Sistema autónomo con paso a esféricas

Enunciado
Resolver el sistema diferencial autónomo

$\left \{ \begin{matrix}x’=-xz\\y’=-yz\\z’=x^2+y^2.\end{matrix}\right.$

Indicación: pasar a coordenadas esféricas.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
De las relaciones $$\rho^2=x^2+y^2+z^2,\quad\theta=\arctan(y/x),\quad \varphi=\arctan (z/\sqrt{x^2+y^2})$$ deducimos

$2\rho\rho’=2xx’+2yy’+2zz’\Leftrightarrow \rho\rho’=xx’+2yy’+zz’$ $\theta’=\dfrac{1}{1+\dfrac{y^2}{x^2}}\dfrac{y’x-x’y}{y^2}=\dfrac{y’x-x’y}{x^2+y^2}$ $\varphi’=\dfrac{1}{1+\dfrac{z^2}{x^2+y^2}}\dfrac{z’\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2xx’+2yy’)z}{x^2+y^2}$ $=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{z'(x^2+y^2)-z(xx’+yy’)}{\sqrt{x^2+y^2}}.$

Sustituyendo las igualdades del sistema en estas últimas relaciones:

$$\rho\rho’=-x^2z-y^2z+zx^2+zy^2=0,$$ $$ \theta’=\dfrac{-xyz+xyz}{x^2+y^2}=0,$$ $$
\varphi’=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{(x^2+y^2)^2-x(-x^2z-y^2z)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{(x^2+y^2)^2+z^2(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ $$=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{(x^2+y^2)^2(x^2+y^2+z^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{x^2+y^2}=\rho\cos \varphi.$$

Queda pues el sistema

$\left \{ \begin{matrix}\rho’=0\\\theta’=0\\\varphi’=\rho\cos \varphi.\end{matrix}\right.$

De $\rho’=0$ deducimos que $\rho=C_1$ con $C_1\geq 0$, de $\theta’=0$ que $\theta=C_2$. Resolvamos ahora la ecuación $\varphi’=C_1\cos \varphi:$

$\varphi’=C_1\cos \varphi \Leftrightarrow \dfrac{d\varphi}{dt}=C_1\cos \varphi\Leftrightarrow \dfrac{d\varphi}{\cos \varphi}=C_1\;dt=0.$

Usando el cambio estándar $\tan (\varphi/2)=u$ obtenemos

$\displaystyle\int\dfrac{d\varphi}{\cos \varphi}=\displaystyle\int\dfrac{1+u^2}{1-u^2}\dfrac{2\;du}{1+u^2}=\displaystyle\int\dfrac{2\;du}{1-u^2}=\log \left | \dfrac{1+u}{1-u} \right |=\log \left | \dfrac{1+\tan (\varphi/2)}{1-\tan (\varphi/2)} \right |.$

Por tanto

$\log \left | \dfrac{1+\tan (\varphi/2)}{1-\tan (\varphi/2)} \right |=C_1t+K\;,\quad\dfrac{1+\tan (\varphi/2)}{1-\tan (\varphi/2)}=C_3e^{C_1t}\;,$ $
1+\tan (\varphi/2)=C_3e^{C_1t}(1-\tan (\varphi/2))\;,\quad\tan (\varphi/2)=\dfrac{C_3e^{C_1t}-1}{C_3e^{C_1t}+1}.$

La solución general sel sistema es

$\left \{ \begin{matrix}\rho=C_1\\ \theta=C_2 \\\varphi=2\arctan \dfrac{C_3e^{C_1t}-1}{C_3e^{C_1t}+1}\end{matrix}\right.\quad (C_1\in \mathbb{R}^+,C_2,C_3\in\mathbb{R}).$