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Convergencia de una serie según parámetro

Analizamos la convergencia de una serie que depende de un parámetro. Enunciado Analizar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\log\left(\cos\dfrac{1}{n}\right)\right|^p$ según el parámetro $p\in\mathbb{R}$. Solución Dado que $0<1/n<\pi/2$ para todo $n=1,2,\ldots$, se verifica $\cos (1/n)>0$ y por tanto la serie está … Sigue leyendo

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Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos

Demostramos que la convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos implica la convergencia, y proporcionamos un contraejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto. Enunciado Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que si $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ … Sigue leyendo

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