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Integración de funciones trigonométricas (2)
Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{4}x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{5}x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int\cot^{4}x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{2}7x\;dx.$ Solución Tenemos: $$I=\int \tan^4x\;dx=\int \tan^{2}x\;\tan^2x\;dx=\int\tan^{2}x\;(\sec^2x-1)\;dx$$ $$=\int\tan^{2}x\;\sec^2x\;dx-\int\tan^{2}x\;dx.$$ Efectuando el cambio $t=\tan x,$ $dt=\sec^2x,$ por tanto $$\int\tan^{2}x\;\sec^2x\;dx=\int t^2dt=\frac{t^3}{3}+C=\frac{\tan^3x}{3}+C.$$ Por otra parte: $$\int \tan^{2}x\;dx=\int(\sec^2x-1)\;dx=\tan x-x+C.$$ En consecuencia, $$I=\frac{\tan^3x}{3}-\tan x+x+C.$$ Tenemos: $$I=\int \tan^5x\;dx=\int \tan^{3}x\;\tan^2x\;dx=\int\tan^{3}x\;(\sec^2x-1)\;dx$$ $$=\int\tan^{3}x\;\sec^2x\;dx-\int\tan^{3}x\;dx.$$ … Sigue leyendo
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Etiquetado 2, funciones, ntegración, trigonométricas
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Integración de funciones irracionales (2)
Enunciado Calcular las integrales: $$I_1=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+6}},\quad I_2=\displaystyle\int\frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x+6}}dx.$$ Calcular las integrales: $$I_1=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-2x-x^2}},\quad I_2=\displaystyle\int\frac{2x-3}{\sqrt{1-2x-x^2}}dx.$$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}.$ Se consideran las integrales: $$I=\int\frac{dx}{(mx+n)\sqrt{ax^2+bx+c}},\quad J=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{Ax^2+Bx+C}},$$ con $m\neq 0.$ Demostrar que la sustitución $t=\dfrac{1}{mx+n},$ transforma las integrales del tipo $I$ en integrales del tipo $J.$ Solución Podemos … Sigue leyendo
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Etiquetado 2, funciones, integración, irracionales
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Integración de funciones racionales (2)
Enunciado Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{3x^2-x+1}.$ Calcular $\displaystyle\int\frac{4x-5}{3x^2-x+1}dx.$ Sea el trinomio $ax^2+bx+c\;(a>0).$ Demostrar que si dicho trinomio no tiene raíces reales, entonces $$\displaystyle\int\dfrac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C.$$ Solución El denominador no tiene raíces. Completemos cuadrados: $$3x^2-x+1=3(x+k)^2+l=3x^2+6kx+3k^2+l.$$ Identificando coeficientes, $3=3,$ $6k=-1,$ $3k^2+l=1.$ Resolviendo, queda $k=-1/6$ y … Sigue leyendo
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Etiquetado 2, funciones, integración, racionales
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