Producto directo de anillos

Construimos el producto directo de anillos.

Enunciado
Para $n$ entero positivo, sean $A_1,\ldots,A_n$ anillos. En el producto cartesiamo $A=A_1\times \cdots \times A_n,$ se definen las operaciones: $$\begin{aligned}&(a_1,\ldots,a_n)+(b_1,\ldots,b_n)=(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n),\\&(a_1,\ldots,a_n)\cdot (b_1,\ldots,b_n)=(a_1b_1,\ldots,a_nb_n).\end{aligned}$$ Demostrar que $(A,+,\cdot)$ es un anillo (se le llama producto directo de los anillos dados).

Solución
$1)$ Veamos que $(A,+)$ es grupo abeliano.

Interna. Dado que la suma de dos elementos de cada anillo $A_i$ es un elemento de $A_i,$ la suma de dos elementos de $A$ pertenece a $A.$

Asociativa. Para todo $(x_1,\ldots,x_n),$ $(y_1,\ldots,y_n),$ $(z_1,\ldots,z_n)\in A$ y usando la propiedad asociativa de la suma de los elementos de cada anillo $A_i:$ $$\begin{aligned}&(x_1,\ldots,x_n)+\left[(y_1,\ldots,y_n)+(z_1,\ldots,z_n)\right]\\
&=(x_1,\ldots,x_n)+(y_1+z_1,\ldots,y_n+z_n)\\
&=\left(x_1+(y_1+z_1),\ldots,x_n+(y_n+z_n)\right)\\
&=\left((x_1+y_1)+z_1,\ldots,(x_n+y_n)+z_n)\right)\\
&=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)+(z_1,\ldots,z_n)\\
&=[(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)]+(z_1,\ldots,z_n).\end{aligned}$$ Conmutativa. Para todo $(x_1,\ldots,x_n),\;(y_1,\ldots,y_n)\in A$ y usando la propiedad conmutativa de los elementos de los anillos $A_i:$ $$\begin{aligned}&(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)\\
&=(y_1+x_1,\ldots,y_n+x_n)=(y_1,\ldots,y_n)+(x_1,\ldots,x_n).\end{aligned}$$ Elemento neutro. Para todo $x=(x_1,\ldots,x_n)\in A$ el elemento de $A,$ $0=(0,\ldots,0)$ satisface:
$$\begin{aligned}&0+x=x+0=(x_1,\ldots,x_n)+(0,\ldots,0)\\
&=(x_1+0,\ldots,x_n+0)=(x_1,\ldots,x_n)=x.\end{aligned}$$ Elemento simétrico. Para todo $x=(x_1,\ldots,x_n)\in A,$ el elemento de $A,$ $-x=(-x_1,\ldots,-x_n)$ satisface: $$\begin{aligned}&(-x)+x=x+(-x)=(x_1,\ldots,x_n)+(-x_1,\ldots,-x_n)\\
&=(x_1+(-x_1),\ldots,x_n+(-x_n))=(0,\ldots,0)=0.\end{aligned}$$

$2)$ Veamos que $(A,\cdot)$ es grupo semigrupo.

Interna. Dado que el producto de dos elementos de cada anillo $A_i$ es un elemento de $A_i,$ el  producto de dos elementos de $A$ pertenece a $A.$

Asociativa. Para todo $(x_1,\ldots,x_n),$ $(y_1,\ldots,y_n),$ $(z_1,\ldots,z_n)\in A$ y usando la propiedad asociativa del producto de los elementos de cada anillo $A_i:$ $$\begin{aligned}&(x_1,\ldots,x_n)\cdot\left[(y_1,\ldots,y_n)\cdot(z_1,\ldots,z_n)\right]=(x_1,\ldots,x_n)\cdot(y_1z_1,\ldots,y_nz_n)\\
&=\left(x_1(y_1z_1),\ldots,x_n(y_nz_n)\right)=\left((x_1y_1)z_1,\ldots,(x_ny_n)z_n\right)\\
&=(x_1y_1,\ldots,x_ny_n)\cdot(z_1,\ldots,z_n)=[(x_1,\ldots,x_n)\cdot (y_1,\ldots,y_n)]\cdot(z_1,\ldots,z_n).\end{aligned}$$

$3)$ Veamos que la operación $\cdot$ es distributiva respecto de la operación $+.$ Para todo $(x_1,\ldots,x_n),$ $(y_1,\ldots,y_n),$ $(z_1,\ldots,z_n)\in A$ y usando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma en cada anillo $A_i:$ $$\begin{aligned}& (x_1,\ldots,x_n)\cdot\left[(y_1,\ldots,y_n)+(z_1,\ldots,z_n)\right]=(x_1,\ldots,x_n)\cdot(y_1+z_1,\ldots,y_n+z_n)\\
&=\left(x_1(y_1+z_1),\ldots,x_n(y_n+z_n)\right)=\left(x_1y_1+x_1z_1,\ldots,x_ny_n+x_nz_n\right)\\
&=\left(x_1y_1,\ldots,x_ny_n\right)+\left(x_1z_1,\ldots,x_nz_n\right)\\
&= (x_1,\ldots,x_n)\cdot(y_1,\ldots,y_n)+ (x_1,\ldots,x_n)\cdot(z_1,\ldots,z_n).
\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}& \left[(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)\right]\cdot(z_1,\ldots,z_n)=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)\cdot(z_1,\ldots,z_n)\\
&=\left((x_1+y_1)z_1,\ldots,(x_n+y_n)z_n\right)=\left(x_1z_1+y_1z_1,\ldots,x_nz_n+y_nz_n\right)\\
&=\left(x_1z_1,\ldots,x_nz_n\right)+\left(y_1z_1,\ldots,y_nz_n\right)\\
&= (x_1,\ldots,x_n)\cdot(z_1,\ldots,z_n)+ (y_1,\ldots,y_n)\cdot(z_1,\ldots,z_n).
\end{aligned}$$ Concluimos que $(A,+,\cdot)$ es un anillo.