Propiedades de la dimensión

En los siguientes ejercicos aplicamos propiedades de la dimensión.

Enunciado
1. Demostrar que los siguientes vectores forman base de $\mathbb{R}^4$ $$(2,1,0,1),\;(0,1,2,2),\;(-2,1,1,2),\;(1,3,1,2).$$
2. Sean $E_1$ y $E_2$ subespacios de $E$ tales que $\dim E_1=4,$ $\dim E_2=5$ y $\dim E=7.$ Se pide hallar la posible dimensión de $E_1\cap E_2.$
3. Si $A\in \mathbb{R}^{4\times 4}$ tiene rango $3,$ y $F,C$ son los subespacios de $\mathbb{R}^4$ generados por las filas y las columnas de $A$ respectivamente, demostrar que $\dim (F\cap C)\geq 2.$
4. En $\mathbb{R}^3,$ demostrar que $F_1=F_2,$ siendo $F_1=\langle (1,2,1),(1,3,2)\rangle$ y $F_2=\langle (1,1,0),(3,8,5)\rangle.$
5. Sea $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ un polinomio de grado $2.$ Demostrar que $B=\{p(x), p'(x),p»(x)\}$ es base de $\mathbb{R}_2[x].$
6. Sea $U$ un subespacio de $M_3(\mathbb{R})$ de dimensión $4.$ Demostrar que $U$ contiene alguna matriz simétrica no nula.

Solución
1. Dado que $\dim \mathbb{R}^4=4,$ los cuatro vectores formarán base si y sólo si, son linealmente independientes. Tenemos: $$\det \begin{bmatrix}\;\;2&{1}&{0}&1\\{\;\;0}&{1}&{2}&2\\{-2}&{1}&{1}&2\\\;\;1&3&1&2\end{bmatrix}=\ldots=13\neq 0.$$ El rango de la matriz anterior es 4, y por tanto, los cuatro vectores fila son linealmente independientes. Concluimos que los vectores dados forman una base de $\mathbb{R}^4.$
2. Por el teorema de Grassmann, $\dim (E_1+E_2)=9-\dim (E_1\cap E_2).$ Por otra parte, $E_1\subset E_1+E_2\subset E$ y $E_2\subset E_1+E_2\subset E$ implica $4\leq \dim(E_1+E_2)\leq 7$ y $5\leq \dim(E_1+E_2)\leq 7,$ lo cual equivale a $5\leq \dim(E_1+E_2)\leq 7.$
   Es decir, $\dim (E_1+E_2)$ es $5,$ o $6,$ o $7,$ y de $\dim (E_1+E_2)=9-\dim (E_1\cap E_2),$ deducimos que $\dim (E_1\cap E_2)$ es $4,$ o $3,$ o $2.$
3. Como $\operatorname{rango}A=3,$ $\dim F=\dim C=3.$ Por el teorema de Grassmann, $\dim (F+C)=6-\dim (F\cap C).$ Por otra parte, $F\subset F+C\subset \mathbb{R}^4$ y $C\subset F+C\subset \mathbb{R}^4$ implica $3\leq \dim(F+C)\leq 4.$
   Es decir, $\dim (F+C)$ es $3,$ o $4,$ y de $\dim (F+C)=6-\dim (F\cap C),$ deducimos que $\dim (F\cap C)$ es $3,$ o $2,$ luego $\dim (F\cap C)\geq 2.$
4. Tenemos:$$\operatorname{rango}\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{1}&{3}&{2}\end{bmatrix}=\operatorname{rango}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{0}\\{3}&{8}&{5}\end{bmatrix}=2,$$
   es decir, $\dim F_1=\dim F_2,$ por tanto para demostrar al igualdad $F_1=F_2,$ bastará demostrar que $F_2\subset F_1.$ Ahora bien, $$\operatorname{rango}\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{1}&{3}&{2}\\1&1&0\end{bmatrix}=\ldots=2,\;\operatorname{rango}\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{1}&{3}&{2}\\3&8&5\end{bmatrix}=\ldots=2.$$ Esto implica que los vectores $(1,1,0)$ y $(3,8,5)$ son combinaciones lineales de los vectores $(1,2,1),$ y $(1,3,2).$ Si $x\in F_2,$ $x$ es combinación lineal de los vectores $(1,1,0)$ y $(3,8,5),$ y por tanto de los $(1,2,1)$ y $(1,3,2),$ luego pertenecen a $F_1.$
   Concluimos que $F_2\subset F_1,$ y por lo ya comentado, $F_1=F_2.$
5. Según vimos en un ejercicio anterior, el conjunto $B$ es linealmente independiente. Como $\dim \mathbb{R}_2[x]=3$ y $B$ está formado por tres vectores, concluimos que es base de $\mathbb{R}_2[x].$
6. Si $\mathcal{S}$ es el subespacio de $M_3(\mathbb{R})$ formado por las matrices simétricas, entonces $\dim \mathcal{S}=3(3+1)/2=6.$ Si fuera $U\cap \mathcal{S}=\{0\},$ entonces $\dim (U\cap \mathcal{S})=0$ y por el teorema de Grassmann: $$\dim (U+\mathcal{S})=6+4-0=10>9=\dim M_3(\mathbb{R}),$$ lo cual es absurdo. Concluimos que $U$ contiene alguna matriz simétrica no nula.