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Calculamos el coseno de una matriz. Enunciado Calcular $\cos \left(\dfrac{\pi}{4}A\right)$ siendo $A=\begin{bmatrix}{-1/3}&{\;\;2/3}&{-2/3}\\{\;\;2/3}&{-1/3}&{-2/3}\\{-2/3}&{-2/3}&{-1/3}\end{bmatrix}.$ (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM). Solución Podemos expresar $\dfrac{\pi}{4}A=\dfrac{\pi}{12}B,$ siendo $$B=\begin{bmatrix}{-1}&{\;\;2}&{-2}\\{\;\;2}&{-1}&{-2}\\{-2}&{-2}&{-1}\end{bmatrix}.$$ Hallemos los valores y vectores propios de $B$ $$\det (B-\lambda I)=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;2}&{-2}\\{\;\;2}&{-1-\lambda}&{-2}\\{-2}&{-2}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;0}&{-2}\\{\;\;2}&{-3-\lambda}&{-2}\\{-2}&{-3-\lambda}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}$$$$=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;0}&{-2}\\{\;\;2}&{-3-\lambda}&{-2}\\{-4}&{\;\;0}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=(-3-\lambda)(\lambda^2-9)=0 \Leftrightarrow -(\lambda-3)(\lambda+3)^2=0.$$ Los … Sigue leyendo →