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Biyección entre $(-1,1)$ y $\mathbb{R}$
Establecemos una biyección entre $(-1,1$) y $\mathbb{R}.$ Enunciado Demostrar que la siguiente función es biyectiva y determinar su inversa $$f:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\dfrac{x}{1-\left|x\right|}.$$ Solución La función está bien definida pues si $x\in (-1,1)$, entonces $|x|<1$ y el denominador $1-|x|$ no se … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
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Familia de funciones de clase 1
Estudiamos una familia de funciones de clase 1. Enunciado Sea $C$ el conjunto de las funciones $f$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ de clase $1$ y que cumplen las condiciones siguientes: $$\forall x\in\mathbb{R}\quad f'(f(x))\cdot f'(x)=1,\quad f'(0)>0,\quad f(1)=1.$$ Se pide: Comprobar que … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado (-1, clase, familia, funciones
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Formas de Jordan de rango 1
Estudiamos las formas de Jordan de rango 1. Enunciado Se trata de estudiar las posibles formas canónicas de Jordan (o en su caso, forma diagonal) de las matrices cuadradas de rango 1. 1. Estudiamos en primer lugar un caso particular … Sigue leyendo
Integración de funciones trigonométricas (1)
Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^5x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{10}x\;\cos^3x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{2}x\;\cos^2x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{4}x\;dx.$ Solución Efectuando la sustitución $t=\cos x,$ $dt=-\operatorname{sen} x\;dx$ y por tanto: $$I=\int \operatorname{sen}^4x\;\operatorname{sen}x\;dx=\int \left(1-\cos^2x\right)^2\operatorname{sen}x\;dx$$ $$=-\int \left(1-t^2\right)^2\;dt=-\int \left(1-2t^2+t^4\right)\;dt$$ $$=-t+\frac{2t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C=-\cos x+\frac{2\cos^3x}{3}-\frac{\cos^5x}{5}+C.$$ Efectuando la sustitución $t=\operatorname{sen}x,$ $dt=\cos x\;dx$ y por … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado (-1, funciones, integración, trigonométricas
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Integración de funciones irracionales (1)
Enunciado Calcular $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x+1}-\sqrt[4]{3x+1}}.$ Calcular $\displaystyle\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{(2x-5)^{2/3}-(2x-5)^{1/2}}.$ Solución Si $t^4=3x+1,$ entonces $4t^3dt=3\;dx,$ por tanto: $$\begin{aligned}& \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x+1}-\sqrt[4]{3x+1}}=\frac{4}{3}\int\frac{t^3\;dt}{t^2-t}=\frac{4}{3}\int\frac{t^2\;dt}{t-1}\\&=\frac{4}{3}\int\left(t+1+\frac{1}{t-1}\right)dt=\frac{4}{3}\left(\frac{t^2}{2}+t+\log \lvert t-1\rvert\right)+C\\&=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+\frac{4}{3}\sqrt[4]{3x+1}+\lvert \sqrt[4]{3x+1}-1\rvert+C. \end{aligned}$$ Si $t^2=x+2,$ entonces $2t\;dt=dx,$ por tanto: $$\begin{aligned}&\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}=2\int\frac{(t^2-2)^3t\;dt}{t}=2\int (t^2-2)^3\;dt=\\ &=2\int (t^6-6t^4+12t^2-8)\;dt=2\left(\frac{t^7}{7}-\frac{6t^5}{5}+4t^3-8t\right)+C. \end{aligned}$$ Sustituyendo $t=\sqrt{x+2}$ y simplificando: $$\int\frac{x^3\;dx}{\sqrt{x+2}}=\frac{2\sqrt{x+2}}{35}\left(5(x+2)^3-42(x+2)^2+140(x+2)-280\right)+C.$$ Si $t^6=2x-5,$ entonces $6t^5\;dt=2\;dx,$ … Sigue leyendo
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