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Archivo de la etiqueta: cálculo
Cálculo de una raíz de forma heurística.
RESUMEN. Calculamos $\sqrt{4444222225}$ de forma heurística. Enunciado Calcular $\sqrt{4444222225}$. Solución Tenemos $$\sqrt{4444222225}=\sqrt{4444000000+222225}=\sqrt{4444000000+222220+5}$$ $$=\sqrt{4444\cdot10^6+22222\cdot10+5}=\sqrt{4\cdot1111\cdot 10^6+2\cdot11111\cdot10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{9999}{9}\cdot 10^6+2\cdot\dfrac{99999}{9}\cdot 10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{10^4-1}{9}\cdot 10^6+2\cdot\dfrac{10^5-1}{9}\cdot 10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{(10^4-1)\cdot 10^6}{9}+2\cdot\dfrac{(10^5-1)\cdot 10}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4(10^{10}-10^6)}{9}+\dfrac{2(10^6-10)}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4\cdot 10^{10}-4\cdot10^6}{9}+\dfrac{2\cdot 10^6-20}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4\cdot 10^{10}-2\cdot 10^6+25}{9}}$$ $$=\dfrac{\sqrt{2^2\cdot {(10^5)}^2-2\cdot 10^5\cdot 10+25}}{3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{{(2\cdot 10^5)}^2-(2\cdot 10^5)\cdot 10+25}}{3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{{(2\cdot 10^5)}^2-2\cdot … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado cálculo, forma herística, raíz
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Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
Enunciado Evaluar justificadamente $$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$$ Solución Hallemos el límite de cada uno de los factores que aparecen. El límite del primer factor es $$\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}=e^{+\infty}=+\infty.$$ Hallemos el límite del segundo factor. Tenemos $$x>x-\frac{\log x}{2x}\Leftrightarrow \frac{\log x}{2x}>0,$$ y esto último … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado $displaystylelim_{xto +infty}e^{x^2}int_{x-frac{log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$, cálculo
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Cálculo de $\sqrt{A}$, $A^{-1}$ y $e^A$ por matrices componentes
Usamos un teorema relativo a las matrices componentes para calcular una raíz cuadrada, una inversa y una exponencial. Enunciado Se considera la matriz real: $A=\begin{bmatrix}{5}&{-1}\\{1}&{\;\;3}\end{bmatrix}.$ (a) Calcular sus matrices componentes. (b) Como aplicación, calcular $\sqrt{A},$ $A^{-1}$ y $e^{A}.$ Solución Recordamos … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado $A^{-1}$ y $e^A$, $sqrt{A}$, cálculo, componentes, matrices
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Teorema fundamental del Cálculo
Enunciado Demostrar el teorema fundamental del Cálculo: Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua, y sea la función $$F:[a,b]\to \mathbb{R},\quad F(x)=\int_a^xf(t)\;dt.$$ Entonces, $F$ es derivable en $[a,b]$ y $F'(x)=f(x)$ para todo $x\in [a,b].$ Hallar las derivadas de las siguientes funciones:$$(a)\;F(x)=\int_1^x\log t\;dt.\quad … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado cálculo, fundamental, teorema
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Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
Enunciado Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right).$ Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1^p+2^p+3^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}\quad (p>0).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}.$ Relacionar el límite $$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n}\right)$$ con la integral $\displaystyle\int_1^2\dfrac{1}{x}\;dx$. Calcular el límite anterior. Calcular $L=\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}.$ Solución Llamemos $L$ al límite pedido. Entonces,$$\begin{aligned}L&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots+\frac{n-1}{n}\right)\\ &=\lim_{n\to … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado cálculo, integrales, límites, sucesiones
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