Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange

Publicada el abril 18, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de máximos y mínimos condicionados por multiplicadores de Lagrange.

RESUMEN TEÓRICO
  • Teorema 1 (Condiciones necesarias para la existencia de extremos condicionados).
    Sea $A\subset{\mathbb{R}^n}$ abierto y $f:A\to \mathbb{R}$ de clase 1 en A. Sean $g_1,\ldots,g_m:A\to \mathbb{R}$ con $m<n$ funciones de clase 1 en $A.$
    Sea $M=\{x\in A:g_1(x)=0,\ldots,g_m(x)=0\}$ y $a\in M$. Supongamos que
    (a) $\textrm{rg }\begin{bmatrix} \dfrac{{\partial g_1}}{{\partial x_1}}(a) & \ldots & \dfrac{{\partial g_1}}{{\partial x_n}}(a) \\ \vdots&&\vdots \\ \dfrac{{\partial g_m}}{{\partial x_1}}(a) &\ldots & \dfrac{{\partial g_m}}{{\partial x_n}}(a)\end{bmatrix}=m$ (es decir, la matriz tiene rango máximo).
    (b) $f$ tiene extremo local condicionado en $a$, es decir o bien existe un entorno $V(a)$ de $a$ tal que $f(x)\leq f(a)$ para todo $x\in V(a)\cap M$ (máximo local condicionado), o bien existe un entorno $V(a)$ de $a$ tal que $f(x)\geq f(a)$ para todo $x\in V(a)\cap M$ (mínimo local local condicionado).
    Entonces, existen unos únicos números reales $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ (llamados multiplicadores de Lagrange) tales que $$\left \{ \begin{matrix}  \dfrac{{\partial f}}{{\partial x_1}}(a)+\lambda_1 \dfrac{{\partial g_1}}{{\partial x_1}}(a)+\ldots \lambda_m\dfrac{{\partial g_m}}{{\partial x_1}}(a)=0\\\ldots\\\dfrac{{\partial f}}{{\partial x_n}}(a)+\lambda_1 \dfrac{{\partial g_1}}{{\partial x_n}}(a)+\ldots \lambda_m\dfrac{{\partial g_m}}{{\partial x_n}}(a)=0.\end{matrix}\right.$$
  • Teorema 2 (Condiciones suficientes para la existencia de extremos condicionados). Supongamos que $a$ verifica las condiciones necesarias del teorema anterior. Supongamos además que $A$ es convexo y que $f,g_1,\ldots,g_m$ son de clase 2 en $a.$ Consideremos la función definida en $A$ (función de Lagrange): $$F(x_1,\ldots,x_n)=f(x_1,\ldots,x_n)+\lambda_1g_1(x_1,\ldots,x_n)+\ldots+\lambda_mg_m(x_1,\ldots,x_n)$$ Consideremos la matriz simétrica (llamada hessiana de $F$ en $a$): $$H(a)=\left[\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x_i\partial x_j}}(a)\right]\quad (i,j=1,\ldots,n).$$ Entonces:
    (i) Si $H(a)$ es definida positiva, $f$ tiene en $a$ mínimo local condicionado.
    (ii) Si $H(a)$ es definida negativa, $f$ tiene en $a$ máximo local condicionado.
  • Nota. En los siguiente ejemplos, obviaremos la comprobación de que las funciones que aparecen son de clase 2, pues esto se deduce de manera casi inmediata de las propiedades de las funciones elementales en sus dominios de definición.
    Enunciado
  1. Hallar los extremos de la función $f(x,y)=x+2y$ con la condición $x^2+y^2=5.$
  2. Hallar los extremos de la función $f(x,y)=xy$ con la condición $x+y=1.$
  3. Hallar los extremos de la función $f(x,y)=x+2y$ con la condición $x^2+y^2=5$ sin usar el método de los multplicadores de Lagrange.
  4. Hallar los extremos de la función $f(x,y,z)=x+y+z$ con la condiciones $x^2+y^2=1,\;z=2.$
  5. Calcular el paralelepípedo de mayor volumen inscrito en el elipsoide

    $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{x^2}{c^2}=1\quad (a>0,\;b>0,\;c>0).$

    Solución
  1. La función de Lagrange es $F(x,y)=x+2y+\lambda(x^2+y^2-5).$ Hallemos los puntos críticos, es decir los puntos $a$ que satisfacen las condiciones necesarias del Teorema 1. Serán las soluciones del sistema $$\left \{ \begin{matrix} \dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}=0\\\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}=0\\x^2+y^2-5=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} 1+2\lambda x=0\\2+2\lambda y=0\\x^2+y^2-5=0.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo obtenemos para $\lambda=1/2$ el punto $(x,y)=(-1,-2)$, y para $\lambda=-1/2$ el $(x,y)=(1,2).$ Fácilmente se comprueba la condición de rango máximo en estos puntos. Las parciales segundas de $F$ son $$\frac{{\partial^2 F}}{{\partial x^2}}=2\lambda\;,\;\frac{{\partial^2 F}}{{\partial x \partial y}}=0\;,\;\frac{{\partial^2 F}}{{\partial y^2}}=2\lambda,$$ y las matrices hessianas correspondientes: $$H(-1,-2)=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\text{ (def. pos.).},\quad H(1,2)=\begin{bmatrix}{-1}&\;\;{0}\\{\;\;0}&{-1}\end{bmatrix}\text{ (def. neg.).}$$ Por tanto, tenemos en $(-1,-2)$ mínimo local condicionado para $f$ y en $(1,2)$ máximo local condicionado para $f.$
  2. Función de Lagrange: $F(x,y)=xy+\lambda(x+y-1).$ Puntos críticos: $$\left \{ \begin{matrix} \dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}=0\\\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}=0\\x+y=1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} y+\lambda =0\\x+\lambda =0\\x+y=1.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo obtenemos para $\lambda=-1/2$ el punto $(x,y)=(1/2,1/2).$ Fácilmente se comprueba la condición de rango máximo en estos puntos. Las parciales segundas de $F$ son $$\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x^2}}=0\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x \partial y}}=1\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial y^2}}=0$$ y la matriz hessiana correspondiente: $$H(1/2,1/2)=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}.$$ Esta matriz no es ni definida positiva ni definida negativa, por tanto nada asegura el teorema 2. Pero en este caso, la condición $x+y=1$ se expresa en paramétricas en la forma $x=t,\,y=1-t\;\;(t\in\mathbb{R}).$
    Sustituyendo en $f(x,y)$ obtenemos la función de una variable $$\varphi (t)=f(t,1-t)=t-t^2.$$ Procedemos ahora al cálculo de los extremos de $\varphi :$ $\varphi'(t)=1-2t=0\Leftrightarrow t=1/2$ y $\varphi^{\prime\prime}(1/2)=-2<0$, lo cual implica que para $t=1/2$ tenemos un máximo local. Sustituyendo en las paramétricas, concluimos que en $(x,y)=(1/2,1/2)$ tenemos máximo local condicionado para $f.$
    Nota. El usar las ecuaciones paramétricas de la condición (o condiciones) es una de las estrategias para analizar la existencia extremos locales condicionados cuando la matriz hessiana no es ni definida positiva ni definida negativa. En cualquier caso, si no se exige usar el método de los multiplicadores de Lagrange, podemos por supuesto utilizar la estrategia mencionada. Resolvemos a continuación de esta manera el mismo problema del apartado 1.
  3. La condición es una circunferencia de centro el origen y radio $\sqrt{5}$ cuyas ecuaciones paramétricas son $x=\sqrt{5}\cos t,\;y=\sqrt{5}\sin t\;\;(t\in [0,2\pi]).$ Sustituyendo en la función obtenemos $\varphi (t)=\sqrt{5}(\cos t+2\sin t)$ y $\varphi’ (t)=\sqrt{5}(-\sin t+2\cos t)=0$ si $\tan t=2.$ Esta ecuación tiene dos soluciones, $t_1\in (0,\pi/2)$ y $t_2\in (\pi/2,3\pi/2).$La derivada segunda es $\varphi^{\prime\prime} (t)=\sqrt{5}(-\cos-2\sin t).$ Dado que $t_1$ pertenece al primer cuadrante y $t_2$ al tercero, se verifica $\varphi^{\prime\prime}(t_1)<0,\;\varphi^{\prime\prime}(t_2)>0$, es decir en $t_1$ tenemos máximo local para $\varphi$ y en $t_2$, mínimo.

    Hallemos ahora los valores de $x$ e $y$ que corresponden a esos valores hallados de $t.$ De $1+\tan^2 t=\cos^2 t$ obtenemos $\cos t=\sqrt{1/(1+\tan^2 t)}.$
    Como $\tan t_i=2\;(i=1,2)$ deducimos $\cos t_1=+1/\sqrt{5},\;\cos t_2=-1/\sqrt{5}.$ Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas obtenemos respectivamente $(x,y)=(1,2)$ (punto de máximo local condicionado para $f$) y $(x,y)=(-1,-2)$ (punto de mínimo local condicionado para $f$).

  4. Función de Lagrange: $F(x,y,z)=x+y+z+\lambda(x^2+y^2-1)+\mu (z-2).$ Puntos críticos:

    $$\left \{ \begin{matrix}\frac{{\partial F}}{{\partial x}}=0\\\frac{{\partial F}}{{\partial y}}=0\\\frac{{\partial F}}{{\partial z}}=0\\x^2+y^2=1\\z-2=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} 1+2\lambda x =0\\1+2\lambda y =0\\1+\mu=0\\x^2+y^2=1\\z-2=0.\end{matrix}\right.$$

    Resolviendo obtenemos para $(\lambda,\mu)=(\sqrt{2}/2, -1)$ el punto $P(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,2)$ y para $(\lambda,\mu)=(-\sqrt{2}/2, -1)$ el punto $Q(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,2).$ Podemos comprobar fácilmente la condición de rango máximo en estos puntos. Las parciales segundas de $F$ son

    $\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x^2}}=2\lambda\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x \partial y}}=0\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial x \partial z}}=0\;.\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial y^2}}=2\lambda\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial y \partial z}}=0\;,\;\dfrac{{\partial^2 F}}{{\partial z^2}}=0,$

    y las matrices hessianas correspondientes:

    $H(P)=\begin{bmatrix}{\sqrt{2}}&{0}&{0}\\{0}&{\sqrt{2}}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\;\;,\;\;H(Q)=\begin{bmatrix}{-\sqrt{2}}&{\;\;0}&{0}\\{\;\;0}&{-\sqrt{2}}&{0}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{0}\end{bmatrix}\;.$

    Estas matrices no son ni definida positiva ni definida negativa, por tanto nada asegura el teorema 2. Procedemos a usar las ecuaciones parametrícas de las condiciones, es decir $x=\cos t,\;y=\sin t,\;z=2\;(t\in [0,2\pi]).$ Obtenemos la función

    $\varphi (t)=F(x(t),y(t),z(t))=\cos t+\sin t +2\;\;(t\in [0,2\pi]).$

    Fácilmente deducimos que para $t=\pi/4$ y $t=5\pi/4$ hay respectivamente máximo local y mínimo local para $\varphi.$ Sustituyendo estos valores de $t$ en las paramétricas obtenemos que $(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,2)$ es punto de máximo local condicionado para $f$ y $(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,2)$ de mínimo.

  5. Ver Paralelepípedo inscrito en un elipsoide.
Esta entrada ha sido publicada en Análisis real y complejo y etiquetada como , , , , . Guarda el enlace permanente.