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Archivo de la etiqueta: autónomo
Configuración de centro en un sistema autónomo
Enunciado Se considera el sistema diferencial $X’=AX$, con $A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}.$ Se pide: (a) Escribir la forma general de la solución para resolver el sistema con la condición inicial $X(0)=(1,0)^t.$ (b) Dibujar la órbita que pasa por el punto $(1,0).$ (c) Calcular … Sigue leyendo
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Etiquetado autónomo, centro, configuración, sistema
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Concepto de solución de un sistema autónomo
Enunciado 1. Comprobar que la función $$\varphi:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to \mathbb{R}^2,\quad\varphi (t)=\begin{bmatrix}{\tan t}\\{\cos^2t}\end{bmatrix}$$ es solución del sistema diferencial autónomo: $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=1+x_1^2\\x’_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2. Interpretar físicamente el concepto de solución del sistema autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’=v(x)\\x(0)=x_0.\end{matrix}\right.$$ Solución 1. … Sigue leyendo
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Etiquetado autónomo, concepto, sistema, solución
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Concepto de sistema autónomo
Enunciado 1. Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=1+x_1^2\\x’_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2. Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=x_1\cos t\\x’_2=-x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=0.\end{matrix}\right.$$ Solución 1. El campo … Sigue leyendo
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Sistema autónomo: dibujo de una órbita
Enunciado Dibujar la órbita que pasa por el punto $(0,2)$ en el sistema diferencial autónomo $\left \{ \begin{matrix}x’=1+x^2\\ y’=-2xy.\end{matrix}\right.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos una integral primera del sistema $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{-2xy}{2+x^2}\;.\quad 2xy\;dx +(1+x^2)\;dy=0\;,\quad\displaystyle\frac{2x\;dx}{1+x^2}+\displaystyle\frac{dy}{y}=0.$ … Sigue leyendo
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Sistema autónomo con paso a polares
Enunciado Resolver el sistema diferencial $\left \{ \begin{matrix}x’=-y-x^2y\\y’=x-xy^2\end{matrix}\right.$ con la condición inicial $x(0)=1/2,\;y(0)=0$. (Indicación: Pasar a coordenadas polares). (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución De $\rho^2=x^2+y^2$ y derivando respecto de la variable independiente $t:$ … Sigue leyendo
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