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Integración de funciones trigonométricas (3)

Enunciado Calcular $\displaystyle\int \operatorname{sen}5x\cos 7x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \operatorname{sen}13x\operatorname{sen}8x\;dx.$ Calcular $\displaystyle\int \cos (ax+b)\cos (ax-b)\;dx.$ Demostrar: $$\begin{aligned}& (a)\;\operatorname{sen}px\cos qx=\dfrac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(p+q)x+\operatorname{sen}(p-q)x\right].\\ &(b)\;\operatorname{sen}px\operatorname{sen} qx=\dfrac{1}{2}\left[\cos(p-q)x-\cos (p+q)x\right].\\ &(c)\;\cos px\cos qx=\dfrac{1}{2}\left[\cos (p-q)x+\cos (p+q)x\right]. \end{aligned}$$ Solución Usando $\operatorname{sen}px\cos qx=\frac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(p+q)x+\operatorname{sen}(p-q)x\right]:$ $$\int \operatorname{sen}5x\cos 7x\;dx=\frac{1}{2}\int \left(\operatorname{sen}12x+\operatorname{sen}(-2x)\right)\;dx$$ $$=\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}12x\;dx-\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}2x\;dx=-\frac{1}{24}\cos 12x+\dfrac{1}{4}\cos 2x+C.$$ Usando … Sigue leyendo

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Integración de funciones irracionales (3)

Enunciado Calcular $\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx.$ Calcular $\displaystyle\int \frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx.$ Mediante un adecuado cambio de variable, transformar la integral $$I=\displaystyle\int \frac{dx}{x^5\sqrt{x^2-1}},$$ en otra en la que sea aplicable el método alemán. Solución Usemos el método alemán. Expresemos $$\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}dx=(Ax+B)\sqrt{x^2-x+1}+\lambda\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+1}}.$$ Derivando: $$\begin{aligned}&\frac{x^2}{\sqrt{x^2-x+1}}=A\sqrt{x^2-x+1}\\ &+(Ax+B)\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}+\frac{\lambda}{\sqrt{x^2-x+1}}. … Sigue leyendo

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