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Archivo de la etiqueta: clasificación
Clasificación de las isometrías del plano
RESUMEN. Proporcionamos una clasificación de las isometrías del plano. Lema. Si una isometría del plano fija tres puntos que no son colineales, entonces dicha isometría es la identidad. Demostración. La isometria será de la forma $h(z)=\alpha z+\beta$ o $h(z)=\alpha \bar{z}+\beta$ … Sigue leyendo
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Clasificación de cónicas
Proporcionamos ejemplos de clasificación de cónicas, así como el correspondiente cuadro. Enunciado Determinar la naturaleza de las siguientes cónicas sin usar el cuadro de clasificación. $\quad 1)\; x^2+y^2=9.$ $\quad 2)\; 4x^2+9y^2=36.$ $\quad 3)\; 4x^2-9y^2=36.$ $\quad 4)\; y-x^2=0.$ $\quad 5)\;4x^2+9y^2=-36.$ $\quad … Sigue leyendo
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Clasificación de formas cuadráticas
Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de formas cuadráticas. Enunciado Clasificar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2ax_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3\;\;(a\in\mathbb{R}).$$ Determinar para que valores de $a\in\mathbb{R}$ es definida positiva la forma cuadrática $$q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\quad q(x)=X^T\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{2}&{6}&{2}\\{1}&{2}&{a}\end{bmatrix}X.$$ Solución Busquemos una matriz diagonal que represente a $q.$ $$\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\\{a}&{1}&{2}\\{-1}&{2}&{5}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{F_2-aF_1}\\{F_3+F_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}$$ $$\begin{matrix}\sim\\{C_2-aC_1}\\{C_3+C_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}.$$ Para … Sigue leyendo
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Clasificación de aplicaciones lineales
Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de aplicaciones lineales. Enunciado Clasificar las aplicaciones lineales: $1)\;f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3,\;f(x_1,x_2)=(x_1+x_2,\;-x_1+2x_2,\;0).$ $2)\;g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2,\;g(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3,\;x_1+x_2+x_3).$ Demostrar que $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dado por $$f\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{-1}\\{4}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}$$ es isomorfismo. Para todo $\lambda\in\mathbb{R}$ se considera el endomorfismo $T$ en $\mathbb{R}^3$ cuya matriz en la base canónica … Sigue leyendo
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Clasificación de una familia de endomorfismos
Efectuamos la clasificación de una familia de endomorfismos que depende de un parámetro. Enunciado Se consideran los homomorfismos $f_{\lambda}$ de un espacio $V_3(\mathbb{R})$ definidos por las ecuaciones $\left \{ \begin{matrix}f_{\lambda}(e_1)=e_1+e_2+\lambda e_3\\f_{\lambda}(e_2)=e_1+\lambda e_2+e_3\\f_{\lambda}(e_1)=e_1+e_2+\lambda^2 e_3,\end{matrix}\right.$ donde $\lambda\in\mathbb{R}$ y $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ es una base … Sigue leyendo
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