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Archivo de la etiqueta: anillos
Isomorfismo entre dos anillos
RESUMEN. Establecemos un isomorfismo entre dos anillos. Enunciado (1) Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\left\{{a+b\sqrt{2}}:a,b\in\mathbb{Z}\right\}$ es anillo unitario y conmutativo con las operaciones suma y producto habituales. (2) Demostrar que $$H=\left\{{\begin{pmatrix} a & 2b \\b & a \end{pmatrix}}: a,b \in \mathbb{Z}\right\}$$ es anillo … Sigue leyendo
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Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad
RESUMEN. Demostramos que no todo homomorfismo de anillos conserva el elemento unidad Enunciado. Sea $\mathbb{Z}^3$ el anillo producto directo $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ con las operaciones usuales en $\mathbb{Z}.$ Demostrar que la aplicación $$f:\mathbb{Z}^3\to \mathbb{Z}^3,\quad f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,0)$$ es un homomorfismo de anillos … Sigue leyendo
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Anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
Definimos los anillos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. Enunciado Sea $d\in\mathbb{Z}-\{0,1\}$ y libre de cuadrados, es decir no es divisible por el cuadrado de ningún entero salvo el $1.$ Se define $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]:=\{a+b\sqrt{d}:a,b\in\mathbb{Z}\}.$ Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es subanillo de … Sigue leyendo
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Caracterización de anillos noetherianos
Estudiamos la caracterización de los anillos noetherianos vía la condición de cadena ascendente, y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario. Se dice que $R$ cumple la condición de cadena ascendente sii para toda … Sigue leyendo
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Producto directo de anillos
Construimos el producto directo de anillos. Enunciado Para $n$ entero positivo, sean $A_1,\ldots,A_n$ anillos. En el producto cartesiamo $A=A_1\times \cdots \times A_n,$ se definen las operaciones: $$\begin{aligned}&(a_1,\ldots,a_n)+(b_1,\ldots,b_n)=(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n),\\&(a_1,\ldots,a_n)\cdot (b_1,\ldots,b_n)=(a_1b_1,\ldots,a_nb_n).\end{aligned}$$ Demostrar que $(A,+,\cdot)$ es un anillo (se le llama producto directo de … Sigue leyendo
