Suma directa de las funciones pares e impares

Demostramos que el espacio de las funciones es suma directa del subespacip de las funciones pares y del de las impares.

Enunciado
Sea $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ el espacio vectorial real usual de las funciones $f$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y sean los subespacios de $E$: $$\mathcal{P}=\{f\in E : f(-x)=f(x)\;\;\forall x\in \mathbb{R}\}$$ formado por las funciones pares e $$\mathcal{I}=\{f\in E : f(-x)=-f(x)\;\;\forall x\in \mathbb{R}\}$$ formado por las funciones impares. Demostrar que $E=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$.

Solución
Sea $f\in\mathcal{P}\cap\mathcal{I}$, entonces $f\in \mathcal{P}$ y $f\in \mathcal{I}$ lo cual implica $f(-x)=f(x)\;\;\forall x\in\mathbb{R}$ y $f(-x)=-f(x)\;\;\forall x\in\mathbb{R}$. Restando las dos igualdades anteriores obtenemos $2f(x)=0\;\;\forall x\in\mathbb{R}$ o bien $f(x)=0\;\;\forall x\in\mathbb{R}$, es decir $f$ es la función cero: $\mathcal{P}\cap\mathcal{I}=\{0\}$.

Sea $f\in E$ y supongamos que $f$ se puede expresar en la forma $f=f_1+f_2$ con $f_1$ par y $f_2$ impar, entonces $f(x)=f_1(x)+f_2(x)\;\;\forall x\in\mathbb{R}$. Sustituyendo $x$ por $-x$ obtenemos $f(-x)=f_1(x)-f_2(x)\;\;\forall x\in\mathbb{R}$. Sumando y restando las dos igualdades obtenemos que caso de existir la descomposición, $f_1$ y $f_2$ han de ser necesariamente $$f_1(x)=\dfrac{1}{2}\left(f(x)+f(-x)\right)\;,\;f_2(x)=\dfrac{1}{2}\left(f(x)-f(-x)\right).$$ Por otra parte $$f_1(-x)=\dfrac{1}{2}\left(f(-x)+f(x)\right)=f_1(x),\;f_2(-x)=\dfrac{1}{2}\left(f(-x)-f(x)\right)=-f_2(x),$$ y claramente $f=f_1+f_2$. Hemos pues demostrado que toda funcion $f\in E$ es suma de una par y otra impar, por tanto $E=\mathcal{P}+\mathcal{I}$ . Concluimos que $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$.