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Criterio de divisivilidad entre $3$

RESUMEN. Demostramos un criterio de divisivilidad entre $3$ Enunciado Demostrar que un número natural es divisible entre $3$ si y sólo sí lo es la suma de sus dígitos. Solución Veamos que todo número tiene la misma congruencia módulo $3$ … Sigue leyendo

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Criterio de Eisenstein

Demostramos el criterio de Eisenstein y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el criterio de Eisenstein: Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x].$ Supongamos que existe $p$ primo tal que $\quad (i)$  $p\not\mid a_n,\;p\mid a_{n-1},\ldots,p\mid a_0.$ $\quad (ii)$  $p^2\not\mid a_0.$ Entonces,  $P(x)$ es irreducible … Sigue leyendo

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Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos

Enunciado Demostrar el criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos: Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx \text{ es convergente}$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que } b’\ge b\ge b_0\Rightarrow \left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|<\epsilon$$ Solución … Sigue leyendo

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Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass

Aplicamos el criterio de Weierstrass para identificar series uniformemente convergentes. Enunciado Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2x}{2^n+1}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$ Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-nx^2}}{n^2+x^2}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$ Sea $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}nx}{n^3}.$ Demostrar que $\displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\;dx=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^4}.$ Estudiar la convergencia de … Sigue leyendo

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Clasificación de formas cuadráticas

Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de formas cuadráticas. Enunciado Clasificar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2ax_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3\;\;(a\in\mathbb{R}).$$ Determinar para que valores de $a\in\mathbb{R}$ es definida positiva la forma cuadrática $$q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\quad q(x)=X^T\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{2}&{6}&{2}\\{1}&{2}&{a}\end{bmatrix}X.$$ Solución Busquemos una matriz diagonal que represente a $q.$ $$\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\\{a}&{1}&{2}\\{-1}&{2}&{5}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{F_2-aF_1}\\{F_3+F_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}$$ $$\begin{matrix}\sim\\{C_2-aC_1}\\{C_3+C_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}.$$ Para … Sigue leyendo

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Series alternadas, criterio de Leibniz

Proporcionamos ejercicios sobre series alternadas y el criterio de Leibniz. Enunciado Analizar la convergencia de las siguientes series alternadas: $1)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}.\quad $ $2)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}.\quad $ $3)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nn^2}{3n^2+5}.$ Analizar la convergencia de las siguientes series alternadas. Si son convergentes, estudiar si la convergencia es … Sigue leyendo

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Criterio integral

Proporcionamos ejercicios sobre el criterio integral. Enunciado Usando el criterio integral, estudiar el carácter de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{n^2+1}.$ Usando el criterio integral, estudiar el carácter de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}ne^{-n^2}.$ Demostrar el criterio integral: Sea $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ continua. Supongamos además que … Sigue leyendo

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Series de términos positivos

Proporcionamos ejercicios sobre eries de términos positivos. Enunciado Analizar el carácter de las series: $a)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.\quad b)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}.\quad c)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}n^2.\quad d)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{n^4}-\frac{7}{n\sqrt{n}}\right).$ Usando el criterio de comparación por cociente, analizar el carácter de las series: $a)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+n-1}{3n^4+n^3-2}.\quad b)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt[3]{n}+2\sqrt[4]{n}+1}{2n+5\sqrt{n}+6}.$ Usando … Sigue leyendo

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Criterio de Abel para la convergencia de series

Demostramos el criterio de Abel para la convergencia de series y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Sea $(\lambda_n)$ una sucesión monótona y acotada de números reales y $(s_n)$ una sucesión acotada de vectores de un espacio normado $E.$ Sea … Sigue leyendo

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Criterio de Dirichlet para la convergencia de series

Demostramos el criterio de Dirichlet para la convergencia de series y damos ejemplos de aplicación. Enunciado Sea $(\lambda_n)$ una sucesión monótona y acotada de números reales y $(s_n)$ una sucesión acotada de vectores de un espacio normado $E.$ Sea $u_n=(\lambda_n-\lambda_{n+1})u_n$. … Sigue leyendo

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