Relaciones de inclusión y pertenencia

Proporcionamos un ejercicio sobre relaciones de inclusión y pertenencia.

Enunciado
Analizar cuales de las siguientes fórmulas son ciertas para todo conjunto $A:$
1. $\emptyset\in\emptyset.$
2. $\emptyset\in\{\emptyset\}.$
3. $\emptyset\subset\emptyset.$
4. $\emptyset\in A.$
5. $\emptyset\subset A.$
6. $A\in A.$
7. $A\in\{A\}$.
8. $A\subset A.$
9. $A\in\mathcal{P}(A).$
10. $A\subset \mathcal{P}(A).$

Solución
1. Falsa. $\emptyset$ no tiene elementos.
2. Cierta. $\{\emptyset\}$ es un conjunto, y $\emptyset$ es elemento de $\{\emptyset\}$.
3. Cierta. El vacío está contenido en todo conjunto, en particular $\emptyset\subset\emptyset$.
4. Falsa. Basta considerar $A=\emptyset$ y aplicar el apartado $1.$
5. Cierta. El vacío está contenido en todo conjunto.
6. Falsa. Basta considerar $A=\emptyset$ y aplicar el apartado $4$.
7. Cierta. $\{A\}$ es un conjunto, y $A$ es elemento de $\{A\}$.
8. Cierta. Si $x\in A$, entonces $x\in A$.
9. Cierta. Al ser $A$ es subconjunto de $A$, se verifica $A\in\mathcal{P}(A)$.
10. Falsa. Si $A=\{1\}$ entonces $\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{1\}\}$. Se verifica $1\in A$, pero $1\not\in\mathcal{P}(A)$. Por tanto $A$ no está contenido en $\mathcal{P}(A)$