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Archivo de la etiqueta: complejos
Ecuación $x^3-x+2=0$ en los complejos
Enunciado Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $x^3-x+2=0.$ Solución Es ecuación del tipo $x^3+px+q=0\text{ con } p,q\in\mathbb{C}$ cuyas soluciones sabemos que son $$x=\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\beta}$$ siempre y cuaando $\alpha\beta=-p/3.$ En nuestro caso $p=-1, q=2$ con lo cual $$x=\displaystyle\underbrace{\sqrt [3]{-1+\sqrt{\frac{26}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-1-\sqrt{\frac{26}{27}}}}_{\beta}.$$ Eligiendo … Sigue leyendo
Ceros complejos de las funciones seno y coseno
RESUMEN. Demostramos que los ceros complejos las funciones seno y coseno son los mismo que los ceros reales. Enunciado Determinar los ceros en $\mathbb{C}$ de las funciones seno y coseno complejos. Solución Tenemos $$\sin z=0\Leftrightarrow \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0\Leftrightarrow e^{iz}-\frac{1}{e^{iz}}=0\Leftrightarrow e^{2iz}=1$$ $$\Leftrightarrow e^{2i(x+iy)}=1\Leftrightarrow … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado ceros, complejos, coseno, seno
Comentarios desactivados en Ceros complejos de las funciones seno y coseno
Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos
Proporcionamos un ejemplo de cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos. Enunciado Demostrar que el conjunto $\mathcal{A}=\{A_{(x,y)}=\begin{bmatrix}{\;\;x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}:x,y\in \mathbb{R}\}$ es un cuerpo con las operaciones suma y producto habituales de matrices. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{C}\to\mathcal{A}$ dada por $f(x+iy)=A_{(x,y)}$ es … Sigue leyendo
Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
Definimos el concepto de cuerpo ordenado y demostramos que los complejos no lo pueden ser. Enunciado Sea $(K,+,\cdot)$ un cuerpo y $\le$ una relación de orden total en $K.$ Decimos que $(K,\le)$ es un cuerpo ordenado si se verifican los … Sigue leyendo
Números complejos: problemas diversos (2)
Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:\;$ $z^4+2z^3+4z^2+8z+16=0.$ Para $a,b$ números reales, calcular las sumas $$R=\cos a+\cos (a+b)+\cos (a+2b)+\cdots+\cos \left(a+(n-1)b\right),$$ $$I=\operatorname{sen}a+\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a+2b)+\cdots+\operatorname{sen}\left(a+(n-1)b\right).$$ Demostrar que si $0\neq z=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta,\;(\theta\in \mathbb{R})$ y $n$ natural, entonces $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta.$$ … Sigue leyendo
