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Archivo de la etiqueta: continuidad
Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
Demostramos un teorema de caracterización de la continuidad uniforme en espacios métricos, por sucesiones y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sean $(X,d)$, $(Y,d’)$ dos espacios métricos y $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que las dos siguientes afirmaciones son equivalentes: … Sigue leyendo
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Continuidad y derivadas direccionales
Demostramos que la existencia de las derivadas direccionales en un punto no implica la continuidad en dicho punto. Enunciado Se considera la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{xy^2}{x^2+y^4}& \text{si }x\ne0\\& 0 & \text{si }x=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ (a) Demostrar … Sigue leyendo
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Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
Demostramos un teorema de caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones. Enunciado Demostrar el teorema de caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones: Sea $I\subset \mathbb{R}$ intervalo y $f:I\to \mathbb{R}$ una función. Entonces, $f$ es uniformemente continua si y sólo … Sigue leyendo
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Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
Relacionamos la continuidad uniforme con el teorema de Tychonoff. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $$f(x,y)=x+\dfrac{y}{x}\;(\textrm{si}\;x\neq 0)\;,\quad f(0,y)=0.$$ Determinar el subconjunto $M$ de $\mathbb{R}^2$ en donde $f$ es continua. Probar que $f$ no es uniformemente continua en $M$. Estudiar la … Sigue leyendo
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Continuidad en una variable: problemas diversos
Proporcionamos problemas diversos de continuidad en una variable. Enunciado Se considera la función definida por $$f(x)= \left \{ \begin{matrix} \displaystyle 2\cos x & \mbox{ si }& x\leq c\\(ax+b)^2 & \mbox{si}& x>c.\end{matrix}\right.$$ Si $b,c\in\mathbb{R}$ son parámetros fijos, hallar los valores de … Sigue leyendo
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