Archivo de la etiqueta: cuadrática

Circunferencia, cónica y forma cuadrática

Enunciado Se considera la circunferencia $x^2+y^2=a^2$, la cónica $a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy=a^2$ y la forma cuadrática $Q(x,y)=(a_{11}-1)x^2+(a_{22}-1)y^2+2a_{12}xy$. Demostrar que si la forma cuadrática $Q(x,y)$ es definida positiva, entonces la circunferencia y la cónica no se cortan. Enunciar el recíproco y estudiar su validez, … Sigue leyendo

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Forma cuadrática mediante una integral

Clasificamos una forma cuadrática definida mediante una integral. Enunciado La siguiente función es una forma cuadrática en $\mathbb{R}^3:$ $q(x_1,x_2,x_3)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(x_1\cos t+x_2\sin t+x_3)^2\;dt.$ Hallar su rango y signatura (índice de positividad, índice de negatividad e índice de nulidad). (Propuesto en examen, Álgebra, … Sigue leyendo

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Núcleo de una forma cuadrática

Definimos núcleo de una forma cuadrática, analizando algunas propiedades. Enunciado Sea $E$ un espacio vectorial real, y $Q:E\rightarrow{\mathbb{R}}$ una forma cuadrática. Llamaremos núcleo de $Q$, y lo designaremos con $\ker Q$, al conjunto formado por los elementos $x$ de $E$ … Sigue leyendo

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Mínimo de una función cuadrática

Hallamos el mínimo de una función cuadrática usando métodos algebraicos. Enunciado La condición de mínimo para la función polinómica de segundo grado $$p(x)=\dfrac{1}{2}ax^2-bx$$ es $ax=b$ y $a>0.$ Demostrar el siguiente resultado análogo para matrices: Si $A$ es una matriz simétrica … Sigue leyendo

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Forma cuadrática multiplicativa

Estudiamos una forma cuadrática multiplicativa. Enunciado Sean $E=\mathbb{R}^{(2\times 2)},\;I=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix},\;J=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}\mbox{ y}$ $B=(\;B_1=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\;B_2=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\;B_3=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end{bmatrix},\;B_4=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\;).$ Sea $\Phi$ una forma cuadrática sobre $E$ no nula tal que para todo $A,B\in E$ verifica $\Phi(AB)=\Phi(A)\Phi(B)$ y $\phi$ la forma bilineal simétrica asociada. Se pide: 1. Hallar $\Phi(I),\;\Phi(B_2),\;\Phi(B_3)$ … Sigue leyendo

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