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Archivo de la etiqueta: compleja
Integral compleja dependiente de dos parámetros
RESUMEN. Analizamos una integral compleja que depende de dos parámetros. Enunciado Sea la integral dependiente de los parámetros $n$ y $\lambda:$ $$I_n\left(R,\lambda \right)=\displaystyle\int _{\gamma _R}\left(\overline{z}\right)^ne^{\lambda z}dz$$ donde $n\in \mathbb{Z}$, $\lambda \in \mathbb{C}$ y $\gamma _R$ es la circunferencia $C\left(i\pi ,R\right),\:R>0$ … Sigue leyendo
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Ecuación funcional compleja
Resolvemos una ecuación diferencial compleja. Enunciado Determinar todas las funciones enteras $f$ que satisfacen la ecuación funcional compleja $$f(2z)=\frac{f(z)+f(-z)}{2},\qquad \forall z\in \mathbb{C}$$ Solución Si $f$ es una función entera, se puede expresar en todo el plano conlejo como suma de … Sigue leyendo
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Derivada compleja
Enunciado Si $f(x)=z^2,$ hallar $f'(z)$ usando la definición de derivada. Si $f(z)=z^3,$ hallar $f'(z)$ usando la definición de derivada. Si $f(z)=\dfrac{1}{z},$ hallar $f'(z)$ para todo $z$ complejo no nulo, usando la definición de derivada. Demostrar que la función $f(z)=\bar{z}$ no … Sigue leyendo
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Función exponencial compleja
Definimos la función exponencial compleja y estudiamos alguna de sus propiedades. Enunciado Demostrar que para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ se verifica $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$ y $e^{z_1}/e^{z_2}=e^{z_1-z_2}.$ Demostrar que para todo $z\in\mathbb{C}, \;k\in\mathbb{Z}$ se verifica $\left|e^z\right|=e^x$ y $e^{z+2k\pi i}=e^z.$ Determinar los valores de $z\in\mathbb{C}$ para … Sigue leyendo
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Ecuación diferencial compleja
Enunciado Se considera la ecuación diferencial con condiciones iniciales $$z^{\prime\prime}+cz=h(t)\;,\quad z(0)=\gamma_0,\;z'(0)=\gamma_1.\qquad (*)$$ La incógnita es la función compleja $z(t)\;(\mathbb{R}\to \mathbb{C})$, $c,\gamma_0,\gamma_1$ son números complejos y $h(t)$ una función compleja conocida ($\mathbb{R}\to \mathbb{C}$). Por otro lado, se considera el sistema diferencial … Sigue leyendo
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