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Archivo de la etiqueta: autónomo
Sistema autónomo con paso a esféricas
Enunciado Resolver el sistema diferencial autónomo $\left \{ \begin{matrix}x’=-xz\\y’=-yz\\z’=x^2+y^2.\end{matrix}\right.$ Indicación: pasar a coordenadas esféricas. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución De las relaciones $$\rho^2=x^2+y^2+z^2,\quad\theta=\arctan(y/x),\quad \varphi=\arctan (z/\sqrt{x^2+y^2})$$ deducimos $2\rho\rho’=2xx’+2yy’+2zz’\Leftrightarrow \rho\rho’=xx’+2yy’+zz’$ $\theta’=\dfrac{1}{1+\dfrac{y^2}{x^2}}\dfrac{y’x-x’y}{y^2}=\dfrac{y’x-x’y}{x^2+y^2}$ $\varphi’=\dfrac{1}{1+\dfrac{z^2}{x^2+y^2}}\dfrac{z’\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2xx’+2yy’)z}{x^2+y^2}$ $=\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{z'(x^2+y^2)-z(xx’+yy’)}{\sqrt{x^2+y^2}}.$ Sustituyendo las … Sigue leyendo
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Etiquetado autónomo, esféricas, sistema
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Sistema autónomo con paso a cilíndricas
Enunciado Resolver el sistema diferencial autónomo $\left \{ \begin{matrix}x’_1=-x_2x_3\\x’_2=x_1x_3\\x’_3=x_1^2+x_2^2.\end{matrix}\right.$ Indicación: pasar a coordenadas cilíndricas. (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución De las relaciones $\rho^2=x_1^2+x_2^2,\; \theta=\arctan (x_2/x_1),\;x_3=x_3$ deducimos $\left \{ \begin{matrix}2\rho\rho’=2x_1x_1’+2x_2x’_2\\\theta’=\dfrac{1}{1+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}}\dfrac{x’_2x_1-x’_1x_2}{x_1^2}\\x’_3=x’_3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}\rho\rho’=x_1x_1’+x_2x’_2\\\theta’=\dfrac{x’_2x_1-x’_1x_2}{\rho^2}\\x’_3=x’_3.\end{matrix}\right.$ … Sigue leyendo
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Etiquetado autónomo, cilíndricas, sistema
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Sistema autónomo: prolongación en el tiempo a un conjunto
Estudiamos la prolongación en el tiempo a un conjunto relativo a un sistema autónomo. Enunciado Se considera el sistema $\left \{ \begin{matrix} x’_1=-x_2-x_1(1-x_1^2-x_2^2)\\x’_2=x_1-x_2(1-x_1^2-x_2^2).\end{matrix}\right.$ Demostrar que toda solución que pasa por un punto del círculo $x_1^2+x_2^2<1$ no se puede prolongar en … Sigue leyendo
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Etiquetado autónomo, conjunto, prolongación, sistema, tiempo
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