Archivo de la etiqueta: cálculo

Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$

Enunciado Evaluar justificadamente $$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$$ Solución Hallemos el límite de cada uno de los factores que aparecen. El límite del primer factor es $$\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}=e^{+\infty}=+\infty.$$ Hallemos el límite del segundo factor. Tenemos $$x>x-\frac{\log x}{2x}\Leftrightarrow \frac{\log x}{2x}>0,$$ y esto último … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , | Comentarios desactivados en Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$

Cálculo de $\sqrt{A}$, $A^{-1}$ y $e^A$ por matrices componentes

Usamos un teorema relativo a las matrices componentes para calcular una raíz cuadrada, una inversa y una exponencial. Enunciado Se considera la matriz real: $A=\begin{bmatrix}{5}&{-1}\\{1}&{\;\;3}\end{bmatrix}.$ (a)  Calcular sus matrices componentes. (b)  Como aplicación, calcular $\sqrt{A},$ $A^{-1}$ y $e^{A}.$ Solución Recordamos … Sigue leyendo

Publicado en Álgebra | Etiquetado , , , , | Comentarios desactivados en Cálculo de $\sqrt{A}$, $A^{-1}$ y $e^A$ por matrices componentes

Teorema fundamental del Cálculo

Enunciado Demostrar el teorema fundamental del Cálculo: Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua, y sea la función $$F:[a,b]\to \mathbb{R},\quad F(x)=\int_a^xf(t)\;dt.$$ Entonces, $F$ es derivable en $[a,b]$ y $F'(x)=f(x)$ para todo $x\in [a,b].$ Hallar las derivadas de las siguientes funciones:$$(a)\;F(x)=\int_1^x\log t\;dt.\quad … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en Teorema fundamental del Cálculo

Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales

Enunciado Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right).$ Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1^p+2^p+3^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}\quad (p>0).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}.$ Relacionar el límite $$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n}\right)$$ con la integral $\displaystyle\int_1^2\dfrac{1}{x}\;dx$. Calcular el límite anterior. Solución Llamemos $L$ al límite pedido. Entonces,$$\begin{aligned}L&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots+\frac{n-1}{n}\right)\\ &=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k}{n}=\int_0^1x\;dx=\frac{1}{2}.\end{aligned}$$ Llamemos $L$ al … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , , | Comentarios desactivados en Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales

Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de valores y vectores propios y el polinomio característico. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfismo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Calcular los valores propios … Sigue leyendo

Publicado en Álgebra | Etiquetado , , , , , | Comentarios desactivados en Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico