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Dos números algebraicos
RESUMEN. Demostramos que dos números son algebraicos. Enunciado Demostrar que los siguientes números son algebraicos (a) $7+\sqrt[3]{2}$. (b) $\sqrt{3} +\sqrt{-5}$. Solución (a) Si $a=7+\sqrt[3]{2}$, entonces $a-7=\sqrt[3]{2}$ y por tanto $(a-7)^3=2.$ Es decir, $a\in\mathbb{R}$ es raíz del polinomio $p(x)=(x-7)^3-2\in \mathbb{Q}[x]$ lo … Sigue leyendo
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Propiedades de los conjuntos algebraicos
RESUMEN. Demostramos propiedades de los conjuntos algebraicos. Teorema. Si $I$ es el ideal en $k[x_1,\ldots,x_n]$ generado por $S$, entonces $V(S) = V(I)$ es decir, cada conjunto algebraico es igual a $V(I)$ para algún ideal $I.$ Si $\{I_{\alpha}\}$ es una colección … Sigue leyendo
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Caracterización de conjuntos algebraicos irreducibles
Demostramos una caracterización de los conjuntos algebraicos irreducibles Definición. Sea $k$ un cuerpo y $V\subset k^n$ un conjunto algebraico. Se dice que $V$ es reducible si existen $V_1,V_2$ conjuntos algebraicos de $k^n$ tales que $V=V_1\cup V_2$ con $V_1\ne V$ y … Sigue leyendo
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El conjunto de los números algebraicos es contable
Demostramos que el conjunto de los números algebraicos es contable. Trabajamos en la extensión de cuerpos $\mathbb{R}/\mathbb{Q}.$ Teorema. El conjunto de los números algebraicos es contable. Demostración. El conjunto $A$ de los números algebraicos se puede expresar en la forma: … Sigue leyendo
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