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Ceros complejos de las funciones seno y coseno

RESUMEN. Demostramos que los ceros complejos las funciones seno y coseno son los mismo que los ceros reales. Enunciado Determinar los ceros en $\mathbb{C}$ de las funciones seno y coseno complejos. Solución Tenemos $$\sin z=0\Leftrightarrow \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0\Leftrightarrow e^{iz}-\frac{1}{e^{iz}}=0\Leftrightarrow e^{2iz}=1$$ $$\Leftrightarrow e^{2i(x+iy)}=1\Leftrightarrow … Sigue leyendo

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Coseno de una matriz

Calculamos el coseno de una matriz. Enunciado Calcular $\cos \left(\dfrac{\pi}{4}A\right)$ siendo $A=\begin{bmatrix}{-1/3}&{\;\;2/3}&{-2/3}\\{\;\;2/3}&{-1/3}&{-2/3}\\{-2/3}&{-2/3}&{-1/3}\end{bmatrix}.$ (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM). Solución Podemos expresar $\dfrac{\pi}{4}A=\dfrac{\pi}{12}B,$ siendo $$B=\begin{bmatrix}{-1}&{\;\;2}&{-2}\\{\;\;2}&{-1}&{-2}\\{-2}&{-2}&{-1}\end{bmatrix}.$$ Hallemos los valores y vectores propios de $B$ $$\det (B-\lambda I)=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;2}&{-2}\\{\;\;2}&{-1-\lambda}&{-2}\\{-2}&{-2}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;0}&{-2}\\{\;\;2}&{-3-\lambda}&{-2}\\{-2}&{-3-\lambda}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}$$$$=\begin{vmatrix}{-1-\lambda}&{\;\;0}&{-2}\\{\;\;2}&{-3-\lambda}&{-2}\\{-4}&{\;\;0}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=(-3-\lambda)(\lambda^2-9)=0 \Leftrightarrow -(\lambda-3)(\lambda+3)^2=0.$$ Los … Sigue leyendo

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