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Archivo de la etiqueta: cotas
Cotas para la derivada aritmética natural
Derivada aritmética (menú) Proporcionamos cotas para la derivada aritmética natural. Enunciado Demostrar que para todo entero positivo $n$ se verifica $n^{\prime}\le \dfrac{n\log_2n}{2}.$ Demostrar que si $n=2^k$ la cota es exacta Demostrar que si $n$ es el producto de $k$ factores, … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado aritmética, cotas, derivada, natural
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Cotas de la longitud de una elipse
El objeto de este problema es encontrar cotas de la longitud de una elipse. Enunciado Demostrar que el cálculo de la longitud de una elipse se reduce al cálculo de la integral $$\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+k^2\text{sen}^2\theta}\;d\theta.$$ Verificar que la integral del apartado anterior … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado cotas, elipse, longitud
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Cotas de las raíces de un polinomio
En este problema, damos cotas de las raíces de un polinomio. Enunciado Sea $f(z)=a_nz^n+\ldots +a_1z+a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $a_n\neq 0$ y $c$ una raíz de $f(z)$. Demostrar que $|c|\leq M$ siendo $$M=\max\left \{\left(n\left| \frac{a_{i-1}}{a_n}\right|\right)^{1/i}:i=1,\ldots,n\right\}.$$ Solución Supongamos que $\left|z\right|>M$, entonces $$\left|z\right|>\left(n\left|\dfrac{a_{i-1}}{a_n}\right|\right)^{\frac{1}{i}}\;(\forall i=1,\ldots,n)\Rightarrow \left|z\right|^i>n\dfrac{\left|a_{i-1}\right|}{\left|a_n\right|}\;\;(\forall … Sigue leyendo
Máximo, mínimo, cotas
Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de máximo, mínimo y cotas. Enunciado En $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$ con el orden usual $\leq,$ hallar, caso de existir los elementos mínimo y máximo. En $\mathbb{Z}^-=\{\ldots,-3,-2,-1\}$ con el orden usual $\leq,$ hallar, caso de existir los elementos … Sigue leyendo
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