Subgrupo normal y centro

Demostramos que un subgrupo es normal y hallamos el centro del grupo.

Enunciado
En $G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ se define la ley de composición interna $*$ mediante$$(x_1,y_1)*(x_2,y_2)=(x_1+(-1)^{y_1}x_2,y_1+y_2).$$ Se pide:
1. Probar que ley $*$ confiere a $G$ estructura de grupo no abeliano.
2. Demostrar que el subconjunto $H=\{(x,y)\in G:y=0\}$ es un subgrupo normal de $G$.
3. Hallar el centro de $G$.

Solución
1. Claramente $*$ es una ley de composición interna. Veamos que cumple la propiedad asociativa. Por un parte: $$\begin{aligned}
   &[(x_1,y_1)*(x_2,y_2)]*(x_3,y_3)=(x_1+(-1)^{y_1}x_2\;,\;y_1+y_2)*(x_3,y_3)\\
   &=(x_1+(-1)^{y_1}x_2+(-1)^{y_1+y_2}x_3\;,\;y_1+y_2+y_3).
   \end{aligned}$$ Por otra: $$\begin{aligned}
   &(x_1,y_1)*[(x_2,y_2)*(x_3,y_3)]=(x_1,y_1)*(x_2+(-1)^{y_2}x_3\;,\;y_2+y_3)\\
   &=(x_1+(-1)^{y_1}(x_2+(-1)^{y_2}x_3)\;,\;y_1+y_2+y_3).
   \end{aligned}$$ Dado que $x_1+(-1)^{y_1}(x_2+(-1)^{y_2}x_3)=x_1+(-1)^{y_1}x_2+(-1)^{y_1+y_2}x_3$ concluimos que la operación $*$ es asociativa.
   Veamos que existe elemento neutro. En efecto,  $(e_1,e_2)\in G$ es elemento neutro si y sólo si para todo $(x,y)\in G$ se verifica $(x,y)*(e_1,e_2)=(e_1,e_2)*(x,y)=(x,y),$  o equivalentemente $$(x+(-1)^ye_1\;,\;y+e_2)=(e_1+(-1)^{e_2}x\;,\;e_2+y)=(x,y).$$ Esta igualdad se verifica para $(e_1,e_2)=(0,0)$, que es por tanto el elemento neutro de la ley de composición interna $*$.
   Veamos ahora que todo elemento $(x,y)\in G$ tiene elemento simétrico. En efecto, $(x’,y’)$ es simétrico de $(x,y)$ si y sólo si $(x,y)*(x’,y’)=(x’,y’)*(x,y)=(0,0),$  o equivalentemente $$(x+(-1)^yx’\;,\;y+y’)=(x’+(-1)^{y’}x\;,\;y’+y)=(0,0).\quad (1)$$ De $y+y’=0$ deducimos $y’=-y$ y de $x+(-1)^yx’=0$ que $x’=-(-1)^{-y}x$ o bien $x’=(-1)^{1-y}x$. Para estos valores de $x’$ e $y’$ se verifican las igualdades (1). Concluimos que todo elemento $(x,y)\in G$ tiene simétrico, siendo este $$(x,y)^{-1}=(x’,y’)=((-1)^{1-y}x\;,\;-y).$$ Hemos demostrado que $(G,*)$ es grupo. No es abeliano pues por ejemplo $$\begin{aligned}&(1,0)*(0,1)=(1+(-1)^0\cdot 0\;,\;0+1)=(1,1),\\
   &(0,1)*(1,0)=(0+(-1)^1\cdot 1\;,\;1+0)=(-1,1).\end{aligned}$$
2. Veamos que $H$ es un subgrupo de $G$. En efecto, $(0,0)\in H$ lo cual implica que $H\neq \emptyset$. Sean $(x_1,0)$ y $(x_2,0)$ elementos de $H$, entonces, $$\begin{aligned}&(x_1,0)*(x_2,0)^{-1}=(x_1,0)*((-1)^{1-0}x_2\;,\;-0)=(x_1,0)*(-x_2,0)\\
   &=(x_1+(-1)^0\cdot (-x_2)\;,\;0+0)=(x_1-x_2,0)\in H.\end{aligned}$$ Veamos que $H$ es normal. Sean $(g_1,g_2)\in G$ y $(h,0)\in H$ entonces $$(g_1,g_2)*(h,0)*(g_1,g_2)^{-1}=(g_1+(-1)^{g_2}h\;,\;g_2)*((-1)^{1-g_2}g_1\;,\;-g_2).$$ Al operar obtenemos un elemento de la forma $(m,0)$ con $m\in\mathbb{Z}$, el cual pertenece a $H$. Concluimos que $H$ es subgrupo normal de $G$.
3. El centro $Z(G)$ de un grupo $G$ está formado por los elementos del grupo que conmutan con todos los del grupo. En nuestro caso: $$Z(G)=\{(a,b)\in G: (a,b)*(x,y)=(x,y)*(a,b)\;\;\forall (x,y)\in G\}.$$ Tenemos que hallar por tanto los elementos $(a,b)\in G$ que cumplen $$\left \{ \begin{matrix}a+(-1)^bx=x+(-1)^ya\\b+y=y+b\end{matrix}\right.$$ para todo $x$ y para todo $y$ enteros. La segunda igualdad se cumple para todo $b$ y para todo $y$ enteros. La segunda la podemos expresar en la forma $$[1-(-1)^y]a=[1-(-1)^b]x.\quad (2)$$ Si $a\neq 0$, haciendo $x=a$ queda $(-1)^y=(-1)^b$. Esta última igualdad no se cumple para $y=b+1$, lo cual implica que necesariamente ha de ser $a=0$. Para $a=0$ la igualdad (2) se transforma en $[1-(-1)^b]x=0$, igualdad que se verifica para todo $x$ entero si y sólo si $1=(-1)^b$ es decir, si $b$ es par.Hemos demostrado que si $(a,b)$ es un elemento del centro de $G$, necesariamente es de la forma $(0,2k)$ con $k$ entero. Es también suficiente que tenga esa forma. En efecto, para todo $(x,y)\in G:$ $$(0,2k)*(x,y)=(0+(-1)^{2k}x\;,\;2k+y)=(x,2k+y).$$ $$
   (x,y)*(0,2k)=(x+(-1)^{y}\cdot 0\;,\;2k+y)=(x,y+2k).$$ Concluimos que $(0,2k)\in Z(G)$ y por tanto $Z(G)=\{0\}\times (2\mathbb{Z})$.