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Archivo de la etiqueta: Cauchy
Ecuación funcional de Cauchy
RESUMEN. Estudiamos la ecuación funcional de Cauchy. Enunciados Se dice que una función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ cumple la ecuación de Cauchy si satisface la ecuación funcional $$f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in\mathbb R.$$ Demostrar que si $c\in\mathbb R$ la función $f:\mathbb R\to \mathbb … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado Cauchy, ecuación, funcional
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Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
Relacionamos la fórmula integral de Cauchy con la matriz exponencial. Enunciado La fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a matrices de la siguiente manera $$f(M)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}f(z)(zI-M)^{-1}\;dz,$$ donde $\gamma$ es la circunferencia $|z|=r,$ $I$ es la matriz identidad y todos … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado Cauchy, exponencial, fórmula, integral, matriz
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Producto de Cauchy de series igual a la unidad
Enunciado Usando el producto de Cauchy de series, demostrar que $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\right)=1.$$ Dar una obvia interpretación de la igualdad anterior. Solución Aplicando el criterio de D’Alembert a ambas series para $x\ne 0,$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{x^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(-x)^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{(-x)^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ lo cual … Sigue leyendo
Valor principal de Cauchy de una integral impropia
Definimos el valor principal de Cauchy de una integral impropia. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Definimos el valor principal de Cauchy (VP) de la integral $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ como $$\text{VP}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\;dx.$$ Demostrar que si $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ es convergente, … Sigue leyendo
Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
Enunciado Demostrar el criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos: Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx \text{ es convergente}$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que } b’\ge b\ge b_0\Rightarrow \left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|<\epsilon$$ Solución … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado Cauchy, criterio, impropias, infinitos, integrales, intervalos
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