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Concepto de solución de un sistema autónomo

Enunciado 1.  Comprobar que la función $$\varphi:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to \mathbb{R}^2,\quad\varphi (t)=\begin{bmatrix}{\tan t}\\{\cos^2t}\end{bmatrix}$$ es solución del sistema diferencial autónomo: $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=1+x_1^2\\x’_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2.  Interpretar físicamente el concepto de solución del sistema autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’=v(x)\\x(0)=x_0.\end{matrix}\right.$$ Solución 1.  … Sigue leyendo

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Concepto de sistema autónomo

Enunciado 1.  Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=1+x_1^2\\x’_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2.  Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=x_1\cos t\\x’_2=-x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=0.\end{matrix}\right.$$ Solución 1.  El campo … Sigue leyendo

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Concepto de forma bilineal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma bilineal. Enunciado Sea $E=\mathcal{C}[a,b]$ el espacio vectorial real de las funciones reales continuas $x(t)$ en el intervalo $[a,b].$ Se considera la aplicación $$f:E\times E\to \mathbb{R},\quad f[x(t),y(t)]=\int_a^bx(t)y(t)\;dt.$$ Demostrar que $f$ es una forma bilineal. … Sigue leyendo

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Concepto de valor y vector propio

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de valor y vector propio. Enunciado Se considera el endomorfismo $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dado por $$f\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix}.$$ Analizar cuales de los siguientes vectores son vectores propios de $f$ $$v=(1,1)^t,\;v=(-2,1)^t,\;w=(3,1)$$ Sea $E$ el espacio vectorial $$E=\{x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\text{ es infinitamente … Sigue leyendo

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Concepto de serie numérica real

Definimos el concepto de serie numérica real. Enunciado Dada la serie $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{5}{2^3}+\dfrac{7}{2^4}+\cdots,$ hallar el término enésimo y escribirla en forma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n.$ Dada la serie $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}\cdots,$ hallar el término enésimo, escribirla en forma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y hallar la suma parcial enésima $S_n.$ … Sigue leyendo

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