Series telescópicas

Proporcionamos ejercicios sobre propiedades cálculo de sumas de las series telescópicas.

Enunciado
1. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\arctan\frac{1}{n+1}-\arctan\frac{1}{n}\right).$
2. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}.$
3. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+4n}.$
4. Demostrar que si $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ es telescópica con $u_n=\varphi (n)-\varphi(n-1)$, su suma es $$S=\left(\lim_{n\to +\infty} \varphi(n)\right)-\varphi (0),$$ en el supuesto de que exista $\lim_{n\to +\infty} \varphi(n).$
5. Sea la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ y supongamos que existe una función $\varphi$ tal que $u_n=\varphi (n+2)-\varphi(n)$ para todo $n$. Demostrar que la suma de la serie es $$S=2\lim_{n\to +\infty} \varphi(n)-\left(\varphi (1)+\varphi (2)\right),$$ en el supuesto de que exista $\lim_{n\to +\infty} \varphi(n).$
6. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{-1}{n(n+1)}-\arctan n+\arctan (n+1)\right).$
7. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{-1}{n^2+5n+6}.$
8. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{7}{(2n-1)(2n+1)}.$
9. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{-3}{n^2+5n+4}.$
10. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+q)},$ siendo $q$ un entero positivo.
11. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\log \frac{n^2}{n^2-1}.$
12. Hallar la suma de la serie $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n!}{2^n\left(1+\frac{1}{2}\right)\ldots\left(1+\frac{n}{2}\right)}.$$

Solución
1. Podemos expresar el término enésimo en la forma $$u_n=\varphi (n)-\varphi(n-1)\text{ con } \varphi(n)=\arctan \frac{1}{n+1},$$ por tanto la suma de la serie telescópica dada es $$S=\lim_{n\to +\infty}\arctan \frac{1}{n+1}-\varphi (0)=\arctan 0-\arctan 1=-\frac{\pi}{4}. $$
2. Descomponiendo en suma de fracciones simples: $$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$ Podemos expresar el término enésimo en la forma $$u_n=\varphi (n)-\varphi(n-1)\text{ con } \varphi(n)=-\frac{1}{n+1},$$ por tanto la suma de la serie telescópica dada es $$S=\lim_{n\to +\infty}\frac{-1}{n+1}-\varphi (0)= 0+ 1=1. $$
3. Descomponiendo en suma de fracciones simples: $$\frac{1}{n^2+4n}=\frac{1}{n(n+4)}=\frac{1/4}{n}-\frac{1/4}{n+4}.$$ Podemos expresar el término enésimo en la forma $$u_n=\varphi (n+4)-\varphi(n)\text{ con } \varphi(n)=\frac{-1/4}{n},$$ por tanto la suma de la serie es $$S=4\lim_{n\to +\infty} \varphi(n)-\left(\varphi (1)+\varphi (2)+\varphi (3)+\varphi (4)\right)$$ $$=0-\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{12}-\frac{1}{16}\right)=\frac{25}{48}.$$
4. Tenemos $$u_1=\varphi(1)-\varphi (0),$$ $$u_2=\varphi(2)-\varphi (1),$$ $$u_3=\varphi(3)-\varphi (2),$$ $$\ldots$$ $$u_n=\varphi(n)-\varphi (n-1).$$ La suma $S$ de la serie es por tanto $$S=\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty}\left(\varphi(n)-\varphi (0)\right)=\left(\lim_{n\to +\infty} \varphi(n)\right)-\varphi (0).$$
5. Podemos expresar $$u_1=\varphi (3)-\varphi(1),$$ $$u_2=\varphi (4)-\varphi(2),$$ $$u_3=\varphi (5)-\varphi(3),$$ $$u_4=\varphi (6)-\varphi(4),$$ $$\ldots$$ $$u_{n-1}=\varphi (n+1)-\varphi(n-1),$$ $$u_n=\varphi (n+2)-\varphi(n).$$ Efectuando las correspondientes cancelaciones: $$S_n=\varphi (n+2)+\varphi (n+1)-\varphi (1)-\varphi (2).$$ La suma de la serie es $$S=\lim_{n\to +\infty} \varphi(n+2)+\lim_{n\to +\infty} \varphi(n+1)-\left(\varphi(1)+\varphi(2)\right)$$ $$=2\lim_{n\to +\infty} \varphi (n)-\left(\varphi(1)+\varphi(2)\right).$$
6. Descomponiendo en fracciones simples: $$\frac{-1}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n},$$
   por tanto el término general $u_n$ se puede escribir en la forma $$u_n=\varphi(n)-\varphi(n-1) \text{ con } \varphi(n)=\frac{1}{n+1}+\arctan (n+1).$$ Se trata pues de una serie telescópica cuya suma es $$S=\left(\lim_{n\to +\infty}\varphi(n)\right)-\varphi (0)=\left(0+\arctan (+\infty)\right)-\left(1+\arctan 1\right)$$ $$=\frac{\pi}{2}-1-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}-1.$$
7. Descomponiendo en suma de fracciones simples: $$\frac{-1}{n^2+5n+6}=\frac{-1}{(n+2)(n+3)}=\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+2}.$$ Podemos expresar el término enésimo en la forma$$u_n=\varphi (n)-\varphi(n-1)\text{ con } \varphi(n)=\frac{1}{n+3},$$por tanto la suma de la serie serie telescópica dada es$$S=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n+3}-\varphi (0)= 0- \frac{1}{3}=- \frac{1}{3}. $$
8. Descomponiendo en suma de fracciones simples: $$\frac{7}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{7/2}{2n-1}-\frac{7/2}{2n+1}.$$ Podemos expresar el término enésimo en la forma $$u_n=\varphi (n)-\varphi(n-1)\text{ con } \varphi(n)=\frac{-7/2}{2n+1},$$ por tanto la suma de la serie serie telescópica dada es $$S=\lim_{n\to +\infty}\frac{-7/2}{2n+1}-\varphi (0)= 0- \left(-\frac{7}{2}\right)= \frac{7}{2}. $$
9. Descomponiendo en suma de fracciones simples:$$\frac{-3}{n^2+5n+4}=\frac{-3}{(n+1)(n+4)}=\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+1}.$$Podemos expresar el término enésimo en la forma$$u_n=\varphi (n+3)-\varphi(n)\text{ con } \varphi(n)=\frac{1}{n+1},$$por tanto la suma de la serie es$$S=3\lim_{n\to +\infty} \varphi(n)-\left(\varphi (1)+\varphi (2)+\varphi (3)\right)$$$$=0-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)=-\frac{13}{12}.$$
10. Descomponiendo en suma de fracciones simples:$$\frac{1}{n(n+q)}=\frac{1/q}{n}-\frac{1/q}{n+q}.$$Podemos expresar el término enésimo en la forma$$u_n=\varphi (n+q)-\varphi(n)\text{ con } \varphi(n)=\frac{-1/q}{n},$$por tanto la suma de la serie es$$S=q\lim_{n\to +\infty} \varphi(n)-\left(\varphi (1)+\varphi (2)+\cdots+\varphi (q)\right)$$$$=\frac{1}{q}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{q}\right).$$
11. El término enésimo $u_n$ es $$u_n=\log \frac{n^2}{n^2-1}=-\log\dfrac{n^2-1}{n^2}=-\log\dfrac{n+1}{n}\dfrac{n-1}{n}$$$$=-\log\dfrac{n+1}{n}-\log\dfrac{n-1}{n}=\log\dfrac{n}{n-1}-\log\dfrac{n+1}{n}$$Entonces,$$u_2=\log 2-\log \frac{3}{2},$$$$u_3=\log \frac{3}{2}-\log \frac{4}{3},$$$$u_4=\log \frac{4}{3}-\log \frac{5}{4},$$$$…$$$$u_n=\log\dfrac{n}{n-1}-\log\dfrac{n+1}{n},$$y la suma parcial enésima es$$S_n=u_2+u_3+\cdots+u_n=\log 2-\log\dfrac{n+1}{n}.$$La suma $S$ de la serie es por tanto$$S=\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty}\left(\log 2-\log\dfrac{n+1}{n}\right)=\log 2-\log 1=\log 2.$$
12. Tenemos$$\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{2}{2}\right)\ldots\left(1+\frac{n}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{n+2}{2}$$$$=\frac{\dfrac{(n+2)!}{2}}{2^n}=\frac{(n+2)!}{2^{n+1}}.$$La serie dada tiene por término general
    $$u_n=\frac{n!}{2^n\cdot\dfrac{(n+2)!}{2^{n+1}}}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}.$$$$u_1=1-\frac{2}{3},$$$$u_2=\frac{2}{3}-\frac{2}{4},$$$$u_3=\frac{2}{4}-\frac{2}{5},$$$$\ldots$$$$u_n=\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}.$$La suma $S$ de la serie es por tanto$$S=\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty}\left(1-\frac{2}{n+2}\right)=1-0=0.$$