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Archivo de la etiqueta: Cauchy
Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
Relacionamos la fórmula integral de Cauchy con la matriz exponencial. Enunciado La fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a matrices de la siguiente manera $$f(M)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}f(z)(zI-M)^{-1}\;dz,$$ donde $\gamma$ es la circunferencia $|z|=r,$ $I$ es la matriz identidad y todos … Sigue leyendo
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Producto de Cauchy de series igual a la unidad
Enunciado Usando el producto de Cauchy de series, demostrar que $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\right)=1.$$ Dar una obvia interpretación de la igualdad anterior. Solución Aplicando el criterio de D’Alembert a ambas series para $x\ne 0,$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{x^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(-x)^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{(-x)^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ lo cual … Sigue leyendo
Valor principal de Cauchy de una integral impropia
Definimos el valor principal de Cauchy de una integral impropia. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Definimos el valor principal de Cauchy (VP) de la integral $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ como $$\text{VP}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\;dx.$$ Demostrar que si $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ es convergente, … Sigue leyendo
Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
Enunciado Demostrar el criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos: Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx \text{ es convergente}$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que } b’\ge b\ge b_0\Rightarrow \left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|<\epsilon$$ Solución … Sigue leyendo
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Fórmulas integrales de Cauchy
Enunciado Calcular $(a)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=3}\frac{e^z}{z-2}dz.\quad (b)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=1}\frac{e^z}{z-2}dz.$ Calcular $(a)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=1}\frac{\operatorname{sen}^6z}{z-\pi/6}dz.\quad (b)\;\displaystyle\int_{\left|z\right|=2}\frac{e^{iz}}{z^3}dz.$ Calcular $\displaystyle\int_{C}\frac{e^{2z}}{z+\pi i}dz,$ si $C$ es $(a)\;$ La circunferencia $\left|z-1\right|=4.$ $(b)\;$ La elipse $\left|z-2\right|+\left|z+2\right|=6.$ Solución $(a)$ La función $f(z)=e^z$ es analítica en $\mathbb{C},$ por tanto en $\mathcal{R}\equiv\left|z\right|\leq 3$ y $2$ es interior a … Sigue leyendo
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