Archivo de la etiqueta: Cauchy

Series absolutamente convergentes

Proporcionamos ejercicios sobre series absolutamente convergentes. Enunciado Demostrar que la serie $\displaystyle\sum _{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$ es convergente. Calcular la suma $S$ de la serie $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{b_0}{5^{n}}+\frac{b_1}{5^{n-1}}+\frac{b_2}{5^{n-1}}+\cdots+b_n\right),$$ sabiendo que $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ es absolutamente convergente con suma $3.$ Demostrar el criterio de Cauchy: Una serie de … Sigue leyendo

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Una aplicación de las desigualdades de Cauchy

Proporcionamos una aplicación de las desigualdades de Cauchy. Enunciado Sea $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ una función entera (holomorfa en todo el plano complejo), tal que $a_n\geq 0,\;\sum_{n=0}^{\infty}a_n=1$ y además satisface la desigualdad $\left|f(x)\right|\leq x$ para todo $x\geq 0.$ Se pide: 1. Calcular $f(0)$ … Sigue leyendo

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Producto de Cauchy de series, contraejemplo

Demostramos que el producto de Cauchy de dos series convergentes no es en general convergente. Enunciado Sabido es que para dos series de números reales $\sum_{n\geq 0}u_n$ y $\sum_{n\geq 0}v_n$ absolutamente convergentes, de sumas $U$ y $V$ respectivamente, las serie … Sigue leyendo

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Fórmula de Cauchy-Hadamard

Demostramos la fórmula de Cauchy-Hadamard y proporcionamos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el teorema de Cauchy-Hadamard: Sea la serie entera compleja $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ y $\rho$ su radio de convergencia. Entonces $$\frac{1}{\rho}=\limsup_{n\to +\infty} \;\left|a_n\right|^{1/n}.$$ Usando la fórmula de Cauchy-Hadamard hallar el … Sigue leyendo

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Teorema del valor medio de Cauchy

Proporcionamos ejercicios sobre el teorema del valor medio de Cauchy. Enunciado Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy para las funciones $f,g:[1,2]\to \mathbb{R}$ definidas por: $$f(x)=x^2+2,\;g(x)=x^3-1.$$ Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes. Comprobar … Sigue leyendo

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