbb{R},$ $t_0>0,$ $M>0$ tales que $$\left|f(t)\right|t_0.$$ Demostrar que toda función acotada es de orden exponencial. Demostrar que $\operatorname{sen}bt$ y $\cos bt$ son de orden exponencial.
- [Tabla de transformadas de Laplace](https://fernandorevilla.es/2014/11/09/tabla-de-transformadas-de-laplace/) - Proporcionamos una tabla de transformadas de Laplace de algunas funciones. $1.\quad \; f(t)=1 \Rightarrow F(s)= \dfrac{1}{s}.$ $2.\quad \; f(t)=e^{at} \Rightarrow F(s)= \dfrac{1}{s-a}.$ $3.\quad \; f(t)=\operatorname{sen}bt \Rightarrow F(s)= \dfrac{b}{s^2+b^2}.$ $4.\quad\; f(t)=\cos bt \Rightarrow F(s)= \dfrac{s}{s^2+b^2}.$ $5.\quad \; f(t)=\operatorname{senh}bt \Rightarrow F(s)= \dfrac{b}{s^2-b^2}.$ $6.\quad \; f(t)=\operatorname{cosh}bt \Rightarrow F(s)= \dfrac{s}{s^2-b^2}.$ $7.\quad \; f(t)=t^n\;(n=1,2,\ldots) \Rightarrow F(s)= \dfrac{n!}{s^{n+1}}.$ $8.\quad\; f(t)=t^ne^{at}\;(n=1,2,\ldots) \Rightarrow
- [Concepto de transformada de Laplace](https://fernandorevilla.es/2014/11/02/concepto-de-transformada-de-laplace/) - Definimos la transformada de Laplace y proporcionamos ejemplos de aplicación. Enunciado Sea $ f :(0.+\infty)\to \mathbb{R}$ una función. Se llama transformada de Laplace de la función $f$ y se representa por $ \mathcal{L}\{f(t)\}$ o por $ \mathcal{L}\{f\}$ a $$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)\;dt,$$ para todos los valores de $s$ para los cuales exista y sea finita la integral anterior.
- [Iteraciones de Picard](https://fernandorevilla.es/2015/12/01/iteraciones-de-picard/) - Resolvemos un problema de valor inicial usando iteraciones de Picard. Enunciado Verificar las hipótesis del teorema de Picard para el problema de valor inicial $$y'=2x(1-y),\quad y(0)=2.\qquad (1)$$ Resolver el problema $(1)$ usando iteraciones de Picard. Verificar que la solución hallada es válida en $I=(-\infty,+\infty).$ Solución Recordamos el teorema de Picard: Sea $f(x,y)$ una función definida
- [Factor integrante de la forma $\mu=\mu (xy^2)$](https://fernandorevilla.es/2015/11/14/factor-integrante-de-la-forma-mumu-xy2/) - Resolvemos una ecuación diferencial usando un factor integrante de la forma $\mu=\mu (xy^2)$. Enunciado Demostrar que la ecuación diferencial $$xdy+ydx+(3x^3y^4)dy=0\qquad (E)$$ tiene un factor integrante de la forma $\mu=\mu(xy^2)$ y calcularlo. Verificar que la ecuación obtenida al multiplicar la ecuación $(E)$ por $\mu,$ es una ecuación diferencial exacta. Resolver la ecuación $(E).$ Solución Podemos escribir
- [Cociente de factores integrantes](https://fernandorevilla.es/2015/10/08/cociente-de-factores-integrantes/) - Estudiamos una propiedad del cociente de dos factores integrantes. Enunciado Demostrar que si $\mu_1$ y $\mu_2$ son factores integrantes de la ecuación diferencial $$Pdx+Qdy=0\quad (1)$$ entonces $\dfrac{\mu_2}{\mu_1}=C$ con $C$ constante es solución de $(1).$ Solución Diferenciando $\dfrac{\mu_2}{\mu_1}=C:$ $$d\left(\dfrac{\mu_2}{\mu_1}\right)=dC,\quad \frac{\partial }{\partial x}\left(\mu_2\cdot\frac{1}{\mu_1}\right)dx+\frac{\partial }{\partial y}\left(\mu_2\cdot\frac{1}{\mu_1}\right)dy=0,$$ $$\left(\frac{\partial \mu_2}{\partial x}\frac{1}{\mu_1}+\mu_2\left(-\frac{1}{\mu_1^2}\right)\frac{\partial \mu_1}{\partial x}\right)dx+\left(\frac{\partial \mu_2}{\partial y}\frac{1}{\mu_1}+\mu_2\left(-\frac{1}{\mu_1^2}\right)\frac{\partial \mu_1}{\partial y}\right)dy=0.$$ Multiplicando por $\mu_1^2:$
- [Lineal, Bernoulli y Riccati](https://fernandorevilla.es/2014/02/22/lineal-bernoulli-y-riccati/) - Resolvemos una ecuación diferencial lineal, otra de Bernoulli y otra de Riccati. Enunciado Resolver los siguientes problemas de valores iniciales, escribiendo en cada caso la solución forma explícita, y su intervalo de continuidad. $x'=\displaystyle\frac{t}{1+t^2}\;x+t,\;x(0)=2.$ $x'=-\displaystyle\frac{tx}{1+t^2}-tx^2,\;x(0)=1/2.$ $x'=\displaystyle\frac{t-t^3}{4(1+t^2)}+\displaystyle\frac{t^3}{1+t^2}x-tx^2,\;x(0)=1.$ Indicación: La ecuación tiene una solución particular constante. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).
- [Máquina quitanieves](https://fernandorevilla.es/2015/12/30/maquina-quitanieves/) - Planteamos y resolvemos una ecuación diferencial asociada al movimiento de una máquina quitanieves. Enunciado Una máquina quitanieves desplaza un volumen de $V$ $(\text{m}^3/\text{ hora}),$ barriendo una anchura $a$ (m) de la carretera. Su velocidad cuando avanza por la carretera varía según la cantidad de nieve precipitada para mantener $V$ constante en el tiempo. Nieva regularmente,
- [Ecuación diferencial con paso a polares](https://fernandorevilla.es/2014/03/15/ecuacion-diferencial-con-paso-a-polares/) - Resolvemos una ecuación diferencial mediante un cambio a coordenadas polares. Enunciado Expresar $xdx+ydy$ y $xdy-ydx$ en coordenadas polares. Como aplicación, resolver la ecuación $$(x^2+y^2)(xdx+ydy)+(x^2+y^2-2x+2y).$$ Solución De las relaciones $x=\rho \cos \theta,\;y=\rho \operatorname{sen}\theta$ deducimos $$xdx+ydy=\rho \cos\theta(\cos \theta d\rho-\rho\operatorname{sen}\theta d\theta)+\rho \operatorname{sen}\theta(\operatorname{sen}\theta d\rho+\rho\cos\theta d\theta)=$$ $$\rho(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta)d\rho+\rho^2(-\cos \theta\operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}\theta \cos\theta)d\theta=\rho\; d\rho.$$ $$xdy-ydx=\rho \cos\theta (\operatorname{sen}\theta d\rho+\rho\cos\theta d\theta)-\rho\operatorname{sen}\theta(\cos \theta d\rho-\rho\operatorname{sen}\theta d\theta)=$$ $$\rho(\cos \theta\operatorname{sen}\theta-\operatorname{sen}\theta
- [Teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación diferencial](https://fernandorevilla.es/2015/09/21/teorema-de-existencia-y-unicidad-de-soluciones-de-una-ecuacion-diferencial/) - Proporcionamos dos ejemplos de aplicación de un teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación diferencial. Enunciado Se considera el siguiente teorema de existencia y unicidad de las soluciones de una ecuación diferencial: Teorema. Sea $D\subset \mathbb{R}^2$ un dominio y $f:D\to \mathbb{R}$ tal que $f$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en $D.$
- [Cambios de variable en las ecuaciones diferenciales](https://fernandorevilla.es/2014/03/15/cambios-de-variable-en-las-ecuaciones-diferenciales/) - Resolvemos ecuaciones diferenciales mediante distintos cambios de variable. Enunciado Demostrar que sustitución $z=ax+by$ transforma la ecuación $y'=f(ax+by+c),$ en una de variables separadas. Demostrar que la expresión $xdx+ydy,$ se transforma mediante la sustitución $u=x^2+y^2$ en $du/2.$ Efectuar una adecuada sustitución que transforme la siguiente ecuación en una de variables separadas: $(xy+1)dx+2x(2xy-1)dy=0.$ Efectuar el cambio de variable
- [Ecuación diferencial de Bernoulli](https://fernandorevilla.es/2014/03/13/ecuacion-diferencial-de-bernoulli/) - Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial de Bernoulli. Enunciado Resolver la ecuación diferencial $xy'=y+2xy^2.$ Demostrar que la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal mediante la sustitución $v=y^{1-n}.$ Resolver la ecuación diferencial $x^3y'=2x^2y+y^3.$ Solución Dividiendo entre $x$ obtenemos $$y'-\frac{1}{x}y=2y^2,\text{ o bien }y^{-2}y'-\frac{1}{x}y^{-1}=2,$$ que es una ecuación de Bernoulli. Efectuando el cambio $v=y^{-1}$ queda
- [Factores integrantes](https://fernandorevilla.es/2014/03/04/factores-integrantes/) - Proporcionamos ejercicios sobre factores integrantes y un anexo teórico. Enunciado Se considera la ecuación diferencial $Pdx+Qdy=0.$ (a) Determinar la relación que se ha de cumplir para que la ecuación tenga un factor integrante $\mu=\mu (x)$ que dependa exclusivamente de $x$. (b) Aplicación: resolver la ecuación diferencial $(1-xy)dx+(xy-x^2)dy=0.$ Se considera la ecuación diferencial $Pdx+Qdy=0.$ (a) Determinar
- [Ecuación diferencial con coeficientes lineales](https://fernandorevilla.es/2014/02/28/ecuacion-diferencial-con-coeficientes-lineales/) - Proporcionamos ejercicicios sobre la ecuación diferencial con coeficientes lineales. Enunciado Sea la ecuación con coeficientes lineales $$(ax+by+c)dx+(a'x+b'y+c')dy=0.$$ Demostrar que si los coeficientes de $dx$ y $dy$ igualados a $0$ representan rectas secantes en el punto $(h,k)$, entonces la sustitución $x=h+X,\;y=k+Y$ transforma la ecuación en una homogénea, y que si representan rectas paralelas, la sustitución $z=ax+by$
- [Ecuación diferencial homogénea](https://fernandorevilla.es/2014/02/26/ecuacion-diferencial-homogenea/) - Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial homogénea. Enunciado Demostrar que si la ecuación $Pdx+Qdy=0$ es homogénea, entonces la sustitución $y=vx$ la transforma en una de variables separadas. Resolver la ecuación diferencial $(x^2-y^2)dx+2xydy=0.$ Resolver la ecuación diferencial $\left(2ye^{y/x}-x\right)y'+2x+y=0.$ Solución Recordamos que la ecuación diferencial: $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ se dice que es homogénea cuando $P$ y $Q$ son funciones
- [Ecuación diferencial de variables separadas](https://fernandorevilla.es/2014/02/24/ecuacion-diferencial-de-variables-separadas/) - Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial de variables separadas. Enunciado Hallar la solución general de la ecuación diferencial $$x(y^2-1)dx-y(x^2-1)dy=0.$$ Hallar la solución de la ecuación diferencial $(1+e^x)yy'=e^x$ que satisface la condición inicial $y(0)=1.$ Resolver la ecuación $(x^2-x)y'=y^2+y.$ Determinar la ecuación de una curva que pasa por el punto $(0,4)$ y que la pendiente de la
- [Construcción de ecuaciones diferenciales](https://fernandorevilla.es/2014/02/11/construccion-de-ecuaciones-diferenciales/) - Proporcionamos ejercicios sobre la construcción de ecuaciones diferenciales. Enunciado Formar la ecuación diferencial de las siguientes familias de curvas $a)\; y=Cx.\quad b)\;y=C_1\cos 2x+C_2\operatorname{sen} 2x$. Encontrar la ecuación diferencial de las siguientes familias de curvas $a)\;x^2+y^2=C.\quad b)\;y=C_1e^{2x}+C_2e^{- 2x}.$ Formar la ecuación diferencial de todas las rectas no verticales del plano. Formar la ecuación diferencial de todas
- [Concepto de ecuación diferencial ordinaria](https://fernandorevilla.es/2014/02/11/concepto-de-ecuacion-diferencial-ordinaria/) - Proporcionamos problemas sobre el concepto de ecuación diferencial ordinaria. Enunciado Averiguar si las funciones que se dan son soluciones de la ecuación diferencial correspondiente $a)$ $xy'=2y,$ función $y=5x^2.$ $b)$ $y^{\prime\prime}=x^2+y^2,$ función $y=\dfrac{1}{x}.$ Comprobar que $y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}$ es solución general de la ecuación diferencial $$y^{\prime\prime}-(\lambda_1+\lambda_2)y^\prime+\lambda_1\lambda_2y=0,$$ y encontrar dos soluciones particulares. Demostrar que $y=C_1\cos 2x+C_2\operatorname{sen} 2x$
- [Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\dfrac{1}{2+z^2-2\cosh z}$](https://fernandorevilla.es/2016/02/17/singularidad-y-residuo-en-el-origen-de-fzdfrac12z2-2cosh-z/) - Enunciado Usando desarrollo en serie de Laurent, clasificar la singularidad en el origen de la función $$f(z)=\dfrac{1}{2+z^2-2\cosh z}$$ y hallar su residuo en tal punto. Solución Claramente el denominador se anula en $z=0,$ por tanto presenta una singularidad en dicho punto. El desarrollo en serie de la función coseno hiperbólico es $$\cosh z=1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^6}{6!}+\cdots,$$ y por
- [Espacios $l_p$](https://fernandorevilla.es/2018/04/17/espacios-l_p/) - Definimos los espacios $l_p$ y estudiamos algunas de sus propiedades. Enunciado Designamos por $\mathbb{K}$ al cuerpo de los números reales o complejos indistintamente. Sabemos que en el espacio vectorial $\mathbb{K}^n$ y para todo $p\in [1,+\infty)$ se definen la normas $$ \left\|x\right\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^p\right)^{1/p},\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{K}^n,$$ y también la norma $\left\|x\right\|_{\infty}=\max \left\{\left|x_1\right|,\ldots,\left|x_n\right|\right\}.$ Generalizaremos estos conceptos a $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ Sea
- [Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas](https://fernandorevilla.es/2017/02/02/espacio-prehilbertiano-de-las-sucesiones-finitamente-no-nulas/) - Demostramos que el espacio de las sucesiones complejas finitamente no nulas, es espacio prehilbertiano pero no de Hilbert. Enunciado (a) Sea $P$ el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas $x=(x_n)$ finitamente no nulas, (es decir con sólo un número finito de términos no nulos), con las operaciones habituales. Demostrar que $P$ es prehilbertiano con
- [Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos](https://fernandorevilla.es/2017/02/01/desigualdad-de-schwarz-y-norma-en-los-espacios-prehilbertianos/) - Demostramos la desigualdad de Schwarz en espacios prehilbertianos y las propiedades de la norma. Enunciado Sea $P$ un espacio prehilbertiano, es decir un espacio vectorial complejo con producto escalar. Para todo $x\in P$ se define la norma (o longitud) de $x$ como el número real no negativo $\left\|x\right\|=\sqrt{\langle x,x \rangle}$. 1. Demostrar que para todo
- [Suma $\scriptstyle \sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices](https://fernandorevilla.es/2015/10/19/suma-serie-absolutamente-convergente-espacio-matrices/) - Enunciado Sea $\mathbb{K}$ el cuerpo de los reales o los complejos, y $\left\|{\;}\right\|$ una norma matricial en el espacio vectorial $E=\mathbb{K}^{n\times n}$ de las matrices cuadradas de orden $n$ con coeficientes en $\mathbb{K}.$ Sea $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ tal que $\left\|{A-I}\right\|
- [Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$](https://fernandorevilla.es/2014/10/21/espacio-de-banach-l1mathbbn/) - Demostramos en el siguiente problema que $l^1(\mathbb{N})$ es un espacio de Banach. Enunciado Sea $l^1(\mathbb{N})$ el conjunto de las sucesiones $x=(x_n)_1^{\infty}$ con términos en $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), tales que $\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_n\right|$ es finito. Demostrar que $l^1(\mathbb{N})$ es espacio vectorial con las operaciones habituales suma y producto por un escalar. Demostrar que $\left\|x\right\|_1=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_n\right|$ define una norma
- [Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo](https://fernandorevilla.es/2014/10/10/espacio-de-banach-de-las-funciones-continuas-con-la-norma-del-supremo/) - En este problema se demuestra que el espacio vectorial $\mathcal{C}(I)$ de las funciones continuas (reales o complejas) definidas en $I=[a,b]$ es un espacio de Banach con la norma del supremo. Enunciado Sea $I=[a,b]$ intervalo cerrado de la recta real y $E=C\left(I\right)$ el espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) de las funciones continuas $f:I\to\mathbb{K}.$ Demostrar
- [Criterio de Abel para la convergencia de series](https://fernandorevilla.es/2014/04/22/criterio-de-abel-para-la-convergencia-de-series/) - Demostramos el criterio de Abel para la convergencia de series y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $(\lambda_n)$ una sucesión monótona y acotada de números reales y $(s_n)$ una sucesión acotada de vectores de un espacio normado $E.$ Sea $u_n=(\lambda_n-\lambda_{n+1})u_n$. Demostrar que la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es absolutamente convergente. Demostrar el criterio de Abel para
- [Criterio de Dirichlet para la convergencia de series](https://fernandorevilla.es/2014/04/21/criterio-de-dirichlet-para-la-convergencia-de-series/) - Demostramos el criterio de Dirichlet para la convergencia de series y damos ejemplos de aplicación. Enunciado Sea $(\lambda_n)$ una sucesión monótona y acotada de números reales y $(s_n)$ una sucesión acotada de vectores de un espacio normado $E.$ Sea $u_n=(\lambda_n-\lambda_{n+1})u_n$. Demostrar que la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es absolutamente convergente. Demostrar el criterio de Dirichlet para la
- [Diferenciabilidad entre espacios de Banach](https://fernandorevilla.es/2015/07/29/diferenciabilidad-entre-espacios-de-banach/) - Definimos el concepto de diferenciabilidad entre espacios de Banach y estudiamos dos de sus propiedades. Enunciado Sean $E$ y $F$ espacios de Banach, ambos sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ con $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}.$ Sea $A\subset E$ abierto y $x_0\in A.$ Sea $f:A\to F$ una aplicación continua en $x_0.$ Se dice que $f$ es diferenciable en $x_0$
- [Norma de una aplicación lineal y continua](https://fernandorevilla.es/2015/06/26/norma-de-una-aplicacion-lineal-y-continua/) - Enunciado Sean $E$ y $F$ dos espacios normados y $T:E\to F$ una aplicación lineal y continua. Sabemos que en tal caso existe $K>0$ tal que $\left\|T(x)\right\|\le K\left\|x\right\|$ para todo $x\in E.$ En consecuencia el conjunto $$\left\{ \frac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}:x\in E,\;x\ne 0\right\}$$ está acotado por $K.$ Ello implica que tal conjunto tiene supremo finito. Definimos la norma de
- [Teorema de Riesz](https://fernandorevilla.es/2015/06/17/teorema-de-riesz/) - Demostramos el teorema de Riesz, el cual proporciona caracterizaciones de los espacios normados de dimensión finita. Enunciado Demostrar el teorema de Riesz: Sea $E$ un espacio normado. Entonces, son equivalentes: $(a)$ $E$ es de dimensión finita. $(b)$ La bola cerrada unidad es compacta. $(c)$ Los conjuntos compactos de $E$ son exactamente los cerrados y acotados.
- [Espacios normados de dimensión finita](https://fernandorevilla.es/2015/06/08/espacios-normados-de-dimension-finita/) - En el siguiente problema demostramos propiedades de los espacios normados de dimensión finita. Enunciado 1. Demostrar que todos los espacios normados $\left(E,\left\|\;\right\|_E\right)$ de dimensión finita dada $n$ sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K=\mathbb{R}}$ o $\mathbb{K=\mathbb{C}}$), son homeomorfos. 2. Sean $E$ y $F$ espacios normados sobre $\mathbb{K}$ con $E$ de dimensión finita. Demostrar que toda aplicación lineal
- [Una aplicación lineal discontinua](https://fernandorevilla.es/2015/06/15/una-aplicacion-lineal-discontinua/) - Proporcionamos una aplicación lineal y discontinua entre espacios normados. Enunciado Se considera el espacio vectorial $E=\mathcal{C}^1[0,1]$ de las funciones reales de clase $1$ definidas en $[0,1]$ con la norma $\|f\|=\sup_{x\in [0, 1]}\left|f(x)\right|.$ Demostrar que la aplicación $$T:E\to\mathbb{R},\quad T(f)=f'(0)$$ es lineal pero no continua. Solución Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ y para todo $f,g\in E,$ $$T(\lambda f+\mu g)=(\lambda
- [Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados](https://fernandorevilla.es/2015/06/01/aplicaciones-lineales-continuas-entre-espacios-normados/) - Estudiamos las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados. Enunciado 1. Sean $E$ y $F$ espacios normados y $f:E\to F$ lineal. Demostrar que si $f$ es continua en un puntto $a\in E,$ entonces es uniformemente continua en $E.$ 2. Sean $E$ y $F$ espacios normados y $T:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que $$T\text{ es continua}\Leftrightarrow
- [Propiedades topológicas en los espacios normados](https://fernandorevilla.es/2015/05/28/propiedades-topologicas-en-los-espacios-normados/) - En este problema analizamos algunas propiedades topológicas de los espacios normados. Enunciado 1. Sean $E$ y $F$ espacios normados. Se dice que la aplicación $f:E\to F$ es Lipschitziana si existe una constante $k>0$ tal que $$ \left\|f(x)-f(y)\right\|\leq k \left\|x-y\right\|$$ para todo $x,y\in E.$ Demostrar que toda aplicación Lipschitziana es uniformemente continua. 2. Sean $E$ un
- [Normas no equivalentes](https://fernandorevilla.es/2014/03/25/normas-no-equivalentes/) - En el siguiente problema, damos un ejemplo de dos normas no equivalentes en un espacio vectorial de dimensión infinita, y demostramos que en todo espacio vectorial normado de dimensión infinita existen al menos dos normas que no son equivalentes. Enunciado (a) Demostrar que en el espacio vectorial real $\mathcal{C}[0,1]$ de las funciones continuas de $[0,1]$
- [Normas equivalentes](https://fernandorevilla.es/2014/11/01/normas-equivalentes/) - Demostramos una caracterización de normas equivalentes y la equivalencia de las normas $p$ para $p=1,2,\infty.$ Enunciado Demostrar que dos normas $\left\|\;\right\|$ y $\left\|\;\right\|^*$ de un espacio espacio vectorial $E$ son equivalentes, si y sólo si existen constantes reales $a>0$ y $b>0$ tales que $$a\left\|x\right\|\leq \left\|x\right\|^*\leq b\left\|x\right\|$$ para todo $x\in E.$ Se consideran las normas de
- [Series en espacios normados](https://fernandorevilla.es/2014/10/23/series-en-espacios-normados/) - Estudiamos algunas propiedades de las series en espacios normados. Enunciado Sea $\sum_{n\geq 0}x_n$ una serie convergente en un espacio normado $E.$ Demostrar que $x_n\to 0.$ Dar un contraejemplo que demuestre que el recíproco no es cierto. (Álgebra de series). Sean $\sum_{n\geq 0}x_n$ y $\sum_{n\geq 0}x'_n$ dos series en un espacio normado $E$ de sumas $s$
- [La distancia es uniformemente continua](https://fernandorevilla.es/2014/03/27/la-distancia-es-uniformemente-continua/) - Demostramos que la aplicación distancia es uniformemente continua. Enunciado Sea $(E,d)$ un espacio métrico. Demostrar que la aplicación distancia $d:E\times E\to\mathbb{R}^+$ es uniformemente continua considerando en $E\times E$ la distancia $d_1[(x,y),(u,v)]=d(x,u)+d(y,v).$ y en $\mathbb{R}^+$ la distancia usual $d_u(t,s)=|t-s|$ Solución Para todo $x,y,u,v\in E$ y usando la desigualdad triangular: $\begin{aligned} d(x,y)&\leq d(x,u)+d(u,y)\ &\leq d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)\ &\Rightarrow d(x,y)-d(u,v)\leq
- [Distancia inducida por la norma](https://fernandorevilla.es/2014/10/08/distancia-inducida-por-la-norma/) - Estudiamos propiedades de la distancia inducida por la norma. Enunciado Sea $x\to \left\|x\right\|$ una norma en un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$d:E\times E\to \mathbb{R}^+,\quad d(x,y)=\left\|x-y\right\|$$ es una distancia en $E.$ Nota. Como consecuencia, todo espacio normado puede ser considerado como un espacio métrico con la distancia anterior. Sea $E$ espacio normado. Demostrar que la
- [Normas $p$](https://fernandorevilla.es/2015/04/14/normas-p/) - Estudiamos las normas $p$ en $\mathbb{K}^n.$ Enunciado Sea $p$ real con $1\leq p
- [Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski](https://fernandorevilla.es/2015/02/17/desigualdades-de-young-holder-y-minkowski/) - Demostramos las desigualdades de Young, Hölder y Minkowski. Enunciado Sean $a,b,p,q$ números reales tales que $$a\geq 0,\;b\geq 0,\;p>1,\;q>1,\;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$$ Demostrar la desigualdad de Young: $$ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$$ Sean $a_k,b_k\geq 0$ números reales con $k=1,2,\ldots, n,$ $p>1,$ $q>1,$ $1/p+1/q=1$. Demostrar la desigualdad de Hölder $$\sum_{k=1}^na_kb_k\leq \left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^nb_k^q\right)^{1/q}.$$ Sean $a_k,b_k\geq 0$ números reales con $k=1,2,\ldots, n,$ y $p\geq 1,$ real.
- [Máximo de  $\scriptstyle f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $ \scriptstyle\sum_{i=1}^nx_i=a$](https://fernandorevilla.es/2015/10/17/maximo-de-scriptstyle-fx_1ldotsx_nsum_i1nlog1x_i-con-scriptstylesum_i1nx_ia/) - Enunciado Determinar el máximo de la función $$f:\left(\mathbb{R}^+\right)\to \mathbb{R},\quad f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)},$$ con la restricción $x_1+\cdots x_n=a$ ($a$ real y positivo). Sugerencia: usar que la media geométrica de $n$ números reales y no negativos no es mayor que su media aritmética. Solución Podemos expresar $f(x_1,\ldots,x_n)=\log\prod_{i=1}^n(1+x_i).$ Dado que la función logaritmo es estrictamente creciente, el punto donde se
- [Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$](https://fernandorevilla.es/2015/10/16/integral-triple-iiint_txmynzp1-x-y-zqdxdydz/) - Enunciado Calcular la integral triple $$I=\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$$ siendo $T$ el recinto limitado por los tres planos coordenados y el plano $x+y+z=1,$ y $m,$ $n,$ $p,$ $q$ enteros positivos. Solución Podemos expresar $I$ como las integrales reiteradas $$I=\int_0^1x^mdx\int_0^{1-x}y^ndy\int_0^{1-x-y}z^p(1-x-y-z)^qdz.$$ Denotando $a=1-x-y,$ la tercera integral iterada es $$\int_0^{1-x-y}z^p(1-x-y-z)^qdz=\int_0^az^p(a-z)^qdz=a^q\int_0^az^p\left(1-\frac{z}{a}\right)^qdz$$ $$=a^{p+q+1}\int_0^a\left(\frac{z}{a}\right)^p\left(1-\frac{z}{a}\right)^qd\left(\frac{z}{a}\right)\underbrace{=}_{t=z/a}a^{p+q+1}\int_0^1t^p(1-z)^qdz$$ $$=a^{p+q+1}B(p+1,q+1)=a^{p+q+1}\frac{\Gamma (p+1)\Gamma (q+1)}{\Gamma (p+q+2)}=a^{p+q+1}\frac{p!q!}{(p+q+1)!}.$$ Entonces, $$I=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}\int_0^1x^mdx\int_0^{1-x}y^n(1-x-y)^{p+q+1}dy.$$ Llamando $b=1-x$ tenemos $$\int_0^{1-x}y^n(1-x-y)^{p+q+1}dy=\int_0^{b}y^n(b-y)^{p+q+1}dy$$
- [Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$](https://fernandorevilla.es/2015/10/08/desarrollo-de-taylor-de-orden-n-de-fxylog-xy/) - Calculamos el desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$ con resto. Enunciado Desarrollar la función $f(x,y)=\log (x+y)$ por la fórmula de Taylor de orden $n$ en un entorno de $(1,1).$ Solución Hallemos las primeras derivadas parciales de $f:$ $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{x+y},$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-\frac{1}{(x+y)^2}.$$ Demostremos por
- [Un campo gradiente](https://fernandorevilla.es/2014/05/20/un-campo-gradiente/) - Enunciado Se considera un campo vectorial $F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ definido en $\mathbb{R}^3$ y de clase $\mathcal{C}^1$. Se construye a partir de él un campo escalar $V(x,y,z)$ de la siguiente manera: $$V(x,y,z)=\displaystyle\int_{\Gamma} P\;dx+Q\;dy+R\;dz,$$ en donde $\Gamma$ es la poligonal determinada por los puntos $(0,0,0)$, $(x,0,0)$, $(x,y,0)$ y $(x,y,z)$. Expresar $V$ como suma de integrales simples. Enunciar y demostrar
- [Potencial de un campo con función homogénea](https://fernandorevilla.es/2014/06/09/potencial-de-un-campo-con-funcion-homogenea/) - Enunciado Se trata de probar que todo campo vectorial de la forma $\overrightarrow{F}(x,y,z)=g(x,y)\vec{k}$ donde $g(x,y)$ es una función continua en $\mathbb{R}^2$ conocida, admite una función potencial de la forma $\overrightarrow{V}(x,y,z)=f(x,y)(-y\vec{i}+x\vec{j})$. Deducir la ecuación que debe satisfacer $f$ para que en todo punto se cumpla $\textrm{rot}(\overrightarrow{V})=\overrightarrow{F}$. Determinar $f$ cuando $g$ sea una función homogénea de grado
- [Móviles sobre dos circunferencias](https://fernandorevilla.es/2014/06/11/moviles-sobre-dos-circunferencias/) - Enunciado Considérense dos circunferencias concéntricas $C_1,C_2$ de radios $a,2a$ respectivamente. Dos móviles $M$ y $P$ situados cada uno de ellos respectivamente en $C_1$ y $C_2$ describen las circunferencias en el mismo sentido con velocidad lineal constante en módulo e igual para ambos móviles. En el instante inicial $M$ y $P$ se encuentran sobre el mismo
- [Centro de gravedad de una esfera](https://fernandorevilla.es/2014/04/03/centro-de-gravedad-de-una-esfera/) - Enunciado En una esfera maciza de radio $a$, existe una distribución de masa cuya densidad en cada punto es proporcional a la distancia de dicho punto a uno fijo de la superficie de la esfera. Se pide determinar la posición del centro de gravedad de este sólido. (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing.
- [Flujo y circulación de un campo](https://fernandorevilla.es/2014/03/31/flujo-y-circulacion-de-un-campo/) - Enunciado Se considera el campo vectorial en $\mathbb{R}^3$ definido por $\overrightarrow{F}(\vec{r})=(\vec{a}\cdot \vec{r})^{10}\vec{r}$ en donde $\vec{a}$ es un vector fijo y no nulo de $\mathbb{R}^3$ y $\vec{r}$ es el vector de posición. Se pide: Calcular la divergencia y rotacional del campo $\overrightarrow{F}.$ Determinar si existen vectores $\vec{a}$ no nulos para los cuales el campo $\overrightarrow{F}$ es
- [Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación](https://fernandorevilla.es/2014/03/30/teoremas-de-stokes-y-gauss-comprobacion/) - Verificamos la validez de los teoremas de Stokes y Gauss en casos concretos. Enunciado Se considera el campo vectorial en $\mathbb{R}^3:$ $$\vec{F}(x,y,z)=(x-2yz,y+2xz,z).$$ y el cono $K:\;x^2+y^2=4z^2,\,0\leq z\leq 1.$ Se pide: Comprobar la validez del teorema de Stokes para el campo $\vec{F}$ y el cono $K.$ Comprobar la validez del teorema de Gauss para el campo
- [Integral doble impropia con parámetros](https://fernandorevilla.es/2014/05/11/integral-doble-impropia-con-parametros/) - Enunciado Estudiar en función de los valores reales de $\alpha$ y $\beta$ la convergencia de la integral impropia $\displaystyle\iint_{x,y\geq 0} \dfrac{dxdy}{1+x^{\alpha}+y^{\beta}}.$ Cuando resulte convergente, expresar su valor en términos de la función gamma de Euler. Sugerencia: Hacer el cambio de variables $x^{\alpha}=u^2,\;y^{\beta}=v^2$ seguido de un cambio a coordenadas polares. (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS
- [Integral doble impropia por un cambio ortogonal](https://fernandorevilla.es/2014/03/31/integral-doble-impropia-por-un-cambio-ortogonal/) - Enunciado Calcular $$I(a,b)=\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(ax^2+2bxy+cy^2)}\;dxdy\quad(a>0\;,\;ac-b^2>0).$$ (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Consideremos la forma cuadrática $q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2=(x,y)\begin{pmatrix}{a}&{b}\{b}&{c}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\{y}\end{pmatrix}.$ De las condiciones $a>0,ac-b^2>0$ deducimos que $q$ es definida positiva. Como consecuencia del teorema espectral, existe una matriz $P$ ortogonal tal que el cambio de coordenadas $(x,y)^t=P(u,v)^t$ permite expresar la forma cuadrática de la siguiente manera:
- [Integral de superficie de una función homogénea](https://fernandorevilla.es/2014/03/23/integral-de-superficie-de-una-funcion-homogenea/) - Enunciado En $\mathbb{R}^3$, sea $F(\vec{r})\;(\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})$ una función escalar homogénea de grado $m>0.$ Sea $S$ la esfera unidad $x^2+y^2+z^2\leq 1$ y sea $\partial S$ su superficie frontera. Transformar la integral de superficie $\displaystyle\iint_{\partial S}F(\vec{r})\;d\sigma$ en una integral triple extendida a la esfera $S.$ Como aplicación de lo anterior, calcular la integral de superficie $$\displaystyle\iint_{\partial S}(Ax^4+By^4+Cz^4+Dx^2y^2+Ey^2z^2+Fz^2x^2)\;d\vec{\sigma}.$$ (Propuesto
- [Integral en el cubo unidad](https://fernandorevilla.es/2014/05/05/integral-en-el-cubo-unidad/) - Enunciado Calcúlese $$I=\displaystyle\int_{M}f(x,y,z)\;dxdydz,$$ en donde $M=[0,1]^3 $ y $f(x,y,z)=\max\;\{x,y,z\}.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED). Solución Descomponemos la región $M$ en tres subregiones: $$M_1=\{(x,y,z)\in [0,1]^3\;:\;y\leq x\;,\;z\leq x\},$$ $$ M_2=\{(x,y,z)\in [0,1]^3\;:\;x\leq y\;,\;z\leq y\},$$ $$ M_3=\{(x,y,z)\in [0,1]^3\;:\;x\leq z\;,\;y\leq z\}.$$ Entonces $f(x,y,z)=\left \{ \begin{matrix} x & \mbox{ si }& (x,y,z)\in M_1\ y & \mbox{
- [Integral doble como producto de simples](https://fernandorevilla.es/2014/04/19/integral-doble-como-producto-de-simples/) - Enunciado Sea $f$ una función continua real de variable real. Expresar la integral $\displaystyle\int_{a}^{b}\left(\displaystyle\int_{x}^{b}f(x)f(y)\;dy\right)dx$ en términos de la integral $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;dx.$ Como aplicación calcular la integral doble: $\displaystyle\iint_{M}\displaystyle\frac{xy}{(4+x^2)(4+y^2)}\;dxdy$ siendo $M=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x\leq y\leq \sqrt{2},\;0\leq x\leq \sqrt{2}\}.$ (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Como $f$ es continua, admite una primitiva $F.$ Entonces, usando
- [Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff](https://fernandorevilla.es/2014/04/01/continuidad-uniforme-y-teorema-de-tychonoff/) - Relacionamos la continuidad uniforme con el teorema de Tychonoff. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $$f(x,y)=x+\dfrac{y}{x}\;(\textrm{si}\;x\neq 0)\;,\quad f(0,y)=0.$$ Determinar el subconjunto $M$ de $\mathbb{R}^2$ en donde $f$ es continua. Probar que $f$ no es uniformemente continua en $M$. Estudiar la continuidad uniforme de $f$ en el subconjunto de $M:$ $(1,2)\times (1,2)$. (Propuesto en examen, Amp.
- [Extremos locales de una integral biparamétrica](https://fernandorevilla.es/2014/05/13/extremos-locales-de-una-integral-biparametrica/) - Enunciado Hallar y clasificar los puntos críticos de la función: $I(a,b)=\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}[(1+a\sin x)^5+80b^2]\;dx.$ Solución Para todo $a,b\in\mathbb{R}$ la función integrando $f_{a,b}=(1+a\sin x)^5+80b^2$ es continua en $[-\pi/2,\pi/2],$ lo cual implica que la función $I$ está definida para todo $(a,b)\in\mathbb{R}^2.$ Hallemos sus puntos críticos. $\dfrac{{\partial I}}{{\partial a}}(a,b)=\dfrac{{\partial I}}{{\partial a}}\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}[(1+a\sin x)^5+80b^2]\;dx=0,$ $\dfrac{{\partial I}}{{\partial b}}(a,b)=\dfrac{{\partial I}}{{\partial b}}\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}[(1+a\sin x)^5+80b^2]\;dx=0 .$ La
- [Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$](https://fernandorevilla.es/2014/04/13/puntos-criticos-de-gxypfxpfy/) - Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función derivable tal que $f'(x)>0\;\;\forall{x}\in \mathbb{R}.$ Supongamos que $\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)=+\infty}$ y $\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)=0}.$ Demostrar que $f(x)>0\;\;\forall{x}\in \mathbb{R}$ y que dado $b>0$ existe un único $a\in \mathbb{R}$ tal que $f(a)=b.$ Sea $p(x)$ un polinomio de grado $3$ (con coeficientes reales) y con tres raíces reales distintas y positivas. Sea $\alpha$ una
- [Extremos absolutos sobre compactos](https://fernandorevilla.es/2014/06/22/extremos-absolutos-sobre-compactos/) - Proporcionamos ejemplos de cálculo de extremoss absolutos sobre conjuntos compactos. Enunciado Considérese la función $f:\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}\to \mathbb{R}:$ $$f(x,y)=\dfrac{-2(x+y)}{x^2+y^2}.$$ Determinar sus extremos absolutos sobre la región $$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:1\leq x^2+y^2\leq 4\}.$$ (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM). ¿Cuanto vale y en qué punto alcanza su máximo la función $f(x,y)=(x|y|-y|x|)^{113}$ sobre el compacto $x^2+y^2\leq 1$? (Propuesto
- [Paralelepípedo inscrito en un elipsoide](https://fernandorevilla.es/2014/04/18/paralelepipedo-inscrito-en-un-elipsoide/) - Enunciado Calcular el paralelepípedo de mayor volumen inscrito en el elipsoide $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{x^2}{c^2}=1\quad (a>0,\;b>0,\;c>0).$ Solución Sea $(x,y,z)$ el vértice del paralelepípedo que está en el primer cuadrante. El volumen de este es por tanto $V=2x\cdot{2y}\cdot{2z}=8xyz.$ Es decir, se trata de hallar el máximo de $V_1=xyz$ con la condición $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$ $(x\geq{0},y\geq{0},z\geq{0}).$ Función de Lagrange: $$F(x,y,z)=xyz+\lambda(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1).$$ Puntos críticos
- [Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange](https://fernandorevilla.es/2014/04/18/maximos-y-minimos-condicionados-multiplicadores-de-lagrange/) - Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de máximos y mínimos condicionados por multiplicadores de Lagrange. Enunciado Hallar los extremos de la función $f(x,y)=x+2y$ con la condición $x^2+y^2=5.$ Hallar los extremos de la función $f(x,y)=xy$ con la condición $x+y=1.$ Hallar los extremos de la función $f(x,y)=x+2y$ con la condición $x^2+y^2=5$ sin usar el método de los multplicadores
- [Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $](https://fernandorevilla.es/2015/08/29/puntos-criticos-de-fxysum_k0inftyxyk/) - Enunciado Dibujar en el plano el dominio de la función escalar $$f(x,y)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k.$$ Hallar y clasificar los puntos críticos de $f.$ (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución La serie dada es una serie geométrica de razón $xy,$ en consecuencia es convergente si y sólo si se verifica $|xy|
- [Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$](https://fernandorevilla.es/2014/04/09/teorema-de-la-funcion-implicita-en-mathbbrntimes-mathbbrm/) - Proporcionamos ejercicios sobre el teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m.$ Enunciado (a) Probar que el sistema $$\left \{ \begin{matrix} xz^3+y^2u^3=1\2xy^3+u^2z=0,\end{matrix}\right.$$ define a $z,u$ como funciones implícitas diferenciables de las variables $x,y$ en un entorno del punto $P(0,1,0,1).$ (b) Hallar las derivadas parciales en el punto $a=(0,1)$ de las funciones implícitas $z=z(x,y)$ y $u=u(x,y)$
- [Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$](https://fernandorevilla.es/2014/04/08/teorema-de-la-funcion-implicita-en-rxr/) - Proporcionamos ejercicios sobre el teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}.$ Enunciado Se considera la función $F:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $F(x,y)=x^2+y^2-5$ y el punto $(a,b)=(1,2).$ (a) Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema de la función implícita en $(a,b).$ (b) Deducir que la ecuación $F(x,y)=0$ determina un única función implícita $y=f(x)$. (c) Calcular
- [Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/teorema-de-la-funcion-inversa-en-mathbbrn/) - Enunciamos el teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$ y proporcionamos ejemplos de aplicación. Enunciado Para $0\leq x\leq \pi/2\;,\;0\leq y \leq \pi/2$ se considera la función $$f(x,y)=\left(\displaystyle\int_y^x\sin t\;dt\;,\int_{\pi/2}^{x+y}\cos\left( t-\frac{\pi}{2}\right)\;dt\right)$$ Calcular $(f^{-1})'(0,0)$. Sea $(a_n)_0^{\infty}$ una sucesión de números reales tales que $a_n>0$ para cada $n=0,1,2,\ldots$. Supongamos que la serie de potencias $\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ tiene radio de convergencia
- [Puntos de discontinuidad, compacidad](https://fernandorevilla.es/2014/06/03/puntos-de-discontinuidad-compacidad/) - Enunciado Se considera la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{x}{4x^2+y^2-1} & \mbox{ si }& 4x^2+y^2\neq 1\;\wedge\;(x,y)\neq (0,0)\1 & \mbox{si}& 4x^2+y^2=1\;\vee\;(x,y)=(0,0).\end{matrix}\right.$$ Estudiar la continuidad de $f$ en $\mathbb{R}^2.$ Probar que el conjunto de los puntos de discontinuidad de $f$ es compacto. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED). Solución Analizaremos tres casos.
- [Diferencial de una composición](https://fernandorevilla.es/2014/06/17/diferencial-de-una-composicion/) - Enunciado Se consideran las funciones $f$ y $g$ definidas por $$f(u,v)=\left(\displaystyle\int_1^{u+v}\sin^8t\;dt,\displaystyle\int_1^{u-v}\cos^6t\;dt,\displaystyle\int_1^{3u-2v}\cos^3t\;dt\right),$$$$ g(x,y,z)=\left(\dfrac{x}{y}\sin z,\;1+\dfrac{y}{z}\cos z\right).$$ Calcular razonadamente $Dg(1,-1,0)$ y $D(f\circ g)(1,-1,0).$ (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Las funciones componentes de $g$ son: $g_1(x,y,z)=\dfrac{x}{y}\sin z\;,\quad g_2(x,y,z)=1+\dfrac{y}{z}\cos z.$ Usando el teorema fundamental del Cálculo y la regla de la cadena, obtenemos las
- [Teorema del valor medio escalar](https://fernandorevilla.es/2018/01/30/teorema-del-valor-medio-escalar/) - Proporcionamos la demostración del teorema del valor medio escalar, un ejemplo y la impostibilidad de extenderlo a campos no escalares. Teorema (del valor medio escalar). Sea $E$ un espacio nornado, $A\subset E$ abierto y $f:A\to \mathbb{R}$ diferenciable. Sean $a,b\in A$ con $a\ne b$ tales que el segmento $[a,b]\subset A$. Entonces, existe $c\in (a,b)$ tal que
- [Diferenciabilidad en varias variables](https://fernandorevilla.es/2014/06/21/diferenciabilidad-en-varias-variables/) - Estudiamos el concepto de diferenciabilidad en varias variables y sus propiedades. Enunciado Se considera la función $f(x,y)=(x^3+y,\log xy, \sqrt{x^2+y^2}).$ Demostrar que es diferenciable en $(1,1)$ y hallar su diferencial en este punto. Sea la función $\quad f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\0 & \mbox{si}& (x,y)=0.\end{matrix}\right.$ Estudiar $(i)\;$ Su continuidad en $a=(0,0).$
- [Continuidad y derivadas direccionales](https://fernandorevilla.es/2015/08/26/continuidad-y-derivadas-direccionales/) - Demostramos que la existencia de las derivadas direccionales en un punto no implica la continuidad en dicho punto. Enunciado Se considera la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{xy^2}{x^2+y^4}& \text{si }x\ne0\& 0 & \text{si }x=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ (a) Demostrar que existen todas las derivadas direccionales de $f$ en $(0,0).$ (b) Demostrar que $f$ no
- [Límites reiterados, contraejemplo](https://fernandorevilla.es/2015/08/26/limites-reiterados-contraejemplo/) - En el siguiente problema demostramos mediante un contraejemplo que la existencia de límite no implica la de los límites reiterados. Enunciado Consideremos la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ dada por $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & y &\text{si }x>0\-& y &\text{si }x\le 0.\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ (a) Demostrar que existe $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).$ (b) Demostrar que no existe alguno de los límites reiterados
- [Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni](https://fernandorevilla.es/2017/03/02/numeros-armonicos-y-constante-de-euler-mascheroni/) - Demostramos propiedades de los números armónicos y definimos la constante de Euler-Mascheroni Enunciado Se define el $n$-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros $n$ números naturales. Se le denota por $H_n$, es decir $$H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}.$$ Demostrar la representación de Euler de los números armónicos: $$H_n = \displaystyle\int_0^1
- [Convergencia de una serie según parámetro](https://fernandorevilla.es/2016/12/21/convergencia-de-una-serie-segun-parametro/) - Analizamos la convergencia de una serie que depende de un parámetro. Enunciado Analizar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\log\left(\cos\dfrac{1}{n}\right)\right|^p$ según el parámetro $p\in\mathbb{R}$. Solución Dado que $0
- [Producto de Cauchy de series igual a la unidad](https://fernandorevilla.es/2015/11/19/producto-de-cauchy-de-series-igual-a-la-unidad/) - Enunciado Usando el producto de Cauchy de series, demostrar que $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\right)=1.$$ Dar una obvia interpretación de la igualdad anterior. Solución Aplicando el criterio de D'Alembert a ambas series para $x\ne 0,$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{x^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0
- [Sucesión funcional con límite Gamma (x)](https://fernandorevilla.es/2014/04/23/sucesion-funcional-con-limite-gamma-x/) - Estudiamos una sucesión funcional que tiene como límite la función gamma de Euler. Enunciado Para cada entero positivo $n$ se considera la función definida por $I_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{n}t^{x-1}\left(1-\displaystyle\frac{t}{n}\right)^ndt\quad (x>0),$ y se pide (a) Determinar explícitamente $I_1(x),\;I_2(x),\;I_3(x).$ (b) Determinar la expresión explícita de la función $I_n(x).$ (c) Inducir heurísticamente la expresión del límite $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} \displaystyle\int_{0}^{n}t^{x-1}\left(1-\displaystyle\frac{t}{n}\right)^ndt.$ Combinando este
- [Sucesión de Fibonacci](https://fernandorevilla.es/2014/04/19/sucesion-de-fibonacci/) - Estudiamos algunas propiedades de la sucesión de Fibonacci. Enunciado Consideremos la sucesión de Fibonacci, esto es $\left\{F_n\right\}_{n=0,1,2,\ldots}$ tal que: $$F_0=F_1=1,\quad F_{n+2}=F_n+F_{n+1}.\quad (*)$$ Es conocido que existe: $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{F_{n+1}}{F_n}}.$ Usando las condiciones $(*)$, calcúlese justificadamente dicho límite. Considérese la serie $\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n$. Calcular su radio de convergencia $R$ y demostrar que $$f(x)-xf(x)-x^2f(x)=1$$ para todo $x$ tal que
- [Convergencia uniforme en un intervalo no acotado](https://fernandorevilla.es/2014/03/30/convergencia-uniforme-en-un-intervalo-no-acotado/) - Estudiamos la convergencia uniforme de una sucesión de funciones en un intervalo no acotado. Enunciado Para cada $n=1,2,\ldots$ se define el subconjunto $A_n$ de $\mathbb{R}:$ $A_n=\left \{ \begin{matrix}(n,n^2) & \mbox{ si }& n\mbox{ par}\ [-2n^2,-1/n] & \mbox{si}& n\mbox{ impar}.\end{matrix}\right.$ y la función $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:$ $f_n(x)=\left \{ \begin{matrix}0&\mbox { si }& x\not\in A_n\\dfrac{1}{n^2-n} & \mbox{si}& x\in
- [Función suave pero no analítica](https://fernandorevilla.es/2015/12/28/funcion-suave-pero-no-analitica/) - Proporcionamos un ejemplo de función suave, i.e. de clase infinito, que no es analítica, i.e. que no es igual a la suma de su serie de Maclaurin. Enunciado Sea la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x}&\text{si }x>0,\ 0&\text{si }x\le0.\end{cases}$$ Demostrar que para todo entero $n\ge 1$ se verifica $$f^{(n)}(x) = \begin{cases}\displaystyle\frac{p_n(x)}{x^{2n}}\,f(x) & \text{si }x>0, \ 0 &\text{si
- [Serie de Maclaurin](https://fernandorevilla.es/2014/09/28/serie-de-maclaurin/) - Enunciado Sea $I$ un intervalo abierto centrado en $0$ y $f$ una función definida en $I.$ Si $f$ es igual en $I$ a la suma de una serie entera, demostrar que esta serie es necesariamente $$f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots.$$ Sea $I$ intervalo abierto centrado en el origen y $f:I\to \mathbb{R}$ una función con infinitas derivadas en $I.$ Demostrar
- [Suma de series enteras por derivación o integración](https://fernandorevilla.es/2014/09/27/suma-de-series-enteras-por-derivacion-o-integracion/) - Proporcionamos ejemplos de cálculo de la suma de series enteras usando la derivación o integración término a término. Enunciado Valiéndose de la derivación o integración término a término y de la serie geométrica, hallar la suma de las series enteras: $(a)\;x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+\dfrac{x^n}{n}+\cdots.$ $(b)\;x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots.$ Valiéndose de la derivación o integración término a término y de la serie
- [Derivación e integración de series enteras](https://fernandorevilla.es/2014/09/24/derivacion-e-integracion-de-series-enteras/) - Enunciado Sea $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ una serie entera con radio de convergencia $R.$ Demostrar que si $\rho\in [0,R),$ la serie converge uniformemente en el intervalo $[-\rho,\rho].$ Demostrar que toda serie entera y su serie derivada tienen el mismo radio de convergencia. Sea $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ una serie entera o de potencias con radio de convergencia $R>0.$ Demostrar que la
- [Series enteras o de potencias, radio de convergencia](https://fernandorevilla.es/2014/09/22/series-enteras-o-de-potencias-radio-de-convergencia/) - Enunciado Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que si converge para $x=x_0\neq 0,$ entonces converge para todo $x$ tal que $\left |x\right|
- [Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass](https://fernandorevilla.es/2014/09/18/series-uniformemente-convergentes-criterio-de-weierstrass/) - Aplicamos el criterio de Weierstrass para identificar series uniformemente convergentes. Enunciado Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2x}{2^n+1}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$ Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-nx^2}}{n^2+x^2}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$ Sea $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}nx}{n^3}.$ Demostrar que $\displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\;dx=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^4}.$ Estudiar la convergencia de la serie numérica: $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\int_0^1\left(\frac{1}{x^4+2x^2+2}\right)^n\;dx.$$ En caso de ser convergente, hallar su suma. Demostrar el criterio
- [Teorema de Dini](https://fernandorevilla.es/2014/04/04/teorema-de-dini/) - Demostramos el teorema de Dini y damos un ejemplo de aplicación Enunciado Se considera la sucesión de funciones $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ definida de forma recurrente por $f_0(x)=1,\; f_n(x)=\sqrt{x\;f_{n-1}(x)}.$ Demostrar que la sucesión converge en $[0,1]$ y que la convergencia es uniforme. Demostrar el teorema de Dini: Sea $(E,d)$ un espacio métrico compacto y $f_n:E\to \mathbb{R}$ una sucesión
- [Polinomios de Bernstein](https://fernandorevilla.es/2018/04/12/polinomios-de-bernstein/) - Definimos los polinomios de Bernstein asociados a una función continua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ y demostramos que forman una sucesión que converge uniformemente a $f$. Enunciado El teorema de Weierstrass asegura que toda función continua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ puede ser aproximada uniformemente por polinomios. Construiremos de manera explícita una de tales sucesiones. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua.
- [Convergencia uniforme de sucesiones de funciones](https://fernandorevilla.es/2014/09/09/convergencia-uniforme-de-sucesiones-de-funciones/) - Proporcionamos ejercicios sobre la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Enunciado Demostrar que la sucesión de funciones $$f_n:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f_n(x)=x^n$$ converge puntualmente en $(-1,1)$ pero no uniformemente. Se considera la sucesión de funciones: $$f_n:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\quad f_n(x)=e^{-n^2x^2}.$$ Determinar la función límite puntual $f$ y analizar si $f_n\to f$ uniformemente. Demostrar que la sucesión de funciones $f_n(x)=\dfrac{x}{nx+1}$
- [Límite puntual](https://fernandorevilla.es/2014/09/08/limite-puntual/) - Proporcionamos ejercicios sobre el límite puntual de sucesiones de funciones. Enunciado Se considera la sucesión de funciones $f_n:[-1,1]\to \mathbb{R},$ $f_n(x)=x^n.$ Determinar la función límite puntual. Se considera la sucesión de funciones $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f_n(x)=e^{-n^2x^2}.$ Determinar la función límite puntual. Se considera la sucesión de funciones $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $\;f_n(x)=\dfrac{x}{1+nx^2}.$ Determinar la función límite puntual. Solución Si
- [Producto de Cauchy de series, contraejemplo](https://fernandorevilla.es/2014/03/26/producto-de-cauchy-de-series-contraejemplo/) - Demostramos que el producto de Cauchy de dos series convergentes no es en general convergente. Enunciado Sabido es que para dos series de números reales $\sum_{n\geq 0}u_n$ y $\sum_{n\geq 0}v_n$ absolutamente convergentes, de sumas $U$ y $V$ respectivamente, las serie producto de Cauchy $$\displaystyle\sum_{n\geq 0} w_n,\mbox{ en donde } w_n=\displaystyle\sum_{i+j=n}u_iv_j$$ es absolutamente convergente de suma
- [Suma de una serie a partir de la de Basilea](https://fernandorevilla.es/2015/08/18/suma-de-una-serie-a-partir-de-la-de-basilea/) - Hallamos la suma de una serie a partir de la de Basilea $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$ Enunciado Se considera la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}.$ Demostrar que es convergente. Hallar su suma sabiendo que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$ Solución La serie dada es de términos positivos. Además:$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}:\frac{1}{n^3}\right)=1.$$ De acuerdo con el criterio de comparación por cociente, la serie dada tiene el mismo
- [El número <em>e</em> es irracional](https://fernandorevilla.es/2014/03/29/el-numero-e-es-irracional/) - En este problema se demuestra la irracionalidad del número e. Enunciado Se sabe que número $e$ de Euler se define como el límite: $$e=\displaystyle\lim_{n\to{+}\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n,$$ y que dicho número se puede expresar como la suma de una serie: $$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}.\qquad (*)$$ Sea $s_n$ la suma parcial enésima de la serie que aparece en $(*).$ Demostrar que
- [Series de Bertrand](https://fernandorevilla.es/2014/04/02/series-de-bertrand/) - Estudiamos las series de Bertrand. Enunciado Se llaman series de Bertrand a las series de la forma: $$S(\alpha, \beta):\quad \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{\alpha }\log^{ \beta}n}\quad (\alpha, \beta \in \mathbb{R}).$$ El objetivo se este problema es estudiar su convergencia, para ello se pide: Demostrar que si $\alpha >1$ entonces $S(\alpha,\beta)$ es convergente. Sugerencia. Comparar con la serie de término
- [Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones](https://fernandorevilla.es/2014/06/13/suma-de-series-numericas-por-desarrollos-en-serie-de-funciones/) - Calculamos suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones Enunciado Hallar la suma de las siguientes series, usando para ello desarrollos en serie conocidos. $$1)\;2+\dfrac{8}{6}+\dfrac{32}{120}+\dfrac{128}{5040}+\cdots.\quad 2)\;1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{720}+\cdots.$$ Hallar la suma de las siguientes series, usando para ello desarrollos en serie conocidos. $$1)\;1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\cdots+\dfrac{(-1)^n}{n}+\cdots.\;\; 2)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n\sqrt{3}}{3^{n+1}(2n+1)}.\;\; 3)\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{n}n!}.$$ Hallar la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+e}{n!}\cdot 2^n.$ Solución $1)$
- [Series con factoriales en el denominador](https://fernandorevilla.es/2014/06/12/series-con-factoriales-en-el-denominador/) - Proporcionamos ejemplos de cálculo de suma de series con factoriales en el denominador. Enunciado Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n^2+2n+6}{(n+2)!}.$ Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+5n+1}{n!}.$ Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+3n+1}{(n+5)!}.$ Solución Descomponemos el numerador en la forma $$3n^2+2n+6=A_2(n+2)(n+1)+A_1(n+2)+A_0.$$ Trivialmente, $A_2=3,$ y dando a $n$ los valores $-2$ y $-1$ obtenemos
- [Series aritmético-geométricas](https://fernandorevilla.es/2014/06/12/series-aritmetico-geometricas/) - Proporcionamos ejemplos de suma de series aritmético-geométricas. Enunciado Hallar la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n+5}{3^n}.$ Siendo $\left|r\right|
- [Series hipergeométricas](https://fernandorevilla.es/2014/06/11/series-hipergeometricas/) - Proporcionamos ejercicios sobre las series hipergeométricas. Enunciado Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ es hipergeométrica y hallar su suma. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}.$ Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie hipergeométrica. Demostrar que: $i)$ Si $\alpha+\beta
- [Series telescópicas](https://fernandorevilla.es/2014/06/11/series-telescopicas/) - Proporcionamos ejercicios sobre propiedades cálculo de sumas de las series telescópicas. Enunciado Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\arctan\frac{1}{n+1}-\arctan\frac{1}{n}\right).$ Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}.$ Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+4n}.$ Demostrar que si $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ es telescópica con $u_n=\varphi (n)-\varphi(n-1)$, su suma es $$S=\left(\lim_{n\to +\infty} \varphi(n)\right)-\varphi (0),$$ en el supuesto de que
- [Series alternadas, criterio de Leibniz](https://fernandorevilla.es/2014/06/07/series-alternadas-criterio-de-leibniz/) - Proporcionamos ejercicios sobre series alternadas y el criterio de Leibniz. Enunciado Analizar la convergencia de las siguientes series alternadas: $1)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}.\quad $ $2)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}.\quad $ $3)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nn^2}{3n^2+5}.$ Analizar la convergencia de las siguientes series alternadas. Si son convergentes, estudiar si la convergencia es absoluta o condicional. $1)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}.\quad $ $2)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}.\quad $ $3)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nn}{7n-3}.$ Analizar la convergencia absoluta y condicional de
- [Convergencia de las series de Riemann](https://fernandorevilla.es/2014/06/17/convergencia-de-las-series-de-riemann/) - Demostramos el teorema acerca de la convergencia o divergencia de las series de Riemann. Enunciado Se consideran la series de Riemann $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p},\;p\in\mathbb{R}.$$ Analizar su convergencia usando el criterio integral y el teorema de la condición necesaria. Solución Para $p\neq 1$ se verifica $$\int \frac{1}{x^p}dx=\int x^{-p}dx=\frac{x^{-p+1}}{-p+1}=\frac{1}{1-p}\cdot\frac{1}{x^{p-1}}+C.$$Primer caso: $p>1.$ Entonces, la función $f(x)=1/x^p$ cumple evidentemente las hipótesis
- [Criterio integral](https://fernandorevilla.es/2014/06/06/criterio-integral/) - Proporcionamos ejercicios sobre el criterio integral. Enunciado Usando el criterio integral, estudiar el carácter de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{n^2+1}.$ Usando el criterio integral, estudiar el carácter de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}ne^{-n^2}.$ Demostrar el criterio integral: Sea $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ continua. Supongamos además que $f$ es decreciente y positiva para $x$ suficientemente grande. Entonces, $\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)$ es convergente $\Leftrightarrow$ $\int_{1}^{+\infty}f(x)\;dx$
- [Criterios de la raíz, cociente y Raabe](https://fernandorevilla.es/2014/06/05/criterios-de-la-raiz-cociente-y-raabe/) - Proporcionamos ejercicios sobre los criterios de la raíz, cociente y Raabe. Enunciado Usando el criterio de la raíz, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos: $1)\;\displaystyle\sum \left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n.\quad 2)\;\displaystyle\sum \left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^{n+2}.\quad3)\;\sum \frac{1}{n}.$ Usando el criterio del cociente, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos: $1)\;\displaystyle\sum \frac{3n-1}{\left(\sqrt{2}\right)^n}. $$2)\;\displaystyle\sum \frac{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}{1\cdot 5\cdot
- [Series absolutamente convergentes](https://fernandorevilla.es/2014/06/04/series-absolutamente-convergentes/) - Proporcionamos ejercicios sobre series absolutamente convergentes. Enunciado Demostrar que la serie $\displaystyle\sum _{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$ es convergente. Calcular la suma $S$ de la serie $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{b_0}{5^{n}}+\frac{b_1}{5^{n-1}}+\frac{b_2}{5^{n-1}}+\cdots+b_n\right),$$ sabiendo que $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ es absolutamente convergente con suma $3.$ Demostrar el criterio de Cauchy: Una serie de números reales $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ es convergente si, y sólo si, para todo $\epsilon>0$ existe $n_0$ natural
- [Series de términos positivos](https://fernandorevilla.es/2014/06/03/series-de-terminos-positivos/) - Proporcionamos ejercicios sobre eries de términos positivos. Enunciado Analizar el carácter de las series: $a)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.\quad b)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}.\quad c)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}n^2.\quad d)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{n^4}-\frac{7}{n\sqrt{n}}\right).$ Usando el criterio de comparación por cociente, analizar el carácter de las series: $a)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+n-1}{3n^4+n^3-2}.\quad b)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt[3]{n}+2\sqrt[4]{n}+1}{2n+5\sqrt{n}+6}.$ Usando el criterio de las series mayorante y minoramte, analizar el carácter de las series: $a)\;
- [Álgebra de series](https://fernandorevilla.es/2014/06/02/algebra-de-series/) - Demostramos el teorema del álgebra de series y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{5}{2^n}-\dfrac{3}{4^n}\right).$ Demostrar el teorema del álgebra de series: supongamos que las series $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ son convergentes de sumas respectivas $U$ y $V.$ Entonces, $a)$ La serie suma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(u_n+v_n)$ es convergente con suma $U+V.$ $b)$
- [Esquemas de asociación de series](https://fernandorevilla.es/2014/06/01/esquemas-de-asociacion-de-series/) - Proporcionamos ejemplos sobre esquemas de asociación de series. Enunciado Se considera la serie $1+(-1)+1+(-1)+\cdots.$ $a)$ Demostrar que no tiene suma. $b)$ Aplicar un esquema de asociación de términos a la serie anterior, para obtener una serie que tenga suma. Se considera la serie $$1+(-2)+2+(-3)+3+(-4)+4+\cdots.$$ $a)$ Demostrar que no tiene suma. $b)$ Aplicar dos esquema de
- [Convergencia y divergencia de series numéricas](https://fernandorevilla.es/2014/06/01/convergencia-y-divergencia-de-series-numericas/) - Proporcionamos ejercicios sobre la convergencia y divergencia de series numéricas. Enunciado Aplicar a las siguientes series el teorema de la condición necesaria de convergencia $a)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{3n+5}{7n+2}.\;$ $b)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n}.\;$ $c)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{3^n}.\;$ $d)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}5.\;$ $e)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos n.$ Demostrar el teorema de la condición necesaria para la convergencia de una serie, es decir si $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente, entonces $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=0.$ Sea $p>0$ un
- [Concepto de serie numérica real](https://fernandorevilla.es/2014/05/31/concepto-de-serie-real/) - Definimos el concepto de serie numérica real. Enunciado Dada la serie $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{5}{2^3}+\dfrac{7}{2^4}+\cdots,$ hallar el término enésimo y escribirla en forma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n.$ Dada la serie $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}\cdots,$ hallar el término enésimo, escribirla en forma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y hallar la suma parcial enésima $S_n.$ Solución Claramente, el término enésimo es $u_n=\dfrac{2n-1}{2^n},$ por tanto podemos escribir la serie en la
- [Desigualdad de Jensen](https://fernandorevilla.es/2018/02/08/desigualdad-de-jensen/) - Usamos la desigualdad de Jensen para demostrar que la media geométrica es menor o igual que la aritmética. Enunciado El teorema de la desigualdad de Jensen, se expresa en los siguientes términos: Sea $(\Omega, \mathscr{M},\mu)$ un espacio de medida con $\mu (\Omega)=1$. Sea $f:\Omega \to\mathbb{R}$ tal que: $a)$ $f\in L^1(\mu)$. $b)$ $a < f(x)
- [La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]](https://fernandorevilla.es/2015/12/09/la-funcion-de-thomae-es-integrable-riemann-en-01/) - Demostramos que la función de Thomae es integrable Riemann en el intervalo $[0,1].$ Enunciado Se define la función de Thomae como la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $$f(x) = \begin{cases} 1 &\text{si }x=0\ \dfrac{1}{q} &\text{si }x\text{ is racional, }x=\dfrac{p}{q},\; q > 0\text{ y mcd }(p,q)=1\ 0 &\text{si }x\text{ is irracional.} \end{cases}$$ Demostrar que es integrable
- [Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral](https://fernandorevilla.es/2015/11/02/numero-combinatorio-binom2nn-e-integral/) - Expresamos el número combinatorio $\binom{2n}{n}$ en términos de una integral definida. Enunciado Para todo entero positivo $n$, demostrar la relación $$\displaystyle\binom{2n}{n}=\frac{2^{2n}}{(2n+1)\int_0^1(1-x^2)^ndx}.$$ Solución Integrando por partes con $u=(1-x^2)^n$ y $dv=dx$ tenemos $$\int_0^1(1-x^2)^ndx =\left[ x(1-x^2)^n\right]_0^1+2n\int_0^1x^2(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=0-2n\int_0^1(1-x^2-1)(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=-2n\int_0^1(1-x^2)^ndx+2n\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$Obtenemos por tanto la relación $$\int_0^1(1-x^2)^ndx=\frac{2n}{2n+1}\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$ Dado que $\int_0^1(1-x^2)\;dx=2/3,$ obtenemos $$\int_0^1(1-x^2)^ndx=\frac{2}{3}\frac{4}{5}\cdots\frac{2n}{2n+1}=\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)(2n)!}$$ $$=\frac{2^{2n}}{(2n+1)}\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac{2^{2n}}{(2n+1)}\frac{1}{\binom{2n}{n}},$$ y queda demostrada la igualdad propuesta.
- [Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$](https://fernandorevilla.es/2015/10/10/calculo-de-displaystylelim_xto-inftyex2int_x-fraclog-x2xxe-t2dt/) - Enunciado Evaluar justificadamente $$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$$ Solución Hallemos el límite de cada uno de los factores que aparecen. El límite del primer factor es $$\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}=e^{+\infty}=+\infty.$$ Hallemos el límite del segundo factor. Tenemos $$x>x-\frac{\log x}{2x}\Leftrightarrow \frac{\log x}{2x}>0,$$ y esto último ocurre para $x>1.$ Dado que $0
- [Derivación paramétrica y límite](https://fernandorevilla.es/2015/08/25/derivacion-parametrica-y-limite/) - Enunciado 1. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{x^2+t^2}\quad (x>0).$ 2. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{(x^2+t^2)^{n+1}}.$ Indicación: derivar la integral respecto de un parámetro y razonar por inducción. 3. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}.$ 4. Como aplicación de lo anterior, calcular el límite: $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2n-3)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2n-2)}\cdot \sqrt{n}.$$ (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución 1. Tenemos: $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{x^2+t^2}=\frac{1}{x^2}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{1+(t/x)^2}$$ $$=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{(1/x)\;dt}{1+(t/x)^2}=\dfrac{1}{x}\left[\arctan
- [Integral de Gauss o de probabilidades](https://fernandorevilla.es/2014/05/13/integral-de-gauss-o-de-probabilidades/) - Calculamos la integral de Gauus o de probabilidades. Enunciado Se consideran las funciones $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:$ $f(x)=\left(\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\;dt\right)^2,\;\;g(x)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}\;dt.$ (a) Demostrar que las funciones $f$ y $g$ son derivables en $\mathbb{R}$ y hallar sus derivadas. (b) Para todo $x\in\mathbb{R},$ demostrar que $f'(x)+g'(x)=0$ y deducir de ello el valor de $f(x)+g(x).$ (c) Encontrar una función $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que
- [Una integral por derivación paramétrica (2)](https://fernandorevilla.es/2014/06/05/una-integral-por-derivacion-parametrica-2/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{1}{(5-3\cos x)^3}\;dx$. Sugerencia: Para adecuados valores de $\lambda$ considérese: $I(\lambda)=\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{1}{\lambda-3\cos x}\;dx$ Solución Consideremos $D=[0,\pi]\times (3,+\infty)$ y la función $f:D\to \mathbb{R},\quad f(x,\lambda)=\dfrac{1}{\lambda -3 \cos x}.$ Claramente $\lambda -3\cos x\neq 0$ para todo $(x,\lambda)\in D$ y $f\in \mathcal{C}^{\infty}(D)$. Por otra parte $\dfrac{\partial f}{\partial \lambda}=\dfrac{-1}{(\lambda -3\cos x)^2},\;\dfrac{\partial^2 f}{\partial \lambda^2}=\dfrac{2}{(\lambda -3\cos x)^3}.$ Es decir, la función integrando
- [Una integral por derivación paramétrica (1)](https://fernandorevilla.es/2014/04/23/una-integral-por-derivacion-parametrica/) - Enunciado Usando derivación paramétrica, calcular la integral $$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\arctan (\sin x)}{\sin x}\;dx.$$ Solución En $[0,\pi/2]$ el denominador se anula sólo para $x=0$. Por otra parte para todo $\lambda\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\arctan(\lambda \sin x)}{\sin x}=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\lambda \sin x}{\sin x}=\lambda,$ por tanto la siguiente función está bien definida (por medio de una integral convergente) $I:[0,+\infty)\to \mathbb{R},\;\;I(\lambda)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\arctan (\lambda \sin x)}{\sin
- [Integral de Euler-Poisson](https://fernandorevilla.es/2014/03/29/integral-de-euler-poisson/) - Calculamos la integral de Euler-Poisson. Enunciado Este problema tiene por objeto desarrollar una demostración de la conocida fórmula:$$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt=\sqrt[]{\pi}.\quad (*)$$ Se considera la función $f$ definida para cada $x\geq 0$ mediante $$f(x)=\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\;dt.$$ Calcular $f(0)$ y determinar $\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}.$ Obtener una expresión de la derivada de la función $f$ en terminos de $g$ y $g'$, estando $g$
- [Convolución de dos campanas de Gauss](https://fernandorevilla.es/2014/04/05/convolucion-de-dos-campanas-de-gauss/) - Calculamos la convolución de dos campanas de Gauss. Enunciado La convolución de dos funciones $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuas en $\mathbb{R}$ es la función $f*g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida mediante $$(f*g)(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(x-t)\;dt$$ en el supuesto de que la integral anterior sea convergente para cada valor del parámetro $x.$ Este problema tiene por objeto determinar la convolución de dos campanas de
- [Integral mediante las Gamma y Beta de Euler](https://fernandorevilla.es/2014/05/04/integral-mediante-las-gamma-y-beta-de-euler/) - Calculamos una integral, usando las funciones Gamma y Beta de Euler. Enunciado Utilizando las propiedades de las funciones gamma y beta de Euler, calcular $I=\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt[3]{1+x-x^2-x^3}}.$ (Propuesto en examen, Amp. Cálculo, ETS Ing. Industriales, UPM). Solución Factorizando el radicando obtenemos $1+x-x^2-x^3=(1-x)(x+1)^2$ con lo cual la integral pedida es $\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-x)^{-1/3}(x+1)^{2/3}\;dx.$ La substitución $t=(x+1)/2$ transforma la integral dada
- [Función Gamma de Euler](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/funcion-gamma-de-euler/) - En este problema definimos la función gamma de Euler y demostramos varias de sus propiedades. Enunciado Para todo $p\in\mathbb{R}$ se considera la integral $$I(p)=\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\;dx.$$ Demostrar que esta integral es convergente sí y solamente si $p>0$. Esta condición se supondrá en todo lo siguiente. Demostrar que $I(p)>0$. Demostrar que $I(p)=(p-1)I(p-1)$ para todo $p>1$ Calcular $I(n)$ siendo
- [Valor principal de Cauchy de una integral impropia](https://fernandorevilla.es/2015/04/03/valor-principal-de-cauchy-de-una-integral-impropia/) - Definimos el valor principal de Cauchy de una integral impropia. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Definimos el valor principal de Cauchy (VP) de la integral $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ como $$\text{VP}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\;dx.$$ Demostrar que si $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ es convergente, entonces $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=\text{VP}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx.$$ Demostrar que el valor principal de Cauchy de una integral puede ser finito,
- [Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos](https://fernandorevilla.es/2015/03/31/convergencia-absoluta-de-integrales-impropias-en-intervalos-infinitos/) - Demostramos que la convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos implica la convergencia, y proporcionamos un contraejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto. Enunciado Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que si $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ es absolutamente convergente, entonces es convergente. Demostrar que $\displaystyle\int_\pi^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}x}{x}dx$ es convergente pero no absolutamente convergente.
- [Convergencia de las integrales de Fresnel](https://fernandorevilla.es/2015/03/30/convergencia-de-las-integrales-de-fresnel/) - Demostramos la convergencia de las integrales de Fresnel. Enunciado Demostrar que las integrales de Fresnel $$\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,\quad \int_0^{+\infty}\text{sen } x^2\;dx,$$ son convergentes. Solución Haremos la demostración para $\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,$ el razonamiento es análogo para la otra integral. Efectuando el cambio de variable $t=x^2$ $(x>0),$ obtenemos para $0
- [Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos](https://fernandorevilla.es/2015/03/30/criterio-de-cauchy-para-integrales-impropias-en-intervalos-infinitos/) - Enunciado Demostrar el criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos: Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx \text{ es convergente}$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que } b'\ge b\ge b_0\Rightarrow \left|\int_b^{b'}f(x)\;dx\right|
- [Concepto de integral impropia en intervalos infinitos](https://fernandorevilla.es/2015/03/20/integrales-impropias-en-intervalos-infinitos/) - Definimos el concepto de integral impropia en intervalos infinitos, y damos ejemplos de cálculo. Enunciado Calcular: $$(a)\;\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}.\quad (b)\;\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^3}.\quad (c)\;\displaystyle\int_0^{+\infty}\text{sen }x\;dx.$$ Calcular: $\;(a)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{-1}\frac{dx}{x^2}.\quad (b)\;\displaystyle\int_{-\infty}^0\frac{dx}{4+x^2}.$ Calcular $\;(a)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}.\quad (b)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+4x+9}.$ Calcular $\;I=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ con $p\in\mathbb{R}.$ Sean $f,g:[a,+\infty)$ continuas a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y supongamos que $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ y $\int_a^{+\infty}g(x)\;dx$ son convergentes. Demostrar que: $a)$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}\left(f(x)+g(x)\right)dx$ es convergente y $$\displaystyle\int_a^{+\infty}\left(f(x)+g(x)\right)dx=\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\;dx+\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\;dx.$$
- [Fórmula de Wallis](https://fernandorevilla.es/2014/04/02/formula-de-wallis/) - En este problema se demuestra la fórmula de Wallis. Enunciado Sea $\;\;I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\;dx,\; \forall n\in \mathbb{N} .$ Establecer una relación de recurrencia entre $I_n$ e $I_{n-2}.$ Establecer una fórmula que permita calcular $I_n$ conocido $n.$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\dfrac{I_{2n+1}}{I_{2n}}}=1$ y deducir que: $$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}=\sqrt {\pi}.$$ Solución Usando integración por partes con $u=\sin^{n-1}x$ y $dv=\sin
- [Cotas de la longitud de una elipse](https://fernandorevilla.es/2014/08/03/cotas-de-la-longitud-de-una-elipse/) - El objeto de este problema es encontrar cotas de la longitud de una elipse. Enunciado Demostrar que el cálculo de la longitud de una elipse se reduce al cálculo de la integral $$\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+k^2\text{sen}^2\theta}\;d\theta.$$ Verificar que la integral del apartado anterior coincide con la integral $$\int_0^{\pi/4}\left(\sqrt{1+k^2\operatorname{sen}^2\theta}+\sqrt{1+k^2\cos^2\theta}\right)d\theta.$$ Determinar los extremos de la función integrando de la integral
- [Teorema fundamental del Cálculo](https://fernandorevilla.es/2014/06/21/teorema-fundamental-del-calculo/) - Enunciado Demostrar el teorema fundamental del Cálculo: Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua, y sea la función $$F:[a,b]\to \mathbb{R},\quad F(x)=\int_a^xf(t)\;dt.$$ Entonces, $F$ es derivable en $[a,b]$ y $F'(x)=f(x)$ para todo $x\in [a,b].$ Hallar las derivadas de las siguientes funciones:$$(a)\;F(x)=\int_1^x\log t\;dt.\quad (b)\;G(x)=\int_3^x\sqrt{1+t^2}\;dt.$$ Hallar las derivadas de las siguientes funciones:$$(a)\;F(x)=\int_{2x+3}^{x^3+1}\operatorname{sen} t\;dt.\quad (b)\;G(x)=\int_{x}^{x^2}e^{-t^2}\;dt.$$ Calcular $\displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{\displaystyle\frac{1}{x^{3/2}}\displaystyle\int_{0}^{x^2}\operatorname{sen}t^{1/4}\;dt}.$ Solución Sean
- [Integral definida como límite de sumas](https://fernandorevilla.es/2014/06/18/integral-definida-como-limite-de-sumas/) - Enunciado Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua. Demostrar las fórmulas:$$\int_a^bf(x)\;dx=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right),$$$$\int_a^bf(x)\;dx=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{b-a}{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right).$$ Calcular $\displaystyle\int_1^{10}(1+x)\;dx$ por medio del límite de una sucesión de sumas integrales. Calcular $\displaystyle\int_0^{a}x^2dx$ por medio del límite de una sucesión de sumas integrales. Solución La longitud de cada subintervalo es $(b-a)/n.$ Los correspondientes subintervalos son$$\left[a,a+\frac{b-a}{n}\right],\;\left[a+\frac{b-a}{n},a+2\frac{b-a}{n}\right],\;\left[a+2\frac{b-a}{n},a+3\frac{b-a}{n}\right],$$$$ \ldots,\left[a+(n-1)\frac{b-a}{n},a+n\frac{b-a}{n}\right].$$ Eligiendo el extremo izquierdo de cada
- [Integrales indefinidas: problemas diversos](https://fernandorevilla.es/2014/05/04/integrales-indefinidas-problemas-diversos/) - Proporcionamos problemas diversos sobre integración indefinida. Enunciado Calcular: $ a)\;\displaystyle\int \left(e^{ax}+e^{-ax}\right)^2dx,\;(a\neq 0).$ $b)\;\displaystyle\int 2^x\;3^{2x}\;5^{3x}\;dx.$ $c)\;\displaystyle\int \left(\tan x+\cot x\right)^2dx.$ Usando integración por partes, calcular $I=\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}dx,\;(a\neq 0).$ Usando integración por partes, calcular $I=\displaystyle\int\sqrt{A+x^2}dx.$ Nota. Se puede usar la igualdad $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{A+x^2}}=\log \left|x+\sqrt{A+x^2}\right|.$ Calcular $\displaystyle\int \dfrac{x^2\;dx}{(x+1)^6}.$ Sugerencia. Puede ser útil buscar una alternativa a la tradicional descomposición en suma
- [Integración de funciones hiperbólicas](https://fernandorevilla.es/2014/05/03/integracion-de-funciones-hiperbolicas/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int \cosh^2x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \operatorname{senh}^3x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \operatorname{senh}^3x\cosh x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{senh}^2x\cosh^2 x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int\tanh^3 x\;dx.$ Solución Tenemos: $$\int \cosh^2x\;dx=\int \frac{1}{2}(1+\cosh 2x)\;dx=\frac{1}{2}\cosh x+\frac{1}{4}\cosh 2x+C.$$ Si $t=\cosh x,$ entonces $dt=\operatorname{senh}x\;dx,$ por tanto: $$\int \operatorname{senh}^3x\;dx=\int \operatorname{senh}^2x \operatorname{senh}x\;dx=\int (\cosh^2x-1)\operatorname{senh}x\;dx$$ $$=\int(t^2-1)\;dt=\frac{t^3}{3}-t+C=\frac{\cosh^3x}{3}-\cosh x+C.$$ Si $t= \operatorname{senh}x,$ entonces $dt=\cosh x\;dx,$ por tanto: $$\int \operatorname{senh}^3x\cosh x\;dx=\int t^3dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{\operatorname{senh}^4x}{4}+C.$$ Usando $\operatorname{senh}x\cosh x=\dfrac{1}{2}\operatorname{senh}
- [Integración de funciones trigonométricas (4)](https://fernandorevilla.es/2014/05/03/integracion-de-funciones-trigonometricas-4/) - Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{5+4\operatorname{sen}x+3\cos x}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{1+\operatorname{sen}x+\cos x}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{3+5\cos x}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{1+\cos^2 x}.$ Demostrar que si $t=\tan \dfrac{x}{2},$ entonces: $$\operatorname{sen}x=\frac{2t}{1+t^2},\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\; dx=\frac{2\;dt}{1+t^2}.$$ Demostrar que si $t=\tan x,$ entonces: $$\operatorname{sen}x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\;\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},\; dx=\frac{dt}{1+t^2}.$$ Solución Efectuando la sustitución $t=\tan \dfrac{x}{2}:$ $$I=\int\frac{\dfrac{2\;dt}{1+t^2}}{5+4\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}+3\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\;dt}{5(1+t^2)+8t+3(1-t^2)}$$ $$=\int \dfrac{2\;dt}{2t^2+8t+8}=\int\frac{dt}{(t+2)^2}=-\frac{1}{t+2}+C=-\frac{1}{\tan \dfrac{x}{2}+2}+C.$$ Efectuando la sustitución $t=\tan \dfrac{x}{2}:$ $$I=\int\frac{\dfrac{2\;dt}{1+t^2}}{1+\dfrac{2t}{1+t^2}+ \dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\;dt}{1+t^2+2t+1-t^2}$$ $$=\int \dfrac{2\;dt}{2t+2}=\int\frac{dt}{t+1}=\log |1+t|+C=\log \left|1+\tan\frac{x}{2}\right|+C.$$
- [Integración de funciones trigonométricas (3)](https://fernandorevilla.es/2014/05/03/integracion-de-funciones-trigonometricas-3/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int \operatorname{sen}5x\cos 7x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \operatorname{sen}13x\operatorname{sen}8x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \cos (ax+b)\cos (ax-b)\;dx.$ Demostrar: $$\begin{aligned}& (a)\;\operatorname{sen}px\cos qx=\dfrac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(p+q)x+\operatorname{sen}(p-q)x\right].\ &(b)\;\operatorname{sen}px\operatorname{sen} qx=\dfrac{1}{2}\left[\cos(p-q)x-\cos (p+q)x\right].\ &(c)\;\cos px\cos qx=\dfrac{1}{2}\left[\cos (p-q)x+\cos (p+q)x\right]. \end{aligned}$$ Solución Usando $\operatorname{sen}px\cos qx=\frac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(p+q)x+\operatorname{sen}(p-q)x\right]:$ $$\int \operatorname{sen}5x\cos 7x\;dx=\frac{1}{2}\int \left(\operatorname{sen}12x+\operatorname{sen}(-2x)\right)\;dx$$ $$=\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}12x\;dx-\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}2x\;dx=-\frac{1}{24}\cos 12x+\dfrac{1}{4}\cos 2x+C.$$ Usando $\operatorname{sen}px\operatorname{sen} qx=\dfrac{1}{2}\left[\cos(p-q)x-\cos (p+q)x\right]:$ $$\int \operatorname{sen}13x\operatorname{sen}8x\;dx=\dfrac{1}{2}\int\left(\cos 5x-\cos 21x\right)\;dx$$ $$=\frac{1}{10}\operatorname{sen}5x-\frac{1}{42}\operatorname{sen}21x+C.$$ Usando $\cos px\cos qx=\frac{1}{2}\left[\cos (p-q)x+\cos (p+q)x\right]:$ $$\int
- [Integración de funciones trigonométricas (1)](https://fernandorevilla.es/2014/05/02/integracion-de-funciones-trigonometricas-1/) - Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^5x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{10}x\;\cos^3x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{2}x\;\cos^2x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{4}x\;dx.$ Solución Efectuando la sustitución $t=\cos x,$ $dt=-\operatorname{sen} x\;dx$ y por tanto: $$I=\int \operatorname{sen}^4x\;\operatorname{sen}x\;dx=\int \left(1-\cos^2x\right)^2\operatorname{sen}x\;dx$$ $$=-\int \left(1-t^2\right)^2\;dt=-\int \left(1-2t^2+t^4\right)\;dt$$ $$=-t+\frac{2t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C=-\cos x+\frac{2\cos^3x}{3}-\frac{\cos^5x}{5}+C.$$ Efectuando la sustitución $t=\operatorname{sen}x,$ $dt=\cos x\;dx$ y por tanto: $$I=\int \operatorname{sen}^{10}x\;\cos^2x\cos x\;dx=\int \operatorname{sen}^{10}x\left(1-\operatorname{sen}^2x\right)\cos x\;dx$$ $$=\int t^{10}\left(1-t^2\right)dt=\frac{t^{11}}{11}-\frac{t^{13}x}{13}+C=\frac{\operatorname{sen}^{11}x}{11}-\frac{\operatorname{sen}^{13}x}{13}+C.$$ Usando $\operatorname{sen}x\;\cos x=\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x$ y $ \operatorname{sen}^2x=\frac{1}{2}(1-\cos
- [Integración de funciones trigonométricas (2)](https://fernandorevilla.es/2014/05/02/integracion-de-funciones-trigonometricas-2/) - Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{4}x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{5}x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int\cot^{4}x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{2}7x\;dx.$ Solución Tenemos: $$I=\int \tan^4x\;dx=\int \tan^{2}x\;\tan^2x\;dx=\int\tan^{2}x\;(\sec^2x-1)\;dx$$ $$=\int\tan^{2}x\;\sec^2x\;dx-\int\tan^{2}x\;dx.$$ Efectuando el cambio $t=\tan x,$ $dt=\sec^2x,$ por tanto $$\int\tan^{2}x\;\sec^2x\;dx=\int t^2dt=\frac{t^3}{3}+C=\frac{\tan^3x}{3}+C.$$ Por otra parte: $$\int \tan^{2}x\;dx=\int(\sec^2x-1)\;dx=\tan x-x+C.$$ En consecuencia, $$I=\frac{\tan^3x}{3}-\tan x+x+C.$$ Tenemos: $$I=\int \tan^5x\;dx=\int \tan^{3}x\;\tan^2x\;dx=\int\tan^{3}x\;(\sec^2x-1)\;dx$$ $$=\int\tan^{3}x\;\sec^2x\;dx-\int\tan^{3}x\;dx.$$ Efectuando el cambio $t=\tan x,$ $dt=\sec^2x,$ por tanto $$\int\tan^{3}x\;\sec^2x\;dx=\int t^3dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{\tan^4x}{4}+C.$$ Por otra parte: $$\int \tan^{3}x\;dx=\int\tan
- [Cuerpo infinito con característica finita](https://fernandorevilla.es/2015/08/22/cuerpo-infinito-con-caracteristica-finita/) - Enunciado Construir un cuerpo infinito con característica finita. Solución Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo, y sea $\mathbb{K}[[X]]$ el conjunto de las series formales $$\mathbb{K}[[X]]=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n:a_n\in\mathbb{K}\right\}.$$ Sabemos que $\mathbb{K}[[X]]$ es un dominio de integridad con las operaciones $$\sum_{n\ge 0}a_nX^n+\sum_{n\ge 0}b_nX^n=\sum_{n\ge 0}(a_n+b_n)X^n,$$ $$\left(\sum_{n\ge 0}a_nX^n\right)\cdot\left(\sum_{n\ge 0}b_nX^n\right)=\sum_{n\ge 0}c_nX^n\text{ con }c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}.$$ Sea ahora $p$ un número primo y llamemos $\mathcal{F}$ al
- [Integración de funciones irracionales (3)](https://fernandorevilla.es/2014/05/01/integracion-de-funciones-irracionales-3/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx.$ Calcular $\displaystyle\int \frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx.$ Mediante un adecuado cambio de variable, transformar la integral $$I=\displaystyle\int \frac{dx}{x^5\sqrt{x^2-1}},$$ en otra en la que sea aplicable el método alemán. Solución Usemos el método alemán. Expresemos $$\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx=(Ax+B)\sqrt{x^2-x+1}+\lambda\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}.$$ Derivando: $$\begin{aligned}&\frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}=A\sqrt{x^2-x+1}\ &+(Ax+B)\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}+\frac{\lambda}{\sqrt{x^2-x+1}}. \end{aligned}$$ Tomando común denominador $2\sqrt{x^2-x+1},$ e igualando numeradores: $$\begin{aligned}2x^2=2A(x^2-x+1)+(Ax+B)(2x-1)+2\lambda.\end{aligned}$$ Identificando coeficientes: $$\left \{ \begin{matrix} 4A=2\-3A+2B=0\
- [Integración de funciones irracionales (2)](https://fernandorevilla.es/2014/04/30/integracion-de-funciones-irracionales-2/) - Enunciado Calcular las integrales: $$I_1=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+6}},\quad I_2=\displaystyle\int\frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x+6}}dx.$$ Calcular las integrales: $$I_1=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-2x-x^2}},\quad I_2=\displaystyle\int\frac{2x-3}{\sqrt{1-2x-x^2}}dx.$$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}.$ Se consideran las integrales: $$I=\int\frac{dx}{(mx+n)\sqrt{ax^2+bx+c}},\quad J=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{Ax^2+Bx+C}},$$ con $m\neq 0.$ Demostrar que la sustitución $t=\dfrac{1}{mx+n},$ transforma las integrales del tipo $I$ en integrales del tipo $J.$ Solución Podemos expresar $x^2+2x+6=(x+1)^2+5.$ Usando $$\int \frac{u'dx}{\sqrt{u^2+a}}=\log \lvert u+\sqrt{u^2+a}\rvert+C,$$ $$I_1=\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2+5}}=\log \lvert x+1+\sqrt{x^2+2x+6}\rvert+C.$$ La derivada de $x^2+2x+6$ es
- [Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)](https://fernandorevilla.es/2014/04/27/integracion-de-funciones-racionales-metodo-de-hermite-4/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int \frac{3x+5}{(x^2+2x+2)^2}dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2(x^2+x+1)^2}.$ $a)$ Descomponer en suma de fracciones racionales simples: $$f(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2(x^2+1)^2}.$$ $b)$ Usando la descomposición del apartado anterior, hallar $\displaystyle\int f(x)\;dx.$ Solución El polinomio $x^2+2x+2$ no tiene raíces reales. Apliquemos la fórmula de Hermite-Ostrogradski: $$\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\int\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}dx.\qquad (*)$$ En este caso, $Q(x)=(x^2+2x+2)^2.$ Entonces: $$\begin{aligned}&Q_1(x)=\operatorname{mcd}\lbrace (x^2+2x+2)^2, 2(x^2+1)(2x+2) \rbrace=x^2+2x+2,\ &Q_2(x)=\frac{(x^2+2x+2)^2}{x^2+2x+2}=x^2+2x+2.\end{aligned}$$ La igualdad $(*),$ se
- [Integración de funciones racionales (3)](https://fernandorevilla.es/2014/04/26/integracion-de-funciones-racionales-3/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int \frac{dx}{x^3-1}.$ Calcular $I=\displaystyle\int \frac{x\;dx}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}.$ Solución El denominador tiene la raíz $x=1.$ Aplicando la regla de Ruffini, obtenemos $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$ y el polinomio $x^2+x+1$ no tiene raíces reales. La descomposición en suma de fracciones simples es:$$\begin{aligned}&\frac{1}{x^3-1}=\frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}\ &=\frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}.\end{aligned}$$ Igualando numeradores y dando a $x$ los valores $1,$ $0$ y $-1:$ $$ \begin{aligned}&x=1\Rightarrow 1=3A\ &x=0\Rightarrow 1=A-C.\
- [Integración de funciones racionales (2)](https://fernandorevilla.es/2014/04/26/integracion-de-funciones-racionales-2/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{3x^2-x+1}.$ Calcular $\displaystyle\int\frac{4x-5}{3x^2-x+1}dx.$ Sea el trinomio $ax^2+bx+c\;(a>0).$ Demostrar que si dicho trinomio no tiene raíces reales, entonces $$\displaystyle\int\dfrac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C.$$ Solución El denominador no tiene raíces. Completemos cuadrados: $$3x^2-x+1=3(x+k)^2+l=3x^2+6kx+3k^2+l.$$ Identificando coeficientes, $3=3,$ $6k=-1,$ $3k^2+l=1.$ Resolviendo, queda $k=-1/6$ y $l=11/12,$ con lo cual $$3x^2-x+1=3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{12}.$$ Entonces, $$\begin{aligned}&\int\frac{dx}{3x^2-x+1}=\int\frac{dx}{3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{12}}= \frac{12}{11}\int\frac{dx}{\frac{36}{11}\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+1}=\ &\frac{12}{11}\int\frac{dx}{\left(\frac{6}{\sqrt{11}}\left(x-\frac{1}{6}\right)\right)^2+1}=\frac{12}{11}\frac{\sqrt{11}}{6}\int\frac{\frac{6}{\sqrt{11}}dx}{\left(\frac{6}{\sqrt{11}}\left(x-\frac{1}{6}\right)\right)^2+1}\ &=\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan \left(\frac{6}{\sqrt{11}}\left(x-\frac{1}{6}\right)\right)+C=\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan \frac{6x-1}{\sqrt{11}}+C. \end{aligned}$$ La derivada
- [Integración de funciones racionales (1)](https://fernandorevilla.es/2014/04/26/integracion-de-funciones-racionales-1/) - Enunciado Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2-5x+6}.$ Calcular $\displaystyle\int \dfrac{x^3\;dx}{x^3-2x^2-x+2}.$ Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^4-x^3}.$ Calcular $\displaystyle\int \dfrac{(x+1)\;dx}{(x^2+x-2)^2}.$ Solución Las raíces del polinomio $x^2-5x+6$ son $x=2$ y $x=3,$ por tanto $x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$ Tenemos:$$\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}=\dfrac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}.$$ Igualando numeradores y dando a $x$ los valores $x=2$ y $x=3,$ obtenemos $A=-1$ y $B=1.$ Entonces, $$\begin{aligned}&\int \dfrac{dx}{x^2-5x+6}=-\int \dfrac{dx}{x-2}+\int \dfrac{dx}{x-3}=-\log |x-2|+\log |x-3|+C\ &=\log\left|\frac{x-3}{x-2}\right|+C.\end{aligned}$$ Efectuando la división euclídea, obtenemos
- [Integración por partes](https://fernandorevilla.es/2014/04/25/integracion-por-partes/) - Proporcionamos ejercicios sobre el método de integración por partes. Enunciado Usando integración por partes, calcular: $a)\;\displaystyle \int\log x\;dx.\quad b)\;\displaystyle \int xe^xdx.\quad c)\;\displaystyle \int x^2e^xdx.$ Usando integración por partes, calcular: $a)\;\displaystyle \int \arctan x\;dx.\quad b)\;\displaystyle \int x \cos 5x\;dx.\quad c)\;\displaystyle \int x3^{-x}dx.$ Usando integración por partes, calcular: ${}\; a)\;\displaystyle \int\dfrac{x\;dx}{\operatorname{sen}^2x}.\quad b)\;\displaystyle \int 2^x\cos x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle
- [Integrales por sustitución o cambio de variable](https://fernandorevilla.es/2014/04/24/integrales-por-sustitucion-cambio-de-variable/) - Proponemos ejercicios sobre integrales por sustitución o cambio de variable. Enunciado Calcular las siguientes integrales, efectuando el cambio de variable indicado: $ a)\displaystyle\int x(4x^2+7)^9dx,\; t=5x^2+7.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}dx,\;t=\sqrt{x+1}.$ Efectuando sustituciones o cambios de variable adecuados, hallar las integrales: $ a)\displaystyle\int x^3\sqrt[3]{x^4+1}\;dx.\quad b)\displaystyle\int (2x+1)^{25}dx.\quad c)\;\displaystyle\int\dfrac{(2\log x+3)^3}{x}dx.$ Efectuando sustituciones o cambios de variable adecuados, hallar las integrales: $
- [Integrales inmediatas](https://fernandorevilla.es/2014/04/23/integrales-inmediatas/) - Proporcionamos ejercicios sobre integrales inmediatas. Enunciado Calcular las integrales inmediatas $ a)\displaystyle\int \dfrac{2x}{3x^2+1}dx.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{3x}{\sqrt{2x^2+1}}dx.\quad c)\displaystyle\int x\operatorname{sen}x^2\;dx.$ Calcular las integrales: $ a)\displaystyle\int \dfrac{dx}{6+5x^2}dx.\quad b)\displaystyle\int x^25^{x^3}dx.\quad c)\displaystyle\int e^{3\cos x}\operatorname{sen}x\;dx.$ Calcular: $ a)\displaystyle\int \operatorname{sen}^2x\;dx.\quad b)\displaystyle\int \cos^2x\;dx.\quad c)\displaystyle\int (\operatorname{sen}x+\cos x)^2\;dx.$ Calcular: $ a)\displaystyle\int \dfrac{3x+5}{x+6}dx.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{x^3}{x^2+1}\;dx.\quad c)\displaystyle\int \dfrac{e^x}{\cos^2e^x}\;dx.$ Calcular: $ a)\;\displaystyle\int \left(e^{ax}+e^{-ax}\right)^2dx,\;(a\neq 0).$ $b)\;\displaystyle\int 2^x\;3^{2x}\;5^{3x}\;dx.$ $c)\;\displaystyle\int \left(\tan x+\cot
- [Integral de la función potencial](https://fernandorevilla.es/2014/04/21/integral-de-la-funcion-potencial/) - Proporcionamos ejercicios sobre la integral de la función potencial. Enunciado Calcular: $ a)\displaystyle\int x^3dx.\quad b)\displaystyle\int x^{21}dx.\quad c)\displaystyle\int \dfrac{1}{x^7}dx.\quad d)\displaystyle\int \sqrt{x}\;dx.\quad e)\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\;dx.$ Calcular: $ {}\quad a)\displaystyle\int (2x^3-5x^2+6x-11)\;dx.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{x^3-8x+2}{x}dx.$ Calcular: $ {}\quad a)\displaystyle\int t(t+1)(t+2)\;dt.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{x+2}{\sqrt[4]{x}}dx.$ Demostrar que: $ {}\quad a) \displaystyle\int x^pdx=\dfrac{x^{p+1}}{p+1}+C\;(p\in\mathbb{R},p\neq -1).\quad b)\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx=\log \left|x\right| +C.$ Calcular $\displaystyle\int \left|x\right|\;dx.$ Solución Usando la conocida
- [Distintas formas indeterminadas](https://fernandorevilla.es/2014/04/19/distintas-formas-indeterminadas/) - Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{8^x-2^x}{4x}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\log x}{x}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\;(x^2\log x).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 2}\;\left(\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\;x^x.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\;x^{1/x}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\;(e^x+3x)^{1/x}.$
- [Concepto de indeterminación](https://fernandorevilla.es/2014/04/17/concepto-de-indeterminacion/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de indeterminación. Enunciado Demostrar que $\dfrac{0}{0}$ es es una forma indeterminada considerando los límites: $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{2x}{x}$ y $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{3x}{x}.$ Demostrar que $\dfrac{\infty}{\infty}$ es una forma indeterminada considerando los límites: $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{5x}{x}$ y $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x}{2x}.$ Demostrar que $0\cdot \infty$ es una forma indeterminada considerando los límites: $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac {1}{x}\cdot 6x$
- [Límites de funciones por la definición](https://fernandorevilla.es/2014/10/15/limites-de-funciones-por-la-definicion/) - Proporcionamos ejercicios de límites de funciones por la definición. Enunciado Demostrar que: $$a)\;\lim_{x\to 1}\;(2x+3)=5.\quad b)\; \lim_{x\to 2}\;\left(\frac{2}{3}x-1\right)=\frac{1}{3}.\quad c)\; \lim_{x\to 1/2}\;(-x-1)=-\frac{3}{2}.$$ Demostrar que $\;\;a)\;\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2=0.\quad b)\;\lim_{x\to 0}x^3\operatorname{sen}x=0.$ Demostrar que: $\displaystyle\lim_{x\to 2}\;\left(x^2+x-2\right)=4.$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{x\to 3} \frac{2}{x+1} =\frac{1}{2}.$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0.$ Solución Recordamos que si $L\in\mathbb{R},$ $$\lim_{x\to x_0}f(x)=L\Leftrightarrow \forall \epsilon>0\;\exists\delta >0:\left(\left|x-x_0\right|
- [Una aproximación racional de la raíz de 5](https://fernandorevilla.es/2014/03/26/una-aproximacion-racional-de-la-raiz-de-5/) - Usando la fórmula de Taylor, calculamos una aproximación de $\sqrt{5}$. Enunciado Sea $f(x)=\sqrt{x}$ y $x_0>0.$ Determinar razonadamente el polinomio de Taylor de orden $n,$ en el punto $x_0$ de la función $f,$ $P_{n,f,x_0}(x)$ y su resto $R_{n,f,x_0}(x).$ Mediante una adecuada elección de $x_0,$ calcular una aproximación racional de $\sqrt{5}$ con un error menor que $10^{-3}.$
- [Una aplicación de la fórmula de Taylor](https://fernandorevilla.es/2014/03/26/una-aplicacion-de-la-formula-de-taylor/) - Enunciado De una función $f:(-2,2)\to\mathbb{R}$ sabemos que admite derivadas de cualquier orden y que las derivadas se pueden acotar del siguiente modo $$|f^{(n)}(x)|\leq \displaystyle\frac{2^{n+2}n!}{3^{n+1}}\qquad( \forall{n\in\mathbb{N}},\;\forall{x\in [0,1/2]}).$$ Además conocemos que $f(0)=1$ y $f^{(n)}(0)=\displaystyle\frac{n!}{2^n}$. Calcúlese $f(1/2).$ Indicación. Puede ser útil encontrar una expresión para $P_{f,n,0}\;(1/2)$ donde $P_{f,n,0}$ es el polinomio de Taylor de orden $n$ de la
- [La notación <em>o</em> minúscula de Landau](https://fernandorevilla.es/2014/03/17/la-notacion-o-minuscula-de-landau/) - Prroporcionamos ejercicios sobre la notación $o$ minúscula de Landau Enunciado Demostrar que $\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}=o(x^2)$ cuando $x\to 0.$ Demostrar que $\operatorname{sen} x-x+\dfrac{x^3}{6}=o(x^3)$ cuando $x\to 0.$ Demostrar que $\sqrt{x}-1-\dfrac{x}{4}=o(x-4)$ cuando $x\to 4.$ Solución Aplicando la regla de L'Hopital: $$\begin{aligned} &\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}}{x^2}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen} x+x}{2x}=\left\{\frac{0}{0}\right\}\ &=\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x+1}{2}=\frac{0}{2}=0. \end{aligned}$$ Es decir, $\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}=o(x^2)$ cuando $x\to 0.$ Aplicando la
- [Fórmula de Taylor](https://fernandorevilla.es/2014/03/11/formula-de-taylor/) - Proporcionamos ejercicios de aplicación de la fórmula de Taylor. Enunciado Escribir la fórmula de Maclaurin de orden $2$ para las funciones: $(a)\;f(x)=\sqrt{1+x}.\quad (b)\;g(x)=\sqrt[3]{1+x}.$ Escribir la fórmula de Maclaurin de orden $5$ para la función $f(x)=\operatorname{sen}x.$ Escribir la fórmula de Taylor de orden $3$ en $x_0=4$ para la función $f(x)=\sqrt{x}.$ Escribir la fórmula de Maclaurin de
- [Polinomio de Taylor](https://fernandorevilla.es/2014/03/10/polinomio-de-taylor/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de polinomio de Taylor. Enunciado Hallar el polinomio de Maclaurin $p(x)$ de orden $5$ para la función $f(x)=\operatorname{sen}x.$ Hallar el polinomio de Taylor $p(x)$ de orden $3$ en $x_0=\pi$ para la función $f(x)=\cos x.$ Hallar el polinomio de Maclaurin $p(x)$ de orden $n$ para la función $f(x)=\dfrac{1}{x+1}.$ Obtener el polinomio
- [Recíproco del teorema del valor medio](https://fernandorevilla.es/2015/12/15/reciproco-del-teorema-del-valor-medio/) - Enunciado Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b).$ Se considera el siguiente enunciado: $$\forall c\in (a,b)\;\exists x,y\in [a,b]:f'(c)=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}.\qquad (E)$$ Nótese que se trata de una especie de recíproco del teorema del valor medio. Demostrar mediante un contraejemplo que en general $(E)$ es falso. Solución Sea $[a,b]$ conteniendo a $0$ como punto interior
- [Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $](https://fernandorevilla.es/2014/02/28/limite-de-las-raices-de-p_nxxn2-2x1/) - Enunciado Se considera la sucesión de polinomios dada por $$p_n(x)=x^{n+2}-2x+1\qquad n=1,2,3,\ldots$$ Se pide: 1) Comprobar que todos estos polinomios tienen un cero común. 2) Demostrar que cada polinomio tiene como máximo un cero en el intervalo abierto $(0,1).$ 3) Comprobar que cada polinomio tiene de hecho un cero en $(0,1).$ 4) Sea $(x)_{n\geq 1}$ la
- [Diámetro de un subconjunto de R](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/diametro-de-un-subconjunto-de-r/) - Estudiamos algunas propiedades del diámetro de un subconjunto de $\mathbb{R}.$ Enunciado Dado un subconjunto acotado $A\subset \mathbb{R}$, se define el diámetro del conjunto $A$ como $d(A)=\sup \{|x-y|\;:\;x,y\in\mathbb{R}\}.$ Considérese una función derivable $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que existe $M>0$ con $|f'(x)|\leq M$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ (a) Dado $r>0$ compruébese que si $A$ es tal que $d(A)\leq \dfrac{r}{M}$
- [Una aplicación del teorema de Rolle](https://fernandorevilla.es/2014/04/14/una-aplicacion-del-teorema-de-rolle/) - Enunciado Sea $f:[3,5]\to \mathbb{R}$ una función continua que es derivable en $(3,5)$ y tal que $f(3)=6$ y $f(5)=10.$ 1. Consideremos la función $g:[3,5]\to \mathbb{R}$ definida por $g(x)=\displaystyle\frac{f(x)}{x}.$ Demostrar que existe un $x_0\in (3,5)$ tal que $g'(x_0)=0.$ Deducir que $f'(x_0)x_0-f(x_0)=0.$ 2. Demostrar que entre todas las rectas tangentes a la gráfica de $f$, al menos una
- [Teorema del valor medio de Cauchy](https://fernandorevilla.es/2014/02/05/teorema-del-valor-medio-de-cauchy/) - Proporcionamos ejercicios sobre el teorema del valor medio de Cauchy. Enunciado Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy para las funciones $f,g:[1,2]\to \mathbb{R}$ definidas por: $$f(x)=x^2+2,\;g(x)=x^3-1.$$ Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes. Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy para las funciones
- [Teorema de Lagrange](https://fernandorevilla.es/2014/02/05/teorema-de-lagrange/) - Proporcionamos ejercicios sobre el Teorema de Lagrange. Enunciado Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema de Lagrange para la función $f(x)=x-x^3$ en el intervalo $[-2,1].$ Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes. Aplicar el teorema de Lagrange para acotar el error que se comete al tomar $100$ como valor aproximado de $\sqrt{10\;001}$. Demostrar que
- [Teorema de Rolle](https://fernandorevilla.es/2014/02/04/teorema-de-rolle/) - Proporcionamos ejercicios sobre el Teorema de Rolle. Enunciado Verificar la validez del Teorema de Rolle para la función $ f(x)=x^3+4x^2-7x-10$ en el intervalo $[-1,2]$. Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes. Verificar la validez del Teorema de Rolle para la función $f(x)=\log (\sin x)$ en el intervalo $[\pi/6,5\pi/6]$ Aplicar el Teorema de Rolle para demostrar
- [Puntos de inflexión de una familia de curvas](https://fernandorevilla.es/2016/02/23/puntos-de-inflexion-de-una-familia-de-curvas/) - Enunciado Sea el conjunto de funciones $f_a(x)=\dfrac{x^3+a}{(x+1)^2},$ donde $a\in\mathbb{R}-\{1\}.$ (a) Determinar las funciones de este conjunto cuya representación gráfica admite un punto de inflexión en el cual la tangente es paralela al eje de abscisas. (b) Probar que todas las funciones de este conjunto tienen una asíntota oblicua común, de la cual se pide la
- [Funciones cumpliendo $ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$](https://fernandorevilla.es/2015/11/23/funciones-cumpliendo-flambda-x-fxsin-x-fxcos-x/) - Resolvemos una ecuación en derivadas, con un parámetro. Enunciado Determinar todas las funciones derivables $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación $$ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x\quad \forall \lambda>0.$$ Solución Sea $f$ una función que satisface la igualdad dada. Veamos condiciones necesarias que ha de cumplir $f.$ Sea $x,y$ reales positivos. Para $\lambda =
- [Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$](https://fernandorevilla.es/2015/10/03/funciones-cumpliendo-fx-fyle-k_fleftoperatornamesenx-operatornamesenyright/) - Enunciado Sea $E$ el conjunto de las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ verificando que existe una constante $k_f\le 0$ tal que $$f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.$$ (a) Demostrar que si $f\in E,$ $f$ es periódica de periodo $2\pi,$ continua y acotada. (b) Sea $f\in E$ tal que $f$ es derivable en $\mathbb{R}.$ Estudiar si $f^{\prime}\in E.$ (c) Demostrar que
- [Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz](https://fernandorevilla.es/2014/04/06/ecuacion-diferencial-y-formula-de-leibniz/) - Usamos una ecuación diferencial y la fórmula de Leibniz para calcular la dervada enésima de una función en el origen. Enunciado Dada la función $y=(\textrm{Argsh}\;x)^2,$ Demostrar que se verifica la igualdad $(1+x^2)y^{\prime\prime}+xy'=2$. Utilizando la igualdad anterior y la fórmula de Leibniz hallar una expresión que proporcione la derivada de cualquier orden en $x=0$. (Propuesto en
- [Derivabilidad absoluta](https://fernandorevilla.es/2014/03/22/derivabilidad-absoluta/) - Se define la derivabilidad absoluta y estudiamos algunas de sus propiedades. Enunciado Sea $f$ una función real y sea $a$ un punto interior del dominio de $f.$ Diremos que $f$ es absolutamente derivable en $a$ si la función $|f|$ es derivable en $a.$ Estudiar si son ciertas o no, las siguientes proposiciones: Si $f$ es
- [Derivada simétrica](https://fernandorevilla.es/2014/04/06/derivada-simetrica/) - Estudiamos la derivada simétrica de una función. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Se define la derivada simétrica de $f$ en un punto $x_0$ y se designa por $f'_s(x_0)$, al siguiente límite si existe y es finito $$f'_s(x_0)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$$ Estudiar la existencia en el punto $x_0=0$ de la derivada simétrica, y calcularla en
- [Desigualdad y número de raíces](https://fernandorevilla.es/2014/04/02/desigualdad-y-numero-de-raices/) - Relacionamos una desigualdad con el número de ceros de una función. Enunciado Demostrar la desigualdad: $$\dfrac{1}{e}\geq \dfrac{\log x}{x}\;,\quad \forall{x>0}.$$ Hallar razonadamente el número exacto de soluciones de la ecuación$$e(\log x)^2=2x.$$ (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Como $x>0,$ se verifican las equivalencias: $$\dfrac{1}{e}\geq \dfrac{\log x}{x} \Leftrightarrow \dfrac{x}{e}\geq \log x \Leftrightarrow
- [Familia de funciones de clase 1](https://fernandorevilla.es/2014/06/12/familia-de-funciones-de-clase-1/) - Estudiamos una familia de funciones de clase 1. Enunciado Sea $C$ el conjunto de las funciones $f$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ de clase $1$ y que cumplen las condiciones siguientes: $$\forall x\in\mathbb{R}\quad f'(f(x))\cdot f'(x)=1,\quad f'(0)>0,\quad f(1)=1.$$ Se pide: Comprobar que la función identidad $I$ pertenece a $C.$ Verificar que $f\in C\Rightarrow f\circ f=I.$ Demostrar que
- [Derivabilidad según parámetros](https://fernandorevilla.es/2014/04/06/derivabilidad-segun-parametros/) - Estudiamos la derivabilidad de una función según parámetros. Enunciado Sea la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $$f(x)=\left \{ \begin{matrix}{ \dfrac{x-1}{x^2}+\beta}&\mbox{ si }& x\geq 1\\arctan \;(\log x) & \mbox{si}& 0
- [Diferencial de una función](https://fernandorevilla.es/2014/04/03/diferencial-de-una-funcion/) - Proporcionamos ejercicios sobre la diferencial de una función. Enunciado Hallar la diferencial de la función $y=\sqrt[3]{x}+\cos x.$ Hallar la diferencial y el incremento de la función $y=x^3$ para $x$ y $dx$ genéricos. Usando diferenciales, determinar aproximadamente en cuanto aumentará esl área de un cuadrado cuando su lado aumenta de $4$ cm a $4.1$ cm. Usando
- [Derivación de funciones implícitas](https://fernandorevilla.es/2014/04/02/derivacion-de-funciones-implicitas/) - Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones implícitas. Enunciado Hallar $y'$ para la función implícita dada por $x\operatorname{sen}y+y\operatorname{sen}x=0.$ Hallar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{8}=1$ trazada en el punto $P(-9,-8).$ Hallar $y'$ para la función $y$ dada en forma implícita por: $$\operatorname{sen}(y-x^2)-\log (y-x^2)+2\sqrt{y-x^2}-3=0.$$ Demostrar que la ecuación de la recta tangente a
- [Derivadas infinitas y laterales](https://fernandorevilla.es/2014/04/01/derivadas-infinitas-y-laterales/) - Proporcionamos ejercicios sobre derivadas infinitas y laterales. Enunciado Hallar $f'_+(0)$ si $f(x)=\sqrt{x}.$ Hallar $f'_+(0)$ y $f'_-(0)$ si $f(x)=\left|\operatorname{sen}2x\right|.$ Calcular $ f'(x)$, siendo $ f(x)=\left \{ \begin{matrix} 3x^2+x & \mbox{ si }& x\geq 1\7x-3 & \mbox{si}& x
- [Aplicaciones físicas de la derivada](https://fernandorevilla.es/2014/03/31/aplicaciones-fisicas-de-la-derivada/) - Proporcionamos ejercicios de aplicaciones físicas de la derivada. Enunciado El espacio $s$ recorrido en función del tiempo $t$ está definido por la ecuación $s=t\log (t+1)$ ($t$ es segundos y $s$ en metros). Hallar la velocidad del movimiento cuando han transcurrido dos segundos. Por el eje $OX$ se mueven dos puntos que tienen respectivamente las leyes
- [Aplicaciones geométricas de la derivada](https://fernandorevilla.es/2014/03/30/aplicaciones-geometricas-de-la-derivada/) - Proporcionamos ejercicios sobre aplicaciones geométricas de la derivada. Enunciado Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva $y=x^3-x^2+2x+3$ en el punto de abscisa $x=0.$ Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva $y=\cos x$ en el punto de abscisa $x=\pi.$ Hallar las ecuaciones de las rectas tangente
- [Derivadas de órdenes superiores](https://fernandorevilla.es/2014/03/28/derivadas-de-ordenes-superiores/) - Proporcionamos ejercicios sobre derivadas de órdenes superiores. Enunciado Hallar las derivadas hasta orden 3 de la función $y=\sqrt{x}.$ Demostrar que la función $f(x)=e^{-x}\cos x$ satisface la relación $f^{(4)}(x)+4f(x)=0.$ Calcular la derivada enésima de la función $f(x)=\dfrac{1}{x-1}.$ Hallar la derivada enésima de la función $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x-2}.$ Demostrar por inducción que si $f(x)=\text{sen }x$ entonces $$f^{(n)}(x)=\text{sen}\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right).$$ Se considera
- [Derivada logarítmica](https://fernandorevilla.es/2014/03/27/derivada-logaritmica/) - Proporcionamos ejercicios sobre la derivada logarítmica. Enunciado Hallar la derivada de la función $y=x^{\operatorname{sen}x}.$ Hallar la derivada de la función $y=(\cos x)^{\operatorname{sen}x}.$ Hallar la derivada de la función $y=x^{x^x}$ Siendo $f(x)=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^x,$ calcular $f'(2).$ Solución Tomando logaritmos: $\log y=(\operatorname{sen}x)(\log x).$ Derivando: $$\frac{y'}{y}=(\cos x)\log x+(\operatorname{sen}x)\dfrac{1}{x}.$$ Pasando $y$ al segundo miembro y sustituyendo por su valor: $$y'=x^{\operatorname{sen}x}\left((\cos x)\log
- [Derivada de $ (g\circ f^{-1})'(6) $](https://fernandorevilla.es/2014/04/04/derivada-de-gcirc-f-16/) - Proponemos un ejercicio de aplicación de la derivada de la función compuesta e inversa. Enunciado Hallar $ (g\circ f^{-1})'(6) ,$ siendo: $$ f(x)=x^3+2x^2+3x\;,\qquad g(x)=\dfrac{x^3+6x^2+9x+5}{x^4+1}.$$ (Propuesto en examen de prueba numérica, Cálculo, ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Usando los teoremas de la derivada de la función compuesta e inversa: $$ (g\circ f^{-1})'(6)=g'[f^{-1}(6)]\cdot (f^{-1})'(6)= g'[f^{-1}(6)]\cdot \dfrac{1}{f'(f^{-1}(6))}.$$
- [Derivadas: compendio de reglas y fórmulas](https://fernandorevilla.es/2014/03/26/derivadas-compendio-de-reglas-y-formulas/) - Enunciado Hallar la derivada de $f(x)=\arccos \dfrac{1-x^2}{1+x^2}.$ Hallar la derivada de $f(x)=\log \sqrt{\dfrac{\tan x+1}{\tan x-1}}.$ Hallar la derivada de $f(x)=\operatorname{senh} \left(x\sqrt{x\sqrt{x}}\right).$ Calcular las derivadas de: $(a)\;f(x)=\operatorname{arsh}\dfrac{x^2}{a^2}.\; (b)\;g(x)=\operatorname{arth}\dfrac{2x}{x^2+1}.$ Demostrar las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas inversas, es decir: $$\dfrac{d}{dx} \operatorname{arsh}x =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}},\quad \dfrac{d}{dx} \operatorname{arch}\,x =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}},\quad \dfrac{d}{dx} \operatorname{arth}\,x =\dfrac{1}{1-x^{2}}.$$ Demostrar que $\dfrac{d}{dx}\left(\log \sqrt{\dfrac{1+\operatorname{sen} x}{1-\operatorname{sen} x}}\right)=\sec x.$
- [Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena](https://fernandorevilla.es/2014/03/25/derivacion-de-funciones-compuestas-regla-de-la-cadena/) - Proporcionamos ejercicios sobre la derivación de funciones compuestas y la regla de la cadena. Enunciado Calcular $y'$ siendo: $(a)\; y=(x^3+5x^2+1)^8.\quad$ $(b)\; y=\operatorname{tg}^7x.\quad $ $(c)\;y=\arctan (\log x).$ Calcular $f'(x)$ siendo: $(a)\; f(x)=3^{\cos x}.\quad $ $(b)\; f(x)=\left(\dfrac{1+\log x}{1-\log x}\right)^4.\quad $ $(c)\;f(x)=\sqrt[3]{(x+\operatorname{sen}x)^2}.$ Si $f(x)=x^3+3x^2+2$ y $g(x)=x^6+4,$ calcular $h'(1)$ siendo $h=f\circ g.$ Sea $f$ una función derivable en $\mathbb{R}.$
- [Derivación de funciones hiperbólicas inversas](https://fernandorevilla.es/2014/03/24/derivacion-de-funciones-hiperbolicas-inversas/) - Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones hiperbólicas inversas. Enunciado Calcular $f'(x),$ siendo $f(x)=\operatorname{arth}x-\arctan x.$ Calcular $y',$ siendo $y=\dfrac{\operatorname{arch}x}{x}.$ Calcular $\dfrac{d}{dx}\left(\operatorname{arsen}x\;\operatorname{arsh}x\right).$ Solución $\quad f'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1+x^2-1+x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}=\dfrac{2x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}.$ $\quad y'=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}x-\operatorname{arch}x}{x^2}=\dfrac{x-\sqrt{x^2-1}\operatorname{arch}x}{x^2\sqrt{x^2-1}}.$ $\quad \dfrac{d}{dx}\left(\operatorname{arsen}x\;\operatorname{arsh}x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\operatorname{arsh}x+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\operatorname{arsen}x.$
- [Derivación de funciones hiperbólicas](https://fernandorevilla.es/2014/03/23/derivacion-de-funciones-hiperbolicas/) - Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones hiperbólicas. Enunciado Hallar las derivadas de las funciones: $(a)\; y=2x\operatorname{senh} x.\;\; (b)\;y=\dfrac{3x^2}{\cosh x}.\,\, (c)\;y=x-\tanh x.$ Demostrar que: $$\dfrac{d}{dx}\operatorname{senh} x =\cosh x,\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x =\operatorname{senh} x,\quad\dfrac{d}{dx}\tanh x =\operatorname{sech}^2 x.$$ Calcular: $(a)\;\dfrac{d}{dx}\operatorname{csch} x.\;(b)\;\dfrac{d}{dx}\operatorname{sech} x.\;(c)\;\dfrac{d}{dx}\coth x. $ Solución $(a)$ $y'=2\operatorname{senh} x+2x\cosh x=2(\operatorname{senh} x+x\cosh x).$ $(b)$ $y'=\dfrac{6x\cosh x-3x^2\operatorname{senh} x}{\cosh^2x}=\dfrac{3(2x\cosh x-3x^2\operatorname{senh} x)}{\cosh^2x}.$ $(c)$ $y'=1-\operatorname{sech}^2x=1-\dfrac{1}{\cosh^2x}=\dfrac{\cosh^2x-1}{\cosh^2x}=\dfrac{\operatorname{senh}^2 x}{\cosh^2x}=\tanh^2x.$
- [Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas](https://fernandorevilla.es/2014/03/22/derivacion-de-funciones-exponenciales-y-logaritmicas/) - Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones exponenciales y logarítmicas. Enunciado Calcular las derivadas de las funciones: $(a)$ $y=(x^2-6x+5)e^x.\quad$ $(b)$ $y=e^x\operatorname{sen} x.\quad$ $(c)$ $y=\dfrac{7^x}{x^2}$. Calcular las derivadas de las funciones: $(a)$ $y=(x^3-5)\log x.\quad$ $(b)$ $y=(\log_5x)\cos x.\quad $ $(c)$ $y=\dfrac{3x^2}{\log x}$. Demostrar que si $a>0$, se verifica para todo $x>0$: $$\displaystyle\frac{d}{dx}\log_ax=\frac{1}{x}\log_ ae.$$ Solución $(a)$ $y'=(2x-6)e^x+(x^2-6x+5)e^x=(x^2-4x-1)e^x.$ $(b)$ $y'=e^x\operatorname{sen}
- [Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas](https://fernandorevilla.es/2014/03/21/derivacion-de-funciones-trigonometricas-y-circulares-inversas/) - Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas. Enunciado Hallar $y'$ siendo: $(a)\; y=a\cos x+b\operatorname{sen} x.\quad$ $(b)\; y=\dfrac{\operatorname{sen} x+\cos x}{\operatorname{sen} x-\cos x}.\quad$ $(c)\; y=x\tan x.$ Hallar: $(a)\; \dfrac{d}{dx}(x\operatorname{arcsen} x).\; (b)\;\dfrac{d}{dx}(\cot x-\tan x).\; (c)\;\dfrac{d}{dt}\left((t^2-2)\cos t-2t \operatorname{sen} t\right).$ Demostrar que: $(a)\;\dfrac{d}{dx}(\tan x)= \dfrac{1}{\cos^2 x}.\quad (b)\;\dfrac{d}{dx}(\cot x)=- \dfrac{1}{\operatorname{sen}^2 x}. $ Hallar $\dfrac{d}{dx}(\csc x)$ y $\dfrac{d}{dx}(\sec x).$
- [Igualdad de matrices a partir de una de determinantes](https://fernandorevilla.es/2018/07/08/igualdad-de-matrices-a-partir-de-una-de-determinantes/) - Demostramos una igualdad de matrices a partir de una de determinantes. Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo, $\mathbb{K}^{n\times n}$ el conjunto de las matrices cuadradas de orden $n$ con entradas en $\mathbb{K}$ y $A,B\in \mathbb{K}^{n\times n}$ fijas. Demostrar que $$\det (A+X)=\det (B+X)\;\;\forall X\in\mathbb{K}^{n\times n}\Rightarrow A=B.$$ Solución Sea $\mathcal{M}\subset \mathbb{K}^{n\times n}$ el conjunto de las matrices cuya
- [Derivada de un determinante](https://fernandorevilla.es/2016/02/03/derivada-de-un-determinante/) - Demostramos una fórmula para la derivada de un determinante y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $I$ un intervalo de la recta real. Se considera la matriz de orden $n:$ $$A(t)=\left[F_1(t),F_2(t),\ldots, F_n(t)\right]$$ en donde $$F_i(t)=\begin{pmatrix}f_{1j}(t)\{f_{2j}(t)}\ \vdots\{f_{nj}(t)}\end{pmatrix}\;\;\forall t\in I\text{ con las }f_{ij}\text{ derivables en }I.$$ 1. Demostrar que para todo $t\in (a,b)$ se verifica $$\dfrac{d}{dt}\det
- [Determinante por inducción y sistema lineal](https://fernandorevilla.es/2014/05/07/determinante-por-induccion-y-sistema-lineal/) - Calculamos un eterminante de orden $n$ por inducción, y lo aplicamos a la discusión de un sistema lineal. Enunciado Para cada $n\in\mathbb{N}^*$ y para cada par $a,b\in\mathbb{C}$ se considera la matriz $A_n(a)=\begin{bmatrix} 1+a & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\ a & 1+a & 1 & \ldots & 0 & 0 \
- [Derivación de funciones algebraicas](https://fernandorevilla.es/2014/03/20/derivacion-de-funciones-algebraicas/) - Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones algebraicas. Enunciado Demostrar que si $f(x)=k$ es función constante, entonces $f'(x)=0$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que si $f(x)=x,$ entonces $f'(x)=1$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que si $f(x)=x^n$ con $n$ entero positivo, entonces $f'(x)=nx^{n-1}$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Usando conocidos teoremas de derivación, hallar las derivadas de las funciones polinómicas: $(a)\;f(x)=x^7.$
- [Álgebra de derivadas](https://fernandorevilla.es/2014/03/20/algebra-de-derivadas/) - Proporcionamos ejercicios sobre el Álgebra de derivadas. Enunciado Sean $u$ y $v$ funciones definidas en el intervalo abierto $(a,b).$ Supongamos que $u$ y $v$ son derivables en $x\in (a,b).$ Demostrar que $u+v$ y $u-v$ son derivables en $x$ y además $$(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x),\quad (u-v)'(x)=u(x)-v'(x).$$ Sean $u$ y $v$ funciones definidas en el intervalo abierto $(a,b).$ Supongamos que
- [Concepto de derivada](https://fernandorevilla.es/2014/03/18/concepto-de-derivada/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de derivada. Enunciado Si $f(x)=x^2,$ hallar $f'(4)$ usando la definición de derivada. Si $f(x)=x^2,$ hallar $f'(x)$ usando la definición de derivada. Si $f(x)=x^3,$ hallar $f'(x)$ usando la definición de derivada. Si $f(x)=\dfrac{1}{x},$ hallar $f'(x)$ para todo $x$ real no nulo, usando la definición de derivada. Si $f(x)=\sqrt{x},$ hallar $f'(x)$ para
- [Funciones monótonas, crecientes y decrecientes](https://fernandorevilla.es/2016/01/17/funciones-monotonas-crecientes-y-decrecientes/) - Estudiamos propiedades de las funciones monótonas, crecientes y decrecientes. Enunciado Definir los conceptos de función creciente, decreciente, estrictamente creciente, estrictamente decreciente y monótona para una función real de variable real. Demostrar que la función $f:[0,+\infty)\to \mathbb{R},$ $f(x)=x^3$ es estrictamente creciente. Sea $f:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Demostrar que $$f\text{ es creciente}\Leftrightarrow -f\text{ es decreciente.}$$ Sea
- [Funciones f-continuas](https://fernandorevilla.es/2014/02/19/funciones-f-continuas/) - Definimos las funciones f-continuas y analizamos algunas de sus propiedades. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función arbitraria. Diremos que una función $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es $f$-continua si $g\circ f$ es continua para todo $x\in\mathbb{R}.$ Sea $f(x)=x^2.$ Estudiar si las funciones $g_1,g_2:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definidas por $$g_1(x)=\left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ si }& x\leq 0\1 & \mbox{si}&
- [Continuidad en una variable: problemas diversos](https://fernandorevilla.es/2014/02/19/continuidad-en-una-variable-problemas-diversos/) - Proporcionamos problemas diversos de continuidad en una variable. Enunciado Se considera la función definida por $$f(x)= \left \{ \begin{matrix} \displaystyle 2\cos x & \mbox{ si }& x\leq c\(ax+b)^2 & \mbox{si}& x>c.\end{matrix}\right.$$ Si $b,c\in\mathbb{R}$ son parámetros fijos, hallar los valores de $a$ para los cuales $f$ es continua en $c$. Sea $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ continua en $x_0\in
- [Teorema de Heine](https://fernandorevilla.es/2014/04/20/teorema-de-heine/) - Demostramos el teorema de Heine. Enunciado Demostrar el teorema de Heine: Sean $a,b\in \mathbb{R}$ con $a0$ y dos sucesiones $(x_n)$ e $(y_n)$ de puntos de $[a,b]$ tales que $(x_n-y_n)\to 0$ y $\left|f(x_n)-f(y_n)\right|\geq
- [Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones](https://fernandorevilla.es/2014/04/20/caracterizacion-de-la-continuidad-uniforme-por-sucesiones/) - Demostramos un teorema de caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones. Enunciado Demostrar el teorema de caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones: Sea $I\subset \mathbb{R}$ intervalo y $f:I\to \mathbb{R}$ una función. Entonces, $f$ es uniformemente continua si y sólo si para cualquier par de sucesiones $(x_n)$ e $(y_n)$ de puntos de $I$ tales que
- [Determinante de I + v w](https://fernandorevilla.es/2015/05/07/determinante-de-i-v-w/) - Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo, $v\in\mathbb{K}^{n\times 1}$ y $v\in\mathbb{K}^{1\times n}.$ Demostrar que $$\det \left(I_n+vw\right)=1+wv.$$ Solución. Es fácil verificar la igualdad para matrices de órdenes $n+1,$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\ v & I_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -w\ 0 & I_n + vw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + v^tw^t & -w\ 0 & I_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &
- [Determinante e inversa de orden n](https://fernandorevilla.es/2014/05/04/determinante-e-inversa-de-orden-n/) - Calculamos un determinante y una inversa de orden $n.$ Enunciado Se considera la matriz $M_n= \begin{bmatrix} a_1+a_2 & -a_2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\ -a_2 & a_2+a_3 & -a_3 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \ 0 & -a_3 & a_3+a_4 & -a_4 &
- [Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de enteros](https://fernandorevilla.es/2014/05/07/producto-de-enteros-que-son-suma-de-cuatro-enteros/) - Enunciado Demostrar que el producto de dos números enteros, cada uno de ellos suma de cuatro cuadrados de enteros, es también la suma de cuatro cuadrados de enteros. Sugerencia: considerar determinantes de la forma $$\det \begin{bmatrix} z & -w \\overline{w} & \overline{z} \end{bmatrix}$$ con $z,$ $w$ complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros.
- [Determinante con números combinatorios](https://fernandorevilla.es/2014/03/24/determinante-con-numeros-combinatorios/) - Calculamos un determinante con números combinatorios. Enunciado Calcular el determinante de orden $p+1$ $$\Delta (m,p)=\begin{vmatrix} \binom{m}{0} & \binom{m}{1} & \binom{m}{2} &\ldots & \binom{m}{p}\ \binom{m+1}{0} &\binom{m+1}{1} & \binom{m+1}{2} &\ldots & \binom{m+1}{p} \ \vdots&&&&\vdots \ \binom{m+p}{0} & \binom{m+p}{1} & \binom{m+p}{2} &\ldots & \binom{m+p}{p}\end{vmatrix}\quad (m\geq p).$$ (Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Caminos, UPM). Solución Restando
- [Determinante y sucesión de Fibonacci](https://fernandorevilla.es/2015/05/07/determinante-y-sucesion-de-fibonacci/) - Relacionamos un determinante con la sucesión de Fibonacci. Enunciado Sea $1,2,3,5,8,13,\ldots$ la sucesión de Fibonacci y consideremos la matriz: $$A_n=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;1}&{0}&{0}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\{-1}&{\;\;1}&{1}&{0}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\{\;\;0}&{-1}&{1}&{1}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}\{\;\;0}&{\;\;0}&{0}&{0}&{\ldots}&{-1}&{1}\end{bmatrix}.$$ Probar que $\det A_n$ coincide con el termino enésimo de la sucesión. Solución La sucesión de Fibonacci $\{x_n\}$ está determinada por las condiciones $x_1=1,$ $x_2=2$ y $x_n=x_{n-1}+x_{n-2}$ si $n\geq 3.$ Tenemos $$\left |{A_1}\right |=\left |{1}\right
- [Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones](https://fernandorevilla.es/2015/12/26/continuidad-uniforme-en-espacios-metricos-por-sucesiones/) - Demostramos un teorema de caracterización de la continuidad uniforme en espacios métricos, por sucesiones y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sean $(X,d)$, $(Y,d')$ dos espacios métricos y $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que las dos siguientes afirmaciones son equivalentes: $(i)$ $f$ es uniformemente continua. $(ii)$ Para todo par de sucesiones $(x_n),$ $(x'_n)$ de $X$
- [Continuidad en intervalos](https://fernandorevilla.es/2014/02/17/continuidad-en-intervalos/) - Proporcionamos ejercicios sobre continuidad en intervalos. Enunciado Demostrar que la ecuación $x^3+x^2-9x+2=0$ tiene al menos una raíz mayor que $0$ y menor que $1.$ Demostrar que la ecuación $x-\cos x=0$ tiene al menos una solución en el intervalo $(0,\pi)$. Sean $a,b\in\mathbb{R}$ tales que $0
- [Continuidad de las funciones no elementales](https://fernandorevilla.es/2014/02/17/continuidad-de-las-funciones-no-elementales/) - Proporcionamos ejercicios sobre la continuidad de las funciones no elementales. Enunciado Estudiar la continuidad de la función: $$f(x)= \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{x^3-8}{x-2} & \mbox{ si }& x\neq 2\5 & \mbox{si}& x=2.\end{matrix}\right.$$ Estudiar la continuidad de la función: $$g(x)=\left \{ \begin{matrix}\;\;\; 3x^2+1 & \mbox{ si }& x\leq -2\-3x+7 & \mbox{si}& x>-2.\end{matrix}\right.$$ Estudiar la continuidad de la
- [Continuidad de las funciones elementales](https://fernandorevilla.es/2014/02/16/continuidad-de-las-funciones-elementales/) - Proporcionamos la manera de estudiar la continuidad de las funciones elementales. Enunciado Determinar donde son continuas las siguientes funciones elementales: $$(a)\;\;f(x)=\dfrac{3x-2}{x^2-5x+6}.\qquad (b)\;\;g(x)=\sqrt{-2x^2+10x-12}.$$ Determinar donde son continuas las siguientes funciones elementales: $$(a)\;f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2+x+1}}.\quad (b)\;f(x)=\dfrac{1}{\cos x}.$$ Estudiar la continuidad de la función elemental $$f(x)=\log (x^2-x-6).$$ Demostrar que para todo $k\in [0,1)$ es continua en $\mathbb{R}$ la función $$f(x)=\frac{1}{kx^2-2kx+1}.$$
- [Concepto de continuidad, primeras propiedades](https://fernandorevilla.es/2014/02/16/concepto-de-continuidad-primeras-propiedades/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de continuidad y sus primeras propiedades. Enunciado Demostrar que cualquier función constante $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $ f(x)=k$ es continua en $\mathbb{R}$ Demostrar que la función identidad $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x$ es continua en $\mathbb{R}.$ Demostrar que cualquier función polinómica es continua en $\mathbb{R}$. Demostrar que cualquier función racional es continua en todos los valores
- [Sucesión recurrente con límite raíz de $a$](https://fernandorevilla.es/2014/03/27/sucesion-recurrente-con-limite-raiz-de-2/) - Estudiamos la convergencia y hallamos el límite de una sucesión recrrente. Enunciado Se considera la sucesión $u_n$ tal que: $$u_0>0,\quad u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_{n}}\right)\quad a>0.$$ Demostrar que $u_n$ es convergente y hallar su límite. Solución La sucesión $u_n$ es de términos positivos. En efecto, $u_0>0$ por hipótesis y si $u_n>0,$ entonces: $$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_{n}}\right)>0,\text{ al ser }a>0.$$ Supongamos que la
- [Familia de sucesiones recurrentes](https://fernandorevilla.es/2014/03/25/familia-de-sucesiones-recurrentes/) - Estudiamos la convergencia de una familia de sucesiones recurrentes. Enunciado Se consideran las sucesiones de números reales $(x_n)$ de la forma $$x_0=a\;,\;x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{b}{x_n}\right)\quad (a>0,\;b>0).$$ Se pide: Si $a=3$ y $b=9$, estudiar razonadamente si la sucesión $(x_n)$ es convergente y en su caso, hallar el límite. Comprobar que para $a,b$ fijos mayores que cero, la sucesión $(x_n)$
- [Sucesiones de números reales: problemas diversos](https://fernandorevilla.es/2014/02/04/sucesiones-de-numeros-reales-problemas-diversos/) - Proporcionamos problemas diversos sobre límites de sucesiones. Enunciado Sea la sucesión $a_n=\dfrac{2n+1}{7n+5}.$ Usando la definición de límite, demostrar que $\{a_n\}\to\dfrac{2}{7}$ y hallar a partir de qué término la diferencia $ \left|a_n-2/7\right|$ es menor que $0.002.$ Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[3]{n^3+2n^2}-n\right).$ Sugerencia: usar la identidad $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2).$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{2^n}{n!}=0.$ Demostrar que la sucesión $a_n=\left\lfloor\dfrac{(-1)^n}{n}\right\rfloor$ no es convergente,
- [Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica](https://fernandorevilla.es/2014/02/04/criterios-de-stolz-y-de-las-medias-aritmetica-y-geometrica/) - Proporcionamos ejercicios sobre los criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica para hallar límites. Enunciado Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n^3}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{2}{n}+\frac{3}{2n}+\frac{4}{3n}+\cdots+\frac{n+1}{n^2}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{2\cdot\dfrac{5}{4}\cdot \dfrac{10}{9}\cdot\ldots\cdot\dfrac{n^2+1}{n^2}}.$ A partir del criterio de Stolz, demostrar el criterio de la media aritmética. Se considera la sucesión $a_n$ definida como $$\begin{cases} a_1=1 \a_{n+1}=\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_n}. \end{cases}$$ Demostrar que $\displaystyle
- [Límites infinitos](https://fernandorevilla.es/2014/02/04/limites-infinitos/) - Proporcionamos ejercicios sobre límites infinitos. Enunciado Demostrar que $\lim\; (2n+11)=+\infty,$ y que $\lim\:(-3n+7)=-\infty.$ Sea $\{x_n\}$ convergente con límite no nulo, e $\{y_n\}$ divergente. Hallar el límite de la sucesión $\{x_ny_n\}$ Siendo $P(x)\in \mathbb{R}[x]$, calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}P(n).$ Sean $\{x_n\}$ e $\{y_n\}$ divergentes. Demostrar que con esas hipótesis no se puede asegurar cual es el límite de
- [Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria](https://fernandorevilla.es/2015/05/07/ceros-por-encima-o-debajo-de-la-diagonal-secundaria/) - Calculamos dos determinantes de orden $n$ con ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria. Enunciado Calcular el determinante de orden $n$ $$\Delta_n=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 1\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0
- [Regla de Cramer](https://fernandorevilla.es/2015/02/04/regla-de-cramer/) - Proporcionamos ejercicios de aplicación de la regla de Cramer. Enunciado Comprobar que el siguiente sistema en $\mathbb{R}$ es de Cramer y resolverlo $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x_1+x_2+x_3=2\& x_1+3x_2+x_3=5\& x_1+x_2+5x_3=-7. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Usando la regla de Cramer resolver el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x+3y=2\& x+4y=2. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $i)\;$ En $\mathbb{R}.\quad$ $ii)\;$ En $\mathbb{Z}_7.$ Convertir
- [Determinante de Vandermonde](https://fernandorevilla.es/2014/03/27/determinante-de-vandermonde/) - Proporcionamos ejercicios sobre el determinante de Vandermonde. Enunciado Resolver la ecuación $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \ 2 & x & 3 & -1 \ 4 & x^2 & 9 & 1 \ 8 & x^3 & 27 & -1 \end{vmatrix}=0.$ Calcular $\Delta=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ \log 2
- [Determinantes por inducción](https://fernandorevilla.es/2014/05/06/determinantes-por-induccion/) - Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de determinantes por inducción. Enunciado Calcular el determinante de orden $n$: $$\Delta_n= \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & \ldots & 0\ x & 1+x^2 & x & \ldots & 0 \ 0 & x & 1+x^2 & \ldots & 0 \ \vdots&&&&\vdots\ 0 & 0 & 0 & \ldots
- [Determinantes por triangularización](https://fernandorevilla.es/2014/05/05/determinantes-por-triangularizacion/) - Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de determinantes por triangularización. Enunciado Calcular el determinante $$\Delta=\begin{vmatrix}x & a & b & c & d\ x & x & a & b & c\ x & x & x & a & b\ x & x & x & x & a\ x & x & x &
- [Sucesiones monótonas](https://fernandorevilla.es/2014/02/04/sucesiones-monotonas/) - Proporcionamos ejercicios sobre sucesiones monótonas. Enunciado Estudiar la monotonía de las sucesiones: $$x_n=\dfrac{2n}{n+1},\;\;y_n=\dfrac{n}{n^2+1},\;\;z_n=\dfrac{n+1}{3n-11}.$$ Estudiar la monotonía de las sucesiones: $a_n=\dfrac{7^n}{n!},\;\;b_n=\dfrac{7^n}{(n+5)!}.$ Se considera la sucesión $a_n=\dfrac{2n}{n^2+1}.$ $a)$ Demostrar que es monótona creciente. $b)$ Demostrar que $K=3$ es cota superior de la sucesión. $c)$ Concluir que es convergente. Se considera la sucesión $\{a_n\}$ definida por $a_1=0$ y
- [Subsucesiones](https://fernandorevilla.es/2014/02/04/subsucesiones/) - Proporcionamos un ejercicio sobre subsucesiones. Enunciado Demostrar que si una sucesión $\{x_n\}$ converge hacia $x,$ entonces toda subsucesión de $\{x_n\}$ converge hacia $x.$ Usando subsucesiones, demostrar que la sucesión $\{(-1)^n\}$ no es convergente. Solución Recordemos que si $\{x_n\}$ es una sucesión, y $\{n_{k}\}$ una sucesión de enteros positivos tal que $n_1 < n_2 < n_3
- [Propiedades de los límites](https://fernandorevilla.es/2014/02/04/propiedades-de-los-limites/) - Proporcionamos ejercicios sobre las propiedades de los límites. Enunciado Demostrar que toda sucesión convergente está acotada. Dar un ejemplo de una sucesión acotada y no convergente. Demostrar que toda sucesión constante $\{a_n\}=\{k\}$ converge a $k.$ Demostrar que si dos sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son convergentes, entonces $\lim\;(a_n+b_n)=\lim a_n+\lim b_n,$ es decir que el límite de
- [Límite de una sucesión](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/limite-de-una-sucesion/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de límite de una sucesión. Enunciado $(i)$ Sea la sucesión $a_n=\dfrac{3n}{2n+1}.$ Demostrar que $\displaystyle\lim a_n=\dfrac{3}{2}.$ $(ii)$ Hallar a partir de qué término la diferencia $\left|a_n-3/2\right|$ es menor que $0,001.$ Demostrar que $\lim \dfrac{1}{n}=0.$ Demostrar que $\lim \dfrac{1}{n^2}=0.$ Demostrar que $\lim \;\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=0.$ Demostrar que $\lim \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0.$ Demostrar que si $\lvert q
- [Regiones determinadas por $n$ rectas del plano](https://fernandorevilla.es/2018/10/09/regiones-determinadas-por-n-rectas-del-plano/) - Demostramos por inducción una fórmula para determinar el número de regiones determinadas por $n$ rectas del plano. Enunciado Demostrar por inducción que $n$ rectas del plano dos a dos no paralelas y tales que ninguna terna pasa por un punto común divide al plano en $R_n=(n^2+n+2)/2$ regiones. Solución Paso base. La fórmula es cierta para
- [Binomio de Newton](https://fernandorevilla.es/2014/04/22/binomio-de-newton/) - Demostramos por inducción la fórmula del binomio de Newton. Enunciado Sean $a$ y $b$ dos números reales. Demostrar por inducción que para todo $n\geq 1$ entero, se verifica la fórmula del binomio de Newton: $$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.$$ Solución Paso base. La fórmula es cierta para $n=1.$ En efecto, $$(a+b)^1=a+b=\binom{1}{0}a^1b^0+\binom{1}{1}a^0b^1=\sum_{k=0}^1\binom{1}{k}a^{1-k}b^k.$$Paso de inducción. Supongamos que la fórmula es cierta
- [Desigualdad de Bernoulli](https://fernandorevilla.es/2014/04/22/desigualdad-de-bernoulli/) - Demostramos por inducción la desigualdad de Bernoulli. Enunciado Demostrar por inducción que para cualquier número real $x\geq -1$ y para todo entero $n\geq 1$ se verifica $(1+x)^n\geq 1+nx.$ (Desigualdad de Bernoulli). Solución Paso base. Para $n=1$, el primer miembro es $(1+x)^1=1+x$ y el segundo $1+1x=1+x$, por tanto la desigualdad es cierta para $n=1$. Paso de
- [Derivada enésima de la función seno](https://fernandorevilla.es/2015/05/21/derivada-enesima-de-la-funcion-seno/) - Demostramos por inducción la fórmula de la derivada enésima de la función seno. Enunciado Demostrar por inducción que si $f(x)=\text{sen }x,$ entonces $$f^{(n)}(x)=\text{sen}\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right),$$ en donde $f^{(n)}(x)$ representa la derivada enésima de $f(x).$ Solución Recordemos las fórmulas de trigonometría: $$\text{sen }(a+ b)=\text{sen }a\text{ cos }b+\text{cos }a\text{ sen }b,\ \text{cos }(a- b)=\text{cos }a\text{ cos }b+\text{sen }a\text{ sen
- [Método del simplex: aprovechamiento de un monte](https://fernandorevilla.es/2015/03/12/metodo-del-simplex-aprovechamiento-de-un-monte/) - Usamos el método del simplex para optimizar la producción maderera y ganadera de un monte. Enunciado Un monte de $100$ Has se puede destinar a producción maderera y/o ganadera. La producción maderera se puede realizar con chopos que producen $10000$ u.m. (unidades monetarias)/Ha año. La producción ganadera se basa en el aprovechamiento de la hierba
- [Método del simplex. Aplicación](https://fernandorevilla.es/2014/04/01/metodo-del-simplex-aplicacion/) - Proporcionamos una aplicación del método del simplex. Enunciado En el proceso semanal de fabricación de una empresa se producen $43,46$ y $42\; Tm$ de unas substancias $S_1,S_2,S_3$ que no se pueden venderse directamente al mercado, pero permiten obtener unos productos $P_1,P_2,P_3$ que reportan unos beneficios unitarios de $3,5,2$ respectivamente. Para cada $Tm$ de $P_1$ se
- [Máximo de una integral por el método del simplex](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/maximo-de-una-integral-por-el-metodo-del-simplex/) - Usando el método del simplex hallamos el máximo de una función dada por una integral. Enunciado Hallar el valor máximo de la integral $I=\displaystyle\int_{0}^{1}x^2p\left(\frac{1}{x}\right)dx.$ entre todos los polinomios de grado menor o igual que 2 de coeficientes no negativos y que cumplen $p(1)\leq 2$ y $p'(1)\leq 3.$ (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes,
- [Método del simplex](https://fernandorevilla.es/2015/03/02/metodo-del-simplex/) - Proporcionamos algunos ejercicios sobre el método del simplex. Enunciado Hallar el máximo de la función $z=2x_1+x_2$ con las restricciones $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 3x_1+2x_2\leq 10\& x_1+3x_2\leq 5\& x_1\geq 0,\;x_2\geq 0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Hallar el máximo de la función $z=8x_1+4x_2+6x_3$ con las restricciones $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x_1+3x_2+x_3\leq 7\& x_1+x_2+2x_3\leq 6\& 2x_1+4x_2+3x_3\leq 15\& x_1\geq 0,\;x_2\geq
- [Generatrices rectilíneas de un hiperboloide de una hoja](https://fernandorevilla.es/2015/10/21/generatrices-rectilineas-de-un-hiperboloide-de-una-hoja/) - Demostramos que el hiperboloide de una hoja es una superficie reglada, y estudiamos algunas propiedades de sus generatrices rectilíneas. Enunciado Consideremos el hiperboloide de una hoja $$H:\;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\quad (a>0,\;b>0\;c>0)$$ y los haces de rectas $$L_t:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=a\cos t+\lambda a\sin t\& y= b\sin t-\lambda b\cos t\&z=\lambda c\end{aligned}\end{matrix}\right.\quad L'_t:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=a\cos t-\lambda
- [Superficies: problemas diversos](https://fernandorevilla.es/2015/02/02/superficies-problemas-diversos/) - Proporcionamos diversos problemas sobre superficies. Enunciado Hallar la ecuación de la superficie que proyecta la elipse $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\& z=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ desde el punto $V(0,0,c).$ Dada la curva $C:x=t,\;y=t^2,\;z=t^3,$ determinar la superficie engendrada por las rectas tangentes en cada punto. Hallar las ecuaciones de los cilindros que proyectan la hélice $$C:x=\cos t,\;y=\operatorname{sen}
- [Determinantes sencillos](https://fernandorevilla.es/2014/05/04/determinantes-sencillos/) - Los siguientes ejercicios tienen como objetivo practicar las conocidas reglas para calcular determinantes sencillos y aplicar determinadas propiedades. Enunciado Calcular los determinantes: $a)\; \begin{vmatrix}3 & 4 \ -2 & 7 \end{vmatrix}.\quad b)\; \begin{vmatrix} x+1 & -x \ -x & x+1 \end{vmatrix}.\quad c)\; \begin{vmatrix} \cos\alpha & -\operatorname{sen}\alpha \ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{vmatrix}.$ $d)\; \begin{vmatrix}z & -1
- [Matrices  cuadradas invertibles con coeficientes enteros](https://fernandorevilla.es/2015/10/09/matrices-cuadradas-invertibles-con-coeficientes-enteros/) - Enunciado Sea $\sum_n=\mathbb{Z}^{n\times n}$ el conjunto de las matrices cuadradas de orden $n$ con coeficientes en $\mathbb{Z}.$ Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que una matrix $M\in \sum_n$ admita una inversa en $\sum_n$ es que $\det M=\pm 1.$ Solución Si $M$ es inversible en $\sum_n$ entonces $$\left(\det M\right)\left(\det M^{-1}\right)=\det\left(MM^{-1}\right)=\det I=1$$ y dado que
- [Inversa generalizada](https://fernandorevilla.es/2015/12/20/inversa-generalizada/) - Definimos el concepto de inversa generalizada y analizamos alguna de sus propiedades. Enunciado Sea $A$ una matriz (cuadrada o rectangular). Se dice que una matriz $G$ es una g-inversa (o inversa generalizada) de $A$ cuando $AGA=A$. Naturalmente que $G$ ha de ser de tipo $n\times m$ en el caso de ser $A$ del tipo $m\times
- [Matriz de Markov](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/matriz-de-markov/) - Definimos el concepto de matriz de Markov y analizamos alguna de sus propiedades. Enunciado Un vector $X=(x_1,\ldots,x_n)^t$ de $\mathbb{R}^n$ es un vector probabilístico cuando sus componentes son mayores o iguales que cero y suman uno, es decir $x_i\geq 0$ y $\sum_{i=1}^{n}x_i=1$. Una matriz cuadrada $n\times n$ es una matriz de Markov cuando sus columnas son
- [Una curva plana](https://fernandorevilla.es/2014/04/16/una-curva-plana/) - Enunciado Averiguar si es plana la curva de ecuaciones paramétricas $x=t,\;y=\dfrac{t^2+t+2}{t},\;z=\dfrac{-t^2-t+3}{t}\quad (t>0).$ En caso afirmativo, hallar la ecuación cartesiana del plano que la contiene. (Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución La curva es plana si y sólo si y existe un plano que la contiene es decir, si y sólo
- [Cuádrica, giro y traslación](https://fernandorevilla.es/2015/02/18/cuadrica-giro-y-traslacion/) - Proporcionamos un ejemplo de cálculo de la ecuación reducida de una cuádrica mediante un giro y traslación de ejes. Enunciado Se considera la cuádrica $$\mathcal{C}:2 x^2- 7 y ^2 + 2 z^ 2 - 10 xy -8 xz -10 yz + 6 x + 12 y -6 z + 5 = 0.$$ Efectuar un giro
- [Una cuádrica como lugar geométrico](https://fernandorevilla.es/2014/06/05/una-cuadrica-como-lugar-geometrico/) - Enunciado Hallar la ecuación cartesiana del lugar geométrico de los puntos del espacio tales que la razón de sus distancias al plano $x+y+z=9$ y al punto $(1,1,1)$ es $\sqrt{3}.$ Comprobar que se trata de una cuádrica (ecuación de segundo grado), clasificarla y hallar su ecuación reducida. (Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes,
- [Superficie de revolución y cónica](https://fernandorevilla.es/2014/04/16/superficie-de-revolucion-y-conica/) - Enunciado Se consideran las rectas $r: x=y=z\;.\; s:-x+z=0,\;x+4y+z-6=0.$ Se pide: 1. Obtener la ecuación de la superficie que engendra la recta $s$ al girar alrededor de la recta $r$. 2. Se corta la superficie anterior por el plano $z=1$. Clasificar la cónica resultante, indicando los elementos notables (centro, ejes y asíntotas si las tiene), si
- [Superficies de revolución](https://fernandorevilla.es/2015/01/31/superficies-de-revolucion/) - Proporcionamos ejercicios de cálculo de ecuaciones de las superficies de revolución. Enunciado Hallar la ecuación de la superficie de revolución obtenida a girar la recta $x=z,$ $y=z$ alrededor del eje $OZ.$ Hallar la ecuación cartesiana de la superficie obtenida al girar la recta $C:x=1,$ $y=2$ alrededor del eje $r:x=y=z.$ Solución Recordamos que una superficie de
- [Superficies regladas](https://fernandorevilla.es/2015/01/30/superficies-regladas/) - Proporcionamos ejercicios de cálculo de ecuaciones de las superficies regladas. Enunciado Hallar la ecuación cartesiana del cilindro $S$ de generatrices paralelas al vector $(1,1,1)$ y cuya directriz es la curva $$C:\;x=\frac{t}{t-1},\;y=\frac{t^2}{t-1},\;z=\frac{t^3}{t-1}.$$ Hallar la ecuación del cilindro cuya sección recta (perpendicular a las generatrices) viene dada por la curva $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=z\& x^2+2y^2-1=0.
- [Ejes de una cónica por diagonalización simultanea](https://fernandorevilla.es/2015/12/29/ejes-de-una-elipse-por-diagonalizacion-simultanea/) - Proporcionamos un ejemplo de cálculo de los ejes de una cónica por diagonalización simultanea. Enunciado Un plano euclídeo $E$ está referido a unos ejes oblicuos $XOY,$ de ángulo $\pi/3$ y vectores de referencia respectivos $\vec{I},$ $\vec{J}$ ambos con módulo $1.$ Las coordenadas $(x,y)$ de un punto $M$ cualquiera del plano quedan por tanto definidos mediante
- [Circunferencia, cónica y forma cuadrática](https://fernandorevilla.es/2014/05/12/circunferencia-conica-y-forma-cuadratica/) - Enunciado Se considera la circunferencia $x^2+y^2=a^2$, la cónica $a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy=a^2$ y la forma cuadrática $Q(x,y)=(a_{11}-1)x^2+(a_{22}-1)y^2+2a_{12}xy$. Demostrar que si la forma cuadrática $Q(x,y)$ es definida positiva, entonces la circunferencia y la cónica no se cortan. Enunciar el recíproco y estudiar su validez, dar una demostración en caso afirmativo o construir un contraejemplo en caso negativo. Estudiar y
- [Familia uniparamétrica de cónicas](https://fernandorevilla.es/2014/06/10/familia-uniparametrica-de-conicas/) - Enunciado Clasificar la siguiente familia uniparamétrica de cónicas según los distintos valores del parámetro real $\lambda$ $\lambda x^2+y^2+2xy+2\lambda x+y=0.$ (Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución La matriz correspondiente a la familia de cónicas dada es: $A=\begin{bmatrix}{\lambda}&{1}&{\lambda}\{1}&{1}&{1/2}\{\lambda}&{1/2}&{0}\end{bmatrix}\;.$ Los invariantes lineal, cuadrático y cúbico son: $$s=a_{11}+a_{22}=\lambda +1,\; \delta=A_{33}=\lambda -1,\;\Delta=\det A=-\lambda\left (\lambda-\frac{3}{4}\right ).$$
- [Traza de una matriz, propiedades](https://fernandorevilla.es/2014/04/30/traza-de-una-matriz-propiedades/) - Demostramos propiedades de la traza de una matriz. Enunciado Sea $A=[a_{ij}]\in M_n(\mathbb{K}).$ Se llama traza de $A$ y se representa por $\operatorname{tr}A,$ a la suma de los elementos de la diagonal principal de $A,$ es decir: $$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}.$$ Demostrar que para cualquier par de matrices $A,B$ de $M_n(\mathbb{K})$ y para cualquier $\lambda\in\mathbb{K}$ se verifica: $\;\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B.$ $\;\operatorname{tr}(\lambda
- [Potencia enésima de matrices por binomio de Newton](https://fernandorevilla.es/2014/05/01/potencia-enesima-de-matrices-por-binomio-de-newton/) - Proporcionamos fórmula del binomio de Newton para la potencia enésima de la suma de dos matrices que conmutan. Enunciado Sean $A,B\in\mathbb{K}^{m\times m}$ dos matrices que conmutan, es decir $AB=BA.$ Demostrar por inducción que se verifica la fórmula del binomio de Newton: $$(A+B)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k}B^k.$$ Se consideran las matrices: $$A=\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\{0}&{2}&{1}\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix}\;,\;N=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\{0}&{0}&{1}\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;.$$ Demostrar que $N^3=0$ y como aplicación, hallar $A^n.$
- [Matriz nilpotente e inversa](https://fernandorevilla.es/2014/04/29/matriz-nilpotente-e-inversa/) - Enunciado Una matriz cuadrada $A$ se dice que es nilpotente, si existe un $p$ natural tal que $A^p=0.$ Demostrar que si $A$ es nilpotente, entonces $I-A$ es invertible e $$(I-A)^{-1}=I+A+A^2+\cdots.$$ Aplicar este resultado al cálculo de la inversa de: $$M=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{4}&8\{0}&{1}&{2}&4\{0}&{0}&{1}&2\{0}&{0}&{0}&1\end{bmatrix}.$$ Solución Si $A^p=0,$ entonces $A^m=0$ si $m\geq p,$ en consecuencia: $$I+A+A^2+\cdots=I+A+A^2+\cdots+A^{p-1},$$ por tanto la suma
- [Descomposición $A=uv^t$](https://fernandorevilla.es/2015/12/06/descomposicion-auvt/) - Estudiamos propiedades de las matrices cuadradas de rango 1. Enunciado Sea $A$ una matriz real cuadrada de orden $n$ y rango $1.$ Analizar la validez de las siguientes afirmaciones y demostrar aquellas que son ciertas. Existen vectores columna $u,$ $v$ tales que $A=uv^T.$ Existe un único número real $\alpha$ tal que $A^2=\alpha A.$ Supóngase que
- [Transposición de matrices](https://fernandorevilla.es/2014/04/27/transposicion-de-matrices/) - Proporcionamos ejercicios sobte la transposición de matrices. Enunciado Se consideran las matrices reales:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\{3}&{4}\{2}&{3}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}\{0}&{2}&{5}\end{bmatrix}.$$ Verificar: $a)\;(A^T)^T=A.$ $b)\;(A+B)^T=A^T+B^T.$ $c)\;(\lambda A)^T=\lambda A^T,\;\forall \lambda\in\mathbb{R}.$ Se consideran las matrices reales:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\{3}&{4}\{2}&{3}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}\{0}&{2}&{5}\end{bmatrix}.$$ Verificar que $(AB)^T=B^TA^T.$ Sean $A,B\in\mathbb{K}^{m\times n}$ y $\lambda\in\mathbb{K}.$ Demostrar que: $a)\;\left(A^T\right)^T=A.\quad b)\;(A+B)^T=A^T+B^T.\quad c)\;(\lambda A)^T=\lambda A^T.$ Sea $A\in M_n(\mathbb{K})$ invertible. Demostrar que la inversa de su traspuesta es la
- [Ecuaciones reducidas de las cónicas](https://fernandorevilla.es/2015/01/23/ecuaciones-reducidas-de-las-conicas/) - Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de las ecuaciones reducidas de las cónicas. Enunciado Hallar las ecuaciones reducidas de las cónicas $a)\;$ $3x^2-2xy+3y^2+2x-4y+1=0.$ $b)\;$ $3x^2-2xy+3y^2+2x-4y+2=0.$ $c)\;$ $x^2+y^2+2y+1=0.$ Hallar las ecuaciones reducidas de las cónicas $a)\;$ $x^2-2xy-y^2+4x-6y-3=0.$ $b)\;$ $2x^2+3xy+y^2+5x+2y-3=0.$ $c)\;$ $x^2-2xy+y^2-6x+4y+1=0.$ Hallar las ecuaciones reducidas de las cónicas $a)\;$ $4x^2+4xy+y^2-4x-2y-3=0.$ $b)\;$ $x^2+4xy+4y^2-2x-4y+1=0.$ $c)\;$ $4x^2+4xy+y^2+4x+2y+2=0.$ Solución Recordamos los
- [Factorización en $\mathbb{C} [x]$ de $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n$](https://fernandorevilla.es/2016/12/19/factorizacion-en-mathbbc-x-de-pxx1nx-1n/) - Enunciado Descomponer $p(x)=(x+1)^n+(x-1)^n \in \mathbb{C}[x]$ en factores lineales. Solución Hallemos las raíces complejas de $p(x).$ Tenemos $$p(x)=0\Leftrightarrow (x+1)^n+(x-1)^n=0\Leftrightarrow{}\left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right)^n=-1$$ $$\Leftrightarrow{}\dfrac{x+1}{x-1}=\sqrt[ n]{-1}=\sqrt[ n]{e^{\pi i}}=e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}=z_k,\; (k=0,1,\ldots, n-1).$$ Despejando $x$ obtenemos las raíces $$x_k=\dfrac{z_k+1}{z_k-1}=\dfrac{e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}+1}{e^{\left(\frac{\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)i}-1}.$$ Llamando $\alpha=\pi/n+2k\pi/n$ tenemos $$x_k=\dfrac{e^{\alpha i}+1}{e^{\alpha i}-1}=\dfrac{e^{(-\alpha/2)i}}{e^{(-\alpha/2)i}}\cdot \dfrac{e^{\alpha i}+1}{e^{\alpha i}-1}=\dfrac{e^{(\alpha/2) i}+e^{(-\alpha/2)i}}{e^{(\alpha/2) i}-e^{(-\alpha/2)i}}.$$ Por otra parte $$\cot \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}=\dfrac{e^{(\alpha/2) i}+e^{(-\alpha/2)i}}{2}:\dfrac{e^{(\alpha/2) i}-e^{(-\alpha/2)i}}{2i}$$ $$\Rightarrow x_k=\dfrac{1}{i}\cot \dfrac{\alpha}{2}=-i\cot \left(\dfrac{\pi}{2n}+\dfrac{k\pi}{n}\right)=--i\cot\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}.$$ Teniendo en
- [Polinomio de Motzkin](https://fernandorevilla.es/2015/12/14/polinomio-de-motzkin/) - Demostramos que existe un polinomio en $\mathbb{R}[X,Y]$ (polinomio de Motzkin) que toma valores no negativos en $\mathbb{R}^2$ y que no es suma de cuadrados de elementos de $\mathbb{R}[X,Y].$ Enunciado Se llama polinomio de Motzkin al polinomio de $\mathbb{R}[X,Y]:$ $$s(X,Y)=X^4Y^2+X^2Y^4-3X^2Y^2+1.$$ 1. Demostrar que $s\ge 0,$ es decir $s(x,y)\ge 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^2.$ 2. Demostrar que
- [Criterio de Eisenstein](https://fernandorevilla.es/2015/11/27/criterio-de-eisenstein/) - Demostramos el criterio de Eisenstein y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el criterio de Eisenstein: Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x].$ Supongamos que existe $p$ primo tal que $\quad (i)$ $p\not\mid a_n,\;p\mid a_{n-1},\ldots,p\mid a_0.$ $\quad (ii)$ $p^2\not\mid a_0.$ Entonces, $P(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ (como consecuencia también lo es en $\mathbb{Z}[x]$). Demostrar que los polinomios $P(x)=x^5-2x+6$ y
- [Lema de Gauss](https://fernandorevilla.es/2015/11/25/lema-de-gauss/) - Demostramos el Lema de Gauss para polinomios con coeficientes enteros. Enunciado Demostrar el Lema de Gauss: sea $P(x)\in\mathbb{Z}[x],$ entonces $$P(x)\text{ es irreducible en }\mathbb{Z}[x]\Rightarrow P(x)\text{ es irreducible en }\mathbb{Q}[x].$$ Solución Por reducción al absurdo, sea $P(x)\in\mathbb{Z}[x],$ se trata de demostrar que $$P(x)\text{ es reducible en }\mathbb{Q}[x]\Rightarrow P(x)\text{ es reducible en }\mathbb{Z}[x].$$ Si $P$ es reducible
- [Ecuaciones y sistemas matriciales](https://fernandorevilla.es/2015/05/05/ecuaciones-y-sistemas-matriciales/) - Proporcionamos ejercicios sobre ecuaciones y sistemas matriciales. Enunciado Sean $A,B$ dos matrices cuadradas de orden $n,$ con $A$ invertible. Resolver la ecuación $AX=B.$ Como aplicación, calcular $X$ tal que: $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\{2}&{1}&{0}\{3}&{1}&{0}\end{bmatrix}\;X=\begin{bmatrix}{6}&{4}&{2}\{7}&{6}&{5}\{10}&{8}&{6}\end{bmatrix}\;.$$ Sean $A,B$ dos matrices cuadradas de orden $n,$ con $A$ invertible. Resolver la ecuación $XA=B.$ Como aplicación, calcular $X$ tal que: $$X\begin{bmatrix}{3}&{2}\{2}&{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{11}&{22}\{6}&{4}\end{bmatrix}.$$ Sean $A,B, C$
- [Inversa de orden <em>n</em> por sistema de columnas](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/inversa-de-orden-n-por-sistema-de-columnas/) - Hallamos una inversa de orden $n$ por sistema de columnas. Enunciado Hallar la inversa de la matriz de orden $n:$ $$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3&\ldots & n\ 0 &1 & 2&\ldots & n-1 \ 0 & 0 & 1&\ldots & n-2\ \vdots&&&&\vdots \ 0 & 0 & 0&\ldots & 1\end{bmatrix}\;.$$ Solución Dado que la
- [Inversa de orden n por el método de Gauss](https://fernandorevilla.es/2014/04/18/inversa-de-orden-n-por-el-metodo-de-gauss/) - Hallamos la inversa de una matriz de orden $n$ por el método de Gauss. Enunciado Hallar la inversa de la matriz de orden $n>1:$ $$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1&\ldots & 1\ 1 &0 & 1&\ldots & 1 \ 1 & 1 & 0&\ldots & 1\ \vdots&&&&\vdots \ 1 & 1 & 1&\ldots & 0\end{bmatrix}\;.$$
- [Inversa de una matriz](https://fernandorevilla.es/2014/04/26/inversa-de-una-matriz/) - Proporcionamos ejercicios sobre la inversa de una matriz. Enunciado Demostrar que $\begin{bmatrix}{2}&{5}\{1}&{3}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}{3}&{-5}\{-1}&{2}\end{bmatrix}.$ Sea $A\in M_n(\mathbb{K})$ invertible. Demostrar que su inversa es única. Dada la matriz $A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\{3}&{4}\end{bmatrix},$ hallar $A^{-1}:$ $(i)$ Usando el método de Gauss. $(ii)$ Usando el método de los adjuntos. $(iii)$ Considerando como incógnitas las columnas de $A^{-1}.$ Calcular al inversa de la matriz
- [Multiplicación de matrices](https://fernandorevilla.es/2014/04/24/multiplicacion-de-matrices/) - Proporcionamos ejercicios sobre multiplicación de matrices. Enunciado Dadas $A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\{2}&{3}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{0}&{1}&3\{4}&{-2}&5\end{bmatrix},$ hallar $AB$ y $BA.$ Dadas $A=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\{-2}&{-3}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{1}&{2}\{3}&{4}\end{bmatrix},$ hallar $AB$ y $BA,$ para comprobar que $AB\neq BA.$ En $M_2(\mathbb{Z}_5),$ calcular $AB$ siendo:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{4}\{1}&{3}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{0}&{1}\{3}&{3}\end{bmatrix}.$$ Multiplicar por cajas:$$\left[ \begin{array}{c|cc} 2 & -1 & 2 \ \hline 3 & -1 & 4 \ 4 & 0 & 1
- [Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$](https://fernandorevilla.es/2015/10/09/polinomio-de-mathbbzx-con-raiz-alpha2sqrt33/) - Enunciado (a) Encontrar un polinomio $p(x)$ de tercer grado de $\mathbb{Z}[x]$ admitiendo como raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}.$ (b) Descomponer $p(x)$ en producto de factores irreducibles en $\mathbb{R}[x].$ Solución (a) Sea $p(x)=c_3x^3+c_{2}x^{2}+c_1x+c_0\in\mathbb{Z}[x]$ con $c_3\ne 0.$ Si tiene como raíz a $\alpha,$ $$c_3{\alpha}^3+c_{2}{\alpha}^{2}+c_1{\alpha}+c_0=0,$$ $$\alpha^3=-\frac{c_{2}}{c_3}\alpha^{2}-\frac{c_1}{c_3}\alpha-\frac{c_0}{c_3}=b_{2}\alpha^{2}+b_1\alpha+b_0,\quad (b_k\in\mathbb{Q}).$$ Es decir, necesariamente $\alpha^3$ ha de ser combinación lineal racional de $\alpha^{2},\alpha,1.$ Tenemos $$\alpha^2=\left(2+\sqrt[3]{3}\right)^2=4+4\cdot
- [Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$](https://fernandorevilla.es/2015/03/16/raices-de-fxx3beta-x2-overlinebetax-1/) - Calculamos las raíces de un determinado polinomio complejo. Enunciado Sea $f(x)\in \mathbb{C}[x],\quad f(x)=x^3+\dfrac{1+\sqrt{7}i}{2}x^2-\dfrac{1-\sqrt{7}i}{2}x-1.$ Comprobar que $f(x^2)=-f(x)f(-x).$ Demostrar que si $a$ es un cero de $f(x),$ entonces $\left|a\right|=1.$ Demostrar que si $1,j,j^2$ son las raíces cúbicas de la unidad, dichas raíces no son ceros de $f(x)$ Demostrar que si $a$ es un cero de $f(x)$ entonces,
- [Cotas de las raíces de un polinomio](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/cotas-de-las-raices-de-un-polinomio/) - En este problema, damos cotas de las raíces de un polinomio. Enunciado Sea $f(z)=a_nz^n+\ldots +a_1z+a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $a_n\neq 0$ y $c$ una raíz de $f(z)$. Demostrar que $|c|\leq M$ siendo $$M=\max\left \{\left(n\left| \frac{a_{i-1}}{a_n}\right|\right)^{1/i}:i=1,\ldots,n\right\}.$$ Solución Supongamos que $\left|z\right|>M$, entonces $$\left|z\right|>\left(n\left|\dfrac{a_{i-1}}{a_n}\right|\right)^{\frac{1}{i}}\;(\forall i=1,\ldots,n)\Rightarrow \left|z\right|^i>n\dfrac{\left|a_{i-1}\right|}{\left|a_n\right|}\;\;(\forall i=1,\ldots,n)$$ $$\Rightarrow\left|a_{n-i}\right|
- [Familia de polinomios $p(x^2)=p(x)p(x+1)$](https://fernandorevilla.es/2014/04/15/familia-de-polinomios-px2pxpx1/) - Determinamos la familia de polinomios reales que satisface la relación $p(x^2 )$ $=$ $p(x)p(x+1).$ Enunciado Se considera el conjunto $$E=\{\;p(x)\in\mathbb{R}[x]-\{0\}\;:\;p(x^2)=p(x)p(x+1)\}.$$ Demostrar que todo polinomio de $E$ es normalizado, es decir el coeficiente de mayor grado es $1$. Demostrar que toda constante de $E$ es igual a $1$. Demostrar que si $a\in\mathbb{C}$ es raíz de un
- [Seno de 72 grados](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/seno-de-72o/) - Calculamos el seno de 72 grados transformando una ecuación compleja. Enunciado Se considera la ecuación $$z^2+z+1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}=0.$$ Multiplicar por $z-1$ dicha ecuación. Efectuar un cambio $w=z+\dfrac{1}{z}$ en la citada ecuación reduciéndola a otra cuya única variable sea $w$. Aplicar lo anterior a obtener razonadamente $\sin 72^0$ en la forma $$\sin 72^0=\dfrac{p}{q}\sqrt[ m]{e+f\sqrt[n]{g}}+i(1-\beta),$$ determinando el número real
- [Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces](https://fernandorevilla.es/2014/06/06/descomposicion-de-un-polinomio-en-suma-de-productos-de-raices/) - Demostramos la existencia de la descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces. Enunciado Se consideran $n$ elementos $x_1,x_2,\ldots,\;x_n$ de un cuerpo $\mathbb{K}$ y un polinomio $p(x)$ con coeficientes en $\mathbb{K}$ y de grado menor o igual que $n$. Se desea estudiar la existencia y unicidad de unos coeficientes $c_0,c_1,\ldots,c_n$ en $\mathbb{K}$ tales
- [Polinomios en una variable: problemas diversos](https://fernandorevilla.es/2015/01/16/polinomios-en-una-variable-problemas-diversos/) - Enunciado Demostrar que el polinomio $f(x)=x^{3a}+x^{3b+1}+x^{3c+2}\in\mathbb{R}[x]$ con $a,b,c\in\mathbb{N}$ es divisible por $x^2+x+1.$ Determinar $\lambda$ real para que el polinomio $P(x)=x^5-209x+\lambda$ admita dos ceros cuyo producto sea igual a $1.$ Encontrar dos polinomios distintos en $\mathbb{Z}_3[x]$ que determinen la misma función de $\mathbb{Z}_3$ en $\mathbb{Z}_3.$ Encontrar un polinomio $P(x)\in\mathbb{R}[x]$ de quinto grado de manera que $P(x)+1$
- [Ecuación de tercer grado](https://fernandorevilla.es/2014/11/29/ecuacion-de-tercer-grado/) - Estudiamos el método de resolución de la ecuación de tercer grado o cúbica. Definición. Se llama ecuación cúbica o de tercer grado a toda ecuación de la forma $$x^3+ax^2+bx+c=0,\; (a,b,c\in\mathbb{C}).$$ Teorema. La sustitución $x=y-a/3$ transforma la ecuación de tercer grado $x^3+ax^2+bx+c=0,$ $(a,b,c\in\mathbb{C})$ en una ecuación equivalente de la forma $$y^3+py+q=0,\; p,q\in\mathbb{C}.$$ Demostración. Tenemos $$\left(y-\dfrac{a}{3}\right)^3+a\left(y-\dfrac{a}{3}\right)^2+b\left(y-\dfrac{a}{3}\right)+c=0$$ $$\Leftrightarrow
- [Polinomio de interpolación de Lagrange](https://fernandorevilla.es/2015/01/15/polinomio-de-interpolacion-de-lagrange/) - Proporcionamos ejercicios sobre el polinomio de interpolación de Lagrange. Enunciado Sean $x_0,$ $x_1,$ $\ldots,$ $x_n$ elementos distintos dos a dos de un cuerpo $\mathbb{K}.$ Sean $\lambda_0,$ $\lambda_1,$ $\ldots,$ $\lambda_n$ elementos de $\mathbb{K}.$ Demostrar que existe un único polinomio $p\in\mathbb{K}[x]$ de grado $\leq n$ tal que $$p(x_0)=\lambda_0,\;p(x_1)=\lambda_1,\;\ldots\;,\;p(x_n)=\lambda_n.$$ Al polinomio $p$ se le llama polinomio de interpolación
- [Producto de un escalar por una matriz](https://fernandorevilla.es/2014/04/22/producto-de-un-escalar-por-una-matriz/) - Proporcionamos ejercicios sobre el producto de un escalar por una matriz. Enunciado Dadas las matrices $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{4}\{1}&{1}&{0}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}{0}&{5}&{1}\{7}&{-2}&{0}\end{bmatrix},$$ calcular $2A-3B.$ En $M_2(\mathbb{Z}_5),$ calcular $2A-3B$ siendo:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{4}\{1}&{3}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{0}&{1}\{3}&{3}\end{bmatrix}.$$ Resolver en $\mathbb{R}^{2\times 3}$ el sistema: $$\left \{ \begin{matrix} 2X+3Y=A \3X-4Y=B,\end{matrix}\right.$$ siendo $A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{1}\{4}&{0}&{1}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{2}\{0}&{-3}&{2}\end{bmatrix}.$ Demostrar que para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{K},$ y para todo $A,B\in\in\mathbb{K}^{m\times n},$ se verifica: $$\begin{aligned}&1.\;\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B.\&2.\;(\lambda+\mu)A=\lambda
- [Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo](https://fernandorevilla.es/2014/04/20/grupo-aditivo-de-las-matrices-sobre-un-cuerpo/) - Demostramos que las matrices sobre un cuerpo son un grupo aditivo. Enunciado Demostrar que $(\mathbb{K}^{m\times n},+)$ es un grupo abeliano (grupo aditivo de las matrices de órdenes $m\times n$ con elementos en el cuerpo $\mathbb{K}$). Solución $1.$ Interna. Por la propia definición de suma de matrices, es claro que la suma de dos matrices de
- [Concepto de matriz, suma de matrices](https://fernandorevilla.es/2014/04/20/concepto-de-matriz-suma-de-matrices/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de matriz y el de suma de matrices. Enunciado Escribir una matriz genérica $A$ de orden $2\times 3,$ otra genérica $B$ de orden $4\times 3,$ y otra genérica $C$ de orden $1\times 1.$ Para una matriz genérica $A$ cuadrada de orden $3,$ identificar los elementos de la diagonal principal y
- [Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos](https://fernandorevilla.es/2014/10/21/sistemas-lineales-metodo-de-gauss-problemas-diversos/) - Proponemos problemas diversos sobre el método de Gauss para sistemas lineales. Enunciado Disponemos de tres montones de monedas y duplicamos las monedas del segundo montón tomando las necesarias del primer montón. Duplicamos después las monedas del tercer montón a costa del segundo montón. Por último, duplicamos las monedas del primer montón tomando las necesarias del
- [Sistemas lineales según parámetros](https://fernandorevilla.es/2014/10/24/sistemas-lineales-segun-parametros/) - Discutimos sistemas lineales según parámetros. Enunciado Discutir y resolver en $\mathbb{R}$ según los valores del parámetro real $a$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix}ax+y+z=1\x+ay+z=a\x+y+az=a.\end{matrix}\right. $$ Discutir en $\mathbb{R}$ según los valores de los parámetro reales $c$ y $d$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix}x+y+cz=0\x+cy+z=0\x+y+cz=d.\end{matrix}\right. $$ Discutir y resolver en $\mathbb{Z}_{11}$ según los parámetros $a,b\in\mathbb{Z}_{11}$ el
- [Raíz cuádruple según parámetros](https://fernandorevilla.es/2014/06/01/raiz-cuadruple-segun-parametros/) - Determinamos las condiciones que han de cumplir los parámetros de un polinomio para que admita una raíz cuádruple. Enunciado Determinar $m,n,p\in\mathbb{R}$ para que el polinomio $f(x)=x^6+mx^4+10x^3+nx+p$ admita una raíz cuádruple. Solución Si $x$ es una raíz cuádruple, ha de verificar $f(x)=f'(x)=f''(x)=f'''(x)=0,$ es decir $\left \{ \begin{matrix}6x^5+4mx^3+30x^2+n=0\30x^4+12mx^2+60x=0\120x^3+24mx+60=0\end{matrix}\right.\mbox{ o bien }\left \{ \begin{matrix}6x^5+4mx^3+30x^2+n=0\5x^4+2mx^2+10x=0\10x^3+2mx+5=0.\end{matrix}\right.$ No puede ser $x=0$
- [Raíces múltiples de polinomios](https://fernandorevilla.es/2015/01/13/raices-multiples-de-polinomios/) - Proporcionamos ejercicios sobre raíces múltiples de polinomios. Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo de característica distinta de $0,$ $a$ es un elemento del cuerpo $\mathbb{K}$ y $p(x)\in\mathbb{K}[x].$ Demostrar que si $a$ es raíz de orden $k\geq 1$ de $p(x),$ entonces $a$ es raíz de orden $k-1$ de $p^{\prime}(x).$ Demostrar que en $\mathbb{Z}_2[x],$ $a=1$ es raíz doble
- [Raíces en progresión](https://fernandorevilla.es/2014/03/31/raices-en-progresion/) - Determinamos las condiciones según las cuales un polinomio de tercer grado tiene raíces en progresión (aritmética o geométrica). Enunciado Se considera el polinomio de tercer grado $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\in\mathbb{R}[x].$ $(i)$ Hallar la condición que han de cumplir los coeficientes de $p(x)$ para que tenga tres raíces en progresión aritmética. $(ii)$ Usar los resultados obtenidos para resolver la
- [Fórmulas de Cardano-Vieta](https://fernandorevilla.es/2015/01/13/formulas-de-cardano-vieta/) - Proporcionamos ejercicios sobre las fórmulas de Cardano-Vieta. Enunciado Demostrar las fórmulas de Cardano-Vieta: Sea $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb{C}[x]$ $(a_n\neq 0)$ y sean $r_1,r_2,\ldots,r_n$ las raíces de $p(x)$ en donde cada una se escribe tantas veces como sea su multiplicidad. Designemos por $\sigma_1,$ $\sigma_2,$ $\ldots,$ $\sigma_n$ las llamadas funciones elementales de las raíces. Se verifica $$\displaystyle\begin{aligned}&\sigma_1=\sum_ir_i=r_1+r_2+\cdots +r_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\ &\sigma_2=\sum_{i
- [Factorización de polinomios](https://fernandorevilla.es/2015/01/14/factorizacion-de-polinomios/) - Proporcionamos ejemplos de factorización de polinomios en producto de irreducibles. Enunciado Descomponer el polinomio $f(x)=x^6+1$ en producto de factores irreducibles $a)$ En $\mathbb{C}[x].\quad$ $b)$ En $\mathbb{R}[x].$ Descomponer el polinomio $f(x)=x^4-10x^2+1$ en producto de factores irreducibles $a)$ En $\mathbb{C}[x].\quad$ $b)$ En $\mathbb{R}[x].$ Descomponer en producto de factores irreducibles el polinomio de $\mathbb{Z}_5[x]$ $$p(x)=x^5+x^4+4x^3+4x^2+3x+3.$$ Efectuar la factorización
- [Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles](https://fernandorevilla.es/2015/12/02/afijos-formando-un-triangulo-rectangulo-isosceles/) - Determinamos todos los números complejos cuyos afijos forman un triángulo rectángulo isósceles con otros dos vértices que son raíces de una ecuación de segundo grado. Enunciado Dada la ecuación $z^2-8iz-19+4i=0$ cuyas raíces son $z_1$ y $z_2,$ hallar los complejos $z_3$ tales que los afijos $z_1,$ $z_2,$ y $z_3$ formen un triángulo rectángulo isósceles. Considérese el
- [Números complejos: problemas diversos (2)](https://fernandorevilla.es/2015/02/13/numeros-complejos-problemas-diversos-2/) - Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:\;$ $z^4+2z^3+4z^2+8z+16=0.$ Para $a,b$ números reales, calcular las sumas $$R=\cos a+\cos (a+b)+\cos (a+2b)+\cdots+\cos \left(a+(n-1)b\right),$$ $$I=\operatorname{sen}a+\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a+2b)+\cdots+\operatorname{sen}\left(a+(n-1)b\right).$$ Demostrar que si $0\neq z=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta,\;(\theta\in \mathbb{R})$ y $n$ natural, entonces $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta.$$ Determinar el subconjunto de $\mathbb{R}^2:$ $$S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:(x + iy)^3\in\mathbb{R}\;\wedge\; \left|x + i y\right|>8\}.$$ Expresar la circunferencia
- [Números complejos: problemas diversos (1)](https://fernandorevilla.es/2015/02/07/numeros-complejos-problemas-diversos/) - Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Sea $D=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left|z\right|>1\right\}.$ Demostrar que para todo $w_1,w_2\in D$ se verifica $$\left|\dfrac{w_1 - w_2 }{1-\overline{w_ 1 }w_ 2 }\right|
- [Reducción gaussiana](https://fernandorevilla.es/2014/10/18/reduccion-gaussiana/) - Proponemos ejercicios sobre reducción gaussiana. Enunciado Resolver en $\mathbb{R}$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix} y+z=1\x+z=1\x+y=1\-3x+2y+z=0\x+2y+3z=3\end{matrix}\right.$$ Resolver en $\mathbb{R}$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix}3x_1-2x_2+4x_3=2\-x_1+2x_3=0\2x_1+x_3=-1\x_1+2x_2+x_3=1.\end{matrix}\right.$$ Resolver en $\mathbb{R}$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix}2x_1-3x_2+2x_3+x_4=1\-x_1+2x_2+x_3+2x_4=2\4x_1-7x_2-3x_4=-3.\end{matrix}\right.$$ Resolver en $\mathbb{Z}_7$ el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix} x+6y=2\2x+3y=3\5x+5y=1.\end{matrix}\right.$$ Solución Aplicando la reducción gaussiana: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1
- [Sistemas lineales escalonados](https://fernandorevilla.es/2014/10/14/sistemas-lineales-escalonados/) - Proponemos ejercicios sobre sistemas lineales escalonados. Enunciado Resolver sobre $\mathbb{R}$ el sistema escalonado $$\left \{\begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & x_2 & - & \,x_3 & = & 9 \ & & 2\,x_2 & + & 5 \,x_3 & = & -15 \ & & & & 4\,x_3 & = & -12 \end{array} \right .$$
- [Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$](https://fernandorevilla.es/2018/06/25/anillos-mathbbzsqrtd/) - Definimos los anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. Enunciado Sea $d\in\mathbb{Z}-\{0,1\}$ y libre de cuadrados, es decir no es divisible por el cuadrado de ningún entero salvo el $1.$ Se define $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]:=\{a+b\sqrt{d}:a,b\in\mathbb{Z}\}.$ Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es subanillo de $\mathbb{C}.$ Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es dominio de integridad. Para todo $\alpha=a+b\sqrt{d}\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ se define el conjugado
- [Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos](https://fernandorevilla.es/2018/06/03/un-cuerpo-de-matrices-isomorfo-al-de-los-complejos/) - Proporcionamos un ejemplo de cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos. Enunciado Demostrar que el conjunto $\mathcal{A}=\{A_{(x,y)}=\begin{bmatrix}{\;\;x}&{y}\{-y}&{x}\end{bmatrix}:x,y\in \mathbb{R}\}$ es un cuerpo con las operaciones suma y producto habituales de matrices. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{C}\to\mathcal{A}$ dada por $f(x+iy)=A_{(x,y)}$ es un isomorfismo de cuerpos. Solución Veamos que $\mathcal{A}$ es subanillo de $\mathbb{R}^{2\times 2}.$ En efecto,
- [Forma trigonométrica de los números complejos](https://fernandorevilla.es/2015/02/08/forma-trigonometrica-de-los-numeros-complejos/) - En los siguientes ejercicios usamos la forma trigonométrica de los números complejos. Enunciado Expresar en forma binómica $1)\;2[\cos 135^{\text{o}}+i\operatorname{sen } 135^{\text{o}}].\quad 2)\;5[\cos (-\pi/3)+i\operatorname{sen }(-\pi/3)].$ Expresar en forma trigonométrica $3)\;\sqrt{3}-i.\quad 4)\;-1+i.\quad 5)\;-4-4\sqrt{3}i.\quad 6)\;-3i.$ Calcular las siguientes potencias expresando el resultado en forma binómica $$a)\;\left(\sqrt{3}+i\right)^{15}.\quad b)\;(1-i)^{27}.$$ Expresar $\cos 6x$ y $\operatorname{sen }6x$ en función de $\cos x$
- [Operaciones con números complejos](https://fernandorevilla.es/2015/02/06/operaciones-con-numeros-complejos/) - Proporcionamos ejercicios de operaciones con números complejos. Enunciado Expresar en forma binómica cada uno de los siguientes números complejos: $$a)\;\frac{3-2i}{1+4i}.\;\;b)\;i^{23}.\;\;c)\;\frac{1}{z}.\;\;d)\;\frac{z-1}{z+1}.\;\;e)\;(1-2i)^4.\;\;f)\;\sqrt{3-4i}.$$ Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $z^2-(2+i)z-1+7i=0.$ Determinar todos los números complejos que son conjugados con su cubo. $a)$ Demostrar que si $z\in\mathbb{C},$ entonces $\text{Re }z>0\Leftrightarrow \left|z-1\right|
- [Operador de Sturm-Liouville](https://fernandorevilla.es/2018/02/27/operador-de-sturm-liouville/) - Estudiamos el operador de Sturm-Liouville. Enunciado Sea $C[a,b]$ el espacio vectorial de las funciones reales continuas en $[a,b]$ y $p\in C[a,b]$ fijo. Sea $C^2[a,b]$ el espacio vectorial de las funciones reales de clase $2$ en $[a,b]$. Se define el conjunto: $$E=\{f\in C^2[a,b]:p(a)f(a)=0 \;\wedge \;p(b)f(b)=0\}.$$ Demostrar que $E$ es un subespacio vectorial de $C[a,b].$ Si $q\in
- [Un operador autoadjunto y unitario](https://fernandorevilla.es/2015/10/31/un-operador-autoadjunto-y-unitario/) - Proporcionamos un ejemplo de operador autoadjunto y unitario. Enunciado Sea $V$ un espacio vectorial complejo de dimensión finita dotado de un producto escalar $\langle \;, \rangle$ y sea $W$ un subespacio de $V.$ Se considera la aplicación $$T:V\to V,\quad T(v)=w-w',$$ en donde $v=w+w'$ con $w\in W$ y $w'\in W^{\perp}.$ a) Demostrar que $T$ es lineal.
- [Polinomios de Legendre y operador simétrico](https://fernandorevilla.es/2015/10/29/polinomios-de-legendre-y-operador-simetrico/) - Respecto de una base formada por polinomios de Legendre, determinamos la matriz diagonal de un operador simétrico. Enunciado En el espacio vectorial $E=\mathbb{R}_n[x]$ de los polinomios reales de grado $\le n$ se define la aplicación $$T:E\to E,\quad T(f)=\left(pf'\right)'\text{ con }p(x)=x^2-1.$$ (a) Demostrar que $T$ es lineal. (b) Hallar la matriz de $T$ en la base
- [Mínimo de $\scriptstyle L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$ mediante la desigualdad de Schwarz](https://fernandorevilla.es/2015/10/27/minimo-de-scriptstyle-lfint_abfxdxcdotint_ab-fracdxfx-mediante-la-desigualdad-de-schwarz/) - Enunciado Utilizando la desigualdad de Schwarz, demostrar que si $f(x)$ es continua y positiva para $a\le x\le b,$ el producto $$L(f)=\int_a^bf(x)\;dx\cdot\int_a^b \frac{dx}{f(x)}$$ es mínimo si y sólamente si $f$ es una función constante. Solución El espacio $E=\mathcal{C}[a,b]$ de las funciones reales continuas en $[a,b]$ sabemos que es un espacio euclídeo provisto del producto escalar $$\langle
- [Inversa de  $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica](https://fernandorevilla.es/2015/10/11/inversa-de-ainmathbbr3times-3-e-interpretacion-geometrica/) - Enunciado Se considera la matriz $$A=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;2}&{\;\;2}\{2}&{-2}&{\;\;1}\{2}&{\;\;1}&{-2}\end{bmatrix}\in\mathbb{R^{3\times 3}}.$$ 1. Hallar $A^2$ y $A^{-1}.$ 2. Interpretar geométricamente el resultado. Solución 1. Operando obtenemos $A^2=9I,$ y de $A\left(\dfrac{1}{9}A\right)=I$ deducimos que $A^{-1}=\dfrac{1}{9}A.$ 2. Llamando $B=\dfrac{1}{3}A,$ obtenemos $B^2=I,$ es decir $B^{-1}=B.$ Por otra parte $B$ es simétrica, con lo cual $B^t=B^{-1}$ y por tanto es ortogonal. Hallando los valores propios de $B,$
- [Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $](https://fernandorevilla.es/2017/10/29/inverso-de-un-elemento-en-mathbbqlangle-x2x1-rangle/) - Hallamos el inverso de un elemento en el cuerpo $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $ Enunciado Hallar el inverso del elemento $3+2x+\langle x^2+x+1 \rangle $ de $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $ Solución Tenemos: $$\begin{aligned}&\quad\; \left(3+2x+\langle x^2+x+1 \rangle \right)\left(ax+b+\langle x^2+x+1 \rangle \right)=1+\langle x^2+x+1 \rangle\ & \Leftrightarrow(3+2x)(ax+b)+\langle x^2+x+1 \rangle =1+\langle x^2+x+1 \rangle\&\Leftrightarrow 2ax^2+(3a+2b)x+3b+\langle x^2+x+1\rangle=1+\langle x^2+x+1 \rangle.\end{aligned}$$ El resto de la
- [Caracterizaciones de cuerpos](https://fernandorevilla.es/2017/03/12/caracterizaciones-de-cuerpos/) - Proporcionamos dos caracterizaciones para que un anillo conmutativo, unitario y no nulo sea un cuerpo. Enunciado Sea $A$ un anillo conmutativo, unitario y no nulo. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes. $(1)$ $A$ es un cuerpo. $(2)$ Los únicos ideales de $A$ son $\{0\}$ y $A$. $(3)$ Cada homomorfismo de $A$ en todo anillo
- [$\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$](https://fernandorevilla.es/2017/02/09/langle-2-x-rangle-no-es-ideal-principal-en-mathbbzx/) - Demostramos que $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en el anillo $\mathbb{Z}[x]$. Enunciado Demostrar que el ideal de $\mathbb{Z}[x]$ dado por $I=\langle 2,x \rangle$ no es principal. Solución Por definición, $$I=\langle 2,x \rangle=\{f(x)\in \mathbb{Z}[x]:f(x)=g(x)x+2h(x)\text{ con }g(x),h(x)\in\mathbb{Z}[x]\}.$$ El término constante de todo polinomio $f(x)$ ha de ser par y recíprocamente, si $$f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$$ con $a_0$
- [Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado](https://fernandorevilla.es/2016/12/25/los-complejos-no-pueden-ser-un-cuerpo-ordenado/) - Definimos el concepto de cuerpo ordenado y demostramos que los complejos no lo pueden ser. Enunciado Sea $(K,+,\cdot)$ un cuerpo y $\le$ una relación de orden total en $K.$ Decimos que $(K,\le)$ es un cuerpo ordenado si se verifican los axiomas $$\begin{aligned}&(K1)\quad \forall a,b,c\in K,\quad a\le b\Rightarrow a+c\le b+c.\ &(K2)\quad \forall a,b\in K,\quad a\ge 0
- [Una matriz normal](https://fernandorevilla.es/2014/05/29/una-matriz-normal/) - Estudiamos propiedades de una matriz normal. Enunciado Sea $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ una matriz normal, es decir $AA^*=A^*A$ ($A^*=\bar{A^{\;t}},$ traspuesta de la conjugada de $A$). 1. Demostrar que $\forall x\in \mathbb{C}^n$ es $ \left\|{Ax}\right\|_2= \left\|{A^*x}\right\|_2.$ 2. Sea $\lambda\in \mathbb{C},$ estudiar si la matriz $A-\lambda I$ es normal razonando la respuesta. Sea ahora $\lambda$ un valor propio de
- [$Q(A) = (\text{traza } A)^2 - 2 \det A$](https://fernandorevilla.es/2015/05/09/qa-traza-a2-2-det-a/) - En este problema diagonalizamos una forma cuadrática en $M_2(\mathbb{R})$ definida mediante la traza y el determinante. Enunciado En el espacio vectorial $M_2(\mathbb{R})$ se considera el producto escalar $$\langle \begin{bmatrix}{x_1}&{x_2}\{x_3}&{x_4}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{y_1}&{y_2}\{y_3}&{y_4}\end{bmatrix}\rangle=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.$$ Se define la aplicación $Q:M_2(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ dada por $$Q(A)=\left(\text{traza }A\right)^2-2\det A.$$ 1. Comprobar que $Q$ es una forma cuadrática y hallar su matriz asociada en la
- [Diagonalización simultánea. Sistema diferencial de segundo orden](https://fernandorevilla.es/2014/04/01/diagonalizacion-simultanea-sistema-diferencial-de-segundo-orden/) - Exponemos como modelo de ejercicio numérico la resolución de un sistema diferencial de segundo orden usando el método de la diagonalización simultánea de formas cuadráticas. Enunciado 1. Hallar todas las soluciones del sistema diferencial $$\begin{bmatrix}{1}&{2}\{2}&{8}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1^{\prime\prime}(t)}\{x_2^{\prime\prime}(t)}\end{bmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}{3}&{4}\{4}&{16}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1(t)}\{x_2(t)}\end{bmatrix}.$$ 2. Hallar la solución particular cumpliendo $$\left \{ \begin{matrix} x_1(0)=x_2(0)=0\x'_1(0)=-\sqrt{2},\;x'_2(0)=\sqrt{2}/4.\end{matrix}\right.$$ Solución Comentamos el método general. Sea el sistema diferencial $BX^{\prime\prime}=AX$
- [Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales](https://fernandorevilla.es/2014/05/15/subespacio-ortogonal-al-de-las-matrices-diagonales/) - Calculamos la dimensión y una base del subespacio ortogonal al de las matrices diagonales con el producto escalar $\langle A,B\rangle=\text{tr }AB^t.$ Enunciado Sea $E$ el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden $n$ y entradas reales. Se considera el producto escalar $$\langle A,B\rangle=\text{tr }AB^t,\quad \forall A.B\in E.$$ Sea $W$ el subespacio de $E$ formado
- [Endomorfismo, forma cuadrática y cono](https://fernandorevilla.es/2014/06/03/endomorfismo-forma-cuadratica-y-cono/) - En este problema relacionamos los conceptos de endomorfismo, forma cuadrática y cono. Enunciado En $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar usual $\left$ y siendo $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canónica, se considera el endomorfismo $T$ y la forma cuadrática $f$ que cumplen las condiciones: i) $\forall{x}\forall{y}\in \mathbb{R}^3\quad \left=\left.$ ii) $T(e_1)\in L[e_1-e_3].$ iii) $T(e_2)\in L[e_2+2e_3].$ iv) $T(e_3)=-9e_1+8e_2-11e_3.$ v) $\forall{x}\in
- [Automorfismo en un espacio euclídeo](https://fernandorevilla.es/2014/05/16/automorfismo-en-un-espacio-euclideo/) - Estudiamos un automorfismo en un espacio euclídeo. Enunciado Sea $E$ espacio vectorial euclídeo de dimensión $n$ y $H\subset E$ subespacio. 1. Probar que existe un único automorfismo $f$ en $E$ cumpliendo $\left \{ \begin{matrix} f(x)=x \quad \forall x\in H\ f(x)=-x\quad \forall x\in H^{\perp}\end{matrix}\right.$ Probar también que $f^{-1}=f$. 2. Calcular dicho automorfismo si $E=\mathbb{R}^3$ siendo $H$
- [Un endomorfismo simétrico](https://fernandorevilla.es/2014/04/27/un-endomorfismo-simetrico/) - Estudiamos un endomorfismo simétrico según los valores de un parámetro. Enunciado Sea $E=\mathbb{R}^{(2,2)}$ dotado del producto escalar $\langle P,Q\rangle=\textrm{tr}(P^tQ).$ Dada la matriz $$A(\alpha)=\begin{bmatrix}{-1+\alpha}&{1-\alpha}\{\alpha}&{-1}\end{bmatrix}\quad (\alpha\in\mathbb{R}),$$ se considera el endomorfismo $T_{\alpha}$ de $E$ en $E$ definido por $T_{\alpha}(X)=A(\alpha)\cdot X.$ Se pide: 1. Determinar la matriz $M(\alpha)$ de $T_{\alpha}$ en la base $$B=\{\;\begin{bmatrix}{1}&{0}\{0}&{0}\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}{0}&{1}\{0}&{0}\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}{0}&{0}\{1}&{0}\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}{0}&{0}\{0}&{1}\end{bmatrix} \;\}.$$ 2. Estudiar para qué
- [Un endomorfismo antisimétrico](https://fernandorevilla.es/2014/04/19/un-endomorfismo-antisimetrico/) - Estudiamos un endomorfismo antisimétrico en $\mathbb{R}^n.$ Enunciado En $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar usual $\left$ se considera el endomorfismo $f$ cuya matriz respecto de la base canónica es $A=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{-1}&{2}\{\;\;1}&{\;\;\;0}&{3}\{-2}&{-3}&{0}\end{bmatrix}\:.$ Se pide: 1. Calcular $\left$ para $x=(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3$ y los valores propios de $f$. 2. Determinar una ecuaciones cartesianas y unas bases de $\ker f$ e
- [Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo](https://fernandorevilla.es/2014/06/07/signatura-de-una-forma-cuadratica-en-un-espacio-euclideo/) - Determinamos la signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo $n$-dimensional. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial real euclídeo de dimensión $n$ y sea $u\in E$ un vector de norma $1$ $(\left\|{u}\right\|=1).$ Para cada número real $a$ se define en $E$ la forma cuadrática $Q_a:E\to \mathbb{R}\;,\quad Q_a(x)=\left(\left\right)^2+a \left\|{x}\right\|^2.$ $(\left$ representa el producto escalar en
- [Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/proyeccion-ortogonal-en-mathbbr_2x/) - Calculamos una proyección ortogonal en el espacio $\mathbb{R}_2[x]$ con un producto escalar dado por una integral. Enunciado En el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que 2 se define el producto escalar $\langle p,q\rangle=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}p(x)q(x)\;dx.$ 1. Hallar el coseno del ángulo que forman los vectores $p_1=x$ y $p_2=x^2.$ 2. Ortonormalizar la
- [Cardinal de un cuerpo finito](https://fernandorevilla.es/2016/01/15/cardinal-de-un-cuerpo-finito/) - Demostramos que el cardinal de un cuerpo finito $K$ es de la forma $p^n,$ siendo $p$ la característica de $K$ y $n$ un cierto natural. Enunciado Sean $K/k$ una extensión de cuerpos de grado $[K:k]=n$ y $\text{card }k=q.$ Demostrar que $\text{card }K=q^n$ Sea $K$ un cuerpo finito de característica $p$. Demostrar que $\text{card }K=p^n$ para
- [$R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales](https://fernandorevilla.es/2015/12/16/r-dominio-de-integridad-y-no-cuerpo-implica-rx-no-es-dominio-de-ideales-principales/) - Enunciado Sea $R$ un dominio de integridad que no es un cuerpo. Demostrar que $R[x]$ no es un dominio de ideales principales. Solución Como $R$ es dominio de integridad que no es un cuerpo, existe $0\ne c\in R$ tal que $c$ no es invertible. Consideremos el ideal de $R,$ dado por $I=\langle c, x \rangle.$
- [Ideal generado por un subconjunto de un anillo](https://fernandorevilla.es/2015/12/07/ideal-generado-por-un-subconjunto-de-un-anillo/) - Construimos el ideal generado por un subconjunto de un anillo y demostramos que es el menor ideal de entre los que lo contienen. Enunciado Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario y $S$ un subconjunto de $R.$ Se define $$\langle S\rangle:=\left\{\sum r_is_i\text{ (suma finita)}:r_i\in R,s_i\in S\right\}.$$ Demostrar que $\langle S\rangle$ es ideal de $R$. Demostrar
- [El anillo de las funciones continuas no es noetheriano](https://fernandorevilla.es/2015/11/20/el-anillo-de-las-funciones-continuas-no-es-noetheriano/) - Demostramos que el anillo $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ no es noetheriano usando la caracterización de la condición de cadena ascendente. Enunciado Sea $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ el anillo conmutativo y unitario de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ con las operaciones usuales suma y producto. Demostrar que para todo entero $n\ge 0,$
- [Caracterización de anillos noetherianos](https://fernandorevilla.es/2015/12/11/caracterizacion-de-anillos-noetherianos/) - Estudiamos la caracterización de los anillos noetherianos vía la condición de cadena ascendente, y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario. Se dice que $R$ cumple la condición de cadena ascendente sii para toda cadena $I_n$ de ideales de $R$ $$I_1\subset I_2\subset I_3\subset\ldots\subset I_n\subset I_{n+1}\subset\ldots$$ existe un $n_0$ natural
- [Gram-Schmidt con integral impropia](https://fernandorevilla.es/2014/04/25/gram-schmidt-con-integral-impropia/) - Aplicamos el método de Gram-Schmidt, a un producto escalar definido vía una integral impropia. Enunciado Se considera el espacio vectorial $E$ formado por las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad f(x)=(a+bx)e^{-x}\;(a,b\in \mathbb{R}).$ Comprobar que $\left=\int_0^{+\infty}f(x)g(x)\;dx$ es un producto escalar que confiere a $E$ estructura de espacio euclídeo. Elegir una base de $E$ y ortonormalizarla por el método de Gram-Schmidt.
- [Simetría de Householder](https://fernandorevilla.es/2015/03/11/simetria-de-householder/) - Demostramos una propiedad de la simetría de Householder. Enunciado Sea $N\neq 0$ un vector columna de $\mathbb{R}^n.$ Sabemos que la matriz de simetría respecto del hiperplano ortogonal a $N$ viene dada por $$H=I-2\frac{NN^T}{N^TN},$$ la cual se llama fórmula de Householder y a la simetría asociada, simetría de Householder. Sea $a\neq 0$ un vector columna de
- [Lema de Schur](https://fernandorevilla.es/2015/02/26/lema-de-schur/) - Demostramos el Lema de Schur y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el lema de Schur: Sea $A\in\mathbb{C}^{n\times n}.$ Entonces, existe $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ unitaria tal que $U^{-1}AU=U^*AU=T$ en donde $T$ es una matriz triangular superior y los elementos de la diagonal principal de $T$ son los valores propios de $A.$ Se considera la matriz
- [Matrices de proyección y simetría](https://fernandorevilla.es/2015/02/25/matrices-de-proyeccion-y-simetria/) - Proporcionamos ejemplos relativos a las matrices de proyección y simetría sobre subespacios de $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ cuando el producto escalar es el usual. Enunciado $a)$ Sea $\mathbb{K}^m$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) dotado del producto escalar usual y $F$ un subespacio de $\mathbb{K}^m.$ Sea $B_F=\{e_1,e_2,\ldots e_r\}$ una base ortonormal de $F.$ Demostrar que la proyección ortogonal $p$
- [Matrices normales](https://fernandorevilla.es/2014/12/03/matrices-normales/) - Proporcionamos ejercicios sobre matrices normales. Enunciado Comprobar que $A=\begin{bmatrix}{i}&{1+i}\{-1+i}&{2i}\end{bmatrix}$ es matriz normal. Aplicar el teorema espectral a la matriz normal: $$A=\begin{bmatrix}{i}&{1+i}\{-1+i}&{2i}\end{bmatrix}.$$ Demostrar que $1)$ Las matrices hermiticas antihermíticas y unitarias son normales. $2)$ $A$ normal $\Rightarrow$ $ \left\|Ax\right\|=\left\|A^*x\right\|$ para todo $x\in\mathbb{C}^n.$ $3)$ Si $A$ es normal, entonces para todo $\lambda\in\mathbb{C}$ y para todo $x\in\mathbb{C}^n$, $
- [Descomposición en valores singulares](https://fernandorevilla.es/2014/04/05/descomposicion-en-valores-singulares/) - Demostramos el teorema de descomposición en valores singulares y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el teorema de descomposición en valores singulares: Sea $A\in\mathbb{C}^{m\times n}$. Existen matrices unitarias $Q_1\in\mathbb{C}^{m\times m}$, $Q_2\in\mathbb{C}^{n\times n}$ tales que $Q_1^*AQ_2=\mathcal{S}\in \mathbb{R}^{m\times n}$ siendo $(i)\quad \mathcal{S}=\begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \
- [Matrices unitarias](https://fernandorevilla.es/2014/09/02/matrices-unitarias/) - Estudiamos algunas propiedades de las matrices unitarias. Enunciado Comprobar que $U=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}{1}&{-1+i}\{1+i}&{1}\end{bmatrix}$ es matriz unitaria. Identificar las matrices unitarias reales. Demostrar que una matriz $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ es unitaria si, y sólo si sus vectores columnas forman un sistema ortonormal con el producto escalar complejo usual. Aplicación. Comprobar que $M=\begin{bmatrix}{0}&{i}\{-i}&{0}\end{bmatrix}$ es unitaria. Demostrar que: $1)$ El producto
- [Expresión matricial del producto escalar complejo](https://fernandorevilla.es/2014/09/06/expresion-matricial-del-producto-escalar-complejo/) - Proporcionamos ejercicios sobre la expresión matricial del producto escalar complejo. Enunciado Si $E$ es espacio unitario de dimensión $n$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ es una base de $E,$ demostrar que para todo $x,y\in E$ $$\left=X^tG\overline{Y},\text{ con } G=\begin{pmatrix} \langle e_1,e_1\rangle & \langle e_1,e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,e_n\rangle\ \langle e_2,e_1\rangle &\langle e_2,e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,e_n\rangle
- [Concepto de producto escalar complejo, espacio unitario](https://fernandorevilla.es/2014/09/03/concepto-de-producto-escalar-complejo-espacio-unitario/) - Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de producto escalar complejo y espacio unitario. Enunciado Demostrar que en todo espacio unitario $E$ y para todo $\lambda\in\mathbb{C},$ $x,y,z\in E$ se verifica $\begin{aligned}&a)\;\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle.\&b)\; \langle x,\lambda y\rangle=\overline{\lambda}\langle x,y\rangle.\&c)\;\langle x,0\rangle=\langle 0, y\rangle=0.\end{aligned}$ Dados dos vectores $x=(x_j),$ $y=(y_j)$ de $\mathbb{C}^n$ se define $$\langle x,y \rangle=x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+\cdots +x_n\overline{y_n}.$$ Demostrar que es
- [Concepto de forma hermítica o hermitiana](https://fernandorevilla.es/2014/09/29/concepto-de-forma-hermitica-o-hermitiana/) - Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de forma hermítica (o hermitiana) y el de forma cuadrática asociada. Enunciado Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Demostrar que $$f:E\times E\to\mathbb{C},\quad f(x,y)=\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt.$$ es una forma hermítica. Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas $x=(x_n)$
- [Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$](https://fernandorevilla.es/2015/11/19/unidades-en-el-anillo-de-las-series-formales-ax/) - Demostramos una caracterización de las unidades del anillo de las series formales $A[[X]].$ Enunciado Sea $A$ un anillo conmutativo y unitario y $A[[X]]$ el anillo de las series formales $S(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$ con coeficientes $a_n\in A.$ Demostrar que $$S(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n\text{ es unidad en }A[[X]]\Leftrightarrow a_0\text{ es unidad en }A.$$ Solución $\Rightarrow)$ Si $S(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$ es una
- [Semianillo tropical](https://fernandorevilla.es/2015/10/22/semianillo-tropical/) - Construimos en $\mathbb{R}\cup \{+\infty\}$ el denominado semianillo tropical. Enunciado En el conjunto $\mathbb{T}=\mathbb{R}\cup \{+\infty\}$ se definen las operaciones $$x\oplus y=\min\{x,y\},\quad x\odot y=x+y.$$ Demostrar que $(\mathbb{T},\oplus)$ es semigrupo abeliano con elemento neutro. Demostrar que $(\mathbb{T},\odot)$ es también semigrupo conmutativo con elemento unidad. Demostrar que la operación $\odot$ es distributiva respecto de la operación $\oplus.$ Es decir,
- [Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito](https://fernandorevilla.es/2015/10/18/ideal-maximal-en-el-anillo-de-las-funciones-de-clase-infinito/) - Demostramos que el ideal de las funciones que se anulan en 0 es ideal maximal del anillo de las funciones de clase infinito. Enunciado Sea $A=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})$ el conjunto de las funciones de clase infinito de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}.$ Demostrar que es un subanillo del anillo $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ de las funciones reales de variable real, con las
- [Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos](https://fernandorevilla.es/2015/09/08/los-grupos-aditivo-y-multiplicativo-de-un-cuerpo-no-son-isomorfos/) - Demostramos que los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no pueden ser isomorfos. Enunciado Demostrar que los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo nunca son isomorfos. Solución Sea $K$ un cuerpo y sean $K^+$ y $K^{\times}$ los grupos aditivo y multiplicativo de $K$ respectivamente. Si $K^+$ es finito, entonces $\left|F^{\times}\right|=\left|F^+\right|-1,$ por tanto no
- [Expresión matricial de una forma sesquilineal](https://fernandorevilla.es/2014/09/27/expresion-matricial-de-una-forma-sesquilineal/) - Proporcionamos ejercicios sobre la expresión matricial de una forma sesquilineal. Enunciado Sea $f:E\times F\to\mathbb{C}$ una forma sequilineal y $B_E=\{u_1,\ldots,u_m\},$ $B_F=\{v_1,\ldots,v_m\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Sea $A=[a_{ij}]\in\mathbb{C}^{m\times n}$ dada por $a_{ij}=f(u_i,u_j).$ Demostrar que para todo $x\in E$ y para todo $y\in F$ se verifica $$f(x,y)=X^tA\overline{Y},$$ siendo $X$ el vector de coordenadas de $x$ en
- [Concepto de forma sesquilineal](https://fernandorevilla.es/2014/09/26/concepto-de-forma-sesquilineal/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma sesquilineal. Enunciado Sea $M\in\mathbb{C}^{m\times n}$ y la aplicación $$f:\mathbb{C}^m\times \mathbb{C}^n\to\mathbb{C},\quad f(x,y)=x^tM\;\overline{y},$$ en donde $x,y$ representan vectores columna de $\mathbb{C}^m$ y $\mathbb{C}^n$ respectivamente. Demostrar que $f$ es forma sesquilineal. Sea $E$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Es decir,
- [Matrices hermíticas](https://fernandorevilla.es/2014/08/31/matrices-hermiticas/) - Proporcionamos ejercicios sobre matrices hermíticas. Enunciado Demostrar que la suma de dos matrices hermíticas de $\mathbb{C}^{n\times n}$ es hermítica y que el producto de un número real por una matriz hermítica también lo es. Demostrar que todos los valores propios de una matriz hermítica son reales. Hallar los valores y vectores propios de la matriz
- [Matriz adjunta](https://fernandorevilla.es/2014/09/03/matriz-adjunta/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de matriz adjunta. Enunciado Dada $A=\begin{bmatrix}{1}&{1-i}&{4i}\{1+i}&{-2}&{2-3i}\end{bmatrix},$ calcular $A^*.$ Demostrar que, $a)$ $\left(A^*\right)^*=A\quad\forall A\in\mathbb{C}^{m\times n}.$ $b)$ $(A+B)^*=A^*+B^*\quad\forall A,B\in\mathbb{C}^{m\times n}.$ $c)$ $(\lambda A)^*=\overline{\lambda}A^*\quad\forall\lambda\in\mathbb{C},\;\forall A\in\mathbb{C}^{m\times n}.$ $d)$ $(AB)^*=B^*A^*\quad\forall A\in\mathbb{C}^{m\times n}\;\forall B\in\mathbb{C}^{n\times p}.$ Solución Tenemos, $$A^*=\left(\overline{A}\right)^t=\begin{bmatrix}{1}&{1+i}&{-4i}\{1-i}&{-2}&{2+3i}\end{bmatrix}^t=\begin{bmatrix}{1}&{1-i}\{1+i}&{-2}\{-4i}&{2+3i}\end{bmatrix}.$$ O bien, $$ A^*=\overline{A^t}=\overline{\begin{bmatrix}{1}&{1+i}\{1-i}&{-2}\{4i}&{2-3i}\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}{1}&{1-i}\{1+i}&{-2}\{-4i}&{2+3i}\end{bmatrix}.$$ $a)$ Usando que el conjugado del conjugado de un número complejo es el propio
- [Giros alrededor de una recta](https://fernandorevilla.es/2015/03/10/giros-alrededor-de-una-recta/) - Proporcionamos la manera de determinar giros alrededor de una recta orientada de $\mathbb{R}^3$ que pasa por el origen. Enunciado Sea $r$ una recta de $\mathbb{R}^3$ que pasa por el origen y $e_1$ un vector unitario en la dirección de $r.$ Sea $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ una base ortonormal de $\mathbb{R}^3$ tal que $e_1\times e_2=e_3.$ Demostrar que la matriz
- [Operador traspuesto](https://fernandorevilla.es/2014/08/23/operador-traspuesto/) - Proporcionamos ejercicios sobre el operador traspuesto. Enunciado En el espacio euclídeo $\mathbb{R}^2$ con el producto escalar $\langle x,y\rangle=2x_1y_1+3x_2y_2$ (siendo $x=(x_1,x_2)^t,$ $y=(y_1,y_2)^t$), se considera el operador $$T(x_1,x_2)=(x_1-2x_2,4x_1+5x_2).$$ Determinar su operador traspuesto. Se considera el espacio euclídeo $\left(\mathbb{R}_2[x],\langle\;,\; \rangle\right)$ siendo $\langle p,q\rangle=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}p(x)q(x)\;dx.$ $(i)\;$ Comprobar que $B=\{p_1=1, \;p_2=\sqrt {3}x,\;p_3=(3\sqrt{5}/2)(x^2-1/3)\}$ es base ortonormal. $(ii)$ Determinar en la base $B$
- [Matrices ortogonales](https://fernandorevilla.es/2014/08/22/matrices-ortogonales/) - Proporcionamos ejercicios sobre matrices ortogonales. Enunciado $(a)\;$ Demostrar que una matriz $A$ es ortogonal si, y sólo si $A^tA=I.$ $(b)\;$Comprobar que las siguientes matrices son ortogonales: $$M=\begin{bmatrix}{\cos \alpha}&-\operatorname{sen}\alpha\{\operatorname{sen}\alpha}&{\cos \alpha}\end{bmatrix},\quad N=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\{2}&{1}&{-2}\{1}&{2}&{2}\end{bmatrix}.$$ Demostrar las propiedades $(a)\;$ El producto de dos matrices ortogonales y del mismo orden es una matriz ortogonal. $(b)\;$ La matriz identidad de cualquier orden
- [Mínima distancia de un vector a un subespacio](https://fernandorevilla.es/2014/08/20/minima-distancia-de-un-vector-a-un-subespacio/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de mínima distancia de un vector a un subespacio. Enunciado En $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar $$\left=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3,$$ hallar la distancia del vector $x=(1,1,1)$ al subespacio $F\equiv x_1+x_2+2x_3=0.$ Sea $E$ espacio euclídeo. Demostrar las propiedades de la distancia: $1)\;$ $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y.$ $2)\;$ $d(x,y)=d(y,x)$ para todo $x,y\in E.$ $3)\;$ $d(x,y)\leq d(x,z)+x(z,y)$ para
- [Cuaternios de Hamilton](https://fernandorevilla.es/2014/03/14/cuaternios-de-hamilton/) - Estudiamos los cuaternios o cuaterniones de Hamilton y demostramos que tienen estructura de cuerpo no conmutativo. Enunciado Sea $\mathcal{H}=\mathbb{R}\times{\mathbb{R}^3}=\left\{{A=(a,\vec{\alpha }):a\in \mathbb{R},\vec{\alpha }\in \mathbb{R}^3}\right\}$. A cada elemento $A$ de $\mathcal{H}$ se le llama cuaternio (o cuaternión). En el conjunto $\mathcal{H}$ se define la igualdad de dos elementos $A=(a,\vec{\alpha })$ y $B=(b,\vec{\beta })$ mediante:$$A=B \Leftrightarrow a=b\;\textrm{y}\;\vec{\alpha }=\vec{
- [Cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$](https://fernandorevilla.es/2014/04/13/cuerpo-conmutativo-con-funcion-sobre-mathbbr/) - Estudiamos un cuerpo conmutativo con función sobre $\mathbb{R}^+$ Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo conmutativo y $f$ una aplicación de $\mathbb{K}$ en $\mathbb{R}^+$ (números reales no negativos) tal que $\forall{x,y}\in\mathbb{K}$ se verifica (a) $f(x+y)\leq\sup \{f(x),f(y)\}$ (b) $f(xy)=f(x)f(y)$ (c) $f(x)=0\Leftrightarrow{x=0}$ Sea $u$ el elemento unidad de $\mathbb{K}$ respecto del producto. Demostrar que $f(u)=1$. Sea $A=f^{-1}\left([0,1]\right)$, demostrar que
- [Intersección de subcuerpos](https://fernandorevilla.es/2015/08/23/interseccion-de-subcuerpos/) - Enunciado Se llama subcuerpo de un cuerpo $K$ a cualquier subconjunto $H$ de $K$ que también es un cuerpo con respecto a la adición y multiplicación de $K.$ Demostrar que cualquier intersección de subcuerpos de un cuerpo $K$ es subcuerpo de $K.$ Solución Sea $\{K_i\}$ una familia de subcuerpos de $K$ y $H=\bigcap _iK_i.$ Se
- [Anillo idempotente](https://fernandorevilla.es/2014/04/12/anillo-idempotente/) - Estudiamos algunas propiedades del anillo idempotente. Enunciado Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo idempotente, es decir un anillo que satisface $x^2=x$ para todo $x\in A.$ 1. Demostrar que el anillo es conmutativo. 2. Estudiar la ley interna sobre $A$ definida por $x*y=x+y+xy$. 3. Demostrar que $x\leq y\Leftrightarrow xy=x$ es una relación de orden sobre $A$. 4. ¿Existe
- [Anillo de las funciones reales](https://fernandorevilla.es/2014/03/28/anillo-de-las-funciones-reales/) - Contruimos el anillo de las funciones reales. Enunciado Sea $X$ un conjunto distinto del vacío y sea $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ el conjunto de todas las funciones de $X$ en $\mathbb{R}.$ Se definen en $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ las operaciones Suma. Para todo $f,g\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),\quad(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in X.$ Producto. Para todo $f,g\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),\quad(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\quad \forall x\in X.$ Demostrar que $(\mathcal{F}(X,\mathbb{R}),+,\cdot)$
- [Binomio de Newton en un anillo](https://fernandorevilla.es/2014/04/15/binomio-de-newton-en-un-anillo/) - Demostramos la fórmula del binomio de Newton en un anillo. Enunciado Sean $a$ y $b$ dos elementos permutables de un anillo $A,$ es decir $ab=ba.$ Demostrar que $\forall n\in\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$ se verifica la fórmula de Newton: $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.$$ Solución Usaremos el método de inducción. Paso base. La fórmula es cierta para $n=1.$ En efecto, $$(a+b)^1=a+b=\binom{1}{0}a^1b^0+\binom{1}{1}a^0b^1=\sum_{k=0}^1\binom{1}{k}a^{1-k}b^k.$$ Paso de
- [Una unidad en el anillo cociente Q[X] / I](https://fernandorevilla.es/2015/06/21/una-unidad-en-el-anillo-cociente-qx-i/) - Estudiamos si un determinado elemento es unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[x]/I.$ Enunciado Sea el ideal de $\mathbb{Q}[x],$ $I=(x^3 + 3x + 2).$ ¿Es $(x + 1) + I\in \mathbb{Q}[x]/I$ una unidad de $\mathbb{Q}[x]/I$? Solución Cualquier elemento de $\mathbb{Q}[x]/I$ tiene un único representante de grado $\le 2,$ es decir todo elemento de $\mathbb{Q}[x]/I$ es de
- [Dominio de integridad no euclídeo](https://fernandorevilla.es/2014/03/28/dominio-de-integridad-no-euclideo/) - Proporcionamos un ejemplo de dominio de integridad que no es euclídeo. Enunciado Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]=\{a+b\sqrt{5}i:a,b\in\mathbb{Z}\}$ es dominio de integridad con las operaciones habituales suma y producto de complejos. Hallar el conjunto $\mathcal{U}$ de las unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$. Demostrar que $6$ puede descomponerse en dos formas esencialmente distintas en producto de factores irreducibles, lo cual probará
- [Máximo común divisor en los enteros de Gauss](https://fernandorevilla.es/2014/05/17/maximo-comun-divisor-en-los-enteros-de-gauss/) - Demostramos que el anillo de los enteros de Gauss es euclídeo y hallamos un máximo común divisor. Enunciado Sea $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi:a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z}\}$ con las operaciones usuales de suma y producto de complejos. Se pide: Demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo conmutativo y unitario. (Se llama anillo de los enteros de Gauss). Hallar todos los elementos invertibles de $\mathbb{Z}[i]$
- [Subespacio ortogonal](https://fernandorevilla.es/2014/08/18/subespacio-ortogonal/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de subespacio ortogonal. Enunciado Sea $E$ un espacio euclídeo y $S$ un subconjunto de $E.$ Demostrar que $S^{\perp}$ es subespacio de $E.$ Sea el espacio euclídeo $\left(\mathbb{R}^3,\left\right)$ con $$\left=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3.$$ Determinar una base de $F^{\perp}$ siendo $F$ el subespacio de $\mathbb{R}^3$ de ecuación $$x_1+x_2+2x_3=0.$$ En el espacio $\mathbb{R}_2[x]$ con el producto
- [Bases ortonormales, método de Schmidt](https://fernandorevilla.es/2014/08/15/bases-ortonormales-metodo-de-schmidt/) - Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de bases ortonormales por el método de Schmidt. Enunciado Demostrar que la base canónica de $\mathbb{R}^n$ es ortonormal con el producto escalar usual. Ortonormalizar la base $B=\{1,x,x^2\}$ de $\mathbb{R}_2[x]$ por el método de Schmidt, con el producto escalar $$\langle p,q\rangle=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}p(x)q(x)\;dx.$$ En $\mathbb{R}^3$ se considera el producto escalar $$\left=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{2}&{0}\{2}&{5}&{0}\{0}&{0}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\{y_2}\{y_3}\end{pmatrix}.$$ Ortonormalizar por
- [Ortogonalidad en el espacio euclídeo](https://fernandorevilla.es/2014/08/14/ortogonalidad-en-el-espacio-euclideo/) - Proporcionamos ejercicios sobre ortogonalidad en el espacio euclídeo. Enunciado En el espacio vectorial $\mathbb{R}_2[x]$ se considera el producto escalar $$\left=\int_{-1}^1\left(p(x)q(x)+p^{\prime\prime}(x)q^{\prime\prime}(x)\right)dx.$$ Comprobar que los vectores $p(x)=1+4x+x^2$ y $q(x)=1-x$ son ortogonales. Sea $E$ un espacio euclídeo. Demostrar que $a)\;$ El vector $0$ es ortogonal a todos los vectores de $E$ $b)\;$ El vector $0$ es el único
- [Desigualdad de Schwarz, ángulos](https://fernandorevilla.es/2014/08/13/desigualdad-de-schwartz-angulos/) - Demostramos la desigualdad de Schwarz en los espacios euclideos, que permite definir el concepto de ángulo y demostrar las propiedades de la norma. Enunciado En el espacio vectorial de las funciones reales de clase 2 en el intervalo $[-1,1]$ se considera el producto escalar $$\left=\int_{-1}^1\left(f(t)g(t)+f^{\prime\prime}(t)g^{\prime\prime}(t)\right)dt.$$ Hallar el ángulo formado por las funciones $f(t)=1+4t+t^2$ y $g(t)=1-t.$
- [Espacio euclideo, norma](https://fernandorevilla.es/2014/08/12/espacio-euclideo-norma/) - Definimos la norma en un espacio euclídeo y proponemos ejercicios de aplicación. Enunciado En el espacio euclídeo $\mathbb{R}_2[x]$ dotado del producto escalar $$\left=\int_0^1p(x)q(x)\;dx,$$ determinar la norma del vector $p(x)=-1+2x+3x^2.$ En el espacio euclídeo $\mathbb{R}_2[x]$ dotado del producto escalar $$\left=\sum_{i=0}^2p(i)q(i),$$ determinar la norma del vector $p(x)=-1+2x+3x^2.$ En el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ dotado del producto escalar $$\left=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{2}&{0}\{2}&{5}&{0}\{0}&{0}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\{y_2}\{y_3}\end{pmatrix}.$$
- [Producto escalar real](https://fernandorevilla.es/2014/08/10/producto-escalar-real/) - Proporcionamos ejercicios sobre el producto escalar real. Enunciado Demostrar que $\left=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$ con $x=(x_1,\ldots,x_n)^T$ e $y=(y_1,\ldots,y_n)^T$ vectores de $\mathbb{R}^n$ es un producto escalar (se le denomina producto escalar usual de $\mathbb{R}^n$). Sea $E=\mathcal{C}[a,b]$ el espacio vectorial real de las funciones reales continuas $x(t)$ definidas en el intervalo cerrado $[a,b].$ Demostrar que la siguiente aplicación es un
- [Producto tensorial](https://fernandorevilla.es/2018/01/26/producto-tensorial/) - Definimos el producto tensorial de $n$ espacios vectoriales. Vamos a resolver el problema de la aplicación universal para aplicaciones multilineales y que nos llevará a la contrucción del producto tensorial. Supongamos que el conjunto de índices $\Delta$ es un espacio vectorial. Entonces, tiene sentido en el espacio suma directa externa $U=\bigoplus_{i\in \Delta}K$ considerar vectores de
- [Suma directa externa de espacios](https://fernandorevilla.es/2018/01/23/suma-directa-externa-de-espacios/) - Definimos la suma directa externa de espacios vectoriales y estudiamos dos de sus propiedades. Enunciado Sea $\Delta$ un conjunto no vacío de índices, $\{V_i:i\in\Delta\}$ una colección de espacios vectoriales sobre el cuerpo $K$ y $V=\prod_{i\in \Delta}V_i$ el correspondiente espacio vectorial producto. Se define la suma directa externa de los espacios $V_i$ como $$\bigoplus_{i\in\Delta}V_i=\{f\in V:f(i)=0\text{ salvo
- [Espacio vectorial producto](https://fernandorevilla.es/2018/01/22/espacio-vectorial-producto/) - Construimos el espacio vectorial producto de una colección cualquiera de espacios vectoriales. Enunciado Sea $\Delta$ un conjunto no vacío de índices y $\{V_i:i\in\Delta\}$ una colección de espacios vectoriales sobre el cuerpo $K$. El conjunto producto cartesiano de los $V_i$ se define según sabemos como $$V=\prod_{i\in \Delta}V_i=\{f:\Delta\to \bigcup_{i\in \Delta}V_i:f\text{ es aplicación con }f(i)\in V_i\;\forall i\in \Delta\}.$$
- [Anillo y grupo de matrices](https://fernandorevilla.es/2014/04/10/anillo-y-grupo-de-matrices/) - Estudiamos un anillo y grupo de matrices. Enunciado Dada una matriz $M\in M_n(\mathbb{R})$ se consideran los siguientes subconjuntos: $$\mathcal{M}=\{A\in M_n(\mathbb{R}):AM=MA\}\\mathcal{N}=\{A\in M_n(\mathbb{R}):AM=MA\mbox{ y }A\mbox{ regular}\}$$ Se pide: Analizar si $(\mathcal{M},+,\cdot) $ es un anillo. Analizar si $(\mathcal{N},\cdot) $ es un grupo. Si es $n=2$ y $M=\begin{bmatrix}{\;\;4}&{1}\{-1}&{2}\end{bmatrix}$ , hallar $\mathcal{M}$ y $\mathcal{N}$. (Propuesto en examen, Álgebra, ETS
- [Anillo según parámetro](https://fernandorevilla.es/2014/04/14/anillo-segun-parametro/) - Estudiamos la estructura de anillo según los valores de un parámetro. Enunciado. En el conjunto de los números reales se definen las operaciones $x*y=x+y+4\quad,\quad x\circ y=xy+\lambda x+\lambda y +12,$ con $\lambda\in \mathbb{R}$. Hallar $\lambda$ para que $(\mathbb{R},*,\circ)$ sea anillo. (Propuesto en hojas de problemas, Álgebra, ETS de Arquitectura, UPM). Solución Veamos que $(\mathbb{R},*)$ es grupo
- [Homomorfismos entre cuerpos](https://fernandorevilla.es/2014/04/15/homomorfismos-entre-cuerpos/) - Demostramos propiedades de los homomorfismos entre cuerpos. Enunciado Sea $f:\mathbb{K}\to \mathbb{L}$ un homomorfismo de cuerpos. Demostrar que: $\;f(0)=0$ y $f(-a)=-f(a),$ $\forall a\in \mathbb{K}.$ $\;f(1)=1$ y $f(a^{-1})=f(a)^{-1},$ $\forall a\in \mathbb{K},\;a\neq 0.$ $\;\operatorname{Im}f$ es un subcuerpo de $\mathbb{L}.$ $\;f$ es inyectivo. Solución Se deduce del hecho de ser $f$ un homomorfismo entre los grupos aditivos de $\mathbb{K}$
- [Característica de un cuerpo](https://fernandorevilla.es/2014/04/14/caracteristica-de-un-cuerpo/) - Proporcionamos ejercicios sobre la característica de un cuerpo. Enunciado Determinar las características de los cuerpos $\mathbb{Q},$ $\mathbb{R},$ $\mathbb{C}$ y $\mathbb{Z}_p$ ($p$ primo). Demostrar que la característica de un cuerpo, o es infinito, o es un número primo. Solución En $\mathbb{Q},$ no existe entero positivo $n$ tal que $\underbrace{1+1+\cdots +1}_{n)}=0,$ por tanto la característica de $\mathbb{Q}$
- [Cuerpos $\mathbb{Z}_p$](https://fernandorevilla.es/2014/09/23/cuerpos-z_p/) - Proporcionamos ejercicios sobre los cuerpos $\mathbb{Z}_p$. Enunciado Resolver en el cuerpo $\mathbb{Z}_7$ la ecuación $2x +5=3.$ Resolver en el cuerpo $\mathbb{Z}_5$ las ecuaciones: $(a)\;x^2+x+3=0.\quad (b)\; x^3+2x^2+4x+3=0.$ Resolver en $\mathbb{Z}_5$ el sistema $\left \{ \begin{matrix} 2x+3y=2 \x+2y=4.\end{matrix}\right.$ Sabiendo que el conocido método de los adjuntos para calcular la inversa de una matriz real cuadrada, es también
- [Problema de la aplicación universal](https://fernandorevilla.es/2018/01/21/problema-de-la-aplicacion-universal/) - Demostramos la unicidad salvo isomorfismos del problema de la aplicación universal para aplicaciones multilineales. Introducción. En los apartados 6 y 7 de Concepto de aplicación multilineal vimos que una manera de construir aplicaciones multilineales sobre $V_1\times\ldots\times V_n $ es elegir una aplicación multilineal fija de $V_1\times\ldots\times V_n $ sobre $V$ y luego componerla con varias
- [Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales](https://fernandorevilla.es/2018/01/19/espacio-vectorial-de-las-aplicaciones-multilineales/) - Demostramos que el conjunto de las aplicaciones multilineales tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones usuales. También demostramos que para $n\ge 2$ la única aplcación muñtilineal de $V_1\times\ldots\times V_n$ en $V$ que también es lineal, es la aplicación nula. Enunciado Recordamos que si $X\ne \emptyset$ es un conjunto, $V$ un espacio vectorial sobre el
- [Concepto de aplicación multilineal](https://fernandorevilla.es/2018/01/17/concepto-de-aplicacion-multilineal/) - Definimos el concepto de aplicación multilineal y proporcionamos varios ejemplos. Enunciado Sean $V_1,\ldots,V_n,V$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $K$ y sea $$\phi:V_1\times\ldots\times V_n\to V$$ una aplicación. Se dice que $\phi$ es multilineal si $\forall i=1,\ldots,n$ se verifica $$\begin{aligned} & (a)\;\; \phi(v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)=\phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+\phi(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n),\ &(b)\;\;\phi(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)=\alpha \phi(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n), \end{aligned}$$ en donde $v_i,v_i^\prime\in V_i$, $v_j\in V_j$ si $j\ne i$
- [Forma bilineal a partir de una suma directa](https://fernandorevilla.es/2015/10/30/forma-bilineal-a-partir-de-una-suma-directa/) - Enunciado Sea $V$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $W_1$ y $W_2$ dos subespacios de $V$ tales que $V=W_1 \oplus W_2.$ Sea $f$ una forma bilineal sobre $W_1$ y $g$ una forma bilineal sobre $W_2,$ y sea la aplicación $$h:V\times V \rightarrow{\mathbb{K}},\quad h(x,y)=f(x_1,y_1)+g(x_2,y_2)$$ donde $x=x_1+x_2$ e $y=y_1+y_2$ $x$ e $y$ son las representaciones
- [Cociente de Rayleigh](https://fernandorevilla.es/2014/04/20/cociente-de-rayleigh/) - Propuesto en examen de Álgebra de Ingenieros de Montes de la UPM. Trata sobre el cociente de Rayleigh $X^tAX/X^tBX$, si bien no se menciona en el enunciado este nombre. Enunciado Sean $q_1(x)=X^tAX$ y $q_2(x)=X^tBX$ dos formas cuadráticas de $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$, siendo $A$ y $B$ matrices cuadradas de orden $n$, reales y simétricas. Se supone que
- [Forma bilineal y sistema diferencial](https://fernandorevilla.es/2014/04/17/forma-bilineal-y-sistema-diferencial/) - Relacionamos una forma bilineal y un sistema diferencial. Enunciado Sea $E$ el espacio vectorial de las matrices reales y cuadradas de orden $2.$ Se define la aplicación: $f:E\times E\to \mathbb{R}\;,\quad (A,B)\to \det (A+B)-\det(A-B).$ 1. Probar que $f$ es una forma bilineal simétrica. 2. Encontrar una base $B=(B_1,B_2,B_3,B_4)$ de $E$ de vectores conjugados dos a dos
- [Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices](https://fernandorevilla.es/2014/04/14/semejanza-conguencia-y-equivalencia-de-dos-matrices/) - Estudiamos la semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices según los valores de un parámetro. Enunciado Se consideran las matrices reales $A=\begin{bmatrix}{a}&{1}&{a}\{1}&{0}&{1}\{a}&{1}&{a}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{a}&{1}\{a}&{0}&{a}\{1}&{a}&{1}\end{bmatrix}\;.$ Se pide: 1. Determinar los valores de $a$ para los cuales $A$ y $B$ son matrices semejantes. En estos casos hallar matrices invertibles $P$ tales que $B=P^{-1}AP.$ 2. Determinar los valores de
- [Forma cuadrática multiplicativa](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/forma-cuadratica-multiplicativa/) - Estudiamos una forma cuadrática multiplicativa. Enunciado Sean $E=\mathbb{R}^{(2\times 2)},\;I=\begin{bmatrix}{1}&{0}\{0}&{1}\end{bmatrix},\;J=\begin{bmatrix}{0}&{1}\{1}&{0}\end{bmatrix}\mbox{ y}$ $B=(\;B_1=\begin{bmatrix}{1}&{0}\{0}&{0}\end{bmatrix},\;B_2=\begin{bmatrix}{0}&{1}\{0}&{0}\end{bmatrix},\;B_3=\begin{bmatrix}{0}&{0}\{1}&{0}\end{bmatrix},\;B_4=\begin{bmatrix}{0}&{0}\{0}&{1}\end{bmatrix}\;).$ Sea $\Phi$ una forma cuadrática sobre $E$ no nula tal que para todo $A,B\in E$ verifica $\Phi(AB)=\Phi(A)\Phi(B)$ y $\phi$ la forma bilineal simétrica asociada. Se pide: 1. Hallar $\Phi(I),\;\Phi(B_2),\;\Phi(B_3)$ y $\Phi(B_1)\Phi(B_4).$ 2. Si $A$ es invertible, probar que $\Phi(A)\neq 0.$ 3. Si $A$ es
- [Núcleo de una forma cuadrática](https://fernandorevilla.es/2014/04/19/nucleo-de-una-forma-cuadratica/) - Definimos núcleo de una forma cuadrática, analizando algunas propiedades. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial real, y $Q:E\rightarrow{\mathbb{R}}$ una forma cuadrática. Llamaremos núcleo de $Q$, y lo designaremos con $\ker Q$, al conjunto formado por los elementos $x$ de $E$ tales que $Q(x)=0$. Sea $Q:\mathbb{R}^2\rightarrow{\mathbb{R}}$ la forma cuadrática $Q(x)=x_1^2-x_2^2$ ( $x=(x_1,x_2)$ ). Dibujar en el
- [Concepto de cuerpo](https://fernandorevilla.es/2014/04/13/concepto-de-cuerpo/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de cuerpo. Enunciado Determinar los elementos invertibles de $\mathbb{Z}_{11}$ y deducir que es un cuerpo. Demostrar que $\mathbb{K}=\{x+y\sqrt{3}:x,y\in\mathbb{Q}\}$ con las operaciones usuales suma y producto de números reales, es un cuerpo. Demostrar que cualquier intersección de subcuerpos de un cuerpo $\mathbb{K}$ es subcuerpo de $\mathbb{K}.$ Demostrar que todo cuerpo es
- [Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos](https://fernandorevilla.es/2014/04/12/descomposicion-canonica-de-un-homomorfismo-de-anillos/) - Demostramos el teorema de la descomposición canónica de un homomorfismo de anillos. Enunciado Sea $f:A\to A'$ un homomorfismo entre los anillos $A$ y $A'.$ Demostrar que, $n:A\to A/\ker f,\; n(x)=x+\ker f$ es epimorfismo. $g:A/\ker f\to \operatorname{Im}f,\;g(x+\ker f)=f(x)$ es isomorfismo. $i:\operatorname{Im}f\to A',\;i(x)=x$ es monomorfismo. El siguiente diagrama es conmutativo: $$\begin{matrix}A\xrightarrow{\;\;\;\;\;f\;\;\;\;\;}A'\n\downarrow{\;\;\;\;\;}\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow{} i\A/\ker f\xrightarrow{\;\;g\;\;}\operatorname{Im}f\end{matrix}$$ es decir, $f=i\circ g\circ
- [Anillo cociente](https://fernandorevilla.es/2014/04/12/anillo-cociente/) - Construimos el anillo cociente asociado a un ideal. Enunciado Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo, e $I$ un ideal de $A.$ Demostrar que $A/I=\{a+I:a\in A\}$ es un anillo con las operaciones: $$\begin{aligned} (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\quad (a+I)\cdot (b+I)=ab+I.\end{aligned}$$ Demostrar también que si $A$ es conmutativo (unitario), entonces $A/I$ es conmutativo (unitario). Solución $1)$ $(A/I,+,\cdot)$ es grupo abeliano. En efecto, como
- [Ideal bilátero f(I)](https://fernandorevilla.es/2014/04/14/ideal-bilatero-fi/) - Demostramos que la imagen de un ideal bilátero por un homomorfismo de anillos es ideal bilátero del anillo imagen. Enunciado Siendo $f:A\to A'$ un homomorfismo de anillos e $I$ un ideal bilátero de $A$, demostrar que $f(I)$ es un ideal bilátero de $f(A)$ (subanillo de $A'$). (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Arquitectura, UPM). Solución Sean
- [Ideal de las sucesiones nulas](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/ideal-de-las-sucesiones-acotadas/) - Demostramos que las sucesiones nulas son un ideal del anillo de las sucesiones acotadas. Enunciado Demostrar que el conjunto $\mathcal{N}$ de las sucesiones reales nulas, es decir de límite $0,$ es un ideal del anillo $\mathcal{B}$ de las sucesiones acotadas de números reales. Solución Sabemos que toda sucesión convergente está acotada, por tanto $\mathcal{N}\subset \mathcal{B}.$
- [Funciones convexas y formas cuadráticas](https://fernandorevilla.es/2014/04/03/funciones-convexas-y-formas-cuadraticas/) - Relacionamos funciones convexas y formas cuadrática. Enunciado Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita. Se dice que una función real $f:V\rightarrow \mathbb{R}$ es convexa cuando $f(\alpha x+\beta y)\leq \alpha f(x)+\beta f(y)$ $\forall x,y\in V$ y $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}$ con $\alpha,\beta \geq 0,\;\alpha +\beta=1$. Desde luego las formas lineales o funcionales $f:V\rightarrow \mathbb{R}$ son
- [Mínimo de una función cuadrática](https://fernandorevilla.es/2014/04/17/minimo-de-una-funcion-cuadratica/) - Hallamos el mínimo de una función cuadrática usando métodos algebraicos. Enunciado La condición de mínimo para la función polinómica de segundo grado $$p(x)=\dfrac{1}{2}ax^2-bx$$ es $ax=b$ y $a>0.$ Demostrar el siguiente resultado análogo para matrices: Si $A$ es una matriz simétrica definida positiva (es decir, $X^tAX>0$ cuando $X\neq 0$) y $B$ es un vector columna, entonces
- [Forma cuadrática mediante una integral](https://fernandorevilla.es/2014/05/06/forma-cuadratica-mediante-una-integral/) - Clasificamos una forma cuadrática definida mediante una integral. Enunciado La siguiente función es una forma cuadrática en $\mathbb{R}^3:$ $q(x_1,x_2,x_3)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(x_1\cos t+x_2\sin t+x_3)^2\;dt.$ Hallar su rango y signatura (índice de positividad, índice de negatividad e índice de nulidad). (Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Aunque no se pide explícitamente en el enunciado,
- [Ley de inercia de Sylvester](https://fernandorevilla.es/2014/07/24/ley-de-inercia-de-sylvester/) - Proporcionamos ejercicios sobre la Ley de inercia de Sylvester. Enunciado Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ cuya expresión en la base canónica $B$ de $\mathbb{R}^3$ es: $$q(x)=x_1^2+5x_2^2+8x_3^2+4x_1x_2-6x_1x_3-8x_2x_3.$$ Determinar una base de $\mathbb{R}^3$ respecto de la cual la matriz de $q$ sea diagonal con a lo sumo unos, menos unos y ceros en la diagonal principal.
- [Diagonalización de formas cuadráticas: método de Gauss](https://fernandorevilla.es/2014/03/24/diagonalizacion-de-formas-cuadraticas-metodo-de-gauss/) - Proporcionamos ejercicios sobre el método de Gauss para la diagonalización de formas cuadráticas. Enunciado Usando el método de Gauss, diagonalizar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ dada por $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+7x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+8x_2x_3.$$ Usando el método de Gauss, diagonalizar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}$ dada por $$q(x,y,z,t)=xy+xz+xt+yz+yt+zt.$$ Solución Estamos en el caso 1. Siguiendo el método general expuesto: $$\displaystyle\begin{aligned}q(x_1,x_2,x_3)&=x_1^2+x_1(2x_2+4x_3)-x_2^2+8x_2x_3+7x_3^2\&=(x_1+x_2+2x_3)^2-\dfrac{(2x_2+4x_3)^2}{4}-x_2^2+8x_2x_3+7x_3^2\ &=(x_1+x_2+2x_3)^2-2x_2^2+4x_2x_3+3x_3^2.\end {aligned}$$ Ahora
- [Diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales](https://fernandorevilla.es/2014/07/22/diagonalizacion-de-formas-cuadraticas-por-transformaciones-elementales/) - Proporcionamos ejercicios sobre diagonalización de formas cuadráticas por transformaciones elementales. Enunciado Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ cuya expresión en una determinada base $B$ es: $$q(x)=x_1^2+5x_2^2+8x_3^2+4x_1x_2-6x_1x_3-8x_2x_3.$$ Diagonalizarla y como aplicación descomponerla en suma de cuadrados independientes. Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ cuya expresión en una determinada base $B$ es $q(x)=2x_1x_2.$ Diagonalizarla y como aplicación
- [Forma polar de una forma cuadrática](https://fernandorevilla.es/2014/07/22/forma-polar-de-una-forma-cuadratica/) - Proporcionamos ejercicios sobre la forma polar de una forma cuadrática. Enunciado Sea $q:E\to \mathbb{K}$ una forma cuadrática con $\text{carac }\mathbb{K}\neq 2.$ Demostrar que la forma polar de $q$ es $$\frac{1}{2}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right).$$ Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+7x_2^2-x_3^2+8x_1x_2+5x_1x_3-4x_2x_3.$$ Determinar la forma polar de $q.$ Solución Si $f$ es forma polar de $q,$ entonces $f$ es
- [Concepto de forma cuadrática](https://fernandorevilla.es/2014/07/21/concepto-de-forma-cuadratica/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma cuadrática. Enunciado Determinar las formas cuadráticas asociadas a las formas bilineales: $$f_1(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{4 }\{-1 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\{y_2}\end{pmatrix}.$$ $$f_2(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{-3 }\{6 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\{y_2}\end{pmatrix}.$$ $$f_3(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{3/2 }\{3/2 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\{y_2}\end{pmatrix}.$$ Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+7x_2^2-x_3^2+8x_1x_2+5x_1x_3-4x_2x_3.$$ Expresarla mediante una matriz simétrica y mediante un par de ellas que no lo sean. Sea $q$ la forma cuadrática
- [Diagonalización de formas bilineales simétricas](https://fernandorevilla.es/2014/07/17/diagonalizacion-de-formas-bilineales-simetricas/) - Proporcionamos ejercicios sobre diagonalización de formas bilineales simétricas usando el método de las transformaciones elementales por filas y columnas. Enunciado Se considera la forma bilineal simétrica en un espacio vectorial real de dimensión $3$ cuya expresión en coordenadas en una base $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ es $$f(x,y)=x_1y_1+5x_2y_2+8x_3y_3+2x_1y_2+2x_2y_1-3x_1y_3-3x_3y_1-4x_2y_3-4x_3y_2.$$ Hallar una matriz diagonal que la represente y la correspondiente base
- [Ideales de un anillo](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/ideales-de-un-anillo/) - Proporcionamos ejercicios sobre ideales de un anillo. Enunciado Sea $m$ entero y $(m)=\{x\in\mathbb{Z}:x\text{ es múltiplo de }m\}.$ Demostrar que $(m)$ es ideal de $\mathbb{Z}.$ Demostrar que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal del anillo inicial. Demostrar que todo ideal de un anillo es subanillo del mismo. Sea $R$ un anillo conmutativo
- [Homomorfismos de anillos](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/homomorfismos-de-anillos/) - Proporcionamos ejercicios sobre homomorfismos de anillos. Enunciado Se considera el anillo $\mathcal{A}=\{\begin{bmatrix}{x}&{y}\{-y}&{x}\end{bmatrix}:x,y\in \mathbb{R}\}.$ Demostrar que es un isomorfismo entre anillos, la aplicación $f:\mathbb{C}\to \mathcal{A}$ dada por $$f(x+iy)=\begin{bmatrix}{x}&{y}\{-y}&{x}\end{bmatrix}.$$ Demostrar que la siguiente aplicación es epimorfismo de anillos: $$f:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R},\quad f(a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n)=a_0.$$ Sea $f:A\to B,$ un homomorfismo de anillos. Demostrar que $\ker f$ es subanillo de $A.$
- [Anillos de integridad](https://fernandorevilla.es/2014/04/11/anillos-de-integridad/) - Proporcionamos ejercicios sobre anillos de integridad. Enunciado Determinar los divisores de cero del anillo $\mathbb{Z}_6.$ Estudiar si el anillo $M_2(\mathbb{R})$ es de integridad. Estudiar si el anillo conmutativo y unitario $\mathcal{S}$ de las sucesiones de números reales es un dominio de integridad. Demostrar que en un anillo unitario, las unidades (es decir, los elementos invertibles)
- [Formas bilineales: cambio de base](https://fernandorevilla.es/2014/07/11/formas-bilineales-cambio-de-base/) - Proporcionamos ejercicios de cambio de base asociado a las formas bilineales. Enunciado La matriz de una forma bilineal $f=E\times F\to\mathbb{K}$ en las bases $B_E=\{u_1,u_2\}$ y $B_F=\{v_1,v_2,v_3\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{1}\{3}&{4}&{1}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de $f$ en las nuevas bases $$B'_E=\{u_1-u_2,u_1+u_2\},\quad B'_F=\{v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3\}.$$ La matriz de la forma bilineal $f:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ en la base $B=\{(1,2),(3,-7)\}$ es $A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\{3}&{6}\end{bmatrix}.$ Hallar
- [Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas](https://fernandorevilla.es/2015/05/07/suma-directa-de-las-formas-bilineales-simetricas-y-antisimetricas/) - Demostramos que el espacio vectorial $\mathcal{B}(E)$ de las formas bilneales es suma directa de los subespacios de las simétricas y antisimétricas. Enunciado Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $\mathcal{B}(E)$ el espacio vectorial de las formas bilineales de $E\times E$ en $\mathbb{K}.$ Demostrar que $1)\;$ $\mathcal{S}=\{f\in\mathcal{B}(E):f\text{ es simétrica}\}$ es subespacio de $\mathcal{B}(E).$ $2)\;$
- [Formas bilineales simétricas y antisimétricas](https://fernandorevilla.es/2014/07/08/formas-bilineales-simetricas-y-antisimetricas/) - Proporcionamos ejercicios de formas bilineales simétricas y antisimétricas. Enunciado Se consideran las formas bilineales en un espacio vectorial real de dimención 2, cuyas expresiones en coordenadas en una determinada base son: $(a)\;\; f(x,y)=2x_1y_1-5x_2y_1-5x_1y_2+4x_2y_2.$ $(b)\;\; g(x,y)=-3x_2y_1+3x_1y_2.$ $(c)\;\; h(x,y)=x_1y_1+7x_2y_1-2x_1y_2+6x_2y_2.$ Estudiar en cada caso si la forma es simétrica o antisimétrica. Estudiar si es simétrica la forma bilineal
- [Matriz de una forma bilineal](https://fernandorevilla.es/2014/07/07/matriz-de-una-forma-bilineal/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de matriz de una forma bilineal. Enunciado Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ y $$B_E=\{u_1,u_2,u_3\},\quad B_F=\{v_1,v_2\}$$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Sea $ f:E\times F\to \mathbb{R}$ una forma bilineal que satisface: $$\begin{matrix}{f(u_1,v_1)=2}&{f(u_2,v_1)=-6 }&{f(u_3,2v_1)=4}\{f(u_1,v_2)=-3 }&{f(4u_2,v_2)=0}&{f(2u_3,v_2)=6}.\end{matrix}$$ Se pide (a) Hallar la matriz $A$ de $f$ en las
- [Espacio vectorial de las formas bilineales](https://fernandorevilla.es/2014/07/04/espacio-vectorial-de-las-formas-bilineales/) - Demostramos que las formas bilineales forman un espacio vectorial con las operaciones habituales. Enunciado Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ y sea: $$\mathcal{B}(E,F)=\{f:E\times F\to\mathbb{K}: f\text{ es forma bilineal}\}.$$ Demostrar que $\mathcal{B}(E,F)$ es espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ con las operaciones: Suma: $\quad\forall f,g\in \mathcal{B}(E,F),\quad (f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y).$ Ley externa: $\quad\forall \alpha\in \mathbb{K}\;\forall f\in
- [Concepto de forma bilineal](https://fernandorevilla.es/2014/07/04/concepto-de-forma-bilineal/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma bilineal. Enunciado Sea $E=\mathcal{C}[a,b]$ el espacio vectorial real de las funciones reales continuas $x(t)$ en el intervalo $[a,b].$ Se considera la aplicación $$f:E\times E\to \mathbb{R},\quad f[x(t),y(t)]=\int_a^bx(t)y(t)\;dt.$$ Demostrar que $f$ es una forma bilineal. Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y sean $f_1:E\to \mathbb{K},$
- [Forma de Jordan en $\mathbb{Z}_7$](https://fernandorevilla.es/2019/05/18/forma-de-jordan-en-mathbbz_7/) - Hallamos la forma de Jordan y la correspondiente matriz de paso, para una matriz $4\times 4$ con entradas en $\mathbb{Z}_7.$ Enunciado Se considera la matriz $$A=\begin{bmatrix}{5}&{4}&{5}&{6}\{1}&{1}&{4}&{2}\{1}&{2}&{5}&{5}\{4}&{4}&{4}&{4}\end{bmatrix}\in (\mathbb{Z}_7)^{4\times 4}$$ Calcular el polinomio característico $\chi (\lambda)$ de $A$ y sus valores propios. Calcular el polinomio mínimo $\mu (\lambda)$ de $A$. Calcular las dimensiones de los subespacios propios.
- [$A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales](https://fernandorevilla.es/2015/12/24/a-y-b-matrices-reales-y-semejantes-como-complejas-lo-son-como-reales/) - Demostramos que dos matrices reales semejantes como complejas, lo son como reales. Aplicamos éste resultado para dar una forma canónica de una matriz cuadrada cuyo cuadrado es la opuesta de la identidad. Enunciado 1. Sean $A$ y $B$ matrices cuadradas, reales y semejantes como matrices complejas. Demostrar que también son semejantes como matrices reales. 2.
- [Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas](https://fernandorevilla.es/2015/10/13/diagonalizacion-de-ainmathbbr2times-2-con-funciones-hiperbolicas/) - Enunciado Estudiar para qué valores de $x\in\mathbb{R}$ la siguiente matriz es diagonalizable en $\mathbb{R}$ $$A=\begin{bmatrix}\cosh x&\sinh x \\sinh x&\cosh x\end{bmatrix}.$$ En cada caso, hallar la forma canónica de $A.$ Solución Polinomio característico de $A$ $$\chi(\lambda)=\lambda^2-(\text{traza }A)\lambda +\det A=\lambda^2-(2\cosh x)\lambda+\cosh^2x-\sinh^2x$$ $$=\lambda^2-\left(e^x+e^{-x}\right)\lambda +1.$$ Valores propios de $A$ $$\lambda^2-\left(e^x+e^{-x}\right)\lambda +1=0\Leftrightarrow \lambda=\frac{e^x+e^{-x}\pm\sqrt{\left(e^x+e^{-x}\right)^2-4}}{2}$$ $$=\frac{e^x+e^{-x}\pm\sqrt{e^{2x}+e^{-2x}-2}}{2}=\frac{e^x+e^{-x}\pm\sqrt{\left(e^x-e^{-x}\right)^2}}{2}$$ $$=\frac{e^x+e^{-x}\pm \left(e^x-e^{-x}\right)}{2}=\{e^x,e^{-x}\}.$$ Entonces, $e^x=e^{-x}\Leftrightarrow e^{2x}=1\Leftrightarrow 2x=0\Leftrightarrow
- [Matrices con cuadrado nulo](https://fernandorevilla.es/2015/03/19/matrices-con-cuadrado-nulo/) - Determinamos las matrices complejas cuadradas de ordenes $2$ y $3$ con cuadrado nulo, usando formas canónicas de Jordan. Enunciado Caracterizar las matrices complejas $X$ de orden $2\times 2$ que satisfacen $X^2=0.$ Idem para las de orden $3\times 3$ que satisfacen $X^2=0.$ Solución Dado que $X^2=0,$ los posibles polinomios mínimos de $X$ son $\lambda$ o $\lambda^2.$
- [Anillo de los enteros de Gauss](https://fernandorevilla.es/2014/04/09/anillo-de-los-enteros-de-gauss/) - Estudiamos el anillo de los enteros de Gauss. Enunciado Sea $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi:a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z}\}$ con las operaciones usuales de suma y producto de complejos. Se pide: Demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo conmutativo y unitario (se llama anillo de los enteros de Gauss). Hallar todos los elementos invertibles de $\mathbb{Z}[i]$. Solución $(a)$ Veamos que $(\mathbb{Z}[i],+)$ es grupo abeliano. Como
- [Grupo multiplicativo de las unidades](https://fernandorevilla.es/2014/04/09/grupo-multiplicativo-de-las-unidades/) - Proporcionamos ejercicios sobre el grupo multiplicativo de las unidades. Enunciado Determinar las unidades (o elementos invertibles) del anillo $\mathbb{Z}.$ Determinar las unidades del anillo $\mathbb{R}^{n\times n}.$ de las matrices reales cuadradas de orden $n.$ Demostrar que si $u$ es unidad de un anillo unitario $A,$ entonces el elemento $v$ que cumple $uv=vu=1$ es único. Determinar
- [Anillos: notaciones y propiedades](https://fernandorevilla.es/2014/04/08/anillos-notaciones-y-propiedades/) - Demostramos algunas propiedades de los anillos y usamos las notaciones habituales $+$ y $\cdot$ para sus operaciones. Enunciado Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo y $a,b$ elementos de $A$. Desarrollar $(a+b)^2$. Simplificar las expresión resultante cuando $A$ sea conmutativo. Sea $A$ un anillo. Demostrar que cualesquiera que sean $a,b,c\in A$ y llamando $[a,b]=ab-ba,$ se verifica:$$\left[a,[b,c]\right]+\left[b,[c,a]\right]+\left[c,[a,b]\right]=0.$$ Sea $(A,+,\cdot)$
- [Producto directo de anillos](https://fernandorevilla.es/2014/04/15/producto-directo-de-anillos/) - Construimos el producto directo de anillos. Enunciado Para $n$ entero positivo, sean $A_1,\ldots,A_n$ anillos. En el producto cartesiamo $A=A_1\times \cdots \times A_n,$ se definen las operaciones: $$\begin{aligned}&(a_1,\ldots,a_n)+(b_1,\ldots,b_n)=(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n),\&(a_1,\ldots,a_n)\cdot (b_1,\ldots,b_n)=(a_1b_1,\ldots,a_nb_n).\end{aligned}$$ Demostrar que $(A,+,\cdot)$ es un anillo (se le llama producto directo de los anillos dados). Solución $1)$ Veamos que $(A,+)$ es grupo abeliano. Interna. Dado que la
- [Anillo de sucesiones](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/anillo-de-sucesiones/) - Demostramos que se puede dotar al conjunto de las sucesiones reales de una estructura de anillo. Enunciado Se considera el conjunto $\mathcal{S}$ de las sucesiones $x$ de números reales, es decir $$x=(x_1,x_2,x_3,\ldots),\quad x_n\in\mathbb{R}\;\forall n=1,2,3,\ldots,$$ escritas abreviadamente por $x=(x_n).$ Se definen en $\mathcal{S}$ las operaciones: $$(x_n)+(y_n)=(x_n+y_n),\quad (x_n)\cdot (y_n)=(x_ny_n).$$ Demostrar que $(\mathcal{S},+,\cdot)$ es un anillo conmutativo y
- [Descripción del método de inducción](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/descripcion-del-metodo-de-induccion/) - Describimos el método de inducción y proporcionamos ejercicios e aplicación. Enunciado Demostrar por inducción: $1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.$ Demostrar por inducción: $\begin{bmatrix}{1}&{1}\{0}&{1}\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}{1}&{n}\{0}&{0}\end{bmatrix}.$ Demostrar por inducción: $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$ Demostrar por inducción: $1+r+r^2+\ldots+r^n=\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}\quad (r\neq 1).$ Demostrar por inducción: $\displaystyle\sum _{k=1}^n k(k+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}.$ Demostrar por inducción: $\displaystyle\sum _{k=1}^n k^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2.$ Demostrar por inducción: $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots +\dfrac{1}{2^n}\geq 1+\dfrac{n}{2}.$ Demostrar por inducción que si $u_n$ es la
- [Concepto de anillo](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/concepto-de-anillo/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de anillo. Enunciado Demostrar (de manera esquemática) que $(\mathbb{Z},+,\cdot)$, $(\mathbb{Q},+,\cdot)$, $(\mathbb{R},+,\cdot)$ y $(\mathbb{C},+,\cdot)$ son anillos conmutativos y unitarios en donde $+$ y $\cdot$ representan en cada caso la suma y el producto habituales. Sea $\mathbb{R}[x]$ el conjunto de los polinomios en la indeterminada $x$ y coeficientes reales. Demostrar (esquemáticamente) que
- [Grupos de orden 6](https://fernandorevilla.es/2018/11/03/grupos-de-orden-6/) - Demostramos que sólo existen dos grupos de orden $6:$ $\mathbb{Z}_6$ y $S_3.$ Lema. Todo grupo de orden par tiene algún elemento de orden $2.$ Demostración. Sea $G$ el grupo dado y para cada elemento de $G$ consideremos el conjunto $\{g,g^{-1}\}.$ Este conjunto tiene dos elementos si $g\ne g^{-1}$ y un único elemento si $g=g^{-1}.$ Entonces,
- [Grupos de orden 4](https://fernandorevilla.es/2018/10/30/grupos-de-orden-4/) - Demostramos que sólo existen dos grupos de orden $4:$ $\mathbb{Z}_4$ y $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ (grupo de Klein). Teorema. $(a)$ En en el grupo de Klein $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ el simétrico de cada elemento coincide con el propio elemento. $(b)$ $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ no es cíclico. $(c)$ $\mathbb{Z}_4$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Esto
- [Todo grupo de orden primo es cíclico](https://fernandorevilla.es/2018/10/29/todo-grupo-de-orden-primo-es-ciclico/) - Demostramos que todo grupo de orden primo es cíclico y como aplicación determinamos todos los grupos de órdenes $n=1,2,3,5,7.$ Teorema. Sea $G$ un grupo tal que $|G|=p$ primo. Entonces, $G$ es grupo cíclico. Demostración. Como $|G|=p\ge 2$, el grupo tiene más de un elemento. Sea $g\in G$ con $g\ne e$ ($e$ elemento neutro de $G$).
- [Los grupos  $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos](https://fernandorevilla.es/2018/05/08/los-grupos-mathbbrtimes-y-mathbbctimes-no-son-isomorfos/) - Demostramos que los grupos multiplicativos de los reales y los complejos no son isomorfos. Enunciado Demostrar que los grupos multiplicativos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos. Solución Supongamos que existe un isomorfismo $f:\mathbb{C}^\times\to \mathbb{R}^\times.$ Tenemos $f(i^2)=f(-1).$ Ahora bien, $$1=f(1)=f[(-1)(-1)]=f(-1)f(-1)=f(-1)^2\Rightarrow f(-1)=\pm 1.$$ Al ser $f$ inyectiva y $f(1)=1$, ha de ser necesariamente $f(-1)=-1.$ Es decir, $f(i^2)=-1$.
- [Todo grupo de orden 4 es abeliano](https://fernandorevilla.es/2015/11/27/todo-grupo-de-orden-4-es-abeliano/) - Demostramos que todo grupo de orden 4 es abeliano. Enunciado Demostrar que todo grupo de orden 4 es abeliano. Solución Sea $G$ un grupo de orden 4. Si $G$ es cíclico, ya está demostrado pues sabemos que todo grupo cíclico es abeliano. Supongamos que $G$ no es cíclico y que $a\in G.$ Como el orden
- [Grupo construido por biyección](https://fernandorevilla.es/2014/03/10/grupo-construido-por-biyeccion/) - Construimos un grupo por medio de una biyección. Enunciado Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales estrictamente positivos y considérese la aplicación $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=\displaystyle\frac{x}{x+1}$. Hallar $C=f(\mathbb{R}^+)$ y razónese si $f:\mathbb{R}^+\to C$ es biyección o no. Si $f^n=f\circ f\circ \ldots \circ f$ ($n$ veces), determinar $f^n(\mathbb{R}^+)$ y $\bigcap_{n\in \mathbb{N}} f^n(\mathbb{R}^+)$. Obtener una
- [Centro de un grupo de matrices](https://fernandorevilla.es/2014/03/16/centro-de-un-grupo-de-matrices/) - Dererminamos el centro de un grupo de matrices. Enunciado Demostrar que el conjunto $H$ de matrices de la forma $$X=\begin{bmatrix}{1}&{x}&{z}\{0}&{1}&{y}\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\quad x,y,z\in\mathbb{R},$$ forma un grupo con la operación producto de matrices. Calcular su centro. (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Caminos, UPM). Solución Veamos que $H$ es un subgrupo del grupo multiplicativo $G$ formado por
- [Grupo de aplicaciones afines](https://fernandorevilla.es/2014/03/09/grupo-de-aplicaciones-afines/) - En este problema estudiamos un grupo de aplicaciones afines. Enunciado Sea $C$ el conjunto de las aplicaciones $f_{ab}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definidas por $f_{ab}(x)=ax+b,$ con $ a, b$ números reales. Determinar una condición necesaria y suficiente que han de satisfacer los coeficientes $a$ y $b$ para que $C$ sea grupo respecto de la composición de aplicaciones. Comprobar
- [Relación y operaciones en el plano](https://fernandorevilla.es/2014/03/13/relacion-y-operaciones-en-el-plano/) - Estudiamos una relación de equivalencia y operaciones en el plano. Enunciado En el conjunto de los puntos del plano $\pi$ referidos a un par de ejes rectangulares $XOY$ se consideran: a) La ley de composición $A*B=M$ siendo $M$ el punto de corte de la paralela por $A$ a $OX$ con la paralela por $B$ a
- [Conjunto, grupo y aplicación](https://fernandorevilla.es/2014/03/12/conjunto-grupo-y-aplicacion/) - Relacionamos un conjunto, un grupo y una aplicación. Enunciado Se consideran los objetos matemáticos siguientes: $(a)$ Un conjunto $E$. $(b)$ Un grupo multiplicativo $G$ con elemento unidad $e$. $(c)$ Una aplicación $\varphi: G\times E\to E$ que satisface: $(i)$ $\forall{a,b\in G}\;\forall{x\in E}\quad \varphi (ab,x)=\varphi(a,\varphi (b,x))$. $(ii)$ $\forall x\in E\quad \varphi (e,x)=x$. Se pide: Demostrar que si $F\subset
- [Grupo de funciones matriciales](https://fernandorevilla.es/2014/03/11/grupo-de-funciones-matriciales/) - Estudiamos un grupo de funciones matriciales. Enunciado Sea $M$ el conjunto de las matrices reales $2\times 3.$ Sea $F$ el conjunto de las aplicaciones $f_{AB}:M\to M$ definidas por $f_{AB}(X)=AX+B$ donde $A$ es una matriz invertible $2\times 2$ y $B$ una matriz $2\times 3.$ Calcular $(f_{A_2B_2}\circ f_{A_1B_1})(X),$ y concluir probando que la composición de aplicaciones es
- [Grupo no cíclico](https://fernandorevilla.es/2014/03/11/grupo-no-ciclico/) - Proporcionamos un ejemplo de grupo no cíclico. Enunciado Sea $G=\left\{{f_1,f_2,f_3,f_4}\right\}$ el conjunto de las aplicaciones de $\mathbb{R}-\{0\}$ en $\mathbb{R}-\{0\}$ definidas mediante: $$f_1(x)=x\;,\;f_2(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\;,\;f_3(x)=-x\;,\;f_4(x)=-\displaystyle\frac{1}{x}.$$ Demostrar que $G$ es un grupo con la operación composición de aplicaciones. Verificar que no es grupo cíclico. Demostrar que las cuatro sustituciones $$i=\begin{pmatrix}{1}&{2}&{3}&{4}\{1}&{2}&{3}&{4}\end{pmatrix},\quad r=\begin{pmatrix}{1}&{2}&{3}&{4}\{2}&{1}&{4}&{3}\end{pmatrix},$$ $$s=\begin{pmatrix}{1}&{2}&{3}&{4}\{3}&{4}&{1}&{2}\end{pmatrix},\quad t=\begin{pmatrix}{1}&{2}&{3}&{4}\{4}&{3}&{2}&{1}\end{pmatrix},$$ forman un grupo isomorfo al grupo
- [Tres igualdades en un grupo](https://fernandorevilla.es/2014/03/10/tres-igualdades-en-un-grupo/) - Demostramos que un grupo es abeliano a partir de tres igualdades. Enunciado Sea $(G,\cdot)$ un grupo. Supongamos que existe un entero $k$ tal que para cualesquiera que sean $a$ y $b$ pertenecientes a $G$ se verifica $$(ab)^{k-1}=a^{k-1}b^{k-1},\quad (ab)^{k}=a^{k}b^{k},\quad (ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}.$$ Demostrar que $(G,\cdot)$ es abeliano. (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Aeronaúticos, UPM ). Solución Usando
- [Grupo de las partes con la diferencia simétrica](https://fernandorevilla.es/2015/05/04/grupo-de-las-partes-con-la-diferencia-simetrica/) - Demostramos que el conjunto de las partes de un conjunto es grupo con la operación diferencia simétrica. Enunciado Sea $U$ un conjunto. Demostrar que $(\mathcal{P}(U),\Delta)$ es un grupo conmutativo, en donde $\Delta$ representa la operación diferencia simétrica de conjuntos. Solución Interna. Para todo $A,B$ elementos de $\mathcal{P}(U)$ se verifica $$A\Delta B=(A-B)\cup (B-A)\in \mathcal{P}(U).$$ Asociativa. Ver
- [Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos](https://fernandorevilla.es/2014/03/08/descomposicion-canonica-de-un-homomorfismo-de-grupos/) - Proporcinamos ejercicios sobre la descomposición canónica de un homomorfismo de grupos. Enunciado Sea $f:G\to G'$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G',\cdot).$ Demostrar que: (a) $n:G\to G/\ker f,\; n(x)=x\ker f$ es epimorfismo. (b) $g:G/\ker f\to \operatorname{Im}f,\;g(x\ker f)=f(x)$ es isomorfismo. (c) $i:\operatorname{Im}f\to G',\;i(x)=x$ es monomorfismo. (d) $f=i\circ g\circ n.$ Sea $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ el grupo multiplicativo de
- [Clasificación de homomorfismos de grupos](https://fernandorevilla.es/2014/03/07/clasificacion-de-homomorfismos-de-grupos/) - Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de homomorfismos de grupos. Enunciado Sea $f:G\to G'$ un homomorfismo de grupos. Demostrar que $f$ es monomorfismo $\Leftrightarrow$ $\ker f=\{e\},$ siendo $e$ el neutro de $G.$ Clasificar los siguientes homomorfismos: $(i)$ $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=ax$ ( $a\in\mathbb{R}$ fijo ), entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R},+).$ $(ii)$ $g:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R},$ $g(x)=\log x.$ entre los
- [Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos](https://fernandorevilla.es/2014/03/06/nucleo-e-imagen-de-un-homomorfismo-de-grupos/) - Proporcionamos ejercicios sobre núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos. Enunciado Sea $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ el grupo multiplicativo de los números reales no nulos. Demostrar que $f:\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}^*,\;f(x)=x^2$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ y $(\mathbb{R}^*,\cdot).$ Determinar $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$ Sea $f:G\to G'$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G',\cdot).$ Demostrar que $\ker f$
- [Espacio de funciones y forma de Jordan](https://fernandorevilla.es/2015/03/05/espacio-de-funciones-y-forma-de-jordan/) - Usamos la forma de Jordan de operadores en un espacio de funciones. Enunciado Consideremos el espacio vectorial $V$ generado por el sistema de funciones $$\{1,x,x^2,x^3,\text{sh } x,\text{ch }x\}.$$ Sea $D:V\to V$ la aplicación derivada, es decir $D(f)=f'.$ Calcular unas bases de $\ker D$ e $\text{Im }D.$ Calcular la forma canónica de Jordan $J$ de $D$
- [Formas de Jordan de rango 1](https://fernandorevilla.es/2014/05/28/formas-de-jordan-de-rango-1/) - Estudiamos las formas de Jordan de rango 1. Enunciado Se trata de estudiar las posibles formas canónicas de Jordan (o en su caso, forma diagonal) de las matrices cuadradas de rango 1. 1. Estudiamos en primer lugar un caso particular para matrices $3\times 3.$ Dada la matriz $A=\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\{1}&{a}&{-1}\{1}&{a}&{-1}\end{bmatrix},$ determinar, según los valores del parámetro real
- [Número e y exponencial de una matriz](https://fernandorevilla.es/2014/06/13/numero-e-y-exponencial-de-una-matriz/) - Se define la exponencial de una matriz como generalización de la exponencial real. Enunciado En la Enseñanza Media se define el número $e$ como el límite: $\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m,$ y de manera más general resulta ser $e^a=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}a\right)^m,$ donde $a$ es un número real cualquiera. Se puede intentar definir formalmente la exponencial de la
- [Forma canónica del operador derivación](https://fernandorevilla.es/2014/04/01/forma-canonica-del-operador-derivacion/) - Determinamos la forma canónica del operador derivación y una correspondiente matriz de paso. Enunciado Sea $V$ el espacio vectorial real formado por los polinomios $q(x)$ de grado menor o igual que $n$, respecto de las operaciones usuales. Se considera la aplicación lineal $D:V\to V,\quad q(x)\to D(q(x))=q'(x).$ Hallar la matriz $A$ de $D$ respecto de la
- [Potencia enésima por forma de Jordan](https://fernandorevilla.es/2014/04/05/potencia-enesima-por-forma-de-jordan/) - Proporcionamos un ejemplo de cálculo de la potencia enésima de una matriz mediante su forma de Jordan. Enunciado Se considera la matriz $A=\begin{bmatrix}{2}&{6}&{-15}\{1}&{1}&{-5}\{1}&{2}&{-6}\end{bmatrix}\;.$ Determinar la forma canónica de Jordan $J$ de $A$ y una matriz $P$ invertible tal que $P^{-1}AP=J.$ Como aplicación del apartado anterior, hallar $A^n\;(n\in\mathbb{N}).$ Solución Hallemos los valores propios de $A.$ Para
- [Cálculo de una base de Jordan](https://fernandorevilla.es/2014/04/04/calculo-de-una-base-de-jordan/) - Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de una base de Jordan. Enunciado Hallar la forma canónica de Jordan $J$ de la matriz $$A=\begin{bmatrix}{0}&{-2}&{\;\;2}&{-1}\{2}&{\;\;3}&{-1}&{\;\;1}\{2}&{\;\;1}&{\;\;1}&{\;\;1}\{4}&{\;\;3}&{-3}&{\;\;4}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{4\times 4}$$ y una matriz invertible $P$ tal que $P^{-1}AP=J.$ Se considera la matriz $$A=\begin{bmatrix}{2}&{6}&{-15}\{1}&{1}&{-5}\{1}&{2}&{-6}\end{bmatrix}\;.$$ Determinar la forma canónica de Jordan $J$ de $A$ y una matriz $P$ invertible tal que $P^{-1}AP=J.$ Solución Hallamos
- [Polinomio mínimo](https://fernandorevilla.es/2014/07/20/polinomio-minimo/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de polinomio mínimo. Enunciado Hallar el polinomio mínimo de la matriz $$A=\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}&0\{0}&{2}&{0}&0\{0}&{0}&{1}&1\0&0&-2&4\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{4\times4}.$$ Hallar el polinomio mínimo de la matriz $$A=\begin{bmatrix}{5}&{-9}&{-4}\{6}&{-11}&{-5}\{-7}&{13}&{6}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}.$$ Hallar el polinomio mínimo del endomorfismo derivación $D$ en $\mathbb{R}_4[x].$ Sea $p(x)=x^3-1$ el polinomio mínimo de un endomorfismo $f$ en $\mathbb{R}^4.$ Demostrar que $f$ es invertible y que $f^{-1}=f^2.$
- [Bloque de Jordan](https://fernandorevilla.es/2014/06/30/bloque-de-jordan/) - En los siguiente ejercicios usamos el concepto de bloque de Jordan. Enunciado Comprobar que la siguiente matriz es nilpotente de orden $4$ $$A=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}& 0\{0}&{0}&{1}&0\{0}&{0}&{0}&1\0&0&0&0\end{bmatrix}.$$ Hallar $A^n$ siendo $A=\begin{bmatrix}{3}&{1}\{0}&{3}\end{bmatrix}.$ Calcular $A^n,$ siendo $A=\begin{bmatrix}{3}&{1}&{0}& 0&0 \{0}&{3}&{0} & 0 & 0 \{0}&{0}&{-1}& 1& 0 \{0}&{0}&{0} & -1 & 1 \{0}&{0}&{0} & 0 &-1\end{bmatrix}.$ Solución Tenemos: $$A^2=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}& 0\{0}&{0}&{1}&0\{0}&{0}&{0}&1\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}& 0\{0}&{0}&{1}&0\{0}&{0}&{0}&1\0&0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}&
- [Homomorfismos de grupos](https://fernandorevilla.es/2014/03/05/homomorfismos-de-grupos/) - Proporcionamos ejercicios sobre homomorfismos de grupos. Enunciado Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=ax$ con $a\in\mathbb{R}$ fijo es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R},+).$ Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=a^x$ con $a>0$ real fijo es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R}-\{0\},\cdot).$ Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=a+x$ con $a$
- [Grupo de clases residuales](https://fernandorevilla.es/2014/03/03/grupo-de-clases-residuales/) - Proporcionamos ejercicios sobre el grupo de clases residuales. Enunciado Construir la tabla de Cayley de $\mathbb{Z}/(3)=\left\{0,1,2\right\}.$ Construir las tablas de Cayley de $(\mathbb{Z}_2,+)$ y $(\mathbb{Z}_4,+).$ Construir la tabla de Cayley de $(\mathbb{Z}_6,+).$ Escribir el opuesto de cada elemento. Construir la tabla de Cayley de $(\mathbb{Z}_5,+).$ Escribir el opuesto de cada elemento. Solución Dado que $a+b$
- [Grupo cociente](https://fernandorevilla.es/2014/03/01/grupo-cociente/) - Proporcionamos ejercicios sobre el grupo cociente. Enunciado Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Demostrar que: $(i)$ La relación en $G:$ $xRy\Leftrightarrow xy^{-1}\in H$ es de equivalencia. $(ii)$ Si $H$ es subgrupo normal, para todo $g\in G$ la clase de equivalencia a la que pertenece $g$ es $gH.$ Sea $(G,\cdot)$ un grupo
- [Subgrupo normal y centro](https://fernandorevilla.es/2014/03/09/subgrupo-normal-y-centro/) - Demostramos que un subgrupo es normal y hallamos el centro del grupo. Enunciado En $G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ se define la ley de composición interna $*$ mediante$$(x_1,y_1)*(x_2,y_2)=(x_1+(-1)^{y_1}x_2,y_1+y_2).$$ Se pide: Probar que ley $*$ confiere a $G$ estructura de grupo no abeliano. Demostrar que el subconjunto $H=\{(x,y)\in G:y=0\}$ es un subgrupo normal de $G$. Hallar el centro de
- [Subgrupos normales](https://fernandorevilla.es/2014/02/27/subgrupos-normales/) - Proporcionamos ejercicios sobre subgrupos normales. Enunciado Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Se definen en $G$ las relaciones: $$xRy\Leftrightarrow xy^{-1}\in H,\quad xSy\Leftrightarrow x^{-1}y\in H.$$ (a) Demostrar que $R$ y $S$ son relaciones de equivalencia en $G.$ (b) Determinar los conjuntos cocientes $G/R$ y $G/S.$ (c) Demostrar que $H$ es subgrupo normal
- [Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo](https://fernandorevilla.es/2018/08/28/matrices-idempotentes-de-orden-2-sobre-un-cuerpo/) - Determinamos todas las matrices idempotentes de orden $2$ sobre cualquier cuerpo. Enunciado Para cualquier cuerpo $\mathbb{K}$, determinar todas las matrices idempotentes de $\mathbb{K}^{2\times 2}.$ Solución Sabemos que todo endomorfismo idempotente $f:E\to E$ en un espacio vectorial de dimensión finita $E$ es diagonalizable con valores propios a lo sumo $0$ y $1$ (ver Endomorfismo idempotente). Por
- [Valores propios y determinante de una matriz circulante](https://fernandorevilla.es/2017/11/29/valores-propios-y-determinante-de-una-matriz-circulante/) - Calculamos los valores propios y el determinante de una matriz circulante genérica.
- [Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos](https://fernandorevilla.es/2017/01/31/espacio-vectorial-como-suma-directa-de-dos-nucleos/) - Descomponemos un espacio vectorial como suma directa de dos núcleos. Enunciado Sea $T\in \text{End}_{\mathbb{K}}(E)$ y $f,g,h\in\mathbb{K}[t]$ tales que $$f(t)=g(t)h(t),\quad f(T)=0,\quad g,h\text{ primos entre sí.}$$ Demostrar que $E=\ker g(T)\oplus \ker h(T).$ Solución Al ser $g$ y $h$ son primos entre sí, existen (lema de Bezout) polinomios $r(t)$ y $s(t)$ tales que $r(t)g(t)+s(t)h(t)=1,$ lo cual implica que
- [Matrices componentes](https://fernandorevilla.es/2014/03/27/matrices-componentes/) - Proporcionamos un ejercicio de cálculo de funciones de matrices mediante matrices componentes. Enunciado Se considera la matriz real $A=\begin{bmatrix}{5}&{-1}\{1}&{\;\;3}\end{bmatrix}.$ $(a)$ Calcular sus matrices componentes. $(b)$ Como aplicación, calcular $\sqrt{A},$ $A^{-1}$ y $e^{A}.$ Solución Recordamos el siguiente teorema: Sea $A\in{\mathbb{K}^{n\times{n}}}$ con $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ de polinomio mínimo $\mu(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\ldots(\lambda-\lambda_s)^{m_s}.$ Entonces, existen matrices $A_{ik}$ con $i=1,2\ldots,s,\;k=0,1,\ldots,m_i-1$ tales que
- [Coseno de una matriz](https://fernandorevilla.es/2014/04/07/coseno-de-una-matriz/) - Calculamos el coseno de una matriz. Enunciado Calcular $\cos \left(\dfrac{\pi}{4}A\right)$ siendo $A=\begin{bmatrix}{-1/3}&{\;\;2/3}&{-2/3}\{\;\;2/3}&{-1/3}&{-2/3}\{-2/3}&{-2/3}&{-1/3}\end{bmatrix}.$ (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM). Solución Podemos expresar $\dfrac{\pi}{4}A=\dfrac{\pi}{12}B,$ siendo $$B=\begin{bmatrix}{-1}&{\;\;2}&{-2}\{\;\;2}&{-1}&{-2}\{-2}&{-2}&{-1}\end{bmatrix}.$$ Hallemos los valores y vectores propios de $B$ $$\det (B-\lambda I)=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;2}&{-2}\{\;\;2}&{-1-\lambda}&{-2}\{-2}&{-2}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;0}&{-2}\{\;\;2}&{-3-\lambda}&{-2}\{-2}&{-3-\lambda}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}$$$$=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;0}&{-2}\{\;\;2}&{-3-\lambda}&{-2}\{-4}&{\;\;0}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=(-3-\lambda)(\lambda^2-9)=0 \Leftrightarrow -(\lambda-3)(\lambda+3)^2=0.$$ Los valores propios de $B$ son $\lambda_1=3$ simple y $\lambda_2=-3$ doble. Los subespacios propios son $$V_{\lambda_1}\equiv
- [Valor propio y asíntota horizontal](https://fernandorevilla.es/2014/05/16/valor-propio-y-asintota-horizontal/) - Relacionamos los conceptos de valor propio y asíntota horizontal. Enunciado Se considera el espacio vectorial $$E=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:f\mbox { continua y }\lim_{x \to{+}\infty} f(x)\in\mathbb{R}\},$$ es decir la grafica de $f$ tiene una asíntota horizontal para $x\to +\infty.$ Se define la aplicación $T:E\to E$ de la forma $T(f)(x)=f(x+1).$ Demostrar que $T$ es lineal. Demostrar que $\lambda=1$ es
- [Diagonalización de involuciones](https://fernandorevilla.es/2014/04/22/diagonalizacion-de-involuciones/) - Proporcionamos un problema sobre diagonalización de involuciones. Enunciado Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $n$ y $F:V\to V$ una aplicación lineal. Se dice que $F$ es una involución cuando la aplicación compuesta $F\circ F$ es la aplicación identidad de $V$ en $V.$ 1. Sean $F$ y $G$ las aplicaciones lineales de $\mathbb{R}^3$ en
- [Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}$](https://fernandorevilla.es/2014/03/25/limite-de-sucesion-de-puntos-diagonalizando-en-c/) - Como aplicación de la teoría de valores y vectores propios, calculamos el límite de una sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}$ Enunciado Se consideran tres puntos $p_1,p_2,p_3$ sobre la recta real y se construye una sucesión del siguiente modo: $p_4$ es el punto medio del segmento $\overline{p_1p_2}$, $p_5$ es el punto medio de $\overline{p_2p_3}$, $p_6$
- [Generadores de un grupo, grupo cíclico](https://fernandorevilla.es/2014/02/25/generadores-de-un-grupo-grupo-ciclico/) - Proporcionamos ejercicios sobre generadores de un grupo y grupo cíclico. Enunciado Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $S$ un subconjunto no vacío de $G$.. Sea $\langle S \rangle$ el conjunto de todos los elementos de $G$ que son producto de un número finito de elementos de tal manera que cada factor es o bien un elemento
- [Tabla de Cayley](https://fernandorevilla.es/2014/02/24/tabla-de-cayley/) - Proporcionamos ejercicios sobre la tabla de Cayley. Enunciado Construir la tabla de Cayley del grupo $G=\{1,-1\}$ con la operación producto usual de números. Sea $G=\{1,-1,i,-i\}$ en donde $i$ representa la unidad imaginaria. Se considera la operación $\cdot$ producto habitual de números complejos. Construir la correspondiente tabla de Cayley, y demostrar que $(G,\cdot )$ es grupo
- [Subgrupos](https://fernandorevilla.es/2014/02/22/subgrupos/) - Proporcionamos ejercicios de subgrupos. Enunciado Demostrar el teorema de caracterización de subgrupos: Sea $(G,*)$ un grupo y $H\subset G$. Entonces, $H$ es subgrupo de $G$ si y sólo si se verifican las condiciones $(i)$ $H\neq \emptyset.$ $(ii)$ Para todo $x\in H$ y para todo $y\in H$ se verifica $x*y'\in H$. Demostrar que el conjunto $H$
- [Primeras propiedades de los grupos](https://fernandorevilla.es/2014/02/21/primeras-propiedades-de-los-grupos/) - Proporcionamos ejercicios sobre algunas propiedades de los grupos. Enunciado Sea $(G,*)$ un grupo. Demostrar que: $(i)$ El elemento neutro $e$ es único. $(ii)$ Para cada $x\in G$ su simétrico $x'$ es único. $(iii)$ Para cada $x\in G$ se verifica $(x')'=x$ (es decir, el simétrico del simétrico de un elemento es el elemento). $(iv)$ Para cualquier par
- [Endomorfismo idempotente](https://fernandorevilla.es/2014/04/02/endomorfismo-idempotente/) - Demostramos que todo endomorfismo idempotente en un espacio vectorial de dimensión finita es diagonalizable. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y sea $f:E\to E$ un endomorfismo idempotente es decir, que cumple $f^2=f$. 1. Demostrar que $ E=\ker f \oplus{\textrm{Im}f}$. 2. Demostrar que si $f$ no es inyectiva entonces $\ker f$ es
- [Endomorfismo con modelo matemático](https://fernandorevilla.es/2014/05/10/endomorfismo-con-modelo-matematico/) - Estudiamos un endomorfismo con modelo matemático de probabilidades. Enunciado Sea $f$ el endomorfismo en $\mathbb{R}^2$ cuya matriz respecto de la base canónica es $A=\begin{bmatrix}{1/4}&{1/2}\{3/4}&{1/2}\end{bmatrix}$ y sean $C_1=\{x\in\mathbb{R}^2\;:\;x_1\geq 0\;,\;x_2\geq 0\}\;,\;R_k=\{x\in\mathbb{R}^2\; :\;x_1+x_2=k\}$ siendo $k\in\mathbb{R}.$ Se pide: 1. Comprobar que $C_1$ es $f$-invariante. Idem para cada $R_k$. 2. Comprobar que $R_0$ es un subespacio propio de $f$ .
- [Modelo de poblaciones](https://fernandorevilla.es/2014/03/31/modelo-de-poblaciones/) - Aplicamos la diagonalización al estudio de un modelo de poblaciones. Enunciado Una ciudad $A$ es de tránsito, estimándose que de los habitantes que tiene al principio de cada año, al final del mismo han emigrado $2/3$ a una cierta región geográfica $B$ y $1/3$ a otra región $C.$ Por otra parte y durante ese mismo
- [Límite de una sucesión matricial](https://fernandorevilla.es/2014/04/26/limite-de-una-sucesion-matricial/) - Usando diagonalización, hallamos el límite de una sucesión matricial. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ una aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica es $A.$ Se sabe que $f(2,-1)=(1,-1)$ y que $f(1,-2)=(2,-4).$ 1. Determinar $A.$ 2. Hallar los valores y vectores propios de $f.$ 3. Calcular una matriz $P$ tal que $P^{-1}AP$ sea diagonal y
- [Diagonalización en un espacio complejo](https://fernandorevilla.es/2014/04/02/diagonalizacion-en-un-espacio-complejo/) - Estudiamos una diagonalización en el espacio complejo $\mathbb{C}_n[z].$ Enunciado Sea $n\in \mathbb{N}^*$. En el espacio vectorial $\mathbb{C}_n[z]$ sobre $\mathbb{C}$ de los polinomios complejos de grado menor o igual que $n$ se considera la aplicación: $$f_n:\mathbb{C}_n[z]\rightarrow \mathbb{C}_n[z],\quad f_n[p(z)]=(1+z)^np\left(\dfrac{1-z}{1+z}\right).$$ 1. Estudiar la linealidad de $f_n$. 2. Obtener $f_n(p_k)$ siendo $p_k(z)=(1+z)^k$ con $0\leq k \leq n$. Determinar $f_n\circ{f_n}$.
- [Un determinante por recurrencia](https://fernandorevilla.es/2014/04/01/un-determinante-por-recurrencia/) - Calculamos un determinante por recurrencia usando la teoria de valores y vectores propios. Enunciado Sea $n\in{\mathbb{N}^*},\;A_n\in\mathbb{R}^{n\times n}$ y $D_n=|A_n|$. En todo lo que sigue supondremos la existencia de $p,q\in \mathbb{R}$ tales que si $n> 2$, $D_n=pD_{n-1}+qD_{n-2}$. Se pide: 1. Si $q=0$ , hallar $D_n$ en función de $p,n,D_2$. 2. Si $q\neq 0$ y $r,s$ son
- [Logaritmo de una matriz](https://fernandorevilla.es/2014/04/04/logaritmo-de-una-matriz/) - Se define el logaritmo de una matriz y se estudian algunas de sus propiedades. Enunciado Sean: $i)$ $A=\begin{bmatrix}{0}&{-2}&{-2}\{1}&{\;\;3}&{\;\;1}\{0}&{\;\;0}&{\;\;2}\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{3\times 3}.$ $ii)$ $\mathcal{S}$ el conjunto formado por todas las matrices de $\mathbb{R}^{3\times 3}$ tales que son diagonalizables y tienen todos los valores propios mayores que cero. $iii)$ La función $\log: \mathcal{S}\rightarrow \mathbb{R}^{3\times 3}$ que cumple las
- [Valores propios de una matriz nilpotente](https://fernandorevilla.es/2014/06/17/valores-propios-de-una-matriz-nilpotente/) - En este problema se analizan los valores propios de una matriz nilpotente. Enunciado Sea $A$ matriz cuadrada nilpotente, es decir existe un entero positivo $m$ tal que $A^m=0$. Se pide: $(a)$ Demostrar que $\lambda=0$ es valor propio de $A$. $(b)$ Demostrar que $\lambda=0$ es el único valor propio de $A$. Solución $(a)$ Existe $m$ entero
- [Diagonalización de un endomorfismo en $\mathbb{R}_2[x]$](https://fernandorevilla.es/2015/05/06/diagonalizacion-de-un-endomorfismo-en-r_2x/) - Efectuamos la diagonalización de un endomorfismo de $\mathbb{R}_2[x].$ Enunciado Se considera el endomorfismo $T$ en $\mathbb{R}_2[x]$ definido por$$T\left(p(x)\right)=p(x+1)+(x+1)p'(x+1).$$$1)$ Hallar la matriz $A$ de $T$ en la base canónica de $\mathbb{R}_2[x]$ $2)$ Demostrar que $T$ es diagonalizable. $3)$ Hallar una base de $\mathbb{R}_2[x]$ que lo diagonaliza y la matriz diagonal $D$ de $T$ en dicha base.
- [Diagonalización de un endomorfismo en $M_2(\mathbb{R})$](https://fernandorevilla.es/2015/05/06/diagonalizacion-de-un-endomorfismo-en-m_2r/) - Efectuamos la diagonalización de un endomorfismo en el espacio $M_2(\mathbb{R}).$ Enunciado Sea $E=\mathbb{R}^{2\times 2}$ el espacio vectorial real de las matrices de orden $2$. Se considera la aplicación $$f:E\to E\;,\quad f(X)=X^t\text{ (traspuesta de }X).$$ Demostrar que $f$ es lineal. Hallar la matriz $A$ de $f$ con respecto a la base canónica de $E$. Calcular los
- [Estudio de la biyectividad de $\scriptstyle f(X)=(A\cap X,B\cap X)$](https://fernandorevilla.es/2015/10/11/estudio-de-la-biyectividad-de-fxacap-xbcap-x/) - Estudiamos la biyectividad de una función de conjuntos. Enunciado Sean $A$ y $B$ dos partes no vacías de un conjunto $E$ y $$f:\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B),\quad f(X)=(A\cap X,B\cap X).$$ Estudiar la inyectividad de $f.$ Estudiar la sobreyectividad de $f.$ Determinar $f^{-1}$ en los casos en los que $f$ sea biyectiva. Solución Veamos que $f$ es inyectiva
- [Factorización canónica de la función seno](https://fernandorevilla.es/2015/04/20/factorizacion-canonica-de-la-funcion-seno/) - Proponemos como ejemplo de factorización canónica, a la función seno. Enunciado Efectuar la factorización canónica de la aplicación $\;f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $\;f(x)=\text{sen }x.$ Solución La relación de equivalencia $\sim$ asociada a la aplicación $f$ es $s\sim t$ $\Leftrightarrow$ $f(s)=f(t),$ o bien $s\sim t$ $\Leftrightarrow$ $\text{sen }s=\text{sen }t.$ Determinemos $\mathbb{R}/\sim.$ Una clase genérica es: $$[x]=\{s\in\mathbb{R}:s\sim x\}=\{s\in\mathbb{R}:f(s)=f(x)\}=\{s\in\mathbb{R}:\text{sen }s=\text{sen
- [Aplicación involutiva](https://fernandorevilla.es/2015/05/02/aplicacion-involutiva/) - Estudiamos en qué casos una aplicación afín es involutiva. Enunciado Sea $A$ un conjunto. Se dice que la aplicación $f:A\to A$ es involutiva si, y sólo si $f\circ f=I_A.$ Determinar los valores de $a$ y $b$ reales para que la aplicación $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=ax+b$$ sea involutiva. Solución Tenemos las equivalencias $$f\text{ involutiva}\Leftrightarrow f\circ f=I_{\mathbb{R}}\Leftrightarrow (f\circ
- [Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$](https://fernandorevilla.es/2015/04/20/biyeccion-entre-11-y-mathbbr/) - Establecemos una biyección entre $(-1,1$) y $\mathbb{R}.$ Enunciado Demostrar que la siguiente función es biyectiva y determinar su inversa $$f:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\dfrac{x}{1-\left|x\right|}.$$ Solución La función está bien definida pues si $x\in (-1,1)$, entonces $|x|
- [Valores propios del endomorfismo inverso](https://fernandorevilla.es/2015/05/06/valores-propios-del-endomorfismo-inverso/) - Demostramos que los valores propios del endomorfismo inverso son los inversos de los valores propios. Enunciado Sea $\lambda$ un valor propio de un endomorfismo $f:E\to E$ invertible. Demostrar que $\lambda\neq 0$. Demostrar que $1/\lambda$ es valor propio de $f^{-1}$. Aplicación: se considera la matriz $$A=\begin{bmatrix}{2}&{3}\{3}&{2}\end{bmatrix}.$$Hallar los valores y vectores propios de $A^{-1}$. Solución Supongamos que
- [Suma y producto de valores propios](https://fernandorevilla.es/2015/05/06/suma-y-producto-de-valores-propios/) - Calculamos la suma y el producto de los valores propios de una matriz diagonalizable. Enunciado Se considera la matriz real$$A=\begin{bmatrix}{1}&{5}&{6}\{5}&{0}&{3}\{6}&{3}&{4}\end{bmatrix}.$$Hallar la suma y el producto de sus valores propios sabiendo que es diagonalizable. Solución Por hipótesis, existe $P\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ invertible cumpliendo:$$P^{-1}AP=D, \text{ con } D=\begin{bmatrix}{\lambda_1}&{0}&{0}\{0}&{\lambda_2}&{0}\{0}&{0}&{\lambda_3}\end{bmatrix},$$siendo $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ los valores propios de $A$. Como $A$ y $D$
- [Diagonalización según parámetros](https://fernandorevilla.es/2014/05/22/diagonalizacion-segun-parametros/) - Aplicaremos el teorema fundamental para discutir la diagonalización según parámetros. Enunciado Determinar los valores de $\alpha\in\mathbb{R}$ para los cuales es diagonalizable en $\mathbb{R}$ la matriz$$A=\begin{bmatrix}{2\alpha+4}&{1-\alpha}&{-2\alpha -\alpha^2}\{0}&{4-\alpha}&{0}\{0}&{0}&{4-\alpha^2}\end{bmatrix}.$$ Determinar los valores de $\alpha$ y $\beta$ reales para los cuales es diagonalizable en $\mathbb{R}$ la matriz $$A=\begin{bmatrix}{5}&{\;\;0}&{0}\{0}&{-1}&{\beta}\{3}&{\;\;0}&{\alpha}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}.$$ Determinar los valores de $a,b,c\in\mathbb{R}$ para los cuales es diagonalizable
- [Teorema de Cayley-Hamilton](https://fernandorevilla.es/2014/06/14/teorema-de-cayley-hamilton/) - Proporcionamos ejercicios de aplicación del teorema de Cayley-Hamilton. Enunciado Verificar la validez del teorema de Cayley-Hamilton para la matriz $$A=\begin{bmatrix}{3}&{-1}\{2}&{\;\;1}\end{bmatrix}.$$ Se considera la matriz $A=\begin{bmatrix}{4}&{2}\{3}&{3}\end{bmatrix}.$ Usando el teorema de Cayley-Hamilton, expresar $A^{-1}$ como combinación lineal de $I$ y de $A$. Se considera la matriz $A=\begin{bmatrix}{4}&{2}\{3}&{3}\end{bmatrix}.$ Hallar su potencia enésima $(a)$ Por diagonalización. $(b)$ Usando el
- [Potencia enésima de una matriz por diagonalización](https://fernandorevilla.es/2014/06/13/potencia-enesima-de-una-matriz-por-diagonalizacion/) - Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de la potencia enésima de una matriz por diagonalización. Enunciado Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $m$ con elementos en un cuerpo $\mathbb{K}$ y diagonalizable. Deducir la fórmula para $ A^n $ en función de la correspondiente matriz diagonal y la matriz de paso. Calcular la potencia enésima de
- [Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico](https://fernandorevilla.es/2014/06/10/calculo-de-valores-y-vectores-propios-polinomio-caracteristico/) - Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de valores y vectores propios y el polinomio característico. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfismo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{2}\{1}&{3}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Calcular los valores propios de $f$. $(b)$ Determinar los subespacios propios, sus dimensiones y una base de cada uno
- [Primeras propiedades de los valores y vectores propios](https://fernandorevilla.es/2014/06/08/primeras-propiedades-de-los-valores-y-vectores-propios/) - Proporcionamos ejercicios sobre las primeras propiedades de los valores y vectores propios. Enunciado Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ de dimensión finita $n$ y $f:E\to E$ un endomorfismo. Demostrar que si $B$ es una base de $E$ formada por vectores propios de $f$, entonces la matriz de $f$ en la base $B$ es
- [Espacio vectorial de las matrices circulantes](https://fernandorevilla.es/2017/11/27/espacio-vectorial-de-las-matrices-circulantes/) - Demostramos que el conjunto de las matrices circulantes tiene estructura de espacio vectorial, hallamos su dimensión y una base.
- [Imágenes directas e inversas de conjuntos](https://fernandorevilla.es/2014/02/14/imagenes-directas-e-inversas-de-conjuntos/) - Proporcionamos ejercicos sobre imágenes directas e inversas de conjuntos asociados a una aplicación. Enunciado Consideremos $X=\{1,2,3,4\},$ $Y=\{a,b,c\}$, la aplicación $f:X\to Y$ dada por $$f(1)=a,\;f(2)=a,\;f(3)=c,\;f(4)=c,$$ y los conjuntos $A=\{1,3\}$ y $B=\{a,b\}$. Determinar $f(A)$ y $f^{-1}(B).$ Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$. Determinar $(i)\;f^{-1}\left(\{36\}\right).$ $(ii)\;f^{-1}\left(\{-25\}\right).$ $(iii)$ $f^{-1}\left(\{x:x\leq 0\}\right)$. $(iv)\;f^{-1}\left(\{x:25\leq x\leq 36\}\right).$ $(v)\;f^{-1}\left(\{x:x\geq 0\}\right)$. Sea $f:X\to Y$ una
- [Aplicación identidad, aplicación inversa](https://fernandorevilla.es/2014/02/13/aplicacion-identidad-aplicacion-inversa/) - Proporcionamos ejercicios sobre aplicación identidad y aplicación inversa. Enunciado Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=-3x+2$ es biyectiva y determinar $f^{-1}$. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=-x^3+4$ es biyectiva y determinar $f^{-1}$. Sea $f:A\to B$ biyectiva. Demostrar que $(i)$ $f^{-1}$ es biyectiva. $(ii)$ $I_B\circ f=f=f\circ I_A.$ $(iii)$ $f^{-1}\circ f=I_A,\;f\circ f^{-1}=I_B.$
- [Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas](https://fernandorevilla.es/2014/02/13/aplicaciones-inyectivas-sobreyectivas-y-biyectivas/) - Proporcionamos ejercicios sobre aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Enunciado Sea $A$ un conjunto no vacío y la aplicación $f:A\to \mathcal{P}(A)$ dada por $f(a)=\{a\}.$ Estudiar si es inyectiva y/o sobreyectiva. Sea $A$ un conjunto no vacío y la aplicación $f:\mathcal{P}(A)\to \mathcal{P}(A)$ dada por $f(X)=X^c.$ Estudiar si biyectiva. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=2x+5$
- [Concepto de función](https://fernandorevilla.es/2014/02/12/concepto-de-funcion/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de función. Enunciado Se consideran los conjuntos $A=\{1,2,3,4\}$ y $B=\{x,y,z,u,v,w\}$. Sea la aplicación $f:A\to B$ la aplicación dada por $f(1)=x,$ $f(2)=z,$ $f(3)=u,$ $f(4)=x$. $(i)$ Hallar los originales de cada elemento de $B$. $(ii)$ Hallar la imagen de $f$. $(iii)$ Hallar el grafo de $f$. Se considera la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
- [Endomorfismo en $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$](https://fernandorevilla.es/2014/05/12/endomorfismo-en-c-sobre-r/) - Estudiamos un endomorfismo en el espacio vectorial $\mathbb{C}$ sobre el cuerpo $\mathbb{R}.$ Enunciado Sea $\mathbb{C}$ el espacio vectorial de los números complejos respecto del cuerpo $\mathbb{R}$ de los números reales. Se considera la aplicación $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ definida para todo $z\in\mathbb{C}$ por $f(z)=uz,$ en donde $u=1+i$ siendo $i$ la unidad imaginaria. 1. Demostrar que $f$ es
- [Dos aplicaciones lineales](https://fernandorevilla.es/2014/05/30/dos-aplicaciones-lineales/) - Estudiamos dos aplicaciones lineales en el espacio de las funciones infinitamente derivables. Enunciado Sea $E$ el espacio vectorial de las funciones reales de una variable real que son indefinidamente derivables, con las operaciones habituales de suma de funciones y producto por números reales. Se consideran en $E$ las aplicaciones $\mathcal{I}$ y $\mathcal{D}$ definidas por $$\mathcal{I}\left(f(x)\right)=\int_0^xf(t)\;dt,\quad
- [Clasificación de una familia de endomorfismos](https://fernandorevilla.es/2014/05/12/clasificacion-de-una-familia-de-endomorfismos/) - Efectuamos la clasificación de una familia de endomorfismos que depende de un parámetro. Enunciado Se consideran los homomorfismos $f_{\lambda}$ de un espacio $V_3(\mathbb{R})$ definidos por las ecuaciones $\left \{ \begin{matrix}f_{\lambda}(e_1)=e_1+e_2+\lambda e_3\f_{\lambda}(e_2)=e_1+\lambda e_2+e_3\f_{\lambda}(e_1)=e_1+e_2+\lambda^2 e_3,\end{matrix}\right.$ donde $\lambda\in\mathbb{R}$ y $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ es una base de $V_3(\mathbb{R}).$ 1. Clasificar en función de $\lambda$ los distintos endomorfismos $f_{\lambda}$ indicando su naturaleza.
- [Interpolación en el espacio dual](https://fernandorevilla.es/2014/04/19/interpolacion-en-el-espacio-dual/) - Estudiamos el problema de la interpolación en el espacio dual. Enunciado Sea $V$ el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y de grado menor o igual que 2. Se consideran las formas lineales $f_0,f_1,f_2:V\to \mathbb{R}$ definidas por $\left=p(0),\quad\left=p^{\prime}(0),\quad\left=p^{\prime\prime}(0).$ Estas formas lineales son una base del espacio dual $V^*.$ 1. Encontrar una base de
- [Un operador traspuesto en el espacio dual](https://fernandorevilla.es/2014/05/12/un-operador-traspuesto-en-el-espacio-dual/) - Estudiamos un operador traspuesto en el espacio dual. Enunciado Sea $E=\{p\in\mathbb{R}[x]:\mbox{gr }p
- [Endomorfismo en un subespacio de C(R)](https://fernandorevilla.es/2014/04/01/endomorfismo-en-un-subespacio-de-cr/) - Estudiamos un endomorfismo en un subespacio de $C(\mathbb{R}).$ Enunciado En el espacio vectorial $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ se consideran $\phi_1,\phi_2,\phi_3$ definidas $\forall x\in \mathbb{R}$ por: $\phi_1(x)=1,\;\phi_2(x)=x,\;\phi_3(x)=x\log |x|\;\textrm{si}\;x\neq 0,\;\phi_3(0)=0 .$ 1. Probar que $B=(\phi_1,\phi_2,\phi_3)$ es una familia libre en $\mathcal{C}(\mathbb{R})$. Si $E$ es el subespacio vectorial de $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ generado por $B$,
- [Sucesiones exactas](https://fernandorevilla.es/2014/04/02/sucesiones-exactas/) - Se definen las sucesiones exactas y se estudian algunas de sus propiedades. Enunciado Sean $E,\;F,\;G,\;H$ espacios vectoriales, y sean $f:E\to F$, $g:F\to G$, $h:G\to H$ aplicaciones lineales. Se dice que la sucesión $E\overset{f}{\to} F\overset{g}{\to} G$ es exacta en $F$ cuando $\textrm{Im}f=\ker g$. Supongamos que $\dim E=0$. Enunciar y demostrar una condición necesaria y suficiente que
- [Endomorfismo y suma $S_4=1^4+...+n^4$](https://fernandorevilla.es/2014/04/02/endomorfismo-y-suma-s_414-n4/) - Construimos un endomorfismo para calcular la suma $S_4=1^4+...+n^4.$ Enunciado Sea $\mathbb{R}_5[x]$ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor que $6$ con coeficientes en $\mathbb{R}$ . Se considera la aplicación $T:\mathbb{R}_5[x]\rightarrow{\mathbb{R}_5[x]}$ definida por $\forall p(x) \in \mathbb{R}_5[x],\;T(p(x))=p(x+1)-p(x)$ . Demostrar que $T$ es lineal. Estudiar si es cierto el siguiente enunciado: $p\in \ker T\Leftrightarrow\;p$
- [Hiperplanos](https://fernandorevilla.es/2014/05/19/hiperplanos/) - Estudiamos hiperplanos de un espacio vectorial. Enunciado Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $n>1.$ Se dice que $H$ es un hiperplano de $V$ cuando $H$ es un subespacio vectorial de dimensión $n-1.$ Se pide: Determinar cuales de los subconjuntos $H_1,H_2,H_3,H_4$ del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ son subespacios, y cuales hiperplanos. Justificar las respuestas. $$\begin{aligned}
- [Un endomorfismo nilpotente](https://fernandorevilla.es/2014/04/18/un-endomorfismo-nilpotente/) - Estudiamos un endomorfismo nilpotente. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ la aplicación lineal que tiene respecto a la base canónica $\{e_1,e_2,e_3\}$ asociada la matriz $$A=\begin{bmatrix}{\;\;\;0}&{1}&{-\sin \theta}\{-1}&{0}&{\;\;\;\cos \theta}\{-\sin \theta}&{\cos \theta}&{\;\;\;0}\end{bmatrix}\quad (\theta \mbox { constante }).$$ Se pide: Probar que la aplicación $f^3=f\circ f\circ f$ es la aplicación nula. Si para $k\in \mathbb{R}$ se define la aplicación lineal $\varphi_k:\mathbb{R}^3\to
- [Finura de las relaciones de orden](https://fernandorevilla.es/2014/03/04/finura-de-las-relaciones-de-orden/) - Estudiamos la relación finura de las relaciones de orden. Enunciado Sea $E$ un conjunto y $\Omega$ el conjunto de todas las relaciones de orden definidas en $E.$ Diremos que la relación de orden $\hat{w}$ es mas fina que la relación $w$ si y sólo si $(\forall x,y \in E)(x\;w\;y\Rightarrow x\;\widehat{w}\;y)$ Sea $E=\mathbb{N},$ compárese la finura
- [Tres relaciones en $\mathbb{N}$](https://fernandorevilla.es/2014/03/31/tres-relaciones-en-mathbbn/) - Estudiamos tres relaciones en el conjunto de los números naturales. Enunciado En el conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales ($0\not\in\mathbb{N}$) se definen las siguientes relaciones: $(a)$ La relación $R$ tal que $aRb\Leftrightarrow a\mbox{ es divisible por }b $ $(b)$ La relación $S$ tal que $aSb\Leftrightarrow a+b\mbox{ es múltiplo de }2 $ $(c)$ La relación $T$
- [Relación de equivalencia en R[x]](https://fernandorevilla.es/2015/05/02/relacion-de-equivalencia-en-rx/) - Estudiamos una relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$ y determinamos su conjunto cociente. Enunciado Sea $\mathbb{R}[x]$ el conjunto de los polinomios $p(x)$ en la indeterminada $x$ y con coeficientes reales. En $\mathbb{R}[x]$ se define la relación: $$p_1(x)Rp_2(x)\Leftrightarrow \exists q(x)\in \mathbb{R}[x]:p_2(x)-p_1(x)=q(x)(x^2+1).$$ Demostrar que $R$ es relación de equivalencia. Demostrar que cada clase admite un representante de grado
- [Diagramas de Hasse](https://fernandorevilla.es/2014/02/10/diagramas-de-hasse/) - Proporcionamos ejercicios sobre diagramas de Hasse. Enunciado Consideremos el conjunto $A=\{a,b,c,d,e\}$ con la relación de orden $\le$ dada por el diagrama de Hasse: Escribir la relación como conjunto de pares ordenados. Consideremos el conjunto $A=\{1,2,3,4\}$ con la relación de orden $\le$ usual. Dibujar el correspondiente diagrama de Hasse. En el conjunto $A=\{a,b,c,d\}$ se considera la
- [Matrices de aplicaciones lineales](https://fernandorevilla.es/2014/05/12/matrices-de-aplicaciones-lineales/) - Hacemos cálculos usando matrices de aplicaciones lineales. Enunciado Sean los espacios vectoriales sobre $\mathbb{K}$ de dimensión finita $E(\mathbb{K})$, $F(\mathbb{K})$, $G(\mathbb{K})$ y sean las bases respectivas $B_E=\{u_1,u_2,u_3\}$, $B_F=\{v_1,v_2,v_3\}$ y $B_G=\{w_1,w_2,w_3\}$. Sean los homomorfismos $f\in\mathcal{L}(E,F)$, $g\in\mathcal{L}(F,G)$ definidos por $$\left \{ \begin{matrix}f(u_1)=2v_1-v_3\f(u_2)=v_2+2v_3\f(u_3)=v_1+2v_3\end{matrix}\right.\;,\qquad \left \{ \begin{matrix}g(v_1+v_3)=2w_1+4w_2+6w_3\g(v_2)=w_2\g(v_1-v_3)=2w_1+2w_2+6w_3.\end{matrix}\right. $$ Se pide Matriz $M(f)$ asociada a $f$ respecto a $B_E$ y $B_F$.
- [Aplicación transpuesta](https://fernandorevilla.es/2014/05/28/aplicacion-transpuesta/) - Proporcionamos ejercicios sobre la aplicación transpuesta. Enunciado Se considera la aplicación lineal $D:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}_2[x],$ $D(p)=p'.$ Hallar la matriz de la aplicación transpuesta $D^T$ respecto de las bases duales de la canónicas de $\mathbb{R}_2[x]$ y $\mathbb{R}_3[x].$ Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ $E^*$ y $F^*$ sus duales respectivos y $f:E\to F$
- [Subespacio conjugado o anulador](https://fernandorevilla.es/2014/05/28/subespacio-conjugado-o-anulador/) - Proporcionamos ejercicios sobre el subespacio conjugado o anulador. Enunciado En $\mathbb{R}^4$ y respecto de una base $B$ se considera el subespacio de ecuaciones cartesianas: $$F:\left \{ \begin{matrix} x_1-x_2+x_3-2x_4=0\2x_1-x_2+2x_3=0\ x_1+x_2-x_3+3x_4=0 \end{matrix}\right.$$ Hallar unas ecuaciones cartesianas del subespacio conjugado o anulador $F^0,$ en la base $B^*.$ Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $F$ subespacio
- [Cambio de base en el espacio dual](https://fernandorevilla.es/2014/05/27/cambio-de-base-en-el-espacio-dual/) - Proporcionamos ejercicios sobre cambio de base en el espacio dual. Enunciado En $\mathbb{R}^3$ se consideran las bases: $$\begin{aligned}&B_1=\{(1,1,0),\;(-1,0,2),\;(0,2,5)\}\ &B_2=\{(0,1,1),\;(1,1,1),\;(3,1,0)\}.\end{aligned}$$ Hallar la matriz de cambio de $B_1^*$ a $B_2^*.$ Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión $2$, $B$ y $B'$ bases de $E,$ y $P$ la matriz de cambio de $B$ a $B'.$ Demostrar la matriz
- [Espacio dual, base dual](https://fernandorevilla.es/2014/05/26/espacio-dual-base-dual/) - Proporcionamos ejercicios sobre espacio dual y base dual. Enunciado Encontrar la base $B$ de $E=\mathbb{R}_1[x]$ cuya dual es $B^*=\{f_1,f_2\},$ siendo $$f_1[p(x)]=\int_0^1p(x)\;dx,\quad f_2[p(x)]=\int_0^2p(x)\;dx.$$ Encontrar la base dual de la base de $\mathbb{R}^2,$ $B=\{(1,-2),(3,4)\}.$ Usando el concepto de matriz inversa, encontrar la base dual de la base de $\mathbb{R}^3:$ $$B=\{(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)\}.$$ Sea $E=\{p\in \mathbb{R}[x]:\operatorname{grado}p\leq2\}$ y $\varphi \in E^*,$
- [Anillo de los endomorfismos y grupo lineal](https://fernandorevilla.es/2014/05/23/anillo-de-los-endomorfismos-y-grupo-lineal/) - Construimos el anillo de los endomorfismos y el grupo lineal. Enunciado Demostrar que $\left(\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E),+,\circ \right)$ es un anillo unitario, en donde $+$ es la suma habitual de aplicaciones lineales y $\circ$ la composición. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y de dimensión finita $n$. Sea $B$ una base de $E.$ Demostrar que la
- [Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía](https://fernandorevilla.es/2014/05/19/descomposicion-canonica-de-una-aplicacion-lineal-teorema-de-isomorfia/) - Demostramos un teorema de isomorfía, el teorema de la descomposición canónica de una aplicación lineal y damos una ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que (1) $n:E\to E/\ker f,\; n(x)=x+\ker f$ es epimorfismo. (2) $g:E/\ker f\to \operatorname{Im}f,\;g(x+\ker f)=f(x)$ es isomorfismo. (3) $i:\operatorname{Im}f\to F,\;i(x)=x$ es monomorfismo. (4) El siguiente diagrama es
- [Composición de aplicaciones lineales](https://fernandorevilla.es/2014/05/17/composicion-de-aplicaciones-lineales/) - Proporcionamos ejercicios sobre composición de aplicaciones lineales. Enunciado Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}_2[x]\to \mathbb{R}^2$ dada por $$f(a_0+a_1x+a_2x^2)=(a_0+2a_1,4a_0-a_2),$$ y la aplicación lineal $g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ cuya matriz en las bases canónicas de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ es $$\begin{bmatrix}{1}&{3}\{2}&{0}\{-1}&{2}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de $g\circ f$ en las bases canónicas de $\mathbb{R}_2[x]$ y $\mathbb{R}^3.$ Demostrar que $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dado por
- [Orden total, buen orden](https://fernandorevilla.es/2014/02/09/orden-total-buen-orden/) - Proporcionamos ejercicios de orden total y buen orden. Enunciado En $\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$ se considera la relación de orden $x\leq y\Leftrightarrow$ $x$ divide a $y.$ Analizar si es de orden total. ¿Es buen orden? En $\mathbb{Z},$ se define la relación: $xRy\Leftrightarrow x=y^n$ para algún $n$ entero positivo. Demostrar que es relación de orden. ¿Es buen orden? Demostrar
- [Supremo, ínfimo, maximales y minimales](https://fernandorevilla.es/2014/02/08/supremo-infimo-maximales-y-minimales/) - Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de supremo, ínfimo, maximal y minimal. Enunciado En $\mathbb{R}$ con el orden usual, determinar $\inf\; (0,1]$ y $\sup\; (0,1].$ En $\mathbb{R}$ con el orden usual, determinar $\inf \;(-\infty,2)$ y $\sup\; (-\infty,2).$ En $\mathbb{R}$ con el orden $\leq$ usual, calcular: $$\begin{aligned}& 1)\;\sup\{1/x:x\in [1,2]\}. & 2)\;\inf\{1/x:x\in (1,2)\}.\ & 3)\;\sup\{1/x:x>0\}. & 4)\;\inf\{1/x:x\in (0,2]\}.
- [Máximo, mínimo, cotas](https://fernandorevilla.es/2014/02/07/maximo-minimo-cotas/) - Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de máximo, mínimo y cotas. Enunciado En $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$ con el orden usual $\leq,$ hallar, caso de existir los elementos mínimo y máximo. En $\mathbb{Z}^-=\{\ldots,-3,-2,-1\}$ con el orden usual $\leq,$ hallar, caso de existir los elementos mínimo y máximo. En $\mathbb{Z}$ con el orden usual $\leq,$ hallar, caso de existir los
- [Partición de un conjunto](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/particion-de-un-conjunto/) - Proporcionamos ejercicios sobre partición de un conjunto. Enunciado Escribir todas las particiones del conjunto $A=\{a,b,c\}.$ Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$ y sea $[a]$ la clase de equivalencia determinada por $a\in A.$ Demostrar que: $(i)$ Para todo $a\in A$ se verifica $a\in [a].$ $(ii)$ $[a]=[b]\Leftrightarrow aRb.$ $(iii)$ $[a]\neq [b]\Rightarrow [a]\cap [b]=\emptyset.$ Demostrar que
- [El espacio vectorial de las aplicaciones lineales](https://fernandorevilla.es/2014/05/15/el-espacio-vectorial-de-las-aplicaciones-lineales/) - Estudiamos el espacio vectorial de las aplicaciones lineales. Enunciado Sean las aplicaciones lineales $f,g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ cuyas matrices respecto de unas bases dadas son respectivamente:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{3}&{-1}\{1}&{1}&{0}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{0}&{-4}&{-1}\{2}&{2}&{3}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de $2f-3g$ respecto de las bases dadas. Demostrar que $\left(\mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F),+\right)$ es grupo abeliano, estando definida la operación $+$ en la forma: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\; \forall x\in E.$ Demostrar que para todo
- [Clasificación de aplicaciones lineales](https://fernandorevilla.es/2014/05/14/clasificacion-de-aplicaciones-lineales/) - Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de aplicaciones lineales. Enunciado Clasificar las aplicaciones lineales: $1)\;f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3,\;f(x_1,x_2)=(x_1+x_2,\;-x_1+2x_2,\;0).$ $2)\;g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2,\;g(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3,\;x_1+x_2+x_3).$ Demostrar que $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dado por $$f\begin{bmatrix}{x_1}\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{-1}\{4}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\{x_2}\end{bmatrix}$$ es isomorfismo. Para todo $\lambda\in\mathbb{R}$ se considera el endomorfismo $T$ en $\mathbb{R}^3$ cuya matriz en la base canónica es$$A=\begin{bmatrix}{\lambda+2}&{2\lambda+4}&{3\lambda+6}\{\lambda+2}&{3\lambda+6}&{3\lambda+6}\{\lambda+2}&{3\lambda+6}&{4\lambda+5}\end{bmatrix}.$$Determinar los valores de $\lambda$ para los cuales $T$ es isomorfismo. Demostrar que el endomorfismo
- [Núcleo e imagen del operador derivación](https://fernandorevilla.es/2014/05/11/nucleo-e-imagen-del-operador-derivacion/) - Calculamos el núcleo e imagen del operador derivación en el espacio $\mathbb{R}_n[x].$ Enunciado Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}_n[x]\to \mathbb{R}_n[x]$ tal que $f[p(x)]=p'(x).$ Se pide: Demostrar que es lineal. Hallar la matriz de $f$ respecto de la base canónica $B=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}.$ Ecuaciones y una base de $\ker f.$ Ecuaciones y una base de $\mbox{Im} f.$ (Propuesto en
- [Matriz de una aplicación lineal](https://fernandorevilla.es/2014/05/11/matriz-de-una-aplicacion-lineal/) - Proporcionamos ejercicios sobre matriz de una aplicación lineal. Enunciado Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales reales y $B_E=\{u_1,u_2,u_3\},$ $B_F=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Se considera la aplicación lineal $f:E\to F$ definida por: $$\left \{ \begin{matrix} f(u_1)=v_1-v_2+v_3 \f(u_2)=2v_1+2v_2+v_3+2v_4\f(u_3)=4v_2-v_3+2v_4.\end{matrix}\right.$$ Hallar la matriz $A$ de $f$ respecto de las bases $B_E$ y $B_F.$ Se considera la
- [Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales](https://fernandorevilla.es/2014/05/11/teorema-de-las-dimensiones-para-aplicaciones-lineales/) - Demostramos el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales. Enunciado Demostrar el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales: Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ con $\dim E$ finita y sea $f:E\to F$ aplicación lineal. Entonces, $\dim E=\dim (\ker f)+\dim (\operatorname{Im}f).$ Solución Sea $\dim E=n$ y $B_{\ker f}=\{u_1,\ldots,u_p\}$ una base de
- [Cardinal de un espacio vectorial finito](https://fernandorevilla.es/2019/04/23/cardinal-de-un-espacio-vectorial-finito/) - Estudiamos el posible cardinal de un espacio vectorial finito. Enunciado Sea $E\ne \{0\}$ un $K$- espacio vectorial con un número finito de vectores. Demostrar que $K$ es finito. Demostrar que el cardinal de $E$ es de la forma $p^m$ con $p$ primo y $m$ número natural. ¿Existe algún espacio vectorial con $6$ elementos? Solución Sea
- [Un espacio vectorial no usual](https://fernandorevilla.es/2017/11/26/un-espacio-vectorial-no-usual/) - Construimos un espacio vectorial no usual. Enunciado Sea el conjunto $H=\mathbb{R}\times \mathbb{R}_{>0}$. Demostrar que $(H,\oplus)$ es grupo abeliano, estando $\oplus$ definida mediante $$(x,y)\oplus{}(z,w)=(x+z-2,yw).$$ Demostrar que la operación $$\mathbb{R}\times H\to H,\quad λ\otimes{}(x,y)=(λx-2λ+2,y^λ)$$ dota al grupo abeliano $H$ del apartado anterior, de estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{R}$. Solución Interna. Dado que para todo $(x,y),(z,w)\in
- [Relación de equivalencia, conjunto cociente](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/relacion-de-equivalencia-conjunto-cociente/) - Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de relación de equivalencia y conjunto cociente. Enunciado En un conjunto $A$ formado por bolas de colores, demostrar que la relación $xRy$ si y sólo si $x$ tiene el mismo color que $y,$ es de equivalencia. Sea $A$ un conjunto formado por siete bolas numeradas del 1 al 7 y
- [Cardinal de la unión de $n$ conjuntos](https://fernandorevilla.es/2017/11/29/cardinal-de-la-union-de-n-conjuntos/) - Demostramos una fórmula para hallar el cardinal de la unión de $n$ conjuntos.
- [Cardinales de las sigma-álgebras contables](https://fernandorevilla.es/2014/03/24/cardinales-de-las-sigma-algebras-contables/) - Demostramos que todas las sigma-álgebras contables tienen un número finito de elememtos que además es potencia de 2. Enunciado Sea $\mathcal{A}$ una $\sigma$-álgebra contable en $X,$ es decir $\mbox{card }(\mathcal{A})\leq\aleph_0$. Entonces, $\mathcal{A}$ es finita. Además, existe un $n $ natural tal que $\mbox{card }(\mathcal{A})=2^n .$ Solución Definimos en $X$ la siguiente relación: $x\sim y \Leftrightarrow
- [Subespacios transversales](https://fernandorevilla.es/2014/03/21/subespacios-transversales/) - Estudiamos propiedades de los subespacios transversales. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial real. Se dice que dos subespacios vectoriales $U$ y $V$ son transversales cuando $U+V=E.$ Se pide: Determinar cuales de las nueve parejas ordenadas posibles (formadas por dos de estos tres subespacios) son transversales. Justificar la respuesta. $$U=\{x,x,x):x\in \mathbb{R}\}\;,\;V=\{x,x,y):x,y\in \mathbb{R}\}\;,\;W=\{x,y,0):x,y\in \mathbb{R}\}.$$ Sea $f:E\to F$
- [Realificación de un espacio vectorial complejo](https://fernandorevilla.es/2015/05/02/realificacion-de-un-espacio-vectorial-complejo/) - Estudiamos la realificación de un espacio vectorial complejo. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ al que denotamos por $E(\mathbb{C}).$ Se define el espacio realificado de $E(\mathbb{C})$ y se denota por $E(\mathbb{R})$ al espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ obtenido al sustituir en el producto por escalares en $E,$ el cuerpo $\mathbb{C}$ por el cuerpo $\mathbb{R}.$
- [Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto](https://fernandorevilla.es/2015/02/23/espacio-vectorial-de-las-funciones-definidas-en-un-conjunto/) - Construimos el espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto. Enunciado Sea $A$ un conjunto no vacío y sea $F$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Denotamos por $\mathscr{F}(A,F)=\{f:A\to F\}$ al conjunto de las funciones $f$ de $A$ en $F.$ Se definen las operaciones Suma en $\mathscr{F}(A,F).$ Para todo $f,g$ elementos de $\mathscr{F}(A,F)$:
- [Intersección de subespacios de $(\mathbb{Z}_7)^4$](https://fernandorevilla.es/2014/05/12/interseccion-de-subespacios-de-z_74/) - Hallamos una base de la intersección de dos subespacios de $ (\mathbb{Z_7})^4.$ Enunciado En el espacio $(\mathbb{Z}_7)^4$ determinar la intersección de los subespacios dados por $L_1=\left\;,\quad L_2\equiv \left \{ \begin{matrix}2x_1+2x_3-x_4=0\ 3x_1+5x_2-3x_3=0.\end{matrix} \right.$ (Propuesto en hojas de problemas, Álgebra, ETS de Ing, de Caminos, UPM). Solución Las tablas de la suma y producto en $\mathbb{Z}_7=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ son $$\begin{array}{r|*{6}{r}}{+}&0&1&2&3&4&5&6\\hline
- [Cambio de base en orbitales atómicos](https://fernandorevilla.es/2014/05/12/cambio-de-base-en-orbitales-atomicos/) - Proporcionamos un ejemplo de cambio de base aplicado a orbitales atómicos. Enunciado En la interpretación del enlace químico mediante la teoría de orbitales moleculares desempeñan un papel importante los orbitales híbridos. Cuando el estudio se lleva a cabo solamente con los orbitales $s$ y $p$ aparecen tres clases de híbridos a saber: $sp_1,sp_2$ y $sp_3.$
- [Espacio vectorial cociente](https://fernandorevilla.es/2014/06/29/espacio-vectorial-cociente/) - Proporcionamos ejercicios sobre el espacio vectorial cociente. Enunciado Se considera el subespacio $F$ de $\mathbb{R}^4:$ $$ F\equiv \left \{ \begin{matrix} x_1+x_2-x_3+2x_4=0 \ x_1-x_2+3x_3+6x_4=0 .\end{matrix}\right.$$ $(i)$ Hallar una base de $F$. $(ii)$ Hallar una base de $\mathbb{R}^4/F$. $(iii)$ Hallar las coordenadas del vector $(1,-3,2,6)+F$ en la base hallada en el apartado anterior. Sea $E$ espacio vectorial
- [Ecuaciones de los subespacios](https://fernandorevilla.es/2014/06/28/ecuaciones-de-los-subespacios/) - Proporcionamos ejercicios sobre ecuaciones de los subespacios. Enunciado Hallar la dimensión y una base del subespacio vectorial $F$ de $\mathbb{R}^4$ determinado por el sistema:$$\left \{ \begin{matrix} x_1+x_2+x_3-x_4=0\x_1-x_2+2x_3+5x_4=0\-x_1+5x_2-4x_3-17x_4=0\end{matrix}\right.$$ y hallar unas ecuaciones paramétricas de $F.$ Hallar unas ecuaciones implícitas o cartesianas del subespacio de $\mathbb{R}^4:$ $$F\equiv\left \{ \begin{matrix} \begin{aligned}&x_1=\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3 \&x_2=2\lambda_1+\lambda_2 \&x_3=-\lambda_1+3\lambda_2-7\lambda_3\&x_4=\lambda_1+\lambda_3\end{aligned}\end{matrix}\right.\quad(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}).$$ Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y
- [Diferencia simétrica: propiedad asociativa](https://fernandorevilla.es/2014/03/05/diferencia-simetrica-propiedad-asociativa/) - Demostramos la propiedad asociativa de la diferencia simétrica usando las propiedades de la función característica. Enunciado Sean $A,B,C$ subconjuntos de un conjunto universal $X$. Usando propiedades de la función característica, demostrar la propiedad asociativa de la diferencia simétrica, es decir $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$. Solución Para cualquier par de subconjuntos $M$ y $N$ de
- [Función característica](https://fernandorevilla.es/2014/02/19/funcion-caracteristica/) - Proporcionamos un ejercicio sobre las propiedades de la función característica. Enunciado Sea $X$ un conjunto y $M\subset X.$ La función característica de $M$ se define como la función $\mathbf{1}_M : X \to \{ 0,1 \}$ $$\mathbf{1}_M(x) = \begin{cases} 1 &\text{si } x \in M\ 0 &\text{si } x \notin M. \end{cases}$$ Demostrar que para todo
- [Unión e intersección generalizadas](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/union-e-interseccion-generalizadas/) - Proporcionamos ejercicios sobre la unión e intersección generalizadas. Enunciado Se considera el conjunto de índices $J=\{j:j \mbox{ es letra vocal}\}$. Escribir los conjuntos que componen la familia indexada $\{A_j\}$. Escribir de otra manera $\cup_{j}A_j$ y $\cap_{j}A_j$. Sea $I=[0,1]$ y, para cada $i\in I$, sea $A_i=[0,i]$. Determinar $A_{1/3}\cup A_{2/3}$ y $A_{1/3}\cap A_{2/3}$. Sea $B_n=(0,1/n)$, donde $n\in\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$.
- [Diagramas de Venn](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/diagramas-de-venn/) - Proporcionamos ejercicios sobre diagramas de Venn y un anexo teórico. Enunciado Representar mediante diagramas de Venn la diferencia, diferencia simétrica y el complementario. Representar dos conjuntos disjuntos. Esbozar la ley de Morgan $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c,$ por diagramas de Venn. Una empresa que elabora los productos $A$, $B$ y $C$ después de realizar un estudio, descubre
- [Simplificaciones en las partes de un conjunto](https://fernandorevilla.es/2015/04/18/simplificaciones-en-las-partes-de-un-conjunto/) - Proporcionamos ejercicios de simplificaciones en el conjunto des las partes de un conjunto. Enunciado Siendo $A,B,C$ subconjuntos de un conjunto universal $U,$ determinar el complementario del conjunto $(A\cup B^c\cup C^c)\cap (A\cup B\cup C^c).$ Demostrar que $(A\cap B)\cup (A^c\cap B)\cup (A\cap B^c)\cup (A^c\cap B^c)$ es el conjunto universal. Simplificar la expresión $[(A\cap B)\cap C]\cup [(A\cap B)\cap
- [Propiedades del complementario](https://fernandorevilla.es/2014/02/03/propiedades-del-complementario/) - Proporcionamos ejercicios sobre propiedades del complementario. Enunciado En $\mathcal{P}(U)$ demostrar: $\emptyset^c=U,\;U^c=\emptyset.$ $(A^c)^c=A.$ $(a)\;(A\cup B)^c=A^c\cap B^c,\;(b)\;(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ (Leyes de Morgan). $A\subset B\Rightarrow B^c\subset A^c.$ $(a)\;A\cup A^c=U.\quad (b)\;A\cap A^c=\emptyset .$ Solución Tenemos $\emptyset^c=\{x\in U:x\not\in \emptyset\}$. Pero todo elemento $x\in U$ no pertenece a $\emptyset$, en consecuencia $\emptyset^c=U$. Tenemos $U^c=\{x\in U:x\not\in U\}$. Pero ningún elemento $x$ puede
- [Relaciones de inclusión y pertenencia](https://fernandorevilla.es/2014/04/05/relaciones-de-inclusion-y-pertenencia/) - Proporcionamos un ejercicio sobre relaciones de inclusión y pertenencia. Enunciado Analizar cuales de las siguientes fórmulas son ciertas para todo conjunto $A:$ $\emptyset\in\emptyset.$ $\emptyset\in\{\emptyset\}.$ $\emptyset\subset\emptyset.$ $\emptyset\in A.$ $\emptyset\subset A.$ $A\in A.$ $A\in\{A\}$. $A\subset A.$ $A\in\mathcal{P}(A).$ $A\subset \mathcal{P}(A).$ Solución Falsa. $\emptyset$ no tiene elementos. Cierta. $\{\emptyset\}$ es un conjunto, y $\emptyset$ es elemento de $\{\emptyset\}$. Cierta.
- [Propiedades de la unión e intersección](https://fernandorevilla.es/2014/02/18/propiedades-de-la-union-e-interseccion/) - Proporcionamos un problema sobre las propiedades de la unión e intersección de conjuntos. Enunciado Demostrar las siguientes propiedades para conjuntos cualesquiera dados: 1. Asociativa de la unión: $ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C). $ 2. Asociativa de la intersección: $ (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C). $ 3. Conmutativa de la unión: $A\cup B=B\cup A.$ 4.
- [Coordenadas](https://fernandorevilla.es/2014/06/27/coordenadas/) - Proporcionamos ejercicios sobre coordenadas. Enunciado En $\mathbb{R}^2,$ hallar las coordenadas del vector $x=(1,18):$ $a)$ En la base $B=\{(3,-1),(-1,4)\}.$ $\quad b)$ En la base canónica $B_c$ de $\mathbb{R}^2.$ Hallar las coordenadas del vector $x=(7,5,-2,1)$ respecto de la base de $\mathbb{R}^4:$ $$B=\{(1,-1,2,3),(4,1,0,2),(3,-1,3,0),(1,-1,1,0)\}.$$ Hallar las coordenadas del vector $p(x)=-2x^3-11x^2-25x-20$ respecto de las bases de $\mathbb{R}_3[x]:$ $a)$ $B=\{1,(x+2),(x+2)^2,(x+2)^3\}.$ $\quad
- [Teorema de Grassmann](https://fernandorevilla.es/2014/06/25/teorema-de-grassmann/) - Demostramos el teorema de Grassmann. Enunciado Demostrar el terorema de Grassmann: Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita y sean $F$ y $G$ subespacios de $E.$ Entonces, $$ \dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G).$$ Solución Llamemos $f=\dim F,$ $g=\dim G,$ $i=\dim (F\cap G)$ y supongamos que una base de $F\cap G$ es $B_{F\cap G}=\{u_1,u_2,\ldots,u_i\}.$
- [Teorema de la dimensión para espacios vectoriales](https://fernandorevilla.es/2014/07/17/teorema-de-la-dimension-para-espacios-vectoriales/) - Demostramos el teorema de la dimensión para espacios vectoriales. Enunciado Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Demostrar que todas las bases de $E$ tienen el mismo cardinal. Solución Demostraremos previamente el siguiente lema: LEMA. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ $S\subset E$ y $u,v$ vectores de $E.$ Entonces, $v\in L\left[S\cup \{u\}\right]-L[S]\Rightarrow
- [Propiedades de la dimensión](https://fernandorevilla.es/2014/06/26/propiedades-de-la-dimension/) - En los siguientes ejercicos aplicamos propiedades de la dimensión. Enunciado Demostrar que los siguientes vectores forman base de $\mathbb{R}^4$ $$(2,1,0,1),\;(0,1,2,2),\;(-2,1,1,2),\;(1,3,1,2).$$ Sean $E_1$ y $E_2$ subespacios de $E$ tales que $\dim E_1=4,$ $\dim E_2=5$ y $\dim E=7.$ Se pide hallar la posible dimensión de $E_1\cap E_2.$ Si $A\in \mathbb{R}^{4\times 4}$ tiene rango $3,$ y $F,C$ son
- [Teorema de la torre](https://fernandorevilla.es/2015/08/24/teorema-de-la-torre/) - Demostramos el teorema de la torre para extensiones de cuerpos. Enunciado Si $k$ un subcuerpo del cuerpo $K,$ decimos que $K$ una extensión de $k$ y a la dimensión del espacio vectorial $K$ sobre $k$ se la representa por $[K:k].$ Sea $K_2$ una extensión de $K_1$ y $K_3$ extensión de $K_2$ (y por tanto, también
- [Dimensión de un espacio vectorial](https://fernandorevilla.es/2014/06/06/dimension-de-un-espacio-vectorial/) - Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de dimensión de un espacio vectorial. Enunciado Haciendo uso de bases conocidas, hallar las dimensiones de los siguientes espacios vectoriales: $1)\; \mathbb{R}^n$ sobre $\mathbb{R}.$ $\quad 2)\;\mathbb{R}^{m\times n}$ sobre $\mathbb{R}.$ $\quad 3)$ $\mathbb{R}_n[x]$ sobre $\mathbb{R}.$ Haciendo uso de bases conocidas, hallar las dimensiones de los siguientes espacios vectoriales: $1)$ $\mathbb{R}[x]$ sobre
- [Existencia de base en todo espacio vectorial](https://fernandorevilla.es/2014/06/22/existencia-de-base-en-todo-espacio-vectorial/) - Demostramos la existencia de base en todo espacio vectorial. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $S$ un subconjunto de $E$ linealmente independiente. Entonces, existe una base $B$ de $E$ que contiene a $S.$ Demostrar que todo espacio vectorial $E$ tiene una base. Solución Llamemos $$\mathscr{S}=\{A\subset E:S\subset A\text{ y }A\text{ es
- [Teorema de la base incompleta](https://fernandorevilla.es/2014/06/27/teorema-de-la-base-incompleta/) - Damos ejemplos de aplicación del teorema de la base incompleta. Enunciado Dados los vectores de $\mathbb{R}^4,$ $v_1=(2,-1,3,4)$ y $v_2=(0,5,1,-1),$ completarlos con otros dos para formar una base de $\mathbb{R}^4.$ Sea $B=\{u_1,\ldots,u_r,u_{r+1},\ldots,u_n\}$ base de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$E=\langle u_1,\ldots,u_r\rangle\oplus\langle u_{r+1},\ldots,u_n \rangle.$$ En el espacio vectorial $\mathbb{R}^4,$ hallar un subespacio suplementario de $\langle (2,-1,3,4),(0,5,1,-1)\rangle.$
- [Acotación del rango del producto de dos matrices](https://fernandorevilla.es/2017/01/29/acotacion-del-rango-del-producto-de-dos-matrices/) - Demostramos una acotación del rango del producto de dos matrices. Enunciado Sean $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A$ y $B$ matrices multiplicables con elementos en $\mathbb{K}.$ Demostrar que $\text{rango }(AB)\leq \min\left\{\text{rango }A, \text{rango }B\right\}.$ Solución Supongamos que $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$, $B\in\mathbb{K}^{n\times p}$: $$A=\begin{bmatrix} a_{11}& \ldots & a_{1n}\ \vdots &&\vdots \ a_{m1}& \ldots & a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{a_1},\ldots,\mathbf{a_n}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} b_{11}& \ldots
- [Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb{K}^n$](https://fernandorevilla.es/2014/06/03/rango-de-una-matriz-dependencia-lineal-en-kn/) - Proponemos ejercicios sobre rango de una matriz y dependencia lineal en $\mathbb{K}^n.$ Enunciado Hallar el rango de la matriz $A=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}&2\{4}&{1}&{0}&2\{2}&{-3}&{2}&-2\ 1&0&-1&3\2&1&2&-4\end{bmatrix}\;.$ Demostrar que los siguientes vectores de $\mathbb{R}^4$ son linealmente independientes $$(1,3,-2,5),\;(4,2,7,-3),\;(2,7,-5,4),\;(-3,2,-2,7).$$ Solución Escalonemos $A.$ $$\begin{bmatrix}{\boxed{1}}&{2}&{-1}&2\{4}&{1}&{0}&2\{2}&{-3}&{2}&-2\ 1&0&-1&3\2&1&2&-4\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim \F_2-4F_1\F_3-2F_1\F_4-F_1\F_5-2F_1\end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}&2\{0}&{\boxed{-7}}&{4}&-6\{0}&{-7}&{4}&-6\ 0&-2&0&1\0&-3&4&-8\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim \F_3-F_2\7F_4-2F_2\7F_5-3F_2\end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}&2\{0}&{-7}&{4}&-6\{0}&{0}&{0}&0\ 0&0&-8&19\0&0&16&-38\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim \F_3\leftrightarrow F_5 \end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}&2\{0}&{-7}&{4}&-6\{0}&{0}&{\boxed{16}}&-38\ 0&0&-8&19\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim \2F_4+F_3 \end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}&2\{0}&{-7}&{4}&-6\{0}&{0}&{16}&-38\ 0&0&-8&19\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim \2F_4+F_3 \end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{\boxed1}&{2}&{-1}&2\{0}&{\boxed{-7}}&{4}&-6\{0}&{0}&{\boxed{16}}&-38\
- [Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base](https://fernandorevilla.es/2014/04/28/subespacios-de-matrices-triangulares-dimension-y-base/) - Hallamos la dimensión y una base de los subespacios de matrices triangulares. Enunciado Hallar una base y la dimensión del subespacio $\mathcal{T}_S$ de $M_n(\mathbb{K})$ formado por las matrices triangulares superiores. Las mismas cuestiones, pero de forma esquemática, para $\mathcal{T}_I$ (subespacio de $M_n(\mathbb{K})$ formado por las matrices triangulares inferiores). Particularizar en ambos casos para $n=2.$ Solución
- [Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base](https://fernandorevilla.es/2014/04/28/subespacio-de-las-matrices-antisimetricas-dimension-y-base/) - Hallamos la dimensión y una base del subespacio de las matrices antisimétricas. Enunciado Hallar una base y la dimensión del subespacio $\mathcal{A}$ de $M_n(\mathbb{K})$ formado por las matrices antisimétricas. Particularizar para $n=3.$ Solución Toda matriz antisimétrica $A\in M_n(\mathbb{K})$ se puede expresar en la forma: $$ A= \begin{bmatrix} 0 & -a_{21} & \ldots & -a_{n1}\ a_{21}
- [Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base](https://fernandorevilla.es/2014/04/28/subespacio-de-las-matrices-simetricas-dimension-y-base/) - Hallamos la dimensión y una base del subespacio de las matrices simétricas. Enunciado Hallar una base y la dimensión del subespacio $\mathcal{S}$ de $M_n(\mathbb{K})$ formado por las matrices simétricas. Particularizar para $n=2.$ Solución Toda matriz simétrica $A\in M_n(\mathbb{K})$ se puede expresar en la forma: $$ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\ a_{12}
- [Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base](https://fernandorevilla.es/2014/04/28/subespacio-de-las-matrices-escalares-dimension-y-base/) - Hallamos la dimesión y una base del subespacio de las matrices escalares. Enunciado Una matriz $E\in M_n(\mathbb{K})$ se dice que es escalar, si es diagonal y todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Demostrar que el subconjunto $\mathcal{E}$ de $M_n(\mathbb{K})$ formado por las matrices escalares es subespacio de $M_n(\mathbb{K}).$ Hallar la dimensión y
- [Subespacio de las matrices diagonales, dimensión y base](https://fernandorevilla.es/2014/04/28/subespacio-de-las-matrices-diagonales-dimension-y-base/) - Hallamos la dimensión y una base del subespacio de las matrices diagonales. Enunciado Una matriz $D=[d_{ij}]\in M_n(\mathbb{K})$ se dice que es diagonal si $d_{ij}=0$ cuando $i\neq j.$ Demostrar que el subconjunto $\mathcal{D}$ de $M_n(\mathbb{K})$ formado por las matrices diagonales es subespacio de $M_n(\mathbb{K}).$ Hallar la dimensión y una base de $\mathcal{D}.$ Solución Toda matriz diagonal
- [Base de un espacio vectorial](https://fernandorevilla.es/2014/05/31/base-de-un-espacio-vectorial/) - Proporcionamos ejercicios sobre base de un espacio vectorial.
- [Combinación lineal de vectores](https://fernandorevilla.es/2014/05/20/combinacion-lineal-de-vectores/) - Proponemos ejercicios sobre el concepto de combinación lineal de vectores. Enunciado En el espacio vectorial real usual $\mathbb{R}^2$ estudiar si el vector $x=(-14,8)$ es combinación lineal de los vectores $v_1=(-1,7),\;v_2=(4,2).$ En el espacio vectorial real usual $\mathbb{R}^{2\times 2}$ de las matrices cuadradas de orden $2$ estudiar si $A$ es combinación lineal de $B$ y $C$ siendo
- [Suma directa de subespacios](https://fernandorevilla.es/2014/05/18/suma-directa-de-subespacios/) - Proponemos ejercicios de suma directa de subespacios. Enunciado Se consideran los subespacios de $\mathbb{R}^2$ dados por $F_1=\{(\alpha,0):\alpha\in\mathbb{R}\}$ y $F_2=\{(0,\beta):\beta\in\mathbb{R}\}.$ Demostrar que $\mathbb{R}^2=F_1\oplus F_2.$ Sea $\mathbb{K}^{n\times n}$ el espacio vectorial real usual de las matrices cuadradas de orden $n$ sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Sean $\mathcal{S}$ y $\mathcal{A}$ los subespacios de $\mathbb{K}^{n\times n}$ formados por las matrices
- [Supercuerpo como espacio vectorial](https://fernandorevilla.es/2015/05/08/subcuerpo-como-espacio-vectorial/) - Demostramos que todo supercuerpo puede ser considerado como espacio vectorial. Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $k\subset \mathbb{K}$ un subcuerpo de $\mathbb{K}.$ Se considera en $\mathbb{K},$ su suma y por otra parte, la operación ley externa $k\times \mathbb{K}\to \mathbb{K},$ $(\lambda,x)\to \lambda x,$ en donde $\lambda x$ representa el producto en $\mathbb{K}.$ Demostrar que $\mathbb{K}$ es
- [Espacio vectorial de las funciones reales](https://fernandorevilla.es/2014/04/18/espacio-vectorial-de-las-funciones-reales/) - Construimos el espacio vectorial de las funciones reales. Enunciado Sea $X$ un conjunto distinto del vacío y sea $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ el conjunto de todas las funciones de $X$ en $\mathbb{R}.$ Se definen en $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ las operaciones: Suma. Para todo $f,g$ elementos de $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$: $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\qquad \forall x\in X.$$ Ley externa. Para todo $f\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),$ y para todo
- [Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$](https://fernandorevilla.es/2015/05/08/espacio-vectorial-kx/) - Demostramos que el conjunto de los polinomios con coeficientes en un cuerpo tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones usuales Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y sea $\mathbb{K}[x]$ el conjunto de los polinomios en la indeterminada $x$ y coeficientes en $\mathbb{K}.$ Se consideran las operaciones suma y ley externa habituales. Demostrar de manera esquemática,
- [Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo](https://fernandorevilla.es/2014/04/22/espacio-vectorial-de-las-matrices-sobre-un-cuerpo/) - Construimos el espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo. Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo. Demostrar que $\mathbb{K}^{m\times n}$ (matrices de órdenes $m\times n$ con elementos en el cuerpo $\mathbb{K}$) es un espacio vectorial con las operaciones habituales suma y producto por un escalar. Nota. Casos particulares importantes de este espacio vectorial son $\mathbb{Q}^{m\times n},$
- [Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$](https://fernandorevilla.es/2014/04/18/espacio-vectorial-mathbbkn/) - Construimos el espacio vectorial $\mathbb{K}^n.$ Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y definamos en $\mathbb{K}^n\;(n\geq 1)$ la operación suma: $$(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n).$$ Definamos además la operación ley externa: $$\lambda (x_1,\ldots,x_n)=(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n).$$ Demostrar que $\mathbb{K}^n$ es espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ con las operaciones anteriormente definidas. Nota. Casos particulares importantes de este espacio vectorial son $\mathbb{Q}^n,$ $\mathbb{R}^n,$
- [Primeras propiedades de los espacios vectoriales](https://fernandorevilla.es/2014/05/11/primeras-propiedades-de-los-espacios-vectoriales/) - Proporcionamos ejercicios sobre las primeras propiedades de los espacios vectoriales. Enunciado Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Demostrar que para todo $\lambda\in \mathbb{K}$ y para todo $x\in E:$ $(a)\; 0x=0.\quad (b)\;\lambda 0=0.\quad (c)\;\lambda x=0\Rightarrow (\lambda=0\text{ ó }x=0). $ Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Demostrar que para todo $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ y
- [Isometrías en $\mathbb{R}^n$](https://fernandorevilla.es/2018/04/05/isometrias-en-mathbbrn/) - Demostramos que todas las isometrías de $mathbb{R}^n$ son exactamente las aplicaciones de la forma $ f(x)=Ax+b$ con $Ainmathbb{R}^{ntimes n}$ ortogonal y $binmathbb{R}^n$ fijo.
- [Estructura de grupo en todo conjunto no vacío](https://fernandorevilla.es/2019/04/21/estructura-de-grupo-en-todo-conjunto-no-vacio/) - Demostramos que en todo conjunto no vacío se puede definir una estructura de grupo. Teorema. Sea $X$ un conjunto no vacío. Entonces, existe una operación binaria $\cdot$ en $X$ tal que $(X,\cdot)$ es grupo. Demostración. Si $X$ es finito con cardinal $n,$ existe una biyección entre el conjunto $X$ y $\{0,1,\ldots,n-1\}.$ Ahora bien, $\mathbb{Z}_n=\{0,1,\ldots,n-1\}$ es
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- [Isomorfismo entre el grupo multiplicativo complejo y un producto directo](https://fernandorevilla.es/2018/10/03/isomorfismo-entre-el-grupo-multiplicativo-complejo-y-un-producto-directo/) - Demostramos que el grupo multiplicativo de los números complejos $\mathbb{C}^\ast$ es isomorfo al producto directo $\mathbb{ R }_{> 0} \times \mathbb R/\mathbb Z$. Enunciado Sean $\mathbb{ C }^{ \ast }$ el grupo multiplicativo de los números complejos, $\mathbb{ R }_{> 0}$ el grupo multiplicativo de los números reales postitivos y el grupo cociente $\mathbb R/\mathbb
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