Series de Bertrand

Estudiamos las series de Bertrand.

Enunciado
Se llaman series de Bertrand a las series de la forma: $$S(\alpha, \beta):\quad \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{\alpha }\log^{ \beta}n}\quad (\alpha, \beta \in \mathbb{R}).$$ El objetivo se este problema es estudiar su convergencia, para ello se pide:
1. Demostrar que si $\alpha >1$ entonces $S(\alpha,\beta)$ es convergente.
   Sugerencia. Comparar con la serie de término general $v_n=1/n^{\alpha’}$ para una adecuada elección de $\alpha’$.
2. Demostrar que si $\alpha <1$ entonces $S(\alpha,\beta)$ es divergente.
3. Si $\alpha=1$, demostrar que $S(\alpha,\beta)$ es convergente si $\beta>1$ y divergente si $\beta \leq 1$.
   Sugerencia: Usar el criterio integral.

Solución
1. Llamemos $u_n=\dfrac{1}{n^{\alpha }\log ^{ \beta}n},\; v_n=\dfrac{1}{n^{\alpha’} }$ con lo cual tenemos< $$\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{n^{\alpha’}}{n^{\alpha }\log ^{ \beta}n}=\dfrac{1}{n^{\alpha -\alpha’}\log ^{ \beta}n}.$$
   Supongamos que $\alpha >1$, entonces existe $\alpha’$ tal que $1< \alpha’ < \alpha$. Si $\beta \geq 0$ es claro que $\lim_{n \to{+}\infty}{(u_n/v_n)}=0$. Si $\beta <0$: $$\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{1}{n^{\alpha -\alpha’ }\log^{ \beta}n}=\dfrac{(\log n)^{- \beta}}{n^{\alpha -\alpha’ }},\quad(- \beta >0).$$ Como la función potencial es un infinito de orden mayor que la logarítmica, también en este caso $u_n/v_n\rightarrow 0$. Al ser $\alpha’ >1$, la serie de término general $v_n=1/n^{\alpha’}$ converge. Por el criterio de comparación por cociente concluimos que la serie de término general $u_n$ es convergente.
2. Sea $\alpha <1$, elijamos $\alpha’$ tal que $\alpha<\alpha'<1$ . Razonando de manera análoga que en el apartado anterior, obtenemos $u_n/v_n \rightarrow +\infty$. Por el criterio de comparación por cociente, la serie de término general $u_n$ es es divergente al serlo la de término general $v_n=1/n^{\alpha’}$./li>
3. Para $\alpha=1$ tenemos $u_n=1/(n\log^{\beta}n)$. Sea $f(x)=1/(x\log^{\beta}x)$, veamos que se cumplen para $f$ las hipótesis del criterio integral.
   1) $f$ es continua en $[2,+\infty)$ por serlo $x,\;\log x,\;\log^{\beta}x$ y además no nulas.
   2) $f$ es positiva en $[2,+\infty)$ por serlo $x$ y $\log^{\beta}x$.
   3) Para demostrar que $f$ es decreciente a partir de un $x$ basta demostrar que la función $g(x)=x\log ^{\beta}x$ es creciente a partir de un $x$. Derivando: $$g'(x)=\log^{ \beta}x+ \beta x(\log^{ \beta}x)\cdot{\dfrac{1}{x}}=(\log^{ \beta-1}x)(\log x+ \beta).$$

   Dado que $\log x \rightarrow{+\infty}$ cuando $x\rightarrow{+\infty}$ se concluye que $g'(x)>0$ a partir de un $x$ (y por tanto creciente a partir de ese $x$ ).
   Estudiemos ahora la convergencia de $\int_0^{+\infty}f(x)\;dx$ . Haciendo el cambio $t=1/x$ : $$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x\log^{ \beta}x}=\displaystyle\int \dfrac{dt}{t^{ \beta}}=\dfrac{t^{1- \beta}}{1- \beta}=\dfrac{(\log x)^{1- \beta}}{1- \beta},\; ( \beta \neq 1)$$ $$\Rightarrow \displaystyle\int_2^a \dfrac{dx}{x\log^{ \beta}x}=\dfrac{1}{1- \beta}[(\log a)^{1- \beta}-(\log 2)^{1- \beta}].$$

   Si $\beta >1$ entonces $(\log a)^{1- \beta}\rightarrow{0}$ cuando $a\rightarrow{+\infty}$ y la integral $\int_0^{+\infty}f(x)\;dx$ es convergente. Si $\beta <1$ entonces $(\log a)^{1- \beta}\rightarrow{+\infty}$ cuando $a\rightarrow{+\infty}$ y la integral $\int_0^{+\infty}f(x)\;dx$ es divergente. Falta estudiar el caso $\beta=1:$

   $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\log x}=\log \left |{\log x}\right |\Rightarrow \displaystyle\int_2^a \dfrac{dx}{\log x}=\log \left |{\log a}\right |-\log \left |{\log 2}\right |.$

   Entonces $a\rightarrow +\infty \Rightarrow \log \left |{a}\right |\rightarrow +\infty \Rightarrow \log |\log a|\rightarrow +\infty$ y la integral es divergente.