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Funciones cumpliendo $ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$

Resolvemos una ecuación en derivadas, con un parámetro. Enunciado Determinar todas las funciones derivables  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación $$ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x\quad \forall \lambda>0.$$ Solución Sea  $f$ una función que satisface la igualdad dada. … Sigue leyendo

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Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$

Enunciado Sea  $E$ el conjunto de las funciones  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ verificando que existe una constante  $k_f\le 0$ tal que $$f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.$$ (a) Demostrar que si  $f\in E,$  $f$ es periódica de periodo $2\pi,$ continua y acotada. (b)  Sea  $f\in … Sigue leyendo

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