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Anuladores de núcleo e imagen y aplicación transpuesta

RESUMEN. En este problema encontramos relacioes entre espacios conjugados anuladores, núcleo, imagen y aplicación traspuesta. Este ptoblema está relacionado con los enlaces: Subespacio conjugado o anulador Aplicación transpuesta Enunciado Sea $T:E\to F$ una aplicación lineal y $T^t:F^*\to E^*$ la aplicación … Sigue leyendo

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Concepto de aplicación multilineal

Definimos el concepto de aplicación multilineal y proporcionamos varios ejemplos. Enunciado Sean $V_1,\ldots,V_n,V$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $K$ y sea $$\phi:V_1\times\ldots\times V_n\to V$$ una aplicación. Se dice que $\phi$ es multilineal si $\forall i=1,\ldots,n$ se verifica $$\begin{aligned} & (a)\;\; … Sigue leyendo

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Norma de una aplicación lineal y continua

Enunciado Sean $E$ y $F$ dos espacios normados y $T:E\to F$ una aplicación lineal y continua. Sabemos que en tal caso existe $K>0$ tal que $\left\|T(x)\right\|\le K\left\|x\right\|$ para todo $x\in E.$ En consecuencia el conjunto $$\left\{ \frac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}:x\in E,\;x\ne 0\right\}$$ está … Sigue leyendo

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Una aplicación lineal discontinua

Proporcionamos una aplicación lineal y discontinua entre espacios normados. Enunciado Se considera el espacio vectorial $E=\mathcal{C}^1[0,1]$ de las funciones reales de clase $1$ definidas en $[0,1]$ con la norma $\|f\|=\sup_{x\in [0, 1]}\left|f(x)\right|.$ Demostrar que la aplicación $$T:E\to\mathbb{R},\quad T(f)=f'(0)$$ es lineal … Sigue leyendo

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Aplicación involutiva

Estudiamos en qué casos una aplicación afín es involutiva. Enunciado Sea $A$ un conjunto. Se dice que la aplicación $f:A\to A$ es involutiva si, y sólo si  $f\circ f=I_A.$ Determinar los valores de $a$ y $b$ reales para que la … Sigue leyendo

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Aplicación transpuesta

Proporcionamos ejercicios sobre la aplicación transpuesta. Enunciado Se considera la aplicación lineal $D:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}_2[x],$ $D(p)=p’.$ Hallar la matriz de la aplicación transpuesta $D^T$ respecto de las bases duales de la canónicas de $\mathbb{R}_2[x]$ y $\mathbb{R}_3[x].$ Sean $E$ y $F$ dos … Sigue leyendo

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Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía

Demostramos un teorema de isomorfía, el teorema de la  descomposición canónica de una aplicación lineal y damos una ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que (1) $n:E\to E/\ker f,\; n(x)=x+\ker f$ es epimorfismo. (2) $g:E/\ker … Sigue leyendo

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Expresión matricial de una aplicación lineal

Proporcionamos ejercicios sobre la expresión matricial de una aplicación lineal. Enunciado Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales reales y $B_E=\{u_1,u_2,u_3\},$ $B_F=\{v_1,v_2\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Se considera la aplicación lineal $f:E\to F$ definida por: $$\left \{ \begin{matrix} f(u_1)=v_1+3v_2 … Sigue leyendo

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Matriz de una aplicación lineal

Proporcionamos ejercicios sobre matriz de una aplicación lineal. Enunciado Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales reales y $B_E=\{u_1,u_2,u_3\},$ $B_F=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Se considera la aplicación lineal $f:E\to F$ definida por: $$\left \{ \begin{matrix} f(u_1)=v_1-v_2+v_3 \\f(u_2)=2v_1+2v_2+v_3+2v_4\\f(u_3)=4v_2-v_3+2v_4.\end{matrix}\right.$$ Hallar … Sigue leyendo

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Núcleo e imagen de una aplicación lineal

Proporcionamos ejercicios sobre núcleo e imagen de una aplicación lineal. Enunciado Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^4:$ $$f(x,y.z)=(x+2y-z,\;-x+y+2z,\;3y+z,\;3x-5z).$$ Hallar unas bases de $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$ Sea $D:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}[x]$ la aplicación lineal definida dada por $D(p)=p’$ (derivada de $p$). … Sigue leyendo

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