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Archivo de la etiqueta: anillo
Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$
Demostramos una caracterización de las unidades del anillo de las series formales $A[[X]].$ Enunciado Sea $A$ un anillo conmutativo y unitario y $A[[X]]$ el anillo de las series formales $S(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$ con coeficientes $a_n\in A.$ Demostrar que $$S(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n\text{ es … Sigue leyendo
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Etiquetado $A[[X]]$, anillo, series formales, unidades
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Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito
Demostramos que el ideal de las funciones que se anulan en 0 es ideal maximal del anillo de las funciones de clase infinito. Enunciado Sea $A=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})$ el conjunto de las funciones de clase infinito de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}.$ Demostrar que … Sigue leyendo
Una unidad en el anillo cociente Q[X] / I
Estudiamos si un determinado elemento es unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[x]/I.$ Enunciado Sea el ideal de $\mathbb{Q}[x],$ $I=(x^3 + 3x + 2).$ ¿Es $(x + 1) + I\in \mathbb{Q}[x]/I$ una unidad de $\mathbb{Q}[x]/I$? Solución Cualquier elemento de $\mathbb{Q}[x]/I$ tiene … Sigue leyendo
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Etiquetado anillo, cociente, Q[ X ] / I, unidad
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Anillo de los endomorfismos y grupo lineal
Construimos el anillo de los endomorfismos y el grupo lineal. Enunciado Demostrar que $\left(\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E),+,\circ \right)$ es un anillo unitario, en donde $+$ es la suma habitual de aplicaciones lineales y $\circ$ la composición. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo … Sigue leyendo
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Etiquetado anillo, endomorfismos, grupo, lineal
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Binomio de Newton en un anillo
Demostramos la fórmula del binomio de Newton en un anillo. Enunciado Sean $a$ y $b$ dos elementos permutables de un anillo $A,$ es decir $ab=ba.$ Demostrar que $\forall n\in\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$ se verifica la fórmula de Newton: $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.$$ Solución Usaremos el método … Sigue leyendo
