Móviles sobre dos circunferencias

Enunciado
Considérense dos circunferencias concéntricas $C_1,C_2$ de radios $a,2a$ respectivamente. Dos móviles $M$ y $P$ situados cada uno de ellos respectivamente en $C_1$ y $C_2$ describen las circunferencias en el mismo sentido con velocidad lineal constante en módulo e igual para ambos móviles. En el instante inicial $M$ y $P$ se encuentran sobre el mismo radio. Determinar unas ecuaciones paramétricas para la curva descrita por el punto medio del segmento $MP.$ Calcular el área encerrada por dicha curva.

 (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
Consideremos las circunferencias centradas en el origen y supongamos que en el instante inicial los móviles $M$ y $P$ se encuentran en $M_0(a,0)$ y $P_0(2a,0).$ En el instante $t$ los móviles se encuentran en $M$ y $P$ con ángulos polares respectivos $\varphi$ y $\theta.$ Las longitudes $L_p$ del arco $P_0P$ y $L_m$ del $M_0M$ son $L_p=2a\theta$ y $L_m=a\varphi.$ Por hipótesis las velocidades de los móviles son constantes e iguales, es decir

$\displaystyle\frac{L_p}{t}=\displaystyle\frac{L_p}{t}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{2a\theta}{t}=\displaystyle\frac{a\varphi}{t}\Leftrightarrow \varphi=2\theta .$

En consecuencia, los puntos $M$ y $P$ tienen coordenadas

$M(a\cos 2\theta,a\sin 2\theta)\;,\quad P(2a\cos \theta,2a\sin \theta).$

Unas ecuaciones paramétricas para la curva $\gamma$ descrita por el punto medio del segmento $MP$ son por tanto

$\gamma \equiv \left \{ \begin{matrix}x=\dfrac{a}{2}(\cos 2\theta+2\cos \theta)\\{}\\
y=\dfrac{a}{2}(\sin 2\theta+2\sin \theta)\end{matrix}\right.\quad (\theta \in [0,2\pi]).$

El área encerrada por $\gamma$ es $A=\displaystyle\frac{1}{2}\int_{\gamma}xdy-ydx.$ Desarrollemos la expresión $xdy-ydx:$

$$xdy-ydx=\dfrac{a}{2}(\cos 2\theta+2\cos \theta)\cdot \dfrac{a}{2}(2\cos 2\theta+2\cos \theta)\;d\theta-$$$$
\dfrac{a}{2}(\sin 2\theta+2\sin \theta)\cdot \dfrac{a}{2}(-2\sin 2\theta-2\sin \theta)\;d\theta=$$$$
\dfrac{a^2}{4}(2\cos^2 2\theta+6\cos \theta \cos 2\theta+4\cos^2 \theta+2\sin^2 2\theta+6\sin \theta \sin 2\theta+4\sin^2 \theta)d\theta=$$$$
\dfrac{a^2}{4}(2+4+6\sin \theta \sin 2\theta+6\cos \theta \cos 2\theta)d\theta =$$$$\dfrac{3a^2}{2}(1+\sin \theta \sin 2\theta+\cos \theta \cos 2\theta)d\theta.$$

Es decir

$A=\dfrac{3a^2}{4}\displaystyle\int_0^{2\pi}(1+\sin \theta \sin 2\theta+\cos \theta \cos 2\theta)\;d\theta.$

Usando la fórmula $\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta:$

$A=\dfrac{3a^2}{4}\displaystyle\int_0^{2\pi}(1+\cos \theta)\;d\theta=\dfrac{3a^2}{4}\left[\theta+\sin \theta\right]_0^{2\pi}=\dfrac{3}{2}\pi a^2.$