Operador ortogonal

Proporcionamos ejercicios sobre el operador ortogonal.

Enunciado
1. Comprobar que en $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar usual, el siguiente operador es ortogonal $$T\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\\{2}&{1}&{-2}\\{1}&{2}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}.$$
2. Demostrar que si $\lambda$ es valor propio de un operador ortogonal $T$ en un espacio euclídeo $E,$ entonces $\lambda=1$ o $\lambda=-1.$
3. Demostrar que: $T$ es ortogonal $\Leftrightarrow \left\|T(x)\right\|=\left\|x\right\|\;\;\forall x\in E.$
4. Demostrar que todo operador ortogonal en un espacio euclídeo es isomorfismo.
5. Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que un operador en un espacio euclídeo $E$ sea ortogonal, es que transforme una base ortonormal en otra ortonormal.
6. Demostrar que un operador en un espacio euclídeo $E$ es ortogonal si, y sólo si su matriz en una base ortonormal es ortogonal.

Solución
1. La base canónica de $\mathbb{R}^3$ es ortonormal con el producto escalar usual, por tanto $T$ será ortogonal si su matriz $A$ en tal base es ortogonal. Se verifica: $$A^tA=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}{2}&{2}&{1}\\{-2}&{1}&{2}\\{1}&{-2}&{2}\end{bmatrix}\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\\{2}&{1}&{-2}\\{1}&{2}&{2}\end{bmatrix}$$ $$=\dfrac{1}{9}\begin{bmatrix}{9}&{0}&{0}\\{0}&{9}&{0}\\{0}&{0}&{9}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix},$$ luego $A$ es ortogonal y por tanto lo es $T.$
2. Si $\lambda$ es valor propio real de $T$ entonces existe $x\in E$ no nulo tal que $T(x)=\lambda x.$ Como $T$ conserva normas, $$\left\|x\right\|=\left\|T(x)\right\|=\left\|\lambda x\right\|=\left|\lambda\right|\left\|x\right\|\Rightarrow \left|\lambda\right|=1\Rightarrow\lambda=1\vee\lambda=-1.$$
3. $\Rightarrow)$ Si $T$ es ortogonal, $\langle T(x), T(y)\rangle$=$\langle x,y\rangle$ para todo $x,y\in E.$ Haciendo $x=y$ queda $\left\|T(x)\right\|^2$=$\left\|x\right\|^2,$ luego $\left\|T(x)\right\|$=$\left\|x\right\|.$
   $\Leftarrow)$ Si $T$ conserva la normas, se verifica para todo $x,y\in E$ que $\left\|T(x+y)\right\|=\left\|x+y\right\|.$ Entonces, $$\left\|T(x+y)\right\|^2=\left\|x+y\right\|^2\Rightarrow \langle T(x+y), T(x+y)\rangle=\langle x+y,x+y\rangle$$ $$\Rightarrow \langle T(x)+T(y), T(x)+T(y)\rangle=\langle x+y,x+y\rangle $$ $$\Rightarrow \left\|T(x)\right\|^2+2\langle T(x),T(y)\rangle +\left\|T(y)\right\|^2=\left\|x\right\|^2+2\langle x,y\rangle +\left\|y\right\|^2.$$ Como por hipótesis $T$ conserva normas, simplificando la última igualdad queda $\langle T(x), T(y)\rangle$=$\langle x,y\rangle,$ es decir $T$ es ortogonal.
4. Si $T$ es operador ortogonal en un espacio euclídeo $E,$ se verifica $\left\|T(x)\right\|=\left\|x\right\|$ para todo $x\in E.$ El núcleo de $T$ es $$\ker T=\{x\in E:T(x)=0\}=\{x\in E:0=\left\|T(x)\right\|=\left\|x\right\|\}=\{0\},$$ por tanto $T:E\to E$ es inyectiva. Como estamos considerando espacios euclídeos de dimensión finita, $T$ también es sobreyectiva como consecuencia del teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales. Concluimos que $T$ es isomorfismo.
5. Supongamos que $T$ es ortogonal y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ es base ortonormal de $E$. Entonces, $T$ es isomorfismo, por tanto $B’=\{T(e_1),\ldots,T(e_n)\}$ también es base de $E.$ Entonces, $\langle T(e_i),T(e_j)\rangle=\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$ (deltas de Kronecker), con lo cual $B’$ es base ortonormal.
   Recíprocamente, sea $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ base ortonormal de $E$ y supongamos que $B’=$ $\{T(e_1),\ldots,T(e_n)\}$ también lo es. Para todo $x\in E$ sea $x=\sum_1^nx_ie_i,$ con $x_i\in\mathbb{R}.$
   Por ser $B’$ base ortonormal:
   $\qquad \left\|T(x)\right\|^2=\langle T\left(\sum_1^nx_ie_i\right),T\left(\sum_1^nx_je_j\right) \rangle=\langle \sum_1^nx_iT(e_i), \sum_1^nx_jT(e_j) \rangle$
   $\qquad=\sum_{i,j=1}^nx_ix_j\langle T(e_i),T(e_j)\rangle=\sum_{1}^nx_i^2.$
   Y por ser $B$ base ortonormal:
   $\quad\left\|x\right\|^2=\langle \sum_1^nx_ie_i,\sum_1^nx_je_j \rangle=\langle \sum_1^nx_ie_i, \sum_1^nx_je_j \rangle=\sum_{i,j=1}^nx_ix_j\langle e_i,e_j\rangle=\sum_{1}^nx_i^2.$
   Como $T$ conserva normas, es ortogonal.
6. Si $T$ ortogonal y $B$ una base ortonormal de $E,$ la matriz de Gram producto escalar es la identidad. Sean $x,y$ vectores genéricos de $E,$ $X$ e $Y$ sus vectores de coordenadas en $B$ y $A$ la matriz de $T$ en $B.$ Entonces, para todo $x,y\in E$ $$T\text{ es ortogonal}\Leftrightarrow\langle T(x),T(y)\rangle=\langle x,y\rangle\Leftrightarrow (AX)^t(AY)=X^tY^t$$ $$\Leftrightarrow X^t(A^tA)Y=X^tY\Leftrightarrow X^t(A^tA-I)Y=0\Leftrightarrow A^tA=I\Leftrightarrow A\text{ es ortogonal.}$$