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Archivo de la etiqueta: convergencia
Series enteras o de potencias, radio de convergencia
Enunciado Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que si converge para $x=x_0\neq 0,$ entonces converge para todo $x$ tal que $\left |x\right|<\left| x_0\right|.$ Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que existe un único $R\in [0,+\infty]$ tal que: $i)\;$ … Sigue leyendo
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Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
Proporcionamos ejercicios sobre la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Enunciado Demostrar que la sucesión de funciones $$f_n:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f_n(x)=x^n$$ converge puntualmente en $(-1,1)$ pero no uniformemente. Se considera la sucesión de funciones: $$f_n:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\quad f_n(x)=e^{-n^2x^2}.$$ Determinar la función límite … Sigue leyendo
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Convergencia de las series de Riemann
Demostramos el teorema acerca de la convergencia o divergencia de las series de Riemann. Enunciado Se consideran la series de Riemann $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p},\;p\in\mathbb{R}.$$ Analizar su convergencia usando el criterio integral y el teorema de la condición necesaria. Solución Para $p\neq 1$ … Sigue leyendo
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Convergencia y divergencia de series numéricas
Proporcionamos ejercicios sobre la convergencia y divergencia de series numéricas. Enunciado Aplicar a las siguientes series el teorema de la condición necesaria de convergencia $a)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{3n+5}{7n+2}.\;$ $b)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n}.\;$ $c)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{3^n}.\;$ $d)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}5.\;$ $e)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos n.$ Demostrar el teorema de la condición necesaria para la convergencia … Sigue leyendo
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Criterio de Abel para la convergencia de series
Demostramos el criterio de Abel para la convergencia de series y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $(\lambda_n)$ una sucesión monótona y acotada de números reales y $(s_n)$ una sucesión acotada de vectores de un espacio normado $E.$ Sea … Sigue leyendo
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