Matriz de una aplicación lineal

Publicada el mayo 11, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre matriz de una aplicación lineal.

RESUMEN TEÓRICO
  • Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Supongamos que:
    $1)$  $\dim E=m$ finita y $B_E=\{u_1,\ldots,u_m\}$ es base de $E.$
    $2)$  $f:E\to F$ es lineal.
    Entonces, cualquier vector $x\in E$ se puede expresar de manera única como $x=x_1u_1+\cdots+x_mu_m$ con los $x_i\in\mathbb{K},$ y al ser $f$  lineal: $$f(x)=f\left(x_1u_1+\cdots+x_mu_m\right)=x_1f(u_1)+\cdots+x_mf(u_m).$$ Podemos concluir en el siguiente teorema:
    Teorema (Determinación de una aplicación lineal). Conociendo los transformados de una base del espacio inicial por medio de una aplicación lineal, queda determinada dicha aplicación.
  • Definición. Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ $f:E\to F$ lineal,  $B_E=\{u_1,\ldots,u_m\}$ base de $E$  y  $B_F=\{v_1,\ldots,v_n\}$ base de $F.$ Supongamos que: $$\left \{ \begin{matrix}  f(u_1)=a_{11}v_1+a_{12}v_2+\cdots+a_{1n}v_n \\ f(u_2)=a_{21}v_1+a_{22}v_2+\cdots+a_{2n}v_n\\\ldots\\ f(u_m)=a_{m1}v_1+a_{m2}v_2+\cdots+a_{mn}v_n   \end{matrix}\right.$$ entonces, a la matriz $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1}\\ a_{12} &a_{22} & \ldots & a_{m2} \\ \vdots&&&\vdots \\ a_{1n} & a_{2n} &\ldots & a_{mn}\end{bmatrix}\in\mathbb{K}^{n\times m}$$ se la llama matriz de $f$ respecto de las bases $B_E$ y $B_F.$
  • Notas
    1. La matriz $A$ se obtiene trasponiendo las coordenadas en la base $B_F$ de los transformados de los vectores de la base $B_E.$
    2. La matriz $A$ usualmente se denota como $[f]_{B_E}^{B_F}.$
    Enunciado
  1. Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales reales y $B_E=\{u_1,u_2,u_3\},$ $B_F=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Se considera la aplicación lineal $f:E\to F$ definida por: $$\left \{ \begin{matrix} f(u_1)=v_1-v_2+v_3 \\f(u_2)=2v_1+2v_2+v_3+2v_4\\f(u_3)=4v_2-v_3+2v_4.\end{matrix}\right.$$ Hallar la matriz $A$ de $f$ respecto de las bases $B_E$ y $B_F.$
  2. Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ de finida por: $$f(x,y,z)=(x+y+z,\; 3y).$$ Determinar la matriz de $f$ con respecto de las base canónica $B$ del espacio inicial y la $B’=\{(2,0),(0,-1)\}$ del espacio final.
  3. Sea $\mathbb{R}_5[x]$ el espacio vectorial real de los polinomios de grado $\leq 5$ con coeficientes en $\mathbb{R}$. Se considera la aplicación lineal $$T:\mathbb{R}_5[x]\rightarrow{\mathbb{R}_5[x]},\quad T(p(x))=p(x+1)-p(x).$$ Hallar la matriz de $T$ con respecto a la base canónica $B$ en el espacio inicial y la misma $B$ en el espacio final.
  4. Sea $P_3(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de los polinomios reales de grado $\leq 3,$ $M_2(\mathbb{R})$ el de las matrices cuadradas reales de orden $2$ y $\alpha$ un número real. Definimos la aplicación $T:P_3(\mathbb{R})\to M_2(\mathbb{R}),$ $$T_{\alpha}(p)=\begin{bmatrix}{p(\alpha)}&{p(\alpha +1)}\\{p'(\alpha)}&{p'(\alpha+1)}\end{bmatrix}.$$ Demostrar que $T_{\alpha}$ es lineal y hallar su matriz en las respectivas bases canónicas de $P_3(\mathbb{R})$ y $M_2(\mathbb{R}).$
  5. Sea el espacio vectorial usual $\mathbb{C}^2$ sobre el cuerpo de los reales. Sea la transformación lineal $T:\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^2$ dada por $$T(z_1,z_2)=(iz_1-z_2,z_2).$$ Obtener la matriz asociada a $T$ referida a la base de $\mathbb{C}^2:$ $$B=\{{(1,0),(2i,0),(0,1),(0,2-3i)\}}.$$
  6. Sea $\varphi$ el endomorfismo del espacio vectorial de los polinomios reales de grado $\leq 2$ que asigna a cada polinomio $p(x):$ $$\varphi [p(x)]=\frac{1}{x}\int_0^1p(t+x)\;dt.$$ Hallar la matriz $A$ de $\varphi$ en la base $\{1,x,x^2\}.$
  7. Se considera el espacio vectorial $\mathbb{C}$ sobre el cuerpo $\mathbb{R}.$
    $1)$ Demostrar que $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C},$ $f(z)=(1+i)z$ es lineal.
    $2)$ Demostrar que $B=\{i,1+i\}$ es base de $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}.$
    $3)$ Hallar la matriz de $f$ en la base $B.$
    Solución
  1. Transponiendo coeficientes, obtenemos la matriz $A$ de $f$ en las bases $B_E$ y $B_F:$
    $$A=[f]_{B_E}^{B_F}=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{0}\\{-1}&{2}&{4}\\{1}&{1}&{-1}\\{0}&{2}&{2}\end{bmatrix}.$$
  2. Hallemos los transformados de los vectores de $B:$ $$T(1,0,0)=(1,0)=\frac{1}{2}(2,0)+0(0,-1),$$ $$T(0,1,0)=(1,3)=\frac{1}{2}(2,0)+(-3)(0,-1),$$ $$T(0,0,1)=(1,0)=\frac{1}{2}(2,0)+0(0,-1).$$ Transponiendo, obtenemos la matriz pedida: $$A=[f]_B^{B’}=\begin{bmatrix}{1/2}&{1/2}&{1/2}\\{0}&{-3}&{0}\end{bmatrix}.$$
  3. La base canónica de $\mathbb{R}_5[x]$ es $B=\{1,x,x^2,x^3,x^4,x^5\}.$ Hallemos los transformados de los vectores de $B:$
    $T(1)=1-1=0,$
    $T(x)=(x+1)-x=1,$
    $T(x^2)=(x+1)^2-x^2=1+2x,$
    $T(x^3)=(x+1)^3-x^3=\ldots=1+3x+3x^2,$
    $T(x^4)=(x+1)^4-x^4=\ldots=1+4x+6x^2+4x^3,$
    $T(x^5)=(x+1)^5-x^5=\ldots=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4.$
    Transponiendo, obtenemos la matriz pedida: $$A=[T]_B^B=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}&{1}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{0}&{0}&{0}&{3}&{6}&{10}\\ {0}&{0}&{0}&{0}&{4}&{10}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{5}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;.$$
  4. Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ y para todo $p,q\in P_3(\mathbb{R}):$ $$T_{\alpha}(\lambda p+\mu q)=\begin{bmatrix}{(\lambda p+\mu q)(\alpha)}&{(\lambda p+\mu q)(\alpha +1)}\\{(\lambda p+\mu q)'(\alpha)}&{(\lambda p+\mu q)'(\alpha+1)}\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}{\lambda p(\alpha)+\mu q(\alpha)}&{\lambda p(\alpha +1)+\mu q(\alpha+1)}\\{\lambda p'(\alpha)+\mu q'(\alpha)}&{\lambda p'(\alpha+1)+\mu q'(\alpha+1)}\end{bmatrix}$$ $$=\lambda \begin{bmatrix}{p(\alpha)}&{p(\alpha +1)}\\{p'(\alpha)}&{p'(\alpha+1)}\end{bmatrix}+\mu \begin{bmatrix}{q(\alpha)}&{q(\alpha+1)}\\{q'(\alpha)}&{q'(\alpha+1)}\end{bmatrix}=\lambda T_{\alpha}(p)+\mu T_{\alpha}(q)$$ es decir, $T_{\alpha}$ es lineal.
    Consideremos las respectivas bases canónicas en $P_3(\mathbb{R})$ y $M_2(\mathbb{R}):$ $$B=\{1,x,x^2,x^3\},$$ $$B’=\{e_1=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix},e_3=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end{bmatrix},e_4=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\}$$ y hallemos las imágenes de los vectores de $B$ en función de $B’.$ $$T_{\alpha}(1)=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\0 &{0}\end{bmatrix}=e_1+e_2,$$ $$T_{\alpha}(x)=\begin{bmatrix}{\alpha}&{\alpha+1}\\1 &{1}\end{bmatrix}=\alpha e_1+(\alpha +1)e_2+e_3+e_4,$$ $$T_{\alpha}(x^2)=\begin{bmatrix}{\alpha^2}&{(\alpha+1)^2}\\2\alpha &{2(\alpha +1)}\end{bmatrix}=\alpha^2 e_1+(\alpha +1)^2e_2+2\alpha e_3+2(\alpha +1)e_4,$$ $$T_{\alpha}(x^3)=\begin{bmatrix}{\alpha^3}&{(\alpha+1)^3}\\3\alpha^2 &{3(\alpha +1)^2}\end{bmatrix}=\alpha^3 e_1+(\alpha +1)^3e_2+3\alpha^2 e_3+3(\alpha +1)^2e_4.$$ Transponiendo coeficientes obtenemos: $$A=\left[T_{\alpha}\right]_{B}^{B’}=\begin{bmatrix}{1}&{\alpha}&{\alpha^2}& \alpha^3\\{1}&{\alpha +1}&{(\alpha+1)^2}& (\alpha +1)^3\\{0}&{1}&{2\alpha}& 3\alpha\\{0}&{1}&{2(\alpha +1)}& 3(\alpha +1)^2\end{bmatrix}.$$
  5. Hallando los transformados de los elementos de la base dada $B$ en función de $B:$ $$T(1,0)=(i,0)=0(1,0)+(1/2)(2i,0)+0(0,1)+0(0,2-3i),$$ $$T(2i,0)=(-2,0)=-2(1,0)+0(2i,0)+0(0,1)+0(0,2-3i),$$ $$T(0,1)=(-1,1)=-1(1,0)+0(2i,0)+1(0,1)+0(0,2-3i),$$ $$T(0,2-3i)=(-2+3i,2-3i)=-2(1,0)+(3/2)(2i,0)+0(0,1)+1(0,2-3i),$$ Transponiendo coeficientes $$A=\begin{bmatrix}{0}&{-2}&{-1}&-2\\{1/2}&{\;\;0}&{\;\;0}&3/2\\{0}&{\;\;0}&{\;\;1}&0\\0 &\;\;0 &\;\;0 &1\end{bmatrix}.$$
  6. Hallemos las imágenes de los vectores de la base dada. $$\varphi (1)=\frac{1}{x}\int_0^x1\;dt=\frac{1}{x}\left[t\right]_0^x=\frac{1}{x}\cdot x=1.$$ $$\varphi (x)=\frac{1}{x}\int_0^x(t+x)\;dt=\frac{1}{x}\left[t^2/2+xt\right]_0^x=\frac{1}{x}\left(x^2/2+x^2\right)=3x/2.$$ $$\varphi \left(x^2\right)=\frac{1}{x}\int_0^x(t+x)^2\;dt=\frac{1}{x}\left[\frac{(t+x)^3}{3}\right]_0^x$$ $$=\frac{1}{x}\left(\frac{(2x)^3}{3}-\frac{x^3}{3}\right)=\frac{1}{x}\cdot \frac{7x^3}{3}=\frac{7}{3}x^2.$$ Transponiendo coeficientes, obtenemos la matriz pedida: $$A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{3/2}&{0}\\{0}&{0}&{7/3}\end{bmatrix}.$$
  7. $1)$ Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ y para todo $z,w\in\mathbb{C}:$ $$f(\lambda z+\mu w)=(1+i)(\lambda z+\mu w)=\lambda\left((1+i)z\right)+\mu\left((1+i)w\right)=\lambda f(z)+\mu f(w).$$ $2)$ De la igualdad $\alpha i+\beta (1+i)=0,$ con $\alpha,$ $\beta$ reales se deduce $\beta +(\alpha +\beta)i=0,$ luego $\beta=0$ y $\alpha+\beta=0,$ lo cual implica $\alpha=\beta=0$ y en consecuencia el sistema $B$ es libre.
    Sea $x+iy\in \mathbb{C}$ con $x,$ $y$ reales, entonces $x+iy=(y-x)i+x(1+i),$ siendo $x,$ $y-x$ reales, por tanto $B$ es sistema generador de $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}.$
    $3)$ Hallemos las imágenes de los vectores de $B$ en función de $B:$ $$\left \{ \begin{matrix} f(i)=i(1+i)=-1+i=2i+(-1)(1+i)\\f(1+i)=(1+i)(1+i)=2i=2i+0(1+i). \end{matrix}\right.$$ Transponiendo coeficientes obtenemos la matriz pedida: $$A=\begin{bmatrix}{2}&{2}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}.$$
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