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Archivo de la etiqueta: convolución
Convolución de dos funciones
Usamos la convolución de dos funciones para calcular algunas transformadas inversas de Laplace. Enunciado Demostrar que la convolución es conmutativa. Usando la convolución, hallar $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}.$ Solución Efectuando el cambio $v=t-u,$ $$g(t)*f(t)=\int_0^tg(u)f(t-u)\;du=\int_t^0g(t-v)f(v)\;(-dv)$$ $$=\int_0^tf(v)g(t-v)\;dv=f(t)*g(t).$$ Eligiendo $f(t)=1$ y $g(t)=\operatorname{sen}t,$ $$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\frac{1}{s}=F(s),\quad \mathcal{L}\left\{g(t)\right\}=\frac{1}{s^2+1}=G(s).$$ Entonces, $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s^2+1)}\right\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)G(s)\right\}=f(t)*g(t)$$ … Sigue leyendo
Publicado en Ecuaciones diferenciales
Etiquetado convolución, funciones
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Convolución de dos campanas de Gauss
Calculamos la convolución de dos campanas de Gauss. Enunciado La convolución de dos funciones $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuas en $\mathbb{R}$ es la función $f*g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida mediante $$(f*g)(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(x-t)\;dt$$ en el supuesto de que la integral anterior sea convergente para cada valor … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado campanas, convolución, Gauss
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