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Archivo de la etiqueta: convergencia
Convergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nz}{n}$
RESUMEN. Demostramos que la serie compleja $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nz}{n}$ converge si $\text{Im }z=0$ y diverge si $\text{Im }z\ne 0.$ Enunciado (a) Siendo $n$ un entero positivo, y $x$ real, determinar la suma $$S_n=\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx .$$ (b) Usando el criterio … Sigue leyendo
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Convergencia de una serie según parámetro
Analizamos la convergencia de una serie que depende de un parámetro. Enunciado Analizar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\log\left(\cos\dfrac{1}{n}\right)\right|^p$ según el parámetro $p\in\mathbb{R}$. Solución Dado que $0<1/n<\pi/2$ para todo $n=1,2,\ldots$, se verifica $\cos (1/n)>0$ y por tanto la serie está … Sigue leyendo
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Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
Demostramos que la convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos implica la convergencia, y proporcionamos un contraejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto. Enunciado Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que si $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ … Sigue leyendo
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Convergencia de las integrales de Fresnel
Demostramos la convergencia de las integrales de Fresnel. Enunciado Demostrar que las integrales de Fresnel $$\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,\quad \int_0^{+\infty}\text{sen } x^2\;dx,$$ son convergentes. Solución Haremos la demostración para $\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,$ el razonamiento es análogo para la otra integral. Efectuando el cambio … Sigue leyendo
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Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
Estudiamos criterios de convergencia para las integrales impropias en intervalos infinitos. Enunciado Sea $f:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y $a’\ge a.$ Demostrar que $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Leftrightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$ Sea $f\ge 0$ en $[a,+\infty)$ y continua a … Sigue leyendo
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