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Archivo de la etiqueta: cuerpo
Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado
Definimos el concepto de cuerpo ordenado y demostramos que los complejos no lo pueden ser. Enunciado Sea $(K,+,\cdot)$ un cuerpo y $\le$ una relación de orden total en $K.$ Decimos que $(K,\le)$ es un cuerpo ordenado si se verifican los … Sigue leyendo
Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$
Enunciado Denominemos por $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$ al menor subcuerpo de $\mathbb{C}$ que contiene a $\mathbb{Q}\cup \{\sqrt{5},i\}.$ Demostrar que $$\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)=\{p+qi+r\sqrt{5}+s\sqrt{5}i:\;p,q,r,s\in\mathbb{Q}\}.$$ Solución Denominemos por $K$ al cuerpo pedido. Necesariamente $K$ ha de contener a $1,$ $\sqrt{5},$ $i,$ $\sqrt{5}i.$ Como también ha de contener a … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado cuerpo, Q}(sqrt{5} i)
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Cardinal de un cuerpo finito
Demostramos que el cardinal de un cuerpo finito $K$ es de la forma $p^n,$ siendo $p$ la característica de $K$ y $n$ un cierto natural. Enunciado Sean $K/k$ una extensión de cuerpos de grado $[K:k]=n$ y $\text{card }k=q.$ Demostrar que … Sigue leyendo
Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos
Demostramos que los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no pueden ser isomorfos. Enunciado Demostrar que los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo nunca son isomorfos. Solución Sea $K$ un cuerpo y sean $K^+$ y $K^{\times}$ los grupos … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado aditivo, cuerpo, grupos, multiplicativo, no isomorfos
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Cuerpo infinito con característica finita
Enunciado Construir un cuerpo infinito con característica finita. Solución Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo, y sea $\mathbb{K}[[X]]$ el conjunto de las series formales $$\mathbb{K}[[X]]=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n:a_n\in\mathbb{K}\right\}.$$ Sabemos que $\mathbb{K}[[X]]$ es un dominio de integridad con las operaciones $$\sum_{n\ge 0}a_nX^n+\sum_{n\ge 0}b_nX^n=\sum_{n\ge 0}(a_n+b_n)X^n,$$ $$\left(\sum_{n\ge … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado característica, cuerpo, finita, infinito
Comentarios desactivados en Cuerpo infinito con característica finita
