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Archivo de la etiqueta: cuadrática
$Q(A) = (\text{traza } A)^2 – 2 \det A$
En este problema diagonalizamos una forma cuadrática en $M_2(\mathbb{R})$ definida mediante la traza y el determinante. Enunciado En el espacio vectorial $M_2(\mathbb{R})$ se considera el producto escalar $$\langle \begin{bmatrix}{x_1}&{x_2}\\{x_3}&{x_4}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}{y_1}&{y_2}\\{y_3}&{y_4}\end{bmatrix}\rangle=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.$$ Se define la aplicación $Q:M_2(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ dada por $$Q(A)=\left(\text{traza }A\right)^2-2\det A.$$ … Sigue leyendo
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Etiquetado cuadrática, determinante, forma, traza
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Forma polar de una forma cuadrática
Proporcionamos ejercicios sobre la forma polar de una forma cuadrática. Enunciado Sea $q:E\to \mathbb{K}$ una forma cuadrática con $\text{carac }\mathbb{K}\neq 2.$ Demostrar que la forma polar de $q$ es $$\frac{1}{2}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right).$$ Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+7x_2^2-x_3^2+8x_1x_2+5x_1x_3-4x_2x_3.$$ Determinar la … Sigue leyendo
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Concepto de forma cuadrática
Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de forma cuadrática. Enunciado Determinar las formas cuadráticas asociadas a las formas bilineales: $$f_1(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{4 }\\{-1 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\end{pmatrix}.$$ $$f_2(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{-3 }\\{6 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\end{pmatrix}.$$ $$f_3(x,y)=\begin{pmatrix}x_1,\;x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}&{3/2 }\\{3/2 }&{7}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\end{pmatrix}.$$ Se considera la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+7x_2^2-x_3^2+8x_1x_2+5x_1x_3-4x_2x_3.$$ Expresarla mediante una matriz simétrica … Sigue leyendo
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Etiquetado concepto, cuadrática, forma
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Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo
Determinamos la signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo $n$-dimensional. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial real euclídeo de dimensión $n$ y sea $u\in E$ un vector de norma $1$ $(\left\|{u}\right\|=1).$ Para cada número real $a$ se define … Sigue leyendo
Endomorfismo, forma cuadrática y cono
En este problema relacionamos los conceptos de endomorfismo, forma cuadrática y cono. Enunciado En $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar usual $\left<{\;,\;}\right>$ y siendo $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canónica, se considera el endomorfismo $T$ y la forma cuadrática $f$ que cumplen las … Sigue leyendo
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Etiquetado cono, cuadrática, endomorfismo, forma
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