Archivo de la etiqueta: convergencia

Convergencia de una serie según parámetro

Analizamos la convergencia de una serie que depende de un parámetro. Enunciado Analizar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\log\left(\cos\dfrac{1}{n}\right)\right|^p$ según el parámetro $p\in\mathbb{R}$. Solución Dado que $0<1/n<\pi/2$ para todo $n=1,2,\ldots$, se verifica $\cos (1/n)>0$ y por tanto la serie está … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en Convergencia de una serie según parámetro

Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos

Demostramos que la convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos implica la convergencia, y proporcionamos un contraejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto. Enunciado Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que si $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , , , , | Comentarios desactivados en Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos

Convergencia de las integrales de Fresnel

Demostramos la convergencia de las integrales de Fresnel. Enunciado Demostrar que las integrales de Fresnel $$\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,\quad \int_0^{+\infty}\text{sen } x^2\;dx,$$ son convergentes. Solución Haremos la demostración para $\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,$ el razonamiento es análogo para la otra integral. Efectuando el cambio … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en Convergencia de las integrales de Fresnel

Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos

Estudiamos criterios de convergencia para las integrales impropias en intervalos infinitos. Enunciado Sea $f:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y $a’\ge a.$ Demostrar que $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Leftrightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$ Sea $f\ge 0$ en $[a,+\infty)$ y continua a … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , , , , | Comentarios desactivados en Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos

Series enteras o de potencias, radio de convergencia

Enunciado Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que si converge para $x=x_0\neq 0,$ entonces converge para todo $x$ tal que $\left |x\right|<\left| x_0\right|.$ Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que existe un único $R\in [0,+\infty]$ tal que: $i)\;$ … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , , , | Comentarios desactivados en Series enteras o de potencias, radio de convergencia