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Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$

Establecemos una biyección entre  $(-1,1$) y $\mathbb{R}.$ Enunciado Demostrar que la siguiente función es biyectiva y determinar su inversa $$f:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\dfrac{x}{1-\left|x\right|}.$$ Solución La función está bien definida pues si $x\in (-1,1)$, entonces $|x|<1$ y el denominador $1-|x|$ no se … Sigue leyendo

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Familia de funciones de clase 1

Estudiamos una familia de funciones de clase 1. Enunciado Sea $C$ el conjunto de las funciones $f$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ de clase $1$ y que cumplen las condiciones siguientes: $$\forall x\in\mathbb{R}\quad f'(f(x))\cdot f'(x)=1,\quad f'(0)>0,\quad f(1)=1.$$ Se pide: Comprobar que … Sigue leyendo

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