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Archivo de la etiqueta: criterio
Criterio de divisivilidad entre $3$
RESUMEN. Demostramos un criterio de divisivilidad entre $3$ Enunciado Demostrar que un número natural es divisible entre $3$ si y sólo sí lo es la suma de sus dígitos. Solución Veamos que todo número tiene la misma congruencia módulo $3$ … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
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Criterio de Eisenstein
Demostramos el criterio de Eisenstein y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el criterio de Eisenstein: Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x].$ Supongamos que existe $p$ primo tal que $\quad (i)$ $p\not\mid a_n,\;p\mid a_{n-1},\ldots,p\mid a_0.$ $\quad (ii)$ $p^2\not\mid a_0.$ Entonces, $P(x)$ es irreducible … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado criterio, Eisenstein
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Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
Enunciado Demostrar el criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos: Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx \text{ es convergente}$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que } b’\ge b\ge b_0\Rightarrow \left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|<\epsilon$$ Solución … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado Cauchy, criterio, impropias, infinitos, integrales, intervalos
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Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
Aplicamos el criterio de Weierstrass para identificar series uniformemente convergentes. Enunciado Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2x}{2^n+1}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$ Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-nx^2}}{n^2+x^2}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$ Sea $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}nx}{n^3}.$ Demostrar que $\displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\;dx=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^4}.$ Estudiar la convergencia de … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado convergentes, criterio, series, uniformemente, Weierstrass
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Clasificación de formas cuadráticas
Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de formas cuadráticas. Enunciado Clasificar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2ax_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3\;\;(a\in\mathbb{R}).$$ Determinar para que valores de $a\in\mathbb{R}$ es definida positiva la forma cuadrática $$q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\quad q(x)=X^T\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{2}&{6}&{2}\\{1}&{2}&{a}\end{bmatrix}X.$$ Solución Busquemos una matriz diagonal que represente a $q.$ $$\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\\{a}&{1}&{2}\\{-1}&{2}&{5}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{F_2-aF_1}\\{F_3+F_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}$$ $$\begin{matrix}\sim\\{C_2-aC_1}\\{C_3+C_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}.$$ Para … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
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