Normas equivalentes

Demostramos una caracterización de normas equivalentes y la equivalencia de las normas $p$ para $p=1,2,\infty.$

Enunciado
1. Demostrar que dos normas $\left\|\;\right\|$ y $\left\|\;\right\|^*$ de un espacio espacio vectorial $E$ son equivalentes, si y sólo si existen constantes reales $a>0$ y $b>0$ tales que $$a\left\|x\right\|\leq \left\|x\right\|^*\leq b\left\|x\right\|$$ para todo $x\in E.$
2. Se consideran las normas de $\mathbb{K}^n$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$): $$\begin{aligned}& \left\|x\right\|_{\infty}=\max \left\{\left|x_1\right|,\ldots,\left|x_n\right|\right\}\\&\left\|x\right\|_{1}=\left|x_1\right|+\cdots+\left|x_n\right|.\\
   &\left\|x\right\|_{2}=\sqrt{\left|x_1\right|^2+\cdots+\left|x_n\right|^2}.\end{aligned}$$ en donde $x=(x_1,\ldots,x_n).$ Demostrar que $\left\|x\right\|_{\infty}\leq \left\|x\right\|_{p}\leq n^{1/p}\left\|x\right\|_{\infty}$ ($p=1,2)$ y concluir que la tres normas son equivalentes.

Solución
1. Recordamos que por definición, dos normas $\left\|\;\right\|$ y $\left\|\;\right\|^*$ de un espacio espacio vectorial $E$ son equivalentes si, y sólo si las correspondientes distancias inducidas determinan la misma topología. $\quad \square$Supongamos que las normas son equivalentes. Entonces, las bolas relativas a ellas $$\left\{B(x,r):x\in E,r>0\right\},\quad \left\{B^*(x,r):x\in E,r>0\right\}$$ constituyen dos bases de una misma topología en $E.$ Dado que $B(0,1)$ es abierto, existe $r>0$ tal que $B^*(0,r)\subset B(0,1),$ luego $\left\|x\right\|^*<r$ implica $\left\|x\right\|<1.$
   Consideremos $a$ real tal que $0<a<r$ y sea $y\in E$ cualquiera. Si $y\neq 0$ entonces $u=a(y/\left\|y\right\|^*)$ verifica $\left\|u\right\|^*=a<r$ y por tanto, $\left\|u\right\|<1.$ Es decir, para todo $y\neq 0$ se verifica $a\left\|y\right\|\leq \left\|y\right\|^*$ (para $y=0$ la desigualdad anterior es trivial). Intercambiando los papeles de las normas, obtenemos la otra desigualdad.

   Supongamos ahora que existen constantes reales $a>0$ y $b>0$ tales que $a\left\|x\right\|\leq \left\|x\right\|^*\leq b\left\|x\right\|$ para todo $x\in E.$ Sea $r>0.$ Entonces, para todo $x\in E$ $$y\in B^*(x,ar)\Rightarrow \left\|y-x\right\|^*<ar\Rightarrow a\left\|y-x\right\|\leq \left\|y-x\right\|^*<ar$$ $$\Rightarrow \left\|y-x\right\|<r\Rightarrow y\in B(x,r)\Rightarrow B^*(x,ar)\subset B(x,r).$$ Por otra parte $$y\in B(x,r/b)\Rightarrow \left\|y-x\right\|<r/b\Rightarrow \left\|y-x\right\|^*\leq b\left\|y-x\right\|<b(r/b)$$ $$\Rightarrow \left\|y-x\right\|^*<r\Rightarrow y\in B^*(x,r)\Rightarrow B(x,r/b)\subset B^*(x,r).$$ Por el conocido teorema de caracterización de distancias equivalentes por bolas, concluimos que las dos normas generan la misma topología en $E,$ luego son equivalentes.

2. Tenemos para $p=1,2:$ $$\left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_1\right|+\cdots+\left|x_n\right|\right)^{1/p}\leq \left(\left\|x\right\|_{\infty}+\cdots+\left\|x\right\|_{\infty}\right)^{1/p}$$ $$=\left(n\left\|x\right\|_{\infty}\right)^{1/p}=n^{1/p}\left(\left\|x\right\|_{\infty}\right)^{1/p}\leq n^{1/p}\left\|x\right\|_{\infty}.$$ Supongamos ahora sin pérdida de generalidad que $\left\|x\right\|_{\infty}=\left|x_1\right|.$ Entonces, para $p=1,2:$ $$\left\|x\right\|_{\infty}=\left|x_1\right|=\left(\left|x_1\right|^p\right)^{1/p}\leq \left(\left|x_1\right|^p+\cdots \left|x_n\right|^p\right)^{1/p}=\left\|x\right\|_{p}.$$ Usando el resultado del problema anterior, concluimos que que $\left\|x\right\|_{1}$ y $\left\|x\right\|_{2}$ son equivalentes a $\left\|x\right\|_{\infty},$ lo cual implica que también son equivalentes entre sí.