Logaritmo de una matriz

Se define el logaritmo de una matriz y se estudian algunas de sus propiedades.

Enunciado
Sean:
$i)$ $A=\begin{bmatrix}{0}&{-2}&{-2}\\{1}&{\;\;3}&{\;\;1}\\{0}&{\;\;0}&{\;\;2}\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{3\times 3}.$
$ii)$ $\mathcal{S}$ el conjunto formado por todas las matrices de $\mathbb{R}^{3\times 3}$ tales que son diagonalizables y tienen todos los valores propios mayores que cero.
$iii)$ La función $\log: \mathcal{S}\rightarrow \mathbb{R}^{3\times 3}$ que cumple las propiedades:
${}\quad a)$ Si $D=\textrm{diag}(a,b,c)$ entonces $\log D=\textrm{diag}(\log a,\log b,\log c)$.
${}\quad b)$ Si $M,N\in \mathcal{S},\;P\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ con $P$ invertible y $M=P^{-1}NP$ entonces $\log M=P^{-1}(\log N)P$.
Se pide:
1. Estudiar si $\mathcal{S}$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{3\times 3}$.
2. Comprobar que $A\in \mathcal{S}$.
3. Calcular $\log A$.
4. Estudiar si se verifica la igualdad $\log (MN)=\log M+\log N$.

   (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM).

Solución
Observación previa. Aunque no se pide explícitamente, demostremos que la función $\log$ dada está bien definida. En efecto, para $D=\textrm{diag}(a,b,c)$ con $a,b,c$ positivos, existen $\log a,\log b,\log c$ y pertenecen a $\mathbb{R}$. Por tanto existe $\log D\in\mathbb{R}^{3\times 3}$.
Sea ahora una matriz $A\in\mathcal{S}$ cualquiera. Entonces, existe una matriz $P\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ invertible tal que $P^{-1}AP=D$ y por la hipótesis b) será $\log D=P^{-1}(\log A)P$ o bien $\log A=P(\log D)P^{-1}$. Tenemos que demostrar que $\log A$ no depende de la elección de $P$. En efecto, supongamos que $A=QDQ^{-1}$, tenemos: $$A=QDQ^{-1}\Rightarrow PDQ^{-1}=QDQ^{-1}\Rightarrow D=P^{-1}AP=P^{-1}QDQ^{-1}P=$$$$(Q^{-1}P)^{-1}D(Q^{-1}P)
\Rightarrow \textrm{(por b)}\;\log D=(Q^{-1}P)^{-1}(\log D)(Q^{-1}P)=$$$$P^{-1}Q(\log D) Q^{-1}P\Rightarrow P(\log D) P^{-1}=Q(\log D) Q^{-1}.$$
1. La matriz $0$ de $\mathbb{R}^{3\times 3}$ es diagonalizable (ella misma es diagonal) con valor propio $\lambda=0$ (triple). En consecuencia, $0\not\in\mathcal{S}$ y por tanto, $\mathcal{S}$ no es subespacio de $\mathbb{R}^{3\times 3}$.
2. Polinomio característico de $A$:

   $\chi (\lambda)=\begin{vmatrix}{-\lambda}&{-2}&{-2}\\{\;\;1}&{\;\;3-\lambda}&{\;\;1}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;2-\lambda}\end{vmatrix}=(2-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+2)=-(\lambda-2)^2(\lambda-1).$

   Los valores propios de $A$ son $\lambda_1=2$ (doble) y $\lambda_2=1$ (simple). La dimensión de $\ker (A-\lambda_2 I)$ es $1$ por ser $\lambda_1$ simple. La dimensión de $\ker (A-\lambda_1 I)$ es:

   $\dim (\ker(A-2I))=3-\textrm{rg }\begin{bmatrix}{-2}&{-2}&{-2}\\{\;\;1}&{\;\;1}&{\;\;1}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;0}\end{bmatrix}=3-1=2.$

   La matriz $A$ es por tanto diagonalizable con matriz diagonal $D=\textrm{diag}(2,2,1)$ y como consecuencia, $A\in\mathcal{S}$.

3. Hallemos bases de los subespacios propios:

   $\ker (A-2I) \equiv\begin{bmatrix}{-2}&{-2}&{-2}\\{\;\;1}&{\;\;1}&{\;\;1}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{bmatrix}$

   $\ker (A-I) \equiv\begin{bmatrix}{-1}&{-2}&{-2}\\{\;\;1}&{\;\;2}&{\;\;1}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{bmatrix}$

   Unas bases respectivas son $B_2=\left\{{(-1,1,0),(-1,0,1)}\right\},\;B_1=\left\{{(2,-1,0)}\right\}$. Por tanto, una matriz $P$ tal que $P^{-1}AP=D$ es:

   $P=\begin{bmatrix}{-1}&{-1}&{\;\;2}\\{\;\;1}&{\;\;0}&{-1}\\{\;\;0}&{\;\;1}&{\;\;0}\end{bmatrix}$

   y la matriz $\log A=P(\log D)P^{-1}$ es: $$\log A=P\;\begin{bmatrix}{\log 2}&{0}&{0}\\{0}&{\log 2}&{0}\\{0}&{0}&{\log 1}\end{bmatrix}\;P^{-1}=\ldots=\begin{bmatrix}{-\log 2}&{-2\log 2}&{-2\log 2}\\{\;\;\;\log 2}&{\;\;\;2\log 2}&{ \;\;\;\log 2}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;{}\log 2}\end{bmatrix}$$

4. Dadas $M,N\in\mathcal{S}$ para que se verifique la igualdad $\log (MN)=\log M+\log N$ es necesario que $MN\in\mathcal{S}$. Veamos que esto no siempre ocurre. En efecto, consideremos por ejemplo las matrices:

   $M=\begin{bmatrix}{2}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\quad N=\begin{bmatrix}{0}&{-2}&{-2}\\{1}&{\;\;\;3}&{\;\;\;1}\\{0}&{\;\;\;0}&{\;\;\;2}\end{bmatrix}$

   La matriz $M$ pertenece a $\mathcal{S}$ y la matriz $N$ la hemos elegido de tal manera que tenga el mismo polinomio caraterístico que $M$, es decir $\chi(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-1)$. Es fácil comprobar que $N\in \mathcal{S}$. Sin embargo, la matriz

   $MN=\begin{bmatrix}{0}&{-4}&{-4}\\{2}&{\;\;\;6}&{\;\;\;2}\\{0}&{\;\;\;0}&{\;\;\;2}\end{bmatrix}$

   no es diagonalizable como fácilmente se comprueba. Es decir, $MN\not\in \mathcal{S}$ y por tanto no es cierto en general que $\log (MN)=\log M+\log N$.