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Cociente de Rayleigh

Propuesto en examen de Álgebra de Ingenieros de Montes de la UPM. Trata sobre el cociente de Rayleigh $X^tAX/X^tBX$, si bien no se menciona en el enunciado este nombre. Enunciado Sean $q_1(x)=X^tAX$ y $q_2(x)=X^tBX$ dos formas cuadráticas de $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$, … Sigue leyendo

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Anillo cociente

Construimos el anillo cociente asociado a un ideal. Enunciado Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo, e $I$ un ideal de $A.$ Demostrar que $A/I=\{a+I:a\in A\}$ es un anillo con las operaciones: $$\begin{aligned} (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\quad (a+I)\cdot (b+I)=ab+I.\end{aligned}$$ Demostrar también que si $A$ es conmutativo … Sigue leyendo

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Series complejas: criterios de la raíz y del cociente

Aplicamos los criterios de la raíz y del cociente al estudio de la convergencia de series complejas. Enunciado Demostrar que toda serie absolutamente convergente es convergente. Demostrar que no toda serie convergente es absolutamente convergente. Demostrar el criterio de la … Sigue leyendo

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Grupo cociente

Proporcionamos ejercicios sobre el grupo cociente. Enunciado Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Demostrar que: $(i)$ La relación en $G:$ $xRy\Leftrightarrow xy^{-1}\in H$ es de equivalencia. $(ii)$ Si $H$ es subgrupo normal, para todo $g\in G$ … Sigue leyendo

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Relación de equivalencia, conjunto cociente

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de relación de equivalencia y conjunto cociente. Enunciado En un conjunto $A$ formado por bolas de colores, demostrar que la relación $xRy$ si y sólo si $x$ tiene el mismo color que $y,$ es de … Sigue leyendo

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